河南省名校联盟2020-2021学年高三11月联考数学试题
2023版高考数学一轮总复习8-2空间点线面的位置关系习题
8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。
高三第二轮 尖子生 专练10 元素周期律推断60题- (原卷版)
专练10 元素周期律推断60题一、性质类比预测型1.(陕西省商洛市2021年高三3月模拟)由于锂电池的需求急剧增长,全球陷入锂资源“争夺战”。
下列有关锂的说法正确的是()。
A.电解LiCl熔盐可制取金属LiB.Li与O2反应能生成Li2O2C.Li、Cu及海水构成的电池中,Li为电池正极D.Li的原子半径是第二周期所有主族元素中原子半径最小的2.(宁夏银川市2021届高三上学期12月模拟)元素周期表和元素周期律可以指导人们进行规律性的推测和判断。
下列说法不合理的是()。
A.若X+和Y2-的核外电子层结构相同,则原子序数:X>YB.由水溶液的酸性:HCl>H2S,可推断出元素的非金属性:Cl>SC.硅、锗都位于金属与非金属的交界处,都可以做半导体材料D.Cs和Ba分别位于第六周期IA和IIA族,碱性:CsOH>Ba(OH)23.(2020·海淀区第二学期阶段性测试)砷化镓(GaAs)是一种优良的半导体材料。
镓与铝同主族,镓与砷同周期,砷与氮同主族。
下列说法不正确的是()。
A.Ga位于元素周期表第IIIA族B.Ga的原子半径比As的大C.AsH3的热稳定性比PH3的弱D.H3AsO4的酸性比HNO3的强4.(2020·天津河北区一模)我国研发一款拥有自主知识产权的超薄铷(Rb)原子钟,每3000万年误差仅1秒。
Rb是第五周期第ⅠA族元素,下列关于37Rb的说法正确的是()。
A.元素的金属性:K>37RbB.中子数为50的Rb的核素:50RbC.与同周期元素53I的原子半径:Rb>ID.最高价氧化物对应的水化物的碱性:KOH>RbOH5.(2020·北京延庆区一模)金属铊(81Tl)有重要用途,可用来制造光电管、光学玻璃等。
铊与铯(55Cs)同周期,下列说法不正确的是()。
A.原子半径:Cs>TlB.碱性:CsOH>Tl(OH)3C.与水反应的剧烈程度:Tl>CsD.Tl是第六周期第ⅢA元素6.(2021·中原名校第四次质检)113号元素的元素符号为Nh,中文名称为“弥”,是一种人工合成的放射性化学元素,下列有关该元素的说法中错误的是()。
第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)
专题一 压轴选择题第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题【名师综述】1.求解曲线的离心率:求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a ,b ,c 的等量关系,然后把b 用a ,c 代换,求c a 的值;在双曲线中由于221()b e a=+,故双曲线的渐近线与离心率密切相关,求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ,b ,c 的不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到关于a ,c 的不等式,由这个不等式确定a ,c 的关系.2.求解特定字母取值范围问题的常用方法:(1)构造不等式法:根据题设条件以及曲线的几何性质(如:曲线的范围、对称性、位置关系等),建立关于特定字母的不等式(或不等式组),然后解不等式(或不等式组),求得特定字母的取值范围.(2)构造函数法:根据题设条件,用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母,即建立关于特定字母的目标函数,然后研究该函数的值域或最值情况,从而得到特定字母的取值范围.(3)数形结合法:研究特定字母所对应的几何意义,然后根据相关曲线的定义、几何性质,利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题:一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.常见的几何方法有:(1)直线外一定点P 到直线上各点距离的最小值为该点P 到直线的垂线段的长度;(2)圆C 外一定点P 到圆上各点距离的最大值为||PC R +,最小值为||PC R -(R 为圆C 半径);(3)过圆C 内一定点P 的圆的最长的弦即为经过P 点的直径,最短的弦为过P 点且与经过P 点直径垂直的弦;(4)圆锥曲线上本身存在最值问题,如①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长);②双曲线上两点间最小距离为2a (实轴长);③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[,]a c a c -+,a c -与a c +分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离;④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近.常用的代数方法有:(1)利用二次函数求最值;(2)通过三角换元,利用正、余弦函数的有界性求最值;(3)利用基本不等式求最值;(4)利用导数法求最值;(5)利用函数单调性求最值.【典例剖析】类型一 求圆锥曲线的离心率问题典例1.(2021·全国高考真题(理))设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,若C 上的任意一点P都满足||2PB b ≤,则C 的离心率的取值范围是( )A .2⎫⎪⎪⎣⎭B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .2⎛ ⎝⎦D .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦典例2.3.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点,点()0,P x a 为双曲线上的一点,若12PF F △的重心和内心的连线与x 轴垂直,则双曲线的离心率为( ) A 32B 33C 2D 3【来源】江西省上饶市六校2022届高三第一次联考数学试题【举一反三】1F ,2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点,B 是椭圆的上顶点,过点1F 作2BF 的垂线交椭圆C 于P ,Q 两点,若1137PF FQ =,则椭圆的离心率是( ) A 36B 255C 2127 D .59214【来源】浙江省温州市普通高中2022届高三下学期返校统一测试数学试题类型二 与圆锥曲线有关的最值问题典例3.已知点F 为拋物线2:4C y x =的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ,直线1l 与C 交于,A B 两点,直线2l 与C 交于,D E 两点,则9AB DE +的最小值为( ) A .32B .48C .64D .72【来源】江西省五市九校(分宜中学、高安中学、临川一中、南城一中、彭泽一中、泰和中学、玉山一中、樟树中学、南康中学)协作体2022届高三第一次联考数学(理)试题【举一反三】坐标原点O 且斜率为()0k k <的直线l 与椭圆2214x y +=交于M 、N 两点.若点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则MAN △ 面积的最大值为( ) A 2B .22C .22D .1【来源】四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题类型三 平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例4.(多选)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,左、右顶点分别为1A ,2A ,P 为双曲线的左支上一点,且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3,则下列说法正确的是( ) A .双曲线C 的离心率为2B .若12PF PF ⊥,且123PF F S =△,则2a =C .以线段1PF ,12A A 为直径的两个圆外切D .若点P 在第二象限,则12212PF A PA F ∠=∠【来源】广东省2022届高三上学期第三次联考数学试题【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F .点P 在C 上且位于第一象限,圆1O 与线段1F P 的延长线,线段2PF 以及x 轴均相切,12PF F △的内切圆为圆2O .若圆1O 与圆2O 外切,且圆1O 与圆2O 的面积之比为4,则C 的离心率为( ) A .12B .35C 2D 3【来源】衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试卷数学(一)【精选名校模拟】1.点F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点,斜率为34的直线l 过点F 且与双曲线C 的右支交于点P ,过切点P 的切线与x 轴交于点M .若FM PM =,则双曲线C 的离心率e 的值为( ) A .207B .165C .259D .143【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学(理)试题2.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,实轴长为4,点P 为其右支上一点,点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上,若1PF PQ +的最小值为8,则双曲线的渐近线方程为( ) A .12y x =±B .y x =±C .32y x =±D .52y x =±【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学(理)试题3.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,||8AB =,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,交于点Q .下列说法正确的是( ) A .QA QB ⊥B .AOB (O 为坐标原点)的面积为2C .112||||AF BF += D .若()1,1M ,P 是抛物线上一动点,则||||PM PF +的最小值为52【来源】江西省吉安市2022届高三上学期期末数学(理)试题4.已知点(5A ,(0,5B -,若曲线()222200,0y xa b a b-=>>上存在点P 满足4PA PB -=,则下列正确的是( ) A .1b a <+B .2b a <C .1b a >+D .2b a >【来源】浙江省嘉兴市2021-2022学年高三上学期期末数学试题5.已知圆()2222p x y b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭与抛物线22(0)y px b p =>>的两个交点是A ,B .过点A ,B 分别作圆和抛物线的切线1l ,2l ,则( )A .存在两个不同的b 使得两个交点均满足12l l ⊥B .存在两个不同的b 使得仅一个交点满足12l l ⊥C .仅存在唯一的b 使得两个交点均满足12l l ⊥D .仅存在唯一的b 使得仅一个交点满足12l l ⊥【来源】浙江省2022届筑梦九章新高考命题导向研究卷Ⅱ数学试题6.已知双曲线22221x y a b -=,(),0a b >的左右焦点记为1F ,2F ,直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行,记l 与双曲线的交点为P ,若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b,则此双曲线的离心率为( )A .2B .53C 3D .112【来源】浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末数学试题7.已知1F ,2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ,N ,设四边形12F NF M 的周长C 与面积S 满足2aS C =则该双曲线的离心率的平方为( ) A .22B .842+C .222+D .23+【来源】江西省上饶市2022届高三一模数学(理)试题8.椭圆E :()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,点P 在椭圆E 上,12PF F △的重心为G .若12PF F △的内切圆H 的直径等于1212F F ,且12GH F F ∥,则椭圆E 的离心率为( ) A 6B .23C 2D .12【来源】安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题9.已知椭圆C :22143x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,左、右顶点分别为A ,B ,点M 为椭圆C 上不与A ,B 重合的任意一点,直线AM 与直线2x =交于点D ,过点B ,D 分别作BP ⊥直线2MF ,DQ ⊥直线2MF ,垂足分别为P ,Q ,则使BP DQ BD +<成立的点M ( ) A .有一个B .有两个C .有无数个D .不存在【来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试题10.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,椭圆C 上的两点A ,B 关于原点对你,且满足0FA FB ⋅=,3FB FA ≤,则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A .22⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B .2312⎤⎢⎥⎣⎦C .)31,1⎡⎣D .232⎢⎣⎦11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ,2F ,在其渐近线上存在一点P ,满足122PF PF b -=,则该双曲线离心率的取值范围为( ) A .(2B .)2,2C .2,3D .()2,3【来源】重庆市巴蜀中学校2022届高三上学期适应性月考(六)数学试题12.已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ,过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点(异于,A B ),若直线AP 和BQ 的交点为N ,记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ,则12:k k =( ) A .13B .3C .12D .2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题13.双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为C 的左支上任意一点,直线l是双曲线的一条渐近线,PQ l ⊥,垂足为Q .当2PF PQ +的最小值为3时,1F Q 的中点在双曲线C 上,则C 的方程为( ) A .221x y -=B .22122x y -=C .2212y x -=D .2212x y -=【来源】陕西省商洛市2020-2021学年高三上学期期末数学试题14.过点()3,0P-作直线()220ax a b y b +++=(,a b 不同时为零)的垂线,垂足为M ,点()2,3N ,则MN 的取值范围是( ) A .0,55⎡+⎣B .55,5⎡⎤⎣⎦C .5,55⎡+⎣D .55,55⎡⎣15.(多选)已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点,()()12,0,,0F c F c -分别为椭圆C 的左、右焦点,2PF =21212,6F F PF PF c ⋅=,线段12,PF PF 分别交椭圆于1122,,,M N F M F P F N F P λμ==,设椭圆离心率为e ,则下列说法正确的有( ) A .若e 越大,则λ越大 B .若M 为线段1PF 的中点,则31e = C .若13μ=,则131e -=D .334eλμ=- 【来源】湖北省部分重点中学2022届高三上学期第二次联考数学试题16.(多选)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:椭圆的两条切线互相垂直,则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上,称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22,1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点,点A 在椭圆上,直线22:0l bx ay a b +--=,则( ) A .直线l 与蒙日圆相切B .C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C .记点A 到直线l 的距离为d ,则2d AF -的最小值为(323bD .若矩形MNGH 的四条边均与C 相切,则矩形MNGH 的面积的最大值为28b 【来源】湖南省永州市2021-2022学年高三上学期第二次适应性考试数学试题17.(多选)已知抛物线C :()220y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为4,过焦点F 的直线与抛物线相交于()11,M x y ,()22,N x y 两点,则下列结论中正确的是( ) A .抛物线C 的准线l 的方程为2x =- B .MN 的最小值为4C .若()4,2A ,点Q 为抛物线C 上的动点,则QA QF +的最小值为6D .122x x +的最小值2【来源】山东省滨州市2021-2022学年高三期末数学试题。
河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题(含答案)
2025届高三开学摸底联考数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟,满分150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}03,2,1,0,1,2A x x B =<<=--,则A B =∩( )A .{}0,1,2B .{}1,2C .{}2,2-D .{}2,1,1,2--2.若复数z 满足3i1iz +=+,则z =( )A B C D 3.抛物线24y x =的焦点坐标为()A .1,016⎛⎫⎪⎝⎭B .10,16⎛⎫⎪⎝⎭C .()0,1D .()1,04.双曲线()22103x y t t t-=>的离心率为( )A B C D .5.将正整数1,2,3,…按从小到大的顺序分组,第n 组含12n -个数,分组如下:()()()1,2,3,(4,5,6,7),8,9,10,11,12,13,14,15, ,则2025在第()组.A .9B .10C .11D .126.在ABC △中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3a =,4c =,且ABC △的面积)222S a c b =+-,若ABC ∠的平分线交AC 于点D ,则BD =( )A B C .D .7.已知面积为的正三角形ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,若三棱锥O ABC -的体积为,则球O 的表面积为()A .32πB .64πC .8πD .16π8.已知函数()()ππsin sin 0562f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到()g x 的图象,若()g x 在π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-,则函数()12y g x =+在[]2π,2π-上的零点个数为( )A .4B .6C .8D .10二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点,空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法:其一是一般方法,即按照“作——证——解”的顺序进行;其一是空间向量法,即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现,其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中, E F ,分别为棱AD BC ,的中点,则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图,正方体1111ABCD A B C D -,的棱长为6,点F 是棱1AA 的中点,AC 与BD 的交点为O ,点M 在棱BC 上,且2BM MC =,动点T (不同于点M )在四边形ABCD 内部及其边界上运动,且TM OF ⊥,则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为( )A B C D .79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时,异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围( )A .,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学(文科)第四次联考】在四面体ABCD 中,2BD AC ==,AB BC CD DA ====E ,F 分别为AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AC 所成的角为( )A .π6B .π4C .π3D .π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图,在三棱锥S ABC -中,SA ⊥平面ABC ,4AB BC ==,90ABC ∠=︒,侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒,M 为AC 的中点,N 是侧棱SC上一动点,当BMN △的面积最小时,异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为( )A .16B .3C D .6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中,E ,F ,G 分别为棱1AA ,11C D ,1DD 的中点,12AB AA AD ==,则异面直线EF 与BG 所成角的大小为( ) A .30B .60︒C .90︒D .120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中,2BC =,14AB BB ==,E ,F 分别是11A D ,CD 的中点,则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为( )A .34B .34-C D .6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图),其中四边形ABCD 为矩形,//EF AB ,若3AB EF =,ADE 和BCF △都是正三角形,且2AD EF =,则异面直线AE 与CF 所成角的大小为( )A .6π B .4π C .3π D .2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 为线段AB 的中点,点F 在线段AD 上移动,异面直线1B C 与EF 所成角最小时,其余弦值为( )A .0B .12C D .1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点;第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角; 第三步 得出结论.例3如图,四边形ABCD是矩形,1,AB AD ==E 是AD 的中点,BE 与AC 交于点F ,GF ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证:AF ⊥面BEG ;(Ⅰ)若AF FG =,求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为( )A .13 B. C.3 D .23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图,在五面体ABCDEF 中,面ABCD 是正方形,AD DE ⊥,4=AD ,2DE EF ==,且π3EDC ∠=.(1)求证:AD ⊥平面CDEF ;(2)求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值;GFEDCBA(3)设M 是CF 的中点,棱AB 上是否存在点G ,使得//MG 平面ADE ?若存在,求线段AG 的长;若不存在,说明理由.