Chapt16 排列和组合的一般计数方法

P(7,7) P(2, 2) 7! 2! 10080
3、问有多少个不含数字0的5位数，其每位数字
都不相同，且数字7和9不相邻？
解：由于所有的5位数字互不相同，且不能取0，故 每一个 5 位数就是集合 {1,2,…,9} 的一个 5- 排列，其
排列数为P(9,5)；
其中7和9相邻的排列数为4×2×P(7,3)， 满足题目要求的5位数个数为
N Pnr / r
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求环排列数的例子
[例] 用20粒颜色各不相同的小珠，能做成多少 串不同的项链? 解: 一串项链由在一个环上排列的20粒小珠组成, 这种环排列有20!/20=19!种,但同一个项链的顺 时钟和反时钟环排列没什么区别,故项链数为 19!/2.
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练一练
1、4男4女围圆桌交替就座有多少种就座方式？ 解：显然，这是一个圆排列问题。
§16.3 可重复排列组合的计数方法
集合中的元素是相互可区别的。
为解决可重复排列组合的计数问题，须引入多重
集的概念。
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多重集是元素可以重复出现的集合,我们将某个元
素ai出现的次数ni（ni=1,2,…, ∞）叫做ai的重复度.
如果多重集S中含k个不同的元素a1,a2,…,ak,则将S
记为
{n1•a1, n2•a2 ,…,nk•ak}
首先让4个男的围圆桌就座，有4!/4=3!种就座方式。 因为要求男女围圆桌交替就座，在男的坐定后， 两两之间均需留有一个空位，女的就座相当于一 个4元素集合的全排列，就座方式数为4!。
由乘法法则知，就座方式数为 3!×4!=144
2 、有 8 人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？ 如果有两人不愿坐在一起，又有多少种就座方 式？
P(9,5) 4 2 P(7,3) 15120 1680 13440
环排列
二、环排列 如果将集合的元素排成一个环,则排列数将会减少.
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环排列数
定理16.2.2 一个n元集合的环形r排列数是
Pnr n! N r r (n r )!
证明:把S的所有r排列分成若干组，使得同组的任何 两个r排列均是同一个环排列.易知,每组中恰含有 r个 这样的r排列.所以S的环形r排列数 .
个排列。
例如，对S={3•a, 2•b ,1•c}, abaa，abcb均是S的4排列, 而abaacb则是S的一个全排列.
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多重集排列数
定理16.3.1 设多重集S={∞•a1, ∞•a2 ,…,∞•ak},则S
解：由于A总是R的右边，故这样的排列相当于是 8 个元素的集合 {F,RA,G,M,E,N,T,S} 的一个全排列， 个数为
P(8,8) 8! 40320
再要求 M 和 N 必须相邻，可先把 M 和 N 看成一个整 体 ={M,N} ，进行 7 个元素的集合 {F,RA,G,E,T,S,} 的全排列，在每一个排列中再进行{M,N}的全排列， 由乘法法则，排列个数为
2、从1~300之间任取3个不同的数，使得这3个数的 和正好被3除尽，问共有几种方案？ 解：所有的整数可分为以下3个分类：A:模3余0、 B:模3余1和C:模3余2。任取3个数其和正好被3整 除的情况如下： ①三个数同属于集合A，有C(100,3)种方案； ②三个数同属于集合B，有C(100,3)种方案； ③三个数同属于集合C，有C(100,3)种方案； ④三个数分别属于集合A,B,C，由乘法法则有1003 种方案。 由加法法则得，所求的方案数为 3×C(100,3)+1003=1485100
组合
定义16.2.2 从n元集合S中无序地选取的r个元素叫 做S的一个r组合。不同组合的总数称为组合数, 记 为C 或
r n
( ).
0 n
n r
当 n 0 时,规定 C 0
r r n 当 时,规定 Cn 0
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组合数
定理16.2.3 对一切 r n ,有
n! C P / r! r !(n r )!