方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标; 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标;第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三(5月份)高考数学(理科)模拟】在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,//BC AD ,222AD BC CD ===,O 是AD 的中点,PO ⊥平面ABCD ,过AB 的平面交棱PC 于点E (异于点C ,P 两点),交PO 于F .(1)求证://EF 平面ABCD ;(2)若F 是PO 中点,且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形,上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心,且11A B A C ⊥.(1)证明:1A B ⊥平面11ACC A ;(2)求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中,2SA BC ==,SC AB ==,SB AC ==记BC 中点为M ,SA 中点为N(1)求异面直线AM 与CN 的距离; (2)求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图,四边形MABC 中,ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠=︒,MAC △是边长为2的正三角形,以AC 为折痕,将MAC △向上折叠到DAC △的位置,使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上,再将MAC △向下折叠到EAC 的位置,使平面EAC ⊥平面ABC ,形成几何体DABCE .(1)点F 在BC 上,若//DF 平面EAC ,求点F 的位置; (2)求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1.【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O ),地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角,点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A 处的纬度为北纬40︒,则晷针与点A 处的水平面所成角为 ( )A .20︒B .40︒C .50︒D .90︒2. 【2017课标II ,理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为( )A B C D 3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图,在三棱锥P ABC -的平面展开图中,1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒,则cos FCB ∠=_____________.4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图,已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形,侧面11BB C C 是矩形,,M N 分别为11,BC B C 的中点,P 为AM 上一点.过11B C 和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F .(1)证明:1AA //MN ,且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ;(2)设O 为Ⅰ111C B A 的中心,若F C EB AO 11平面∥,且AB AO =,求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值.5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中,已知CB =CD BD =2,O 为BD 的中点,AO Ⅰ平面BCD ,AO =2,E 为AC 的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;(2)若点F在BC上,满足BF=14BC,设二面角F—DE—C的大小为θ,求sinθ的值.6.【2020年高考浙江卷19】如图,三棱台DEF—ABC中,面ADFC⊥面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC =2BC.(I)证明:EF⊥DB;(II)求DF与面DBC所成角的正弦值.7.【2020年高考山东卷20】如图,四棱锥P ABCD-的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知1PD AD==,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【反馈练习】1.【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中,点E ,F 分别是线段BC ,1BB 的中点,则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为( )A B C .35 D .452.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示,点E 在棱BC 上,且2BE EC =,则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为( )A .BCD .153.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图,在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是平面11A BC 内一个动点,且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为( )A .10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .12⎡⎢⎣⎦D .1,22⎡⎢⎣⎦4.【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是棱AD ,CC 1的中点,则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为( )A .6πB .4πC .3πD .2π 5.【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图,在三棱锥A —BCD 中,AB =AC =BD =CD =3,AD =BC =2,点M ,N 分别为AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是( )A .58B .8C .78D .86.【福建省厦门市2020届高三毕业班(6月)第二次质量检查(文科)】如图,圆柱1OO 中,12OO =,1OA =,1OA O B ⊥,则AB 与下底面所成角的正切值为( )A .2BC .2D .127.【内蒙古赤峰市2020届高三(5月份)高考数学(理科)】若正方体1AC 的棱长为1,点P 是面11AA D D 的中心,点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点,且//PQ 面11AA B B ,则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8.【吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中、白城一中等)2020届高三第五次模拟联考】如图,已知直三棱柱ADF BCE -,AD DF ⊥,2AD DF CD ===,M 为AB 上一点,四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512,则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9.【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上一点,PA ⊥平面ABC ,E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点,点M 是线段AB 上任意一点,若2AP AC BC ===.(1)求异面直线AE 与BC 所成的角:(2)若三棱锥M AEF -的体积等于19,求AM BM10.【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 是边长为2的等边三角形,侧面11BCC B 为菱形,且平面11BCC B ⊥平面ABC ,160CBB ∠=︒,D 为棱1AA 的中点.(1)证明:1BC ⊥平面1DCB ;(2)求二面角11B DC C --的余弦值.11.【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学(理)】如图,四边形ABCD 为菱形,120ABC ∠=︒,四边形BDFE 为矩形,平面BDFE ⊥平面ABCD ,点P 在AD 上,EP BC ⊥.(1)证明:AD ⊥平面BEP ;(2)若EP 与平面ABCD 所成角为60°,求二面角C PE B --的余弦值.12.【广西南宁三中2020届高三数学(理科)考试】如图1,在直角ABC 中,90ABC ∠=︒,AC =AB =D ,E 分别为AC ,BD 的中点,连结AE 并延长交BC 于点F ,将ABD △沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,如图2所示.(1)求证:AE CD ⊥;(2)求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13.【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二,其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形,在三棱锥P ABC -中:(1)证明:平面PAC ⊥平面ABC ;(2)若M 是PA 的中点,求二面角P BC M --的余弦值.14.【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为菱形,侧面PBC 为正三角形,平面PBC ⊥平面ABCD ,3ABC π∠=,点M 为AD 中点.;(1)求证:CM PB(2)若点N是线段PA上的中点,求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。
高三第二轮 尖子生 专练11 反应热选择题40题- (原卷版)
专练11 反应热选择题一、盖斯定律应用型 1.(2021年1月高三八省联考河北卷)已知25℃、101kPa 下,1mol 水蒸发为水蒸气需要吸热44.01kJ2H 2O (l )2H 2(g )+O 2(g )∆H =+571.66kJ ·mol -1C (s )+H 2O (g )CO (g )+H 2(g )∆H =+131.29kJ ·mol -1 则反应C (s )+21O 2(g )CO (g )的反应热为( )。
A .∆H =-396.36kJ ·mol -1 B .∆H =-198.55kJ ·mol -1 C .∆H =-154.54kJ ·mol -1 D .∆H =-110.53kJ ·mol -12.(2021年1月高三八省联考辽宁卷)己知(g )+H 2(g )CH 3CH 2CH 3(g )△H =-157kJ/mol 。
已知环丙烷(g )的燃烧热△H =-2092kJ ·mol -1,丙烷(g )的燃烧热△H =-2220kJ ·mol -1,1mol 液态水蒸发为气态水的焓变为△H =+44kJ ·mol -1。
则2mol 氢气完全燃烧生成气态水的△H (kJ ·mol -1)为( )。
A .-658B .-482C .-329D .-285 3.(河南省百强名校2022届高三上学期11月联考)用一氧化碳还原氮氧化物,可防止氮氧化物污染。
已知:ⅰ.2C (s )+O 2(g )2CO (g )△H =-221kJ ·mol -1ⅱ.N 2(g )+O 2(g )2NO (g )△H =+180kJ ·mol -1ⅲ.2CO (g )+2NO (g )2CO 2(g )+N 2(g )△H =-747kJ ·mol -1 则12gC (s )完全燃烧所放出的热量为( )。
河南省名校九师联盟2020-2021学年高三1月联考语文试题
河南省名校九师联盟2020-2021学年高三1月联考语文试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、论述类文本阅读阅读下面的文字,完成各题。
“中国文化精神”实际上就是中华民族的“文化基因”,这一概念涵盖了中华民族文化相对于世界上其他族群的不同的、差异性的内容与特征,也涵盖了能够得到不断延续的中国文化的主要内容与特征。
中国人有着天、地、人、物、我之间的相互感通、整体和谐、动态圆融的观念与智慧。
中华民族长期的生存体验形成了我们对于宇宙世界的独特的觉识与“观法”和特殊的信仰与信念,即打破了天道与性命之间的隔阂,打破了人与超自然、人与自然、人与他人、人与内在自我的隔膜,肯定彼此的对话、包涵、相依相待、相成相济。
与这种宇宙观念相联系的是宽容、平和的心态,有弹性的、动态统一式的中庸平衡的方法论。
“天人合一”体现了中国哲学精神中存有的连续和有机的整体。
中国文化重视人与自然之间,各族群、民族之间,人与人之间的和谐统一的关系。
所谓“天人合一”,包含有经过区分天人、物我之后,重新肯定的人与自然的统一,强调的是顺应自然而不是片面征服、绝对占有自然。
中国人在观念上形成了“和而不同”、“协合万邦”、“天下一家”的文化理想,既重视各民族、族群及其文化、宗教的分别性、独特性,又重视和合性、统一性。
在人与人的关系问题上,善于化解与超越分别与对立,主张仁爱、和平、和为贵与协调性,有民胞物与的理想,厚德载物,兼容并包,爱好和平,从不侵略别人,反对以力服人,主张“远人不服,则修文德以来之”。
中国文化是“尊生”、“重生”、创造日新的文化,所崇拜的“生”即创造性本身。
“天行健,君子以自强不息;地势坤,君子以厚德载物。
”人们效法天地的,就是这种不断进取、刚健自强的精神与包容不同的人、事物与文化、思想的胸怀。
人在天地之中,深切体认了宇宙自然生机蓬勃、盎然充满、创进不息的精神,进而尽参赞化育的天职;由此产生了真善美统一的人格理想,视生命之创造历程为人生价值实现的历程。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题,与函数图象相结合问题、最值问题,探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查,探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性,对学生的能力要求较高,有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性,是新课程下高考命题改革的重要方向之一;开放性问题,一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中,不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中,这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查,图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化,求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩,考查空间想象能力和分析辨别能力,是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1.如图,等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱,2AB =,直角边AE 绕斜边AB 旋转一周,在旋转的过程中,三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球,则当此正四棱锥的体积最大时,其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2.已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ,Q ,R 分别是棱SA ,AB ,AC 的中点,若PQR 是等腰直角三角形,则该三棱锥的外接球的表面积为______.【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测(一)文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中,对角线23BD =,将ABD △沿着BD 折叠,使得二面角A BD C --为120°,AC 33= ,则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学(理)期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 为线段11A D 上的点,过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体,其截面图形为M ,下列命题中正确的是______. ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦;②M 的面积最大值为334; ③M 的周长为定值.【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学(理)试题【举一反三】如图,点C 在以AB 为直径的圆周上运动(C 点与A ,B 不重合),P 是平面ABC 外一点,且PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==,过C 点分别作直线AB ,PB 的垂线,垂足分别为M ,N ,则三棱锥B CMN -体积的最大值为______.【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷(新高考)数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点,且满足2,2PA PB AB ==,则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,棱1BB ,11B C 的中点分别为E ,F ,点P 在平面11BCC B 内,作PQ ⊥平面1ACD ,垂足为Q .当点P 在1EFB △内(包含边界)运动时,点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________.【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1.已知在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ,其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点,则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2.已知二面角PAB C 的大小为120°,且90PAB ABC ∠=∠=︒,AB AP =,6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3.四面体A BCD -中,AB BC ⊥,CD BC ⊥,2BC =,且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒,若四面体ABCD 的外接球半径为5,则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4.我国古代《九章算术》中将上,下两面为平行矩形的六面体称为刍童,如图的刍童ABCD EFGH -有外接球,且43,4,26,62AB AD EH EF ====,点E 到平面ABCD 距离为4,则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5.已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π,则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______.【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6.已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形,且13BC BB =,点M 是线段BC 的中点,点N 在矩形11DCC D 内运动(含边界),且满足AND CNM ∠=∠,则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试(全国卷11月)文科数学试卷7.矩形ABCD 中,3,1AB BC ==,现将ACD △沿对角线AC 向上翻折,得到四面体D ABC -,则该四面体外接球的表面积为______;若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化,则点D 的运动轨迹的长度是______.【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8.如图,在四面体ABCD 中,AB ⊥BC ,CD ⊥BC ,BC =2,AB =CD =23,且异面直线AB 与CD 所成的角为60,则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9.已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π,PB ⊥平面ABC ,8PB =,120BAC ∠=︒,则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10.已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形,且内接于球O ,若此三棱柱111ABC A B C -的高为2,体积是1,则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷(一)数学(理)试题11.如图,已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形,P 为棱11A D 的中点,且6PA AB ==,则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题(7)12.如图所示,在三棱锥B ACD -中,3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=,3AB =,2BC BD ==,则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学(理)试题13.在三棱锥P ABC -中,平面PAB 垂直平面ABC ,23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒,则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题14.已知A ,B ,C ,D 205的球体表面上四点,若4AB =,2AC =,23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________.【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,AB ⊥AD ,22CD AD AB ===,3PA =,若动点Q 在PAD △内及边上运动,使得CQD BQA ∠=∠,则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16.已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π,且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点,则FMN 的周长为______.【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,AC CB ⊥,4===PA AC BC .以A 为球心,表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______.【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,过点A 的平面α分别与棱1BB ,1CC ,1DD 交于点E ,F ,G ,记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ,四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论:①四边形AEFG 是平行四边形; ②12S S +的最大值为2; ③12S S 的最大值为14;④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196,在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体,并且正四面体在该圆柱内可以任意转动,则a 的最大值为__________.【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学(文)试题20.在三棱锥P -ABC 中,P A =PB =PC =2,二面角A -PB -C 为直二面角,∠APB =2∠BPC (∠BPC <4π),M ,N 分别为侧棱P A ,PC 上的动点,设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时,则三棱锥P -ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21.体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ,四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1,则点P 的轨迹长度为_______________________.22.如图,在ABC 中,2BC AC =,120ACB ∠=︒,CD 是ACB ∠的角平分线,沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置,使得平面A CD '⊥平面BCD .若63A B '=,则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________.【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23.在三棱锥P ABC -中,4AB BC ==,8PC =,异面直线P A ,BC 所成角为π3,AB PA ⊥,AB BC ⊥,则该三棱锥外接球的表面积为______.【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是CD 的中点,F 是1CC 上的动点,则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点M ,N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点),则下列说法正确的是___________.①当M 为棱11B C 的中点时,则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥;②当M ,N 分别为棱11,B C CD 的中点时,则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行;③当M ,N 分别为棱11,B C CD 的中点时,则过1A ,M ,N 三点作正方体的截面,所得截面为五边形; ④直线MN 与平面ABCD 2;⑤若正方体的棱长为2,点1D 到平面1A MN 2.【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
名校联盟2020_2021学年高一化学下学期开学考试试题
河南省名校联盟2020—2021学年高一化学下学期开学考试试题【共100分】一、选择题:本题共16小题,每小题3分,共48分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
化学与生活、社会发展息息相关,下列说法不正确的是( ) A.“霾尘积聚难见路人”,雾霾所形成的气溶胶有丁达尔效应 B 。
“熬胆矾铁釜,久之亦化为铜”,该过程发生了置换反应C 。
“千淘万漉虽辛苦,吹尽狂沙始到金”体现了当时人们已经学会了运用化学方法的淘金方式D.“春蚕到死丝方尽,蜡炬成灰泪始干”诗句中涉及氧化还原反应 2.下列有关化学用语的表示方法中正确的是( ) A.次氯酸的电子式:B 。
M 2+离子核外有a 个电子,b 个中子,M 原子符号为C 。
用电子式表示MgCl 2的形成过程为:D.Na +的结构示意图:3.下列叙述中,不正确的是( ) A 。
()332232CaCO Ca HCO Cu (OH)CO 、、都属于碳酸盐B.HCl 、纯碱、醋酸钠和生石灰分别属于酸、碱、盐和氧化物C.蓝矾()42CuSO5H O ⋅和干冰属于化合物,铁矿石属于混合物D.通过化学反应,可由2Ba(OH)一步转化生成NaOH4.在配制一定物质的量浓度的盐酸时,下列操作可使所配溶液浓度偏高的是( )A 。
未将洗涤烧杯和玻璃棒的溶液移入容量瓶B 。
用量筒量取浓盐酸时,仰视读数 C.定容时水加多了,加多的水用滴管吸出 D.溶解搅拌时造成液体溅出5。
废水脱氮工艺中有一种方法是在废水中加入过量NaClO 使+4NH 完全转化为2N ,该反应可表示为22++4C O ==N 3C 2NH3l l 3H 2H O--++++下列说法中,不正确的是( ) A 。
氧化性2ClO N -> B 。
还原性+4NHl C -<C 。
反应中氮元素被氧化,氣元素被还原D 。
经此法处理过的废水不可以直接排放 6。
下列说法正确的是( ) A.3NaHCO 的电离方程式为233NaHCONa H CO ++-=++B 。
专题14 不等式选讲解答题30题 学生版--高考数学专题训练
专题14不等式选讲解答题30题1.(2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(五)理科数学试题(全国卷))已知函数() 2 1f x x a x =-++,() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象,并求出其值域;(2)若()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.2.(陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题)已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时,求不等式()9f x ≥的解集;(2)若()2f x >,求a 的取值范围.3.(陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题)已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m .(1)求不等式()5f x ≤的解集;(2)若a ,b 都是正数且ab m =,求2a b +的最小值.4.(江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学(文)试题)已知a ,b 均为正数,且2226a b +=,证明:(1)2a b +≤(2)12a b +≥5.(河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题)已知()223f x x x =++-.(1)求不等式()5f x ≤的解集;(2)若()f x 的最小值为m ,正实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,求证:11192a b b c a c m++≥+++.6.(河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题)已知函数()121f x x x =++-.(1)求不等式()8f x <的解集;(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ,且正实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,求证:2222a b c b c a++≥.7.(河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题)已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时,求不等式()0f x 的解集;(2)当1a -时,若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方,证明:232b a ->.8.(河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题)已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时,求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立,求a 的取值范围.9.(青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学(文)试题)已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =,2b =,求不等式()8f x >的解集;(2)若()f x 的最小值为1,求1123a b b++的最小值.10.(2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四))已知函数()223f x x a x =-++,()12g x x =-+.(1)解不等式()5g x <.(2)若对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立,求实数a 的取值范围.11.(甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学(文科)试题)已知函数()|21|,()||f x x g x x a=+=+(1)当0a =时,解不等式()()f x g x ≥;(2)若存在x ∈R ,使得()()f x g x ≤成立,求实数a 的取值范围.12.(安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题)已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时,求不等式()10f x 的解集;(2)若()4f x 恒成立,求实数m 的取值范围.13.(河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题)设函数()1f x x a x a =-+++.(1)当0a =时,求不等式()21f x x <+的解集;(2)若关于x 的不等式()2f x <有解,求实数a 的取值范围.14.(山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题)(1)解不等式217x x -+-;(2)若正实数,a b 满足1a b +=,求2211a b b a +++的最小值.15.(山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题)已知函数()2R f x x m m =+-∈,,且()0f x <的解集为[3,1]--.(1)求m 的值;(2)设a ,b ,c 为正数,且a b c m ++=,的最大值.16.(山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题)已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时,求不等式()8f x <的解集;(2)当[]1,2x ∈时,()0f x ≥,求a 的取值范围.17.(内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题)已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时,求不等式()0f x ≥的解集;(2)若(),2x ∈-∞时,()0f x <,求m 的取值范围.18.(内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题)已知函数()|||2|f x x a x =++-,其中a 为实常数.(1)若函数()f x 的最小值为3,求a 的值;(2)若当[]1,2x ∈时,不等式()|4|f x x ≤-恒成立,求a 的取值范围.19.(内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题)已知m ≥0,函数()212f x x x m =--+的最大值为4,(1)求实数m 的值;(2)若实数a ,b ,c 满足2a b c m -+=,求222a b c ++的最小值.20.(宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题)已知函数f (x )=2|x +1|+|x -3|.(1)求不等式f (x )>10的解集;(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ,正数a ,b ,c 满足a +b +c =M ,证明2228a b c c a b++≥.21.(河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷)已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集;(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ,若0a >,0b >,20a b m +-=,证明:189a b+≥.22.(新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考(全国乙卷)数学(理)试题)已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时,求不等式()2f x >的解集;(2)若存在[]2,4x ∈,使得()0f x ≤,求a 的取值范围.23.(江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(理)试题)已知函数()31f x x =-+.(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集;(2)若对任意的0x >,关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立,求a 的取值范围.24.(江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学(理)试题)已知函数()212f x x x =+++的最小值为m .(1)求m 的值;(2)设,,a b c 为正数,且a b c m ++=,求证:2222222a b c a b c c b a+++++≥.25.(2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟(三模)文科数学试题)已知函数()11f x x x =-++.(1)求不等式()3f x <的解集;(2)若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点,求实数m 的取值范围.26.(广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试(一模)数学(文)试题)已知函数()21,R f x x a a =-+∈,(1)当3a =时,求()f x 的最小值;(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈,不等式()f x >a 的取值范围.27.(贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学(文)试题)已知0,0a b >>,函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3.(1)求a b +的值;(2)求证:3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭.28.(贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试(一)数学(文)试题)已知函数()2f x a x x =-++.(1)当1a =付,求不等式()4f x ≤的解集;(2)若()2f x a >-恒成立,求实数a 的取值范围.29.(贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(文)试题)设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈.(1)求证:115236a b -<;(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小,并说明理由.30.(广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学(文)试题)已知函数()|21||1|f x x ax =++-.(1)当2a =时,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若0a >时,存在x ∈R ,使得()12a f x <+成立,求实数a 的取值范围.。
河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学含答案
河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(答案在最后)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语,函数与导数,不等式,三角函数与解三角形,平面向量,复数,数列.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{25},{2126}A xx B x a x a =-<<=-<<+∣∣,若{35}A B x x =<< ∣,则a =A.1B.2C.3D.42.已知a b c >>,则下列不等式一定成立的是A.ab bc> B.22ac bc> C.a ba c a c>-- D.()()a a cb bc ->-3.在等比数列{}n a 中,42327a a a ==,则6a =A. B.81C. D.2434.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛,若该比赛的冠军只有1人,则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知2cos(),tan tan 33αβαβ-==,则cos()αβ+=A.13-B.23-C.13D.236.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,在化学中,常用pH 值来表示溶液的酸碱度.pH 的计算公式为()pH lg Hc +=-,其中()H c +表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.已知A 溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升,则A 溶液的pH 值约为(参考数据:lg 20.301,lg30.477)≈≈A.0.268B.0.87C.1.13D.1.877.如图,AB 是圆O 的一条直径,CD 是圆O 的一条弦,点P 在线段CD 上,若10,AB CD ==6,则22PA PB+ 的最小值是A.41B.50C.82D.1008.已知函数π()3cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在(0,π)内恰有两个零点,则ω的取值范围是A.47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.47,33⎛⎤⎥⎝⎦D.1117,66⎛⎤⎥⎝⎦二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.9.已知复数53i1iz -=-,则A.4i z =-B.15z z ⋅=C.|2|5z z -= D.3z -在复平面内对应的点位于第一象限10.设ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若3a =(2)cos cos b c A a C -=,则下列结论正确的是A.π6A =B.ABC 的外接圆的面积是πC.ABC 的面积的最大值是334D.2b c -的取值范围是(3,3)-11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且()(4)f x f x =-,当02x < 时,2()2f x x x =-,则A.(3)1f =- B.()f x 的图象关于直线1x =对称C.()f x 的图象关于点(4,0)中心对称D.当46x 时,2()1024f x x x =-+-三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量(1,1),(2,1)a b =-= ,若()ka b a +⊥,则k =______.13.正偶数排列如图所示,()(,),a m n m n +∈N 表示第m 行第n 个数,如(4,3)a 18=,若(,)2024a m n =,则m n -=______.14.已知函数()ln e axf x x a =-,若对任意的1,()0ex f x 成立,则正数a 的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且πsin sin 3b A a B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求A 的大小;(2)若4a =,且ABC的面积是,求b c +的值.16.(15分)已知函数32()25f x x x x =-+-.(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程;(2)若过点(1,)(3)m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线,求m 的取值范围.17.(15分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且231n n S a =-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若3, log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(17分)已知函数π()cos()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式;(2)求()f x 的单调递减区间;(3)若存在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,使得不等式2()210f x a a ++-成立,求a 的取值范围.19.(17分)若存在有限个0x ,使得()()00f x f x -=,且()f x 不是偶函数,则称()f x 为“缺陷偶函数”,0x 称为()f x 的偶点.(1)证明:5()h x x x =+为“缺陷偶函数”,且偶点唯一.(2)对任意,x y ∈R ,函数(),()f x g x 都满足2()()()2()f x f y g x g y x y ++-=+.①若()g x y x=是“缺陷偶函数”,证明:函数()()F x xg x =有2个极值点.②若(3)2g =,证明:当1x >时,()21()ln 12g x x >-.参考数据:1ln2.2362+≈≈.沧衡名校联盟高三年级2024-2025学年上学期期中考试数学参考答案1.B 由题意可得265,213a a +⎧⎨-=⎩,解得2a =.2.C 对于A ,当1,1,2a b c ==-=-时,不满足ab bc >,则A 错误.对于B ,当0c =时,2ac =2bc ,则B 错误.对于C ,因为a b c >>,所以0a c ->,所以10a c >-,则a ba c a c>--,故C 正确.对于D ,当1,2,3a b c =-=-=-时,不满足()()a a c b b c ->-,则D 错误.3.D 设数列{}n a 的公比为q ,则3211127a q a q a q =⋅=,解得11,3a q ==,故561243a a q ==.4.B 若甲是冠军,则乙不是冠军;若乙不是冠军,则甲是冠军或丙是冠军.故“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.5.A 由题意可得2cos cos sin sin 3sin sin 3cos cos αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11cos cos ,sin sin 62αβαβ==,则cos(α+1)cos cos sin sin 3βαβαβ=-=-.6.B 由题意得pH lg 0.135lg13533lg3lg533lg3lg 220.87=-=-+=--+=-++≈.7.C 如图,连接PO .由题意得O 是线段AB 的中点,所以OA OB =-.因为,PA PO OA PB PO OB PO OA =+=+=-,所以22PA PO =+ 22222,2PO OA OA PB PO PO OA OA ⋅+=-⋅+ ,所以22PA PB += 2222PO OA + .因为10,6AB CD ==,所以圆心O 到直线CD 的距离d=4=,所以4||5PO,所以228222PO OA +100,故22PA PB + 的最小值是82.8.D 因为0π,0x ω<<>,所以ππππ333x ωω-<-<-.