[例] 在平面上给定25个点,其中任意3点均不共线,过
2点可以作一条直线,以3个点顶点可作一个三角形.问 这样的直线和三角形有多少个? 解: 直线数 L C
2 25
25! 300 2!23!
25! 3 三角形数 T C 25 2300 3!22!
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定理16.2.4 设S为n元集合, 则S的所有不同的子集数 目是 n 0 1 n
r n r n
r C 证明:先从 n 个元素中选出r个元素,有 n 种选法.
对于每一种选法,将选出的r个元素排列起来,有r!种 排列方法. 每一种排列就对应于n元集合的一个r排列.由乘法 r 法则 Pnr r!Cn
故
r P n! r n Cn r! r!(n r )!
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求组合数的例子
探究：你能说说这个问题的特征吗？
上述问题中，最重要的特征是“或”字的出现： 每个座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字 编号。由于英文字母、阿拉伯数字各不相同，因 此编出来的号码也是各不相同。
问题2：用前6个大写的英文字母和1~9九个阿拉伯数 字，以Xi的方式给教室里的座位编号，总共能编出 多少种不同的号码？
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各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
两个法则的结合
有时，需要将加法法则和乘法法则结合起来运用. [例16.1.3] 有6本不同的中文书, 5本不同的英文书, 7本 不同的日文书. 试问有多少种方式从中挑选两本不同 语种的书? 解：由乘法法则，
① 若选取中文书和英文书，则共有6· 5=30种方式；
学习内容
主要介绍组合分析中的计数问题，以及解
决计数问题的数学工具，如加法法则、乘法法
则、容斥原理、递推关系和母函数等.
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第16章 排列和组合的一般计数 方法
排列与组合是初等代数中的重要内容，它对于解 决许多实际问题，以及进一步学习其它数学知识 都有着重要作用.
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§16.1 两个基本的计数法则
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给 教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母有26个，阿拉伯数字有10个，所以共 有26+10=36种不同的号码。
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练一练
1、由数字1,2,3,4,5可以构成多少个所有数字互不相
同的四位数？ 解：由于所有的四位数字互不相同，故每一个四 位数就是集合{1,2,3,4,5}的一个4−排列，因而所求
的四位数个数为
5! P (5, 4) 120 (5 4)!
2、将具有9个字母的单词 FRAGMENTS进行排 列，要求字母A总是紧跟在字母R的右边，问有 多少种这样的排法？如果再要求字母 M 和 N 必 须相邻呢？
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r n
1 n
排列数
定理16.2.1 对于正整数n和 r(<=n) ,恒有
P =n(n-1)(n-r+1)
证明：从n个不同的元素中选取第1个元素的方法有 n种.当第1个元素选好后，只能从剩下的n-1个元素 中选取第2个元素，共有n-1种方法….最后1个元素 只能从剩下的n-(r-1)个元素中选取.共有n(n-1)(n2)…(n-r+1)种方法.由乘法法则,不同的选取方法是 n(n-1)(n-2)…(n-r+1).
解：由定理知8人围圆桌就餐，有8!/8=7!=5040种就 座方式。 又有两人不愿坐在一起，不妨设此二人为 A 、 B ， 当 A 、 B 坐在一起时，相当于 7 人围圆桌就餐，有 7!/7=6!种就座方式。 而A、B坐在一起时，又有两种情况，或者A在B的 左面，或者A在B的右面，因此A、B坐在一起时， 共有2×6!种就座方式， 因此如果有两人不愿坐在一起，就座方式为 7!-2×6!= 5×6!=3600
分类计数原理
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两个法则的区别
分类计数原理
区别1 完成一件事，共有n类 办法，关键词“分类”
分步计数原理
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步” 每一步得到的只是中间结 果，任何一步都不能独立 完成这件事，缺少任何一 步也不能完成这件事，只 有各个步骤都完成了，才 能完成这件事。
每类办法都能独立地完 成这件事情，它是独立 区别2 的、一次的、且每次得 到的是最后结果，只须 一种方法就可完成这件 事。 区别3
2 Cn Cn Cn
证明:对于r=0,1,…,n，S的每个有r个元素的子集就 r C 是S的一个r组合, 因而 n 就是S的具有r个元素的不 同子集数目.由加法法则,S的所有不同的子集数目是:
0 1 n Cn Cn Cn
另一方面，在构成S的某个子集时，S的每个元素要 么属于该子集，要么不属于该子集.根据乘法法则， n个元素的选法是2n，即S的所有不同的子集有2n个。
② 若选取中文书和日文书，则共有6· 7=42种方式；
③ 若选取英文书和日文书，则共有5· 7=35种方式.