因为()f x 在(0,π)内恰有两个零点,所以3ππ5ππ232ω<- ,解得111766ω< .9.ACD因为2253i (53i)(1i)55i 3i 3i 4i1i (1i)(1i)1i z --++--====+--+-,所以4i z =-,所以24z z ⋅=2i 17-=,则A 正确,B 错误.因为243i z z -=-+,所以|2|5z z -=,则C 正确.因为3z -=1i +,所以3z -在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,则D 正确.10.BCD 因为(2)cos cos b c A a C -=,所以2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=,所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B =+=+=,因为sin 0B ≠,所以cos A =12,又0πA <<,所以π3A =,则A 错误.设ABC 的外接圆的半径为R ,由正弦定理可得22sin aR A==,则ABC 的外接圆的面积是2ππR =,则B 正确.由余弦定理可得22a b =+22cos c bc A -,即223b c bc +-=.因为222b c bc + ,当且仅当b c =时,等号成立,所以bc 3,所以ABC 的面积1333sin 244S bc A bc ==,则C 正确.由正弦定理可得sin a A =2sin sin b c B C ==,则2π2sin ,2sin 2sin sin3b B c C B B B ⎛⎫===-=+ ⎪⎝⎭,所以2b c -=π3sin6B B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为2π03B <<,所以πππ662B -<-<,所以12-<πsin 16B ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,所以π6B ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭,即2b c -的取值范围是(,故D 正确.11.ACD 因为()(4)f x f x =-,所以(3)(1)f f =,因为2()2(02)f x x x x =-< ,所以(3)(1)1f f ==-,则A 正确.因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,所以(1)(1)1f f -=-=.因为(1)(3)f f -≠,所以()f x 的图象不关于直线1x =对称,则B 错误.因为()(4)f x f x =-,所以()(4)f x f x -=+.因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,所以(4)(4)f x f x +=--,所以()f x 的图象关于点(4,0)中心对称,则C 正确.因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,所以当02x时,2()2f x x x =-.设46x ,则042x - ,所以22(4)(4)2(4)f x x x x -=---=1024x -+.因为()(4)f x f x =-,所以2()(4)1024f x f x x x =--=-+-,则D 正确.12.12因为(1,1),(2,1)a b =-= ,所以(2,1)ka b k k +=-+ .因为()ka b a +⊥ ,所以()ka b + (2)10a k k ⋅=--++= ,解得12k =.13.23由题意可知第n 行有n 个数,则前n 行一共有(1)2n n +个数.当44n =时,(1)2n n +=9901012<,当45n =时,(1)103510122n n +=>,则2024在第45行,即45m =.因为101299022-=,所以22n =,则452223m n -=-=.14.1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭由()0f x,即ln e 0ax x a - ,得ln e axx a .因为1ex ,所以ln e axx x ax e ln e ax ax =.设()ln g x x x =,则()ln 1g x x '=+.因为1e x ,所以()0g x ' ,所以()g x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.因为ln e ln e ax ax x x ,所以()()e ax g x g .因为0ax >,所以e ax >1,又因为()g x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增,所以e axx ,所以ln x ax ,所以ln x a x .设h ln ()x x x =,则21ln ()x h x x'-=.由()0h x '<,得e x >,则()h x 在(e,)+∞上单调递减;由()0h x '>,得0e x <<,则()h x 在(0,e)上单调递增.故1()(e)e h x h = ,即1ea .15.解:(1)因为πsin sin 3b A a B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以πsin sin sin sin .3B A A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π…………………1分因为0πB <<,所以sin 0B ≠,所以πsin sin 3A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,………………………………………2分所以1sin cos sin 22A A A -=,即1sin cos 22A A =-,………………………………………4分所以tan A =,又0πA <<,所以2π3A =.……………………………………………………6分(2)因为ABC 的面积是1sin 24bc A bc ==4bc =.……………………8分由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,即2216b c bc ++=,…………………………………9分则2()16b c bc +-=,…………………………………………………………………………………11分即2()1620b c bc +=+=,…………………………………………………………………………12分故b c +=分16.解:(1)因为32()25f x x x x =-+-,所以2()322f x x x '=-+,……………………………1分所以(1)3,(1)3f f '=-=,………………………………………………………………………………3分则所求切线方程为(3)3(1)y x --=-,即36y x =-(或360x y --=).………………………5分(2)设过点(1,)(3)m m ≠-的切线的切点为()00,x y .由(1)可知2()322f x x x '=-+,则所作切线斜率()2000322k f x x x '==-+.…………………6分由直线的斜率计算公式可得320000002511y m x x x mk x x --+--==--,……………………………………7分则322000000253221x x x m x x x -+--=-+-,所以3200024230x x x m -+++=.………………………8分因为过点(1,)(3)m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线,所以关于0x 的方程320024x x -+0230x m ++=有三个不同的实数根.……………………………………………………………………………………9分设函数32()2423g x x x x m =-+++,则2()6822(31)(1)g x x x x x '=-+=--.………………10分由()0g x '>,得13x <或1x >,则()g x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递增;……………………11分由()0g x '<,得113x <<,则()g x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.…………………………………………12分由题意可得3232111124230,3333(1)21412130,g m g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯-⨯+⨯++<⎧⎪⎨⎪⎩………………………………………14分解得89327m -<<-,即m 的取值范围为89,327⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………………………………………15分17.解:(1)因为231n n S a =-,所以当2n 时,11231n n S a --=-,………………………………1分所以1233(2)n n n a a a n -=- ,即13(2)n n a a n -= .……………………………………………………3分当1n =时,1112231S a a ==-,解得11a =,………………………………………………………4分则{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列,……………………………………………………………5分故1113n n n a a q --==.……………………………………………………………………………………7分(2)由(1)可知当n 为奇数时,13n n n b a -==;当n 为偶数时,3log 1n n b a n ==-.……………………………………………………………………8分当n 为奇数时,()()1352461n n n T b b b b b b b b -=+++++++++ ()2411333(1352)n n -=+++++++++- 11221(12)1932412;1928n n n n n n ++-+-⋅-+-+=+=-…………………………………………………11分当n 为偶数时,()()1351246n n n T b b b b b b b b -=+++++++++ ()2421333(1351)n n -=+++++++++- 22(11)1932121928n n nn n +-⋅-+-=+=-.………………………………………………………………14分综上,1223241, , 8321, 8n n n n n n T n n +⎧+-+⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数.………………………………………………………15分18.解:(1)由题意可得311π1π3π412234T =-⨯=,则πT =.因为2π||T ω=,且0ω>,所以2ω=.………………………………………………………………2分由图可知11π11πcos 0126f A ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则11πππ()62k k ϕ+=+∈Z ,解得4ππ()3k k Z ϕ=-∈.因为π02ϕ-<<,所以π3ϕ=-.……………………………………………………………………3分由图可知π1(0)cos 132f A A ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,解得2A =.……………………………………………4分故π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.……………………………………………………………………………5分(2)令π2π 2.2ππ()3k x k k -+∈Z ,…………………………………………………………7分解得π2πππ()63k x k k ++∈Z ,…………………………………………………………………9分故()f x 的单调递减区间是π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .………………………………………………10分(3)因为π02x -,所以4πππ2333x --- ,…………………………………………………11分所以当π2π3x -=-,即π3x =-时,()f x 取得最小值-2.…………………………………………13分因为存在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,使得不等式2()210f x a a ++-成立,所以2221a a -++- 0,……15分即2230a a +- ,解得31a - ,故a 的取值范围是[3,1]-.………………………………………17分19.证明:(1)由()()h x h x -=,得55()x x x x -+-=+,则()()542210x xx x +=+=,…………………………………………………………………………1分解得0x =,所以()h x 只有1个偶点,且偶点为0,所以5()h x x x =+为“缺陷偶函数”,且偶点唯一.……………………………………………………3分(2)由题意得2()()()2()f x g x x f y g y y +-=-++对,x y ∈R 恒成立,………………………4分所以存在常数a ,使得2()()()2().f x g x x f y g y y a +-=-++=…………………………………5分令y x =,得2()(),()2(),f x g x x a f x g x x a ⎧+-=⎨-++=⎩解得22()3x x ag x -+=.……………………………………6分①()21333g x x a y x x ==+-,由()()g x g x x x -=-,得2033x ax+=,即22(0)x a x =-≠,则20a ->,即0a <.…………………………………………………………7分3222322()()()33x x ax x x aF x xg x F x '-+-+===,因为4240a ∆=->,所以()0F x '=必有两根12,x x (设12x x <),………………………………8分当1x x <或2x x >时,()0F x '>,当12x x x <<时,()0F x '<,所以函数()()F x xg x =有2个极值点12,x x .…………………………………………………………9分②若62(3)23a g +==,则20,()3x x a g x -==,…………………………………………………10分当1x >时,要证()21()ln 12g x x >-,只需证()223ln 12x x x ->-.因为22(34)(2)0x x x x ---=- ,所以234x x x --,所以只需证()2334ln 12x x ->-.……………………………………………………………………12分设函数()23()34ln 1(1)2p x x x x =--->,则()()222316()3(1)121x x x p x x x x '--=-=>--.当112x <<时,()0p x '<,则()p x在11,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,当12x +>时,()p x '>0,则()p x在1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,………………………………………………………………14分所以min 1()2p x p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.因为211122⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭,所以min 3353153 2.23653()4ln 0.4810.132522222p x +⨯-=--≈-⨯=,………………16分所以min ()0p x >,从而()23()34ln 102p x x x =--->,故当1x >时,()21()ln 12g x x >-.……………………………………………………………………17分。
专题04 恒成立问题(文理通用)(含详细答案)
专题04 恒成立问题一、单选题1.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+,且当1x <时,()x xf x e=,则满足()()35f f -的值 A .恒小于0 B .恒等于0 C .恒大于0D .无法判断2.()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数,其中的导函数为,满足对于()()f x f x '<恒成立,则下列各式恒成立的是A .2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B .2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C .2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D .2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3.已知0a >,0b >,下列说法错误的是 A .若1b a a b ⋅=,则2a b +≥ B .若23a b e a e b +=+,则a b > C .()ln ln a a b a b -≥-恒成立D .ln 0b ba a e+≥恒成立 4.若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点,数列{}n a 满足11a =,23a =,设31log n n b a +=,记[]x 表示不超过x 的最大整数.设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦,若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立,则实数t 的最大值为 A .2020 B .2019 C .2018D .1010二、多选题1.若满足()()'0f x f x +>,对任意正实数a ,下面不等式恒成立的是 A .()()2f a f a < B .()()2af a ef a >-C .()()0>f a fD .()()0a f f a e>2.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立,则下列选项不正确的是 A .2(2)(1)f f e> B .2(2)(1)f f e< C .()10f >D .()10f ->3.已知函数()cos sin f x x x x =-,下列结论中正确的是 A .函数()f x 在2x π=时,取得极小值1-B .对于[]0,x π∀∈,()0≤f x 恒成立C .若120x x π<<<,则1122sin sin x x x x < D .若sin x a b x <<,对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为14.已知函数()2f x x x=-,()()πcos 5202xg x a a a =+->,.给出下列四个命题,其中是真命题的为A .若[]1,2x ∃∈,使得()f x a <成立,则1a >-B .若R x ∀∈,使得()0g x >恒成立,则05a <<C .若[]11,2x ∀∈,2x ∀∈R ,使得()()12f x g x >恒成立,则6a >D .若[]11,2x ∀∈,[]20,1x ∃∈,使得()()12f x g x =成立,则34a ≤≤ 5.当1x >时,()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立,则整数k 的取值可以是 A .2- B .1- C .0D .16.下列不等式中恒成立的有 A .()ln 11xx x +≥+,1x >- B .11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,0x > C .1x e x ≥+ D .21cos 12x x ≥-1.函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+,若()()f x g x ≥恒成立,则实数c 的取值范围是___________. 2.若[,)x e ∀∈+∞,满足32ln 0mxx x me -≥恒成立,则实数m 的取值范围为___________.3.已知函数()()21ax x xf x x ++=≥,若()0f x '≥恒成立,则a 的取值范围为___________.4.已知函数()ln f x x x =-,若()10f x m -+≤恒成立,则m 的取值范围为___________. 5.若函数()0x f x e ax =->恒成立,则实数a 的取值范围是___________.6.当[1,2]x ∈-时,32122x x x m --<恒成立,则实数m 的取值范围是___________. 7.若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立,则实数m 的取值范围为___________.8.已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--,若()0f x <恒成立,则a 的取值范围是___________.9.已知函数()1x f x e ax =+-,若0,()0x f x 恒成立,则a 的取值范围是___________.10.不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的,请你只对该不等式中的数字作适当调整,使得不等式恒成立,请写出其中一个恒成立的不等式:___________.11.已知()ln f x x x m x =--,若()0f x >恒成立,则实数m 的取值范围是___________.12.已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩,若()1f x ax ≥-恒成立,则a 的取值范围是___________.13.函数()2cos sin f x x x x x =+-,当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x ax ≤恒成立,则实数a 的取值范围是___________. 14.已知0a <,且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立,则a 的值是___________.15.若对任意实数(],1x ∈-∞,2211xx ax e-+≥恒成立,则a =___________.1.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ,2x ,则a 的取值范围___________;且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则实数t 的取值范围___________.2.对任意正整数n ,函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---,若(2)0f ≥,则λ的取值范围是___________;若不等式()0f n ≥恒成立,则λ的最大值为___________.3.已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>.(1)当1a =时,()f x 的极小值为___________;(2)若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立,则实数a 的取值范围为___________. 4.已知函数()()221xf exx x =-+,则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________,若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立,则实数a 的取值范围为___________.5.设函数()32f x ax bx cx =++(a ,b ,R c ∈,0a ≠)若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立,则a =___________,b ca+的取值范围为___________. 6.已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数,函数()()xg x f x xe -=+,则a =___________;若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立,则m 的取值范围为___________. 五、解答题1.已知函数()sin f x x ax =-,()=ln 1xg x x x e -+,2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数. (1)当()0,x π∈,()0f x <恒成立,求a 的取值范围;(2)当0a =时,记()()()h x f x g x =+,求证:对任意()1,x ∈+∞,()0h x <恒成立. 2.已知函数()1x f x ae x =--(1)若()0f x ≥对于任意的x 恒成立,求a 的取值范围 (2)证明:1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3.若对任意的实数k 、b ,函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切,则称函数()f x 为“恒切函数”.(1)判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”;(2)若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”,求实数m 、n 满足的关系式;(3)若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”,求证:104m -<≤. 4.已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-.(1)若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立,求实数a 的最大值; (2)若()0f x ≥恒成立,求正整数a 的最大值.专题04 恒成立问题一、单选题1.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+,且当1x <时,()x xf x e=,则满足()()35f f -的值 A .恒小于0 B .恒等于0 C .恒大于0D .无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考(理) 【答案】C【分析】当1x <时,求导,得出导函数恒小于零,得出()f x 在(),1-∞内是增函数.再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称,从而得()f x 在()1,+∞内是减函数,由此可得选项.【解析】当1x <时,'1()0xx f x e -=->,则()f x 在(),1-∞内是增函数. 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称,所以()f x 在()1,+∞内是减函数, 所以()()350f f ->.故选C .2.()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数,其中的导函数为,满足对于()()f x f x '<恒成立,则下列各式恒成立的是A .2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B .2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C .2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D .2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试(理) 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =,求出'()0F x >,得到该函数为R 上的增函数,故得(0)(1)F F <,(0)(2018)F F <,从而可得到结论.【解析】设()()x f x F x e =,x R ∈(),所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-, 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<',所以'()0F x >,所以()F x 是R 上的增函数,所以(0)(1)F F <,(0)(2018)F F <,即(1)(0)f f e <,2018(2018)(0)f f e <, 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >).故故选B .3.已知0a >,0b >,下列说法错误的是 A .若1b a a b ⋅=,则2a b +≥ B .若23a b e a e b +=+,则a b > C .()ln ln a a b a b -≥-恒成立D .ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ,不妨令01a <≤,1b ≥,则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1baa b ⋅=即11b aaab-=,由10b a -≥可知101b aa -<≤,则101ab <≤,所以1≥ab ,2a b +≥,故A 正确; 对于B ,若a b ≤,则0a b e e -≤,320b a ->,故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+,与已知矛盾,故B 正确;对于C ,()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-, 令0b x a =>,()()ln 10f x x x x =-->,则()1x f x x-'=, 则()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增, 所以()()10f x f ≥=,所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-,故C 正确; 对于D ,设()()ln 0h x x x x =>,()()0x xg x x e=>, 则()ln 1h x x '=+,()1xxg x e -'=, 所以()h x 在()10,e -上单调递减,在()1,e -+∞上单调递增,则()()11h x h e e --≥=-,()g x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,则()()11g x g e -≤=,所以()()110h e g e --+<,即当1a b e -==时ln 0bba a e +<,故D 错误.故选D . 4.若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点,数列{}n a 满足11a =,23a =,设31log n n b a +=,记[]x 表示不超过x 的最大整数.设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦,若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立,则实数t 的最大值为 A .2020 B .2019 C .2018D .1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学(理)能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系,由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列,求得1n n a a +-,由累加法求得n a ,计算出n b ,然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++,利用增函数定义得此式的最小值,从而得出n S 的最小值,再由不等式恒成立可得t 的最大值. 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--,所以12(1)430n n n f a a a '++=--=, 即有()2113n n n n a a a a +++-=-,所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列, 所以1123n n n a a -+-=⋅,1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==,所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭, 又20201ny n =+为增函数,当1n =时,1010n S =,10102020n S ≤<, 若n S t ≥恒成立,则t 的最大值为1010.故选D .【名师点睛】本题考查函数的极值,等比数列的判断与通项公式,累加法求通项公式,裂项相消法求和,函数新定义,不等式恒成立问题的综合应用.涉及知识点较多,属于中档题.解题方法是按部就班,按照题目提供的知识点顺序求解.由函数极值点得数列的递推公式,由递推公式引入新数列是等比数列,求得通项公式后用累加法求得n a ,由对数的概念求得n b ,用裂项相消法求和新数列的前n 项和,并利用函数单调性得出最小值,然后由新定义得n S 的最小值,从而根据不等式恒成立得结论. 二、多选题1.若满足()()'0f x f x +>,对任意正实数a ,下面不等式恒成立的是 A .()()2f a f a < B .()()2af a ef a >-C .()()0>f a fD .()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>,设()()xh x e f x =,()()()()xh x ef x f x ''=+,得到()h x 在R 上是增函数,再根据a 是正实数,利用单调性逐项判断.【解析】设()()xh x e f x =,()()()()xh x ef x f x ''=+,因为()()'0f x f x +>,所以()0h x '>,()h x 在R 上是增函数, 因为a 是正实数,所以2a a <,所以()()22aae f a e f a <,因为21a a e e >>, ()(),2f a f a 大小不确定,故A 错误, 因为a a -<,所以()()aa ef a e f a --<,即()()2a f a e f a >-,故B 正确.因为0a >,所以()()()000a e f a e f f >=, 因为1a e >,()(),0f a f 大小不确定.故C 错误.()()()000a e f a e f f >=,因为1a e >,所以()()0af f a e>,故D 正确.故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小,还考查了运算求解的能力,属于中档题.2.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立,则下列选项不正确的是 A .2(2)(1)f f e> B .2(2)(1)f f e< C .()10f >D .()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =,再运用求导法则求出其导数,借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<,从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数,然后可判断出每个答案的正误. 【解析】构造函数()()xxf x F x e =, 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<', 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数, 因为21>,所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<,即2(2)(1)f f e<,故A 正确,B 错误; 因为()(1)0F F <,即()10f e<,所以()10f <,故C 错误; 因为()(1)0F F ->,即()110f e--->,所以()10f -<,故D 错误,故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=,这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功,属于较难题. 3.已知函数()cos sin f x x x x =-,下列结论中正确的是 A .函数()f x 在2x π=时,取得极小值1-B .对于[]0,x π∀∈,()0≤f x 恒成立C .若120x x π<<<,则1122sin sin x x x x < D .若sin x a b x <<,对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导,根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭,排除A ;再由导数的方法研究函数单调性,判断出B 选项;构造函数()sin xg x x=,由导数的方法研究其单调性,即可判断C 选项;根据()sin x g x x =的单调性,先得到sin 2x x π>,再令()sin h x x x =-,根据导数的方法研究其单调性,得到sin 1xx<,即可判断D 选项. 【解析】因为()cos sin f x x x x =-,所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-, 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭,所以2x π=不是函数的极值点,故A 错; 若[]0,x π∈,则()sin 0f x x x '=-≤,所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减;因此()()00≤=f x f ,故B 正确; 令()sin x g x x =,则()2cos sin x x x g x x -'=, 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立,所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立,因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减;又120x x π<<<,所以()()12g x g x >,即1212sin sin x x x x >,所以1122sin sin x x x x <,故C 正确;因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减;所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()sin x g x x =也单调递减,因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立;令()sin h x x x =-,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 因此()sin 0h x x x =->,即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立; 综上,2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,故D 正确.故选BCD . 【名师点睛】本题主要考查导数的应用,利用导数的方法研究函数的极值,单调性等,属于常考题型.4.已知函数()2f x x x=-,()()πcos 5202xg x a a a =+->,.给出下列四个命题,其中是真命题的为A .若[]1,2x ∃∈,使得()f x a <成立,则1a >-B .若R x ∀∈,使得()0g x >恒成立,则05a <<C .若[]11,2x ∀∈,2x ∀∈R ,使得()()12f x g x >恒成立,则6a >D .若[]11,2x ∀∈,[]20,1x ∃∈,使得()()12f x g x =成立,则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷(山东专版) 【答案】ACD【分析】对选项A ,()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可;对选项B ,()g x 的最小值大于0即可;对选项C ,()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可;对选项D ,[]11,2x ∀∈,[]20,1x ∃∈,()min min ()g x f x ≤,()max max ()g x f x ≥即可.【解析】对选项A ,只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ,()f x 在[]1,2上单调递增,所以min 2()(1)111f x f ==-=-,所以1a >-,故正确; 对选项B ,只需()g x 的最小值大于0,因为[]πcos,2x a a a∈-,所以min ()52530g x a a a =-+-=->,所以503a <<,故错误; 对选项C ,只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值,min ()1f x =-,max ()525g x a a a =+-=-,即15a ->-,6a >,故正确;对选项D ,只需()min min ()g x f x ≤,()max max ()g x f x ≥,max 2()(2)212f x f ==-=,所以[]11,2x ∈,[]1()1,1f x ∈-, []0,1x ∈时,π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()g x 在[]0,1上单调递减, ()min (1)52a g x g ==-,()max (0)5a g x g ==-,所以()[]52,5g x a a ∈--,由题意,52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤,故正确.故选ACD .【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题,考查学生的分析转化能力,注意恒成立问题和存在性问题条件的转化,属于中档题.5.当1x >时,()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立,则整数k 的取值可以是 A .2- B .1- C .0D .1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+,当1x >时,恒成立,转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭,当1x >时,恒成立,令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>,利用导数法研究其最小值即可.【解析】因为当1x >时,()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立, 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭,当1x >时,恒成立, 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>,则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=.令()ln 2x x x ϕ=--,因为()10x x xϕ-'=>,所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<,所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x , 于是()F x 在()01,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增, 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.(*) 因为()1ln 3309F -'=<,()()21ln 22ln 4401616F --'==>,所以()03,4x ∈,且002ln 0x x --=,将00ln 2x x =-代入(*)式, 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-,()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数,所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为k 为整数,所以0k ≤.故选ABC . 6.下列不等式中恒成立的有 A .()ln 11xx x +≥+,1x >- B .11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,0x > C .1x e x ≥+D .21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ,()1ln 1f t t t=+-,导数方法求出最小值,即可判定出A 正确;令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,0x >,导数方法研究单调性,求出范围,即可判定B 错; 令()1xf x e x =--,导数的方法求出最小值,即可判定C 正确;令()21cos 12f x x x =-+,导数的方法求出最小值,即可判定D 正确. 【解析】A 选项,因为1x >-,令10t x ,()1ln 1f t t t=+-,则()22111t f t t t t -'=-=,所以01t <<时,()210t f t t-'=<,即()f t 单调递减;1t >时,()210t f t t -'=>,即()f t 单调递增; 所以()()min 10f t f ==,即()1ln 10f t t t=+-≥,即1ln t t t -≥,即()ln 11x x x +≥+,1x >-恒成立;故A 正确;B 选项,令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,0x >, 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立, 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减, 又()10f =,所以当()0,1x ∈时,()()10f x f >=,即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭,故B 错; C 选项,令()1xf x e x =--,则()1xf x e '=-,当0x >时,()10xf e x ='->,即()f x 单调递增;当0x <时,()10xf e x ='-<,所以()f x 单调递减;则()()00f x f ≥=,即1x e x ≥+恒成立;故C 正确; D 选项,令()21cos 12f x x x =-+,则()sin f x x x '=-+, 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立,即函数()sin f x x x '=-+单调递增, 又()00f '=,所以当0x >时,()0f x '>,即()21cos 12f x x x =-+单调递增; 当0x <时,()0f x '<,即()21cos 12f x x x =-+单调递减; 所以()()min 00f x f ==,因此21cos 12x x ≥-恒成立,故D 正确;故选ACD . 三、填空题1.函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+,若()()f x g x ≥恒成立,则实数c 的取值范围是___________.【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学(文)期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥,即32ln 1x x c x -+≥+,即32ln 1c x x x ≥-+++.令()()32ln 10h x x x x x =-+++>,()()()21331x x x h x x'-++=-,故函数()h x 在区间()0,1上递增,在()1,+∞上递减,最大值为()12h =,所以2c ≥.【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立,问题,考查利用导数研究函数的单调性,极值和最值等知识.首先根据()()f x g x ≥,对函数进行分离常数,这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值,根据这个最值来求得参数的取值范围.2.若[,)x e ∀∈+∞,满足32ln 0mxx x me -≥恒成立,则实数m 的取值范围为___________.【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试(理) 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论,分两种情况,尤其是当0m >时,对式子进行变形,构造新函数,将恒成立问题转化为最值来处理,利用函数的单调性来解决,综述求得最后的结果.【解析】(1)0m ≤,显然成立;(2)0m >时,由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥,由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立, 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增,min ()2g x e =,02m e <≤, 综上,2m e ≤,故答案为(,2]e -∞.3.