这3种选取类型是互不相同的，故根据加法法则，一 共有30+42+35=107种方式.
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运用法则的条件
解决实际问题时, 要注意运用以上两个法则的条件 [例]求小于10的正偶数或质数的个数 解：小于10的正偶数共有4个; 小于10的质数共有4 个. 但是,求小于10的正偶数或质数的个数是7个而 不是8个, 即2,3,4,5,6,7,8。 这说明在这种情况下不能使用加法法则. 其原因 是正偶数集合与质数集合的交集不为空。
例如S={2•a, 3•b ,1•c}表示S中有2个a,3个b和1个c.
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定义16.3.1 设多重集S={n1•a1, n2•a2 ,…,nk•ak},从S中
有序地选取r个元素,其中ai至多出现ni次(ni=∞时,表
示ai可以出现任意多数),这种选取称为S的一个r排列。
当r=n1+n2+…+nk时称为S的一个全排列,简称S的一
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§16.2 基本排列组合的计数方法
一、排列 定义16.2.1 设r为正整数,S是n个元素的集合. 从S中取 出r个元素按次序排列称为S的一个r排列, 不同的排列 r 总数称为排列数,记作 Pn 或者 P(n,r) 若r=n,则称之为S的全排列, 简称为S的排列；
当r>n时, P =0
当r=1时, P =n
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练一练
1、有5本日文书，7本英文书，10本中文书，从中 取两本不同文字的书，问有多少种方案？若取两本 相同文字的书，问有多少种方案？任取两本书，有 多少种方案？ 解：取两本不同文字的书，方案数为： 5×7+10×7+10×5=155 取两本相同文字的，有两本中文、两本英文或两 本日文三种方式，由加法法则得： C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=76 任取两本书，相当于从 5+7+10=22 本书中取两本 的组合，即： C(22,2)=231
组合数学
组合分析又叫组合论、组合数学或组合学， 它是一个有着悠久历史的数学分支. 所研究的中心问题与“按照一定的规则来安 排一些物件”的数学问题有关，即： ① 关于符合要求之安排的存在性或不存在性的证 明； ② 求出要求之安排的个数； ③ 构造出符合要求的安排； ④ 寻求出最优的符合要求之安排等等. 这些问题分别被称为存在性问题、计数问题、 构造问题、最优化问题。 1
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r n
为简单起见,记
规定
n! n(n 1)2 1
0! 1 ，则有
n! P (n r )!
r n
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求排列数的例子
[例] 假设从长沙至北京的铁路线上共有50个需要 停靠的大小车站,问要为这条线准备多少种不同的 车票. 解: 因为每张车票都标明起点站和终点站的站名, 所以同样两个站之间就有2种不同的车票.从50个 车站的站名中取出两个车站名,分起点和终点排列 起来的不同种数,就是需要准备不同的车票的数目, 于是, 由定理16.2.1,该数目为50×49=2450.
先确定一个英文字母，再选择一个阿拉伯数字作为 下标，所以共有6*9=54种不同的号码。 探究：你能说说这个问题的特征吗？ 上述问题中，最重要的特征是“和”字的出现： 每个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字 组成。每个英文字母与不同的阿拉伯数字组成的 号码是各不相同的。
[加法法则] 若在第1个集合中有r1个元素，在第2个集合中有 r2 个元素，…，在第 m个集合中有rm个元素，且这 个集合是互不相交的，则从m个集合中选取一个元 素的方法数为 r 1 r 2 r m。 分步计数原理