已知函数()()21ax x xf x x ++=≥,若()0f x '≥恒成立,则a 的取值范围为___________.【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试(文) 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数,根据()0f x ',利用参数分离法进行转化,然后构造函数()g x ,转化为求函数的最值即可.【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-,由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立,即221a x x+,得322x x a +在1x 上恒成立,设32()2g x x x =+, 则2()622(31)g x x x x x '=+=+,当1x 时,()0g x '>恒成立,即()g x 在1x 上是增函数, 则当1x =时,()g x 取得最小值()1213g =+=,则3a , 即实数a 的取值范围是(],3-∞,故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题,求函数的导数,利用参数分离法以及构造函数,利用导数研究函数的最值是解决本题的关键.属于中档题.4.已知函数()ln f x x x =-,若()10f x m -+≤恒成立,则m 的取值范围为___________. 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试(文理通用) 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-,代入()10f x m -+≤,即ln 1m x x ≥-+恒成立,构造()ln 1g x x x =-+,利用导数研究最值,即得解.【解析】()ln f x x x =-,则()10f x m -+≤恒成立,等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增,在(1)+∞,单调递减, 故max ()(1)00g x g m ==∴≥,故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用,考查了学生转化与划归,数学运算的能力,属于中档题.5.若函数()0x f x e ax =->恒成立,则实数a 的取值范围是___________. 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟(理)试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立,即min ()0f x >,求导得'()x f x e a =-,在0,0,0a a a >=<三种情况下,分别讨论函数单调性,求出每种情况时的min ()f x ,解关于a的不等式,再取并集,即得.【解析】由题意得,只要min ()0f x >即可,'()x f x e a =-,当0a >时,令'()0f x =解得ln x a =,令'()0f x <,解得ln x a <,()f x 单调递减, 令'()0f x >,解得ln x a >,()f x 单调递增,故()f x 在ln x a =时,()f x 有最小值,min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-, 若()0f x >恒成立,则(1ln )0a a ->,解得0a e <<; 当0a =时,()0x f x e =>恒成立; 当0a <时,'()x f x e a =-,()f x 单调递增,,()x f x →-∞→-∞,不合题意,舍去.综上,实数a 的取值范围是0a e ≤<.故答案为0a e ≤<6.当[1,2]x ∈-时,32122x x x m --<恒成立,则实数m 的取值范围是___________. 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考(理) 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=,利用导数求得函数的单调性与最大值,结合题意,即可求得实数m 的取值范围.【解析】由题意,设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=, 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=,当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增;当2(,1)3x ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减, 又由222(),(2)2327f f -==,即2()(2)3f f -<, 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2,又由当[1,2]x ∈-时,32122x x x m --<恒成立,所以2m >, 即实数m 的取值范围是(2,)+∞.故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解,其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于基础题.7.若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立,则实数m 的取值范围为___________.【试题来源】浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形,利用换元法、构造函数法、常变量分离法,结合导数的性质进行求解即可.【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ (1), 令x ext e=,因为()0,x ∈+∞,所以0t >, 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+,设()xex f x e=,()0,x ∈+∞,'(1)()x e x f x e -=,当1x >时,'()0,()f x f x <单调递减, 当01x <<时,'()0,()f x f x >单调递增,因此当()0,x ∈+∞时,max ()(1)1f x f ==, 而(0)0f =,因此当()0,x ∈+∞时,()(0,1]f x ∈,因此(0,1]t ∈,设2221()1t t g t t --+=+,(0,1]t ∈,因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立,只需min ()m g t ≤,2'2243()(1)t t g t t ---=+,因为(0,1]t ∈,所以'()0g t <,因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减,所以min 3()(1)2g t g ==-,因此32m ≤-.8.已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--,若()0f x <恒成立,则a 的取值范围是___________.【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试(理) 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得,ln >x e x 恒成立;原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间,作出其大致图象,由图象得到只需<<OA OB k a k ;根据导数的方法求出OA ,OB 所在直线斜率,进而可得出结果. 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得,ln >x e x 恒成立;所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立,只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩,即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间,作出其大致图象如下:由图象可得,只需<<OA OB k a k ;设11(,)A x y ,由ln y x =得1y x'=,所以111OA x x k y x =='=, 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x , 又该切线过点O ,所以11110ln (0)1-=-=-x x x ,解得1x e =,所以1=OA k e; 设22(,)B x y ,由x y e =得e x y '=,所以22x OB x x k y e =='=,所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ,又该切线过点O ,所以2220(0)-=-x x ee x ,解得21x =,所以=OB k e ;所以1a e e <<.故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题,熟记导数的几何意义即可,属于常考题型.9.已知函数()1x f x e ax =+-,若0,()0x f x 恒成立,则a 的取值范围是___________. 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试(理)【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+,讨论10a +和10a +<两种情况,计算10a +<时,函数()f x 在[)00,x 上单调递减,故()(0)0f x f =,不符合,排除,得到答案. 【解析】因为()1x f x e ax =+-,所以()x f x e a '=+,因为0x ,所以()1f x a '+. 当10a +,即1a ≥-时,()0f x ',则()f x 在[0,)+∞上单调递增,从而()(0)0f x f =,故1a ≥-符合题意;当10a +<,即1a <-时,因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增,且(0)10f a '=+<,所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞,使得()00f x '=.令()0f x '<,得00x x <,则()f x 在[)00,x 上单调递减,从而()(0)0f x f =,故1a <-不符合题意.综上,a 的取值范围是[1,)-+∞.故答案为[1,)-+∞.10.不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的,请你只对该不等式中的数字作适当调整,使得不等式恒成立,请写出其中一个恒成立的不等式:___________. 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3,得出331n n >-,然后利用导数证明出当3n ≥时,33n n ≥即可,即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立.【解析】13311>-,23321>-,33331>-,猜想,对任意的n *∈N ,331n n >-.下面利用导数证明出当3n ≥时,33n n ≥,即证ln 33ln n n ≥,即证ln ln 33n n ≤, 构造函数()ln x f x x =,则()21ln xf x x -'=,当3x ≥时,()0f x '<. 所以,函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减,当3n ≥时,ln ln 33n n ≤.所以,当3n ≥且n *∈N 时,33n n ≥,所以,331n n >-.故答案为331n n >-. 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明,考查了归纳法,同时也考查了导数在证明数列不等式的应用,考查推理能力,属于中等题.11.已知()ln f x x x m x =--,若()0f x >恒成立,则实数m 的取值范围是___________. 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞,由()0f x >,得ln ||xx m x->,分类讨论,分离参数,求最值,即可求实数m 的取值范围.【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞,由()0f x >,得ln ||xx m x->, (ⅰ)当(0,1)x ∈时,||0x m -≥,ln 0xx<,不等式恒成立,所以m R ∈; (ⅰ)当1x =时,|1|0m -≥,ln 0xx=,所以1m ≠; (ⅰ)当1x >时,不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立, 令ln ()x h x x x =-,则221ln ()x x h x x'-+=,因为1x >,所以()0h x '>,从而()1h x >, 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <,所以1m , 令ln ()x g x x x =+,则221ln ()x xg x x+-'=, 再令2()1ln p x x x =+-,则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立,()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值,综上所述,满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞.故答案为(,1)-∞.12.已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩,若()1f x ax ≥-恒成立,则a 的取值范围是___________.【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考(理)【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-,则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩,当0x =时,显然成立,当0x ≠时,则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩,然后构造函数()x e g x x=(0x >),()221x h x x x +=-(0x <),分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值,只需()()min max h x a g x ≤≤即可.【解析】若()1f x ax ≥-,则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩,当0x =时,显然成立;当0x ≠时,则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩,因为当0x <时,20x x ->, 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可,令()x e g x x =(0x >),则()()21x x e g x x-'=, 则()0,1x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在()0,1x ∈上递减, 当()1,x ∈+∞时,()0g x '>,则()g x 在()1,+∞上递增, 所以()()1min g x g e ==,所以a e ≤,令()221x h x x x +=-(0x <), 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--,令()0h x '=,得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时,()0h x '>;当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时,()0h x '<, 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增,在⎫⎪⎪⎝⎭上递减, 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤.故答案为4e -⎡⎤⎣⎦.【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题,考查学生分析问题、转化问题的能力,考查参变分离思想的运用,考查利用导数求解函数的最值,属于难题. 解决此类问题的方法一般有以下几种:(1)作出函数的图象,利用数形结合思想加以研究;(2)先进行参变分离,然后利用导数研究函数的最值,即可解决问题,必要时可以构造新函数进行研究.13.函数()2cos sin f x x x x x =+-,当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x ax ≤恒成立,则实数a 的取值范围是___________.【试题来源】河南省名校联盟2020届高三(6月份)高考数学(理)联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥,再对函数()f x 求导,研究导函数的单调性、最值等,进而研究函数()f x 单调性,即可解决.【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,0a ∴≥. 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦, 令()sin cos 1g x x x x =-+-,则()sin g x x x '=-. 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时,()0g x '<,()g x 单调递减; 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增,()g x ∴的最小值为()1g ππ=--. 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭,3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,()0g x ≤,即()0f x '≤, ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0f x ≤.又当0a ≥,3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,0ax ≥,故()f x ax ≤恒成立,因此a 的取值范围是[)0,+∞.14.已知0a <,且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立,则a 的值是___________.【试题来源】6月大数据精选模拟卷04(上海卷)(满分冲刺篇) 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立,转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立,结合函数的单调性和零点,得出1a-是函数ln y ax x =-的零点,即可求解. 【解析】由题意,不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立,即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立,由ln ,0,0y ax x a x =-<>,则10y a x'=-<,所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数, 又由当0a <,可得1y ax =+为(0,)+∞减函数, 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数,且1a-是函数1y ax =+的零点, 故1a -是函数ln y ax x =-的零点,故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得a e =-.【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题,以及函数与方程的综合应用,其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键,着重考查转化思想,以及推理与运算能力.15.若对任意实数(],1x ∈-∞,2211xx ax e-+≥恒成立,则a =___________. 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试(理) 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤,结合导数可知当0a <时,()()min 21f x f a =+;由题意可知,()()2122211a a f x f a e++≥+=≥,设()1t g t e t =--,则()0g t ≤,由导数可求出当0t =时,()g t 有最小值0,即()0g t ≥.从而可确定()0g t =,即可求出a 的值.【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤,则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=.当211a +≥,即0a ≥时,()0f x '≤,则()f x 在(],1-∞上单调递减, 故()()2211a f x f e -≥=≥,解得102ea ≤-<,所以0a ≥不符合题意; 当211a +<,即0a <时,()f x 在(),21a -∞+上单调递减,在(]21,1a +上单调递增, 则()()min21f x f a =+.因为2211xx ax e -+≥,所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥. 令211a t +=<,不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤,设()1t g t e t =--, 则()1tg t e '=-,令()0g t '<,得0t <;令()0g t '>,得01t <<,则()g t 在(),0-∞上单调递减,在()0,1上单调递增;当0t =时,()g t 有最小值0, 即()0g t ≥.因为()0g t ≤,所以()0g t =,此时210a +=,故12a =-. 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于将已知恒成立问题,转化为()10tg t e t =--≤恒成立.本题的关键是结合导数,对含参、不含参函数最值的求解. 四、双空题1.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ,2x ,则a 的取值范围___________;且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则实数t 的取值范围___________.【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=,只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根,满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩,解不等式组可得a 的取值范围;求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出t 的取值范围.【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>,因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根,于是有:121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩,解得102a <<.()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---, 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭, 22()0a h a a '-=>,故()h a 在102a <<上单调递增,故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭,所以5t ≥-.因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭;[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键,属于基础题.2.对任意正整数n ,函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---,若(2)0f ≥,则λ的取值范围是___________;若不等式()0f n ≥恒成立,则λ的最大值为___________. 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可;当n 为奇数时,cos 1n π=-,则转化。
第34讲 立体几何解答题中的体积求解策略(原卷版)
第34讲 立体几何解答题中的体积求解策略【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点,解答题中体积的求法也是重点考查的知识,其求解的策略主要有两种方法:其一针对三棱锥的换顶点的思路,其二是对于多面体求体积可用切割法.方法一 换顶点法万能模板 内 容使用场景 三棱锥体积的求解解题模板第一步 观察三棱锥的4个顶点;第二步 找到易求高的顶点的三棱锥,有时需要等价转化顶点,如平行转化,相似,全等转化;第三步 根据公式求解结果.例1【广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学(文)】如图,在三棱锥P -ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,PAB △为等边三角形,AC BC ⊥且2AC BC ==,O 、M 分别为棱AB 、PA 的中点.(1)求证:平面MOC ⊥平面PAB ; (2)求三棱锥P ABC -的体积.【变式演练1】【四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷(文科)(四模)】如图,在多面体ABCDEF 中,侧面ADEF 是平行四边形,底面ABCD 是等腰梯形,//AB CD ,4AB =,2BC CD ==,顶点E 在底面ABCD 内的射影恰为点C .(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACE;(Ⅰ)若CD CE=,求四面体ABEF的体积.【变式演练2】【河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科数学】如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,ADⅠAB,PAⅠ平面ABCD,过AD的平面与PC,PB分别交于点M,N,连接MN.(1)证明:BC//MN;(2)已知PA=AD=AB=2BC,平面ADMNⅠ平面PBC,求P BDMP ABCDVV--的值.方法二切割法万能模板内容使用场景多面体体积的求解解题模板第一步观察几何体特征,多面体切割成其他锥体或者补起来;第二步分别求出组成的几何体的体积;第三步根据公式求解结果.例2、【安徽省皖豫名校联盟体2021届高三(上)第一次联考数学(文科)】如图,已知四边形ABCD为等腰梯形,//BC AD,90ABD∠=︒,四边形ADMN为矩形,点G,H分别是线段MN,CD的中点,点I在线段AD上.(1)探究:是否存在点I,使得平面//GHI平面ACN?并证明;(2)若142DM BC AB===,线段MN在平面ABCD内的投影与线段AD重合,求多面体BC ADMN -的体积.例3、《九章算术》中所述“羡除”,是指如图所示五面体ABCDEF ,其中////AB DC EF ,“羡除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a ,b ,c 、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n (如图).已知3a =,2b =,1c =,2m =,1n =,则此“羡除”的体积为( )A .2B .3C .32D .42【来源】安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷理科数学试题【变式演练3】【云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试】如图,在六面体ABCDEF 中,AB //CD ,AB ⊥AD ,且AB =AD =12CD = 1,四边形ADEF 是正方形,平面ADEF ⊥平面ABCD .(1)证明:平面BCE Ⅰ平面BDE ; (2)求六面体ABCDEF 的体积.【变式演练4】【四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试】如图,在直棱柱1111ABCD A B C D -中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,AC BD ⊥,1BC =,14A D A A ==.(1)证明:面1ACD ⊥面1BB D ; (2)求多面体1111ABC A B C D -的体积.【高考再现】1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数19】如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,ABC ∆是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,90APC ∠=︒.(1)证明:平面PAB ⊥平面PAC ; (2)设2DO =,圆锥的侧面积为3π,求三棱锥P ABC -的体积.2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数20】如图,已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形,侧面11BB C C 是矩形,,M N 分别为11,BC B C 的中点,P 为AM 上一点.过11B C 和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F .(1)证明:1AA //MN ,且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ;(2)设O 为111A B C △的中心,若6AO AB ==,AO //平面11EB C F ,且3MPN π∠=,求四棱锥11B EB C F -的体积.。
多面体的内切球外接球问题求解策略(原卷版)
专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一,成为考查的重点,基本属于必考题目.而且球相关的特殊距离,即球面距离是一个备考的重点,要熟练掌握基本的解题技巧.还有球的截面的性质的运用,特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题,更应特别加以关注的.题目一般属于中档难度,往往单独成题,或者在解答题中以小问的形式出现.类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体,它们公共的轴截面;第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1.如图1所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家,是静态力学和流体静力学的奠基人,和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理,即圆柱内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积等于圆柱体积的三分之二.那么,圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为( )A .12B .13C .23D .34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03(江苏专用)【变式演练2】正三棱锥的高为1,底面边长为62,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54,6AB =,记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ,球2O ,则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为( )A .BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑,园林建筑.以八中校园腾龙阁为例,它属重檐四角攒尖,它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥,若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍,则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为( )A .3B .4C .2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为323π,两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为( )A .3πB .4πC .9πD .12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点,BC 的中点为F .现将ABF沿AF 翻折,使得点B 到达B '的位置,且平面AB F '⊥平面ACF ,则四面体AB FM '的外接球的表面积为( )A B C .372π D .374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学(第八模拟)【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中,AB ⊥底面BCD ,AB BD ==1CB CD ==,则四面体A BCD -的外接球表面积为( ) A .3π B .4π C .6π D .12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中,10AB ,4ASC BSC π∠=∠=,AC AS =,BC BS =,若该三棱锥的体积为3,则三棱锥S ABC -外接球的表面积为( )A .3πB .12πC .48πD .36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中,BD AC ==2AB BC AD ===,AD BC ⊥,则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A .B .C .D .【高考再现】1.(2021·全国高考真题(理))已如A ,B ,C 是半径为1的球O 的球面上的三个点,且,1AC BC AC BC ⊥==,则三棱锥O ABC -的体积为( )A .12B .12C .4D .42.【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点,⊙1O 为ABC ∆的外接圆.若⊙1O 的面积为4π,1AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为( )A .64πB .48πC .36πD .32π3.【2020年高考天津卷5】若棱长为 ) A .12π B .24π C .36π D .144π4.(2019•新课标⊙,理12)已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ==,ABC ∆是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,90CEF ∠=︒,则球O 的体积为( )A .B .C . D5.(2018•新课标⊙,理10文12)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A .B .C .D .6.【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 .7.【2017课标1,文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S-ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.【反馈练习】1.【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形,2AB AC ==,2π3A ∠=,AD 为BC 边上的高,将ADC 沿AD 翻折成ADC ',若四面体ABC D ',则线段BC '的长度为( )A .BC D2.【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上,侧棱1AA ⊥底面111A B C ,底面111A B C △是正三角形,1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是( )A .28π3B .14π3C .56π3D .7π 33.【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上,ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54,则球O 的表面积为( ) A .36π B .64π C .100π D .144π4.【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑(biē nào )是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼.已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑,其中AB ⊥BC ,AB ⊥BD ,BC ⊥CD ,且AB =6,BC =3,DC =2,则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是( )A .493πB .3432πC .49πD .3436π 5.【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家.他的数学著作有《算罔论》,他曾经得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ,B ,若线段AB 1,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( )A .30B .C .D .366.【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -,PA ⊥平面ABC ,且PA =,在ABC 中,1AC =,2BC =,且满足sin 2sin 2A B =,则三棱锥P ABC -外接球的体积为( )A .3B .323πCD .83π 7.球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2,若1O AB △是直角三角形,2O AB △是等边三角形,则球O 的表面积为( )A .9πB .12πC .16πD .20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8.【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学(文)】我国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图,三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”,底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =,3AC =,点P 在棱1BB 上,且1PC PC ⊥,当1APC 的面积取最小值时,三棱锥P ABC -的外接球表面积为( )A .45π2B .2C .30πD .45π9.【湖南师大附中2021届高三(上)月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形,侧面PAD ⊥平面ABCD ,120APD ︒∠=,AB PA ==2PD =,则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为( )A .323πB .3C .D .36π10.【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载,“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示,现有一个“鳖臑”,PA ⊥底面ABC ,AB BC ⊥,且2PA AB BC ===,三棱锥外接球表面积为( )A .4πB .8πC .12πD .16π11.【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中,1PA =,3PB =,AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ,则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A .143π B .283π C .11π D .12π12.如图,已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球,则平面1ACD 截球O 的截面面积为( )A .3πB .8πC .6πD .4π 13.(多选)【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(三)】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形,点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球,3BC =,AB =E 在线段BD 上,且6BD BE =,过点E 作球O 的截面,则所得截面圆的面积可能是( )A .πB .2πC .3πD .4π14.(多选)设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球),已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1,若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切,则( )A .该正方体的核长为2B .该正方体的体对角线长为3C 1D .空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15.【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB =BC =1,AC ,侧棱AA 1=2,则该三棱柱外接球的体积为_______.16.【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图,已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形,//AB CD ,1AD DC BC ===,2AB SA ==,且SA ⊥平面ABCD ,则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17.【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB CC ==1BC =,点M 为正方形11CDD C 对角线的交点,则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______.18.在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动,则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷(一)19.阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中,证明了数学史上著名的圆柱容球定理:圆柱的内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比.可证明该定理推广到圆锥容球也正确,即圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比,则该比值的最大值为________.【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20.在一次综合实践活动中,某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型,底面ABCD 为边长是4的正方形,半圆面APD ⊥底面ABCD .经研究发现,当点P 在半圆弧AD 上(不含A ,D 点)运动时,三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变,则该外接球的表面积为______.【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21.一个封闭的正方体容器内盛有一半的水,以正方体的一个顶点为支撑点,将该正方体在水平桌面上任意旋转,当容器内的水面与桌面间距离最大时,水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22.以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心,将上底图形旋转180°后,再将上、下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上、下底为全等的等腰三角形,且顶点A ,B ,C ,A 1,B 1,C 1均在球O 的球面上,AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ,截面BCB 1C 1是矩形,BC =2,B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________,当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷(七)数学试题23.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家,享有“力学之父”的美称,阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年,古罗马军队入侵叙拉古,阿基米德被罗马士兵杀死,终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛,墓碑上刻着一个圆柱内切球(一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切)的图形,以纪念他在几何学上的卓越贡献,这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________,内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测(二)数学试题24.将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1、2)部分,与正六边形组合后图形如图所示,将此图形折成封闭的空间几何体,则这个几何体的体积是___________,外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题(B)25.天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区,是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色,被称为“滨海之眼”,如图所示,中心球状建筑引起了小明的注意,为了测量球的半径,小明设计了两个方案,方案甲,构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示,底面边长约为30米,估计此时球的完整表面积为 ________平方米;方案乙,测量球被地面截得的圆的周长约为16π米,地面到球顶部高度约为16米,估计此时球的完整体积为__________立方米,你认为哪种方案好呢?【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26.2020年底,中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”,推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”,是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中,底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图,棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”,P 是1BB 的中点,12AA AC BC ===,则在过点P 且与1AC 平行的截面中,当截面图形为等腰梯形时,该截面的面积等于___________,该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷(样卷一)文科数学试题。
10道最新高三联考作文题和精准立意,含金量高!极佳热点素材与命题资料!
10道最新高三联考作文题和精准立意,含金量高!极佳热点素材与命题资料!【九师联盟2020-2021学年高三11月质量检测】阅读下面的材料,根据要求写作。
(60分)餐饮浪费现象,触目惊心,令人痛心!尽管我国粮食生产连年丰收,对粮食安全还是始终要有危机意识,今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟。
——新时代的领路人一粥一饭当思来之不易,一丝一缕恒念物力维艰。
——朱伯庐奢侈的必然结果——风化的解体——反过来又引起了趣味的腐化。
——卢梭奢侈是民族衰弱的起点。
——古巴读了上述文字,你受到怎样的启发?又有什么感受?假如班上将举办一次以“节约粮食,从我做起”的主题班会,请你就上述材料的提示,写一篇发言稿。
要求:自选角度,自定立意;切合身份,贴合背景;符合文体特征;不要套作,不得抄袭;不得泄露个人信息;不少于800字。
切题立意1.反对浪费粮食,粮食安全人人有责2.珍惜劳动成果,爱惜粮食3.节约粮食光荣,浪费粮食可耻4.节约粮食,从我做起5.拒绝舌尖上的浪费,争做节约达人【河北衡水中学2021届高三10月质检作文】阅读下面的材料,根据要求写作。
(60分)2020年江苏省共有34.83万考生,白湘菱同学以430分一举获得江苏省文科第一名。
然而选修科目政治是A+,历史却考了一个B+。
许多名校在江苏招生除了高考分数要求外,还严格要求选修双A+。
此事一经公开,立即引发激烈的争论。
有人希望名校“不拘一格降人才”,破格录取白湘菱;也有人说招生还是要按录取规则,规矩不应视同儿戏。
对此,你有什么看法?请你撰写一篇发言稿,在班级的“每周时评”讨论会上发言,表明你的态度,体现你的思考和理解。
要求:确定立意,自拟标题,自选角度;不要套作,不得抄袭;不得泄露个人信息,不少于800字。
切题立意1.莫让规矩冰又冷,人间温情尚且存2.社会公平须长存,勿视规矩为儿戏3.录取规格引争议,莫为“规则”误人才4.有规以治社会,有则以匡天下5.打破固有方圆,换得更大天地6.权衡有度,过满则亏【盐城市2021届高三年级第一学期期中考试】阅读下面的材料,根据要求写作。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1.若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位),则下列说法正确的是 A .z 的虚部是-i B .Z 是实数C .z =D .2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-,再依次判断选项即可.【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-. 对选项A ,z 的虚部是1-,故A 错误. 对选项B ,1z i =-为虚数,故B 错误.对选项C ,z ==C 正确.对选项D ,112z z i i +=-++=,故D 错误.故选C 2.已知复数1z i =+(i 为虚数单位),则1z在复平面内对应的点在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测(文) 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z,再判断复平面内对应的点所在象限. 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-,所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限.故选D3.已知复数1z i =+(i 为虚数单位),则1z在复平面内对应的点在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测(理)【答案】D 【分析】化简复数1z,利用复数的几何意义可得出结论. 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-,所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第四象限.故选D . 4.设复数z 满足11zi z+=-,则z = A .i B .i - C .1D .1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ,再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-,即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-,z i =-,故选B. 5.(1)(4)i i -+= A .35i + B .35i - C .53i +D .53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末(文) 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式,计算结果.【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-.故选D 6.设复数z 满足()11z i i -=+,则z 的虚部为. A .1- B .1 C .iD .i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末(文) 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ,由此可得出复数z 的虚部.【解析】()11z i i -=+,()()()211111i iz i i i i ++∴===--+, 因此,复数z 的虚部为1.故选B . 7.若复数z 满足21zi i=+,则z = A .22i + B .22i - C .22i --D .22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末(理) 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+,再求解z 即可. 【解析】()2122z i i i =+=-+,故22z i =--,故选C. 8.将下列各式的运算结果在复平面中表示,在第四象限的为A .1ii + B .1ii +- C .1i i-D .1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考(文) 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简,可得. 【解析】由11ii i+=-在第四象限.故选A . 【名师点睛】(1)复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根; (2)复数除法实际上是分母实数化的过程.9.若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A .12-B .12C .12i -D .12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测(文) 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ,再求其虚部即可. 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-,所以复数z 的虚部为12-,故选A 10.复数z 满足()212()z i i -⋅+=(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考(文) 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++,再求其共轭复数,即可求出共轭复数对应的点,进而可得在复平面内对应的点所在的象限. 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-, 所以1z i =+,1z i =-.所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-, 位于第四象限,故选D .11.已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位),则z = A .125i-+ B .125i-- C .125i- D .125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考(文) 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-,再根据复数的除法运算可得答案. 【解析】因为(2)z i i -=,所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+.故选A . 12.已知复数3iz i-=,则z =A .4 BCD .2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考(文) 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解. 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-,所以z ==B .【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,属于基础题. 13.复数z 满足:()11i z i -=+,其中i 为虚数单位,则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A .0,1 B .0,1 C .1,0D .()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学(理)期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ,从而可求出其共轭复数,进而可得答案【解析】由()11i z i -=+,得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--, 所以z i =-,所以其在复平面对应的点为0,1,故选A 14.已知复数312iz i+=-,则z =A .1 BCD .2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ,利用复数的模长公式可求得z .【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+,因此,z ==B . 15.设复1iz i=+(其中i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ,利用复数的几何意义可得出结论. 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-,因此,复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选A .16.已知(1)35z i i +=-,则z = A .14i - B .14i -- C .14i -+D .14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解.【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-.故选B 17.复数(2)i i +的实部为 A .1- B .1 C .2-D .2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解.【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-,故选A .18.已知i 是虚数单位,(1)2z i i +=,则复数z 所对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ,再利用共轭复数的性质求z ,进而确定z 所对应的点的位置.【解析】由(1)2z i i +=,得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-, 所以1z i =-,所以复数z 所对应的点为()1,1-,在第四象限,故选D .【名师点睛】对于复数的乘法,类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可;对于复数的除法,关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式. 19.若复数2iz i=+,其中i 为虚数单位,则z =A B C .25D .15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+,再利用复数模的公式求解即可. 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-,所以z ==,故选B . 20.52i i-= A .152i--B .52i-- C .152i- D .152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末(文) 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则,准确运算,即可求解. 【解析】由复数的运算法则,可得()5515222i i i ii i i ----==⨯.故选A .21.设复数z 满足()1z i i R +-∈,则z 的虚部为 A .1 B .-1 C .iD .i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算,化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++,根据题意,求得1b =-,即可求得z 的虚部,得到答案.【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈,则()11(1)z i i a b i +-=+++,因为()1z i i R +-∈,可得10b +=,解得1b =-,所以复数z 的虚部为1-.故选B . 22.若复数151iz i-+=+,其中i 为虚数单位,则z 的虚部是 A .3 B .3- C .2D .2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟(文) 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算,化简复数z ,再利用复数的概念求解.【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-, 所以z 的虚部是3,故选A. 23.若m n R ∈、且4334im ni i+=+-(其中i 为虚数单位),则m n -= A .125- B .1- C .1D .0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简,根据复数相等可得答案.【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++, 根据复数相等,所以0,1m n ==,所以011m n -=-=-.故选B .24.若复数z满足()36z =-(i 是虚数单位),则复数z =A.32-B.32- C.322+D.322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-,得z =,利用复数除法运算法则即可得到结果.【解析】复数z满足()36z +=-,6332z --=====-∴+,故选A .25.若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数,则z = A .2i - B .2i C .i -D .i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试(理) 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果. 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数, 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩,则1a =,i =z .故选D .26.复数12z i =+,213z i =-,其中i 为虚数单位,则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【试题来源】江苏省G4(苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学)2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则,求得55z i =-,即可求得答案. 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅, 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为(5,-5)位于第四象限,故选D27.复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A .225+aB .45a - C .225a -D .45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试(文) 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得. 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ,所以其虚部为45a +.故选D . 28.复数z 满足()12z i i ⋅+=,则2z i -=ABCD .2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查(文) 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ,然后代入模长公式计算.【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ,所以2121-=+-=-==z i i i i A .29.i 是虚数单位,若()17,2ia bi ab R i-=+∈+,则ab 的值是 A .15- B .3- C .3D .15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后,由复数相等的定义得出,a b ,即可得结论.【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-, 所以1,3a b =-=-,3ab =.故选C . 30.复数3121iz i -=+的虚部为 A .12i -B .12i C .12-D .12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试(理) 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式,然后可得虚部.【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+, 虚部为12-.故选C . 31.若复数z 满足(1)2i z i -=,i 是虚数单位,则z z ⋅=AB .2C .12D .2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试(理) 【答案】B【分析】由除法法则求出z ,再由乘法法则计算.【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+, 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=.故选B . 32.若23z z i +=-,则||z =A .1 BCD .2【试题来源】河南省(天一)大联考2020-2021学年高三上学期期末考试(理) 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算. 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈,则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-,所以以331a b =⎧⎨-=-⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩,所以==z B .33.复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=(i 为虚数单位),则z = A .1 B .2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考(理) 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式,再求模. 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+,所以1z i =+,z ==C .34.已知a R ∈,若()()224ai a i i +-=-(i 为虚数单位),则a = A .-1 B .0 C .1D .2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案.【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-,所以0a =,故选B.35.已知i 为虚数单位,且复数3412ii z+=-,则复数z 的共轭复数为 A .12i -+ B .12i -- C .12i +D .1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式,以及复数的除法运算,求出z ,即可得出其共轭复数. 【解析】因为3412i i z+=-,所以512z i =-,则()()()512512121212i z i i i i +===+--+, 因此复数z 的共轭复数为1 2i -.故选D . 36.已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数,则z 的值为 A .1 B .2 C .12D .-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试(文) 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ,根据纯虚数定义求得a ,再求模长. 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数,102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩,解得1a =-,所以z i ,1z =.故选A . 37.设复数11iz i,那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)(理) 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ,再将复数31z -化为一般形式,即可得出结论.【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-,3113z i ∴-=--, 因此,复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限.故选C . 38.已知复数13iz i-=+(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于 A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试(理) 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式,则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ,从而得到答案.【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-, 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限,故选D.39.若复数2(1)34i z i+=+,则z =A .45 B .35C .25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期(2018级)第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=,再求出||z 得解. 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-,所以102255z ===.故选C. 40.设复数11iz i,那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)(文) 【答案】C【分析】先求出z i =-,11z i -=--,即得解.【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-, 所以11z i -=--,它对应的点的坐标为(1,1)--, 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限.故选C. 二、多选题1.已知m ∈R ,若6()64m mi i +=-,则m =A .B .1-CD .1【试题来源】2021年高考一轮数学(理)单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可.【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-,所以68m =,所以m =故选AC . 2.设复数z 满足1z i z+=,则下列说法错误的是 A .z 为纯虚数B .z 的虚部为12i -C .在复平面内,z 对应的点位于第三象限D .2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--,再逐一分析选项,即可得答案. 【解析】由题意得1z zi +=,即111122z i i -==---, 所以z 不是纯虚数,故A 错误;复数z 的虚部为12-,故B 错误;在复平面内,z 对应的点为11(,)22--,在第三象限,故C 正确;2z ==,故D 正确.故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算,纯虚数、虚部的概念,复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识,考查计算求值的能力,属基础题.3.已知复数122z =-,则下列结论正确的有 A .1z z ⋅=B .2z z =C .31z =-D .202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值,然后判断是否正确,计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅,所以A 正确;因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=,122z =+,所以2z z ≠,所以B 错误;因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 正确;因为6331z z z =⋅=,所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以D 正确,故选ACD .【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算,其中还涉及到了共轭复数的计算,难度较易. 4.下面是关于复数21iz =-+的四个命题,其中真命题是A .||z =B .22z i =C .z 的共轭复数为1i -+D .z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ,再依次判断各选项. 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--,z ∴==,故A 正确;()2212z i i =--=,故B 正确;z 的共轭复数为1i -+,故C 正确;z 的虚部为1-,故D 正确;故选ABCD .【名师点睛】本题考查复数的除法运算,以及对复数概念的理解,属于基础题. 5.若复数351iz i-=-,则A .z =B .z 的实部与虚部之差为3C .4z i =+D .z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ,再根据定义、模、几何意义即可求出. 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+,z ∴==,z 的实部为4,虚部为1-,则相差5,z 对应的坐标为()41-,,故z 在复平面内对应的点位于第四象限,所以AD 正确,故选AD .6.已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位),则下列说法错误的是A .z 的实部为2B .z 的虚部为1C .z i =D .||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---,所以z 的虚部为1,||z =,故AC 错误,BD 正确.故选AC. 7.已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭(其中i 为虚数单位)下列说法正确的是A .复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B .z 可能为实数C .1z =D .1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校(恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中)2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论,可判断AB 选项的正误;利用复数的模长公式可判断C 选项的正误;化简复数1z,利用复数的概念可判断D 选项的正误.【解析】对于AB 选项,当02θπ-<<时,cos 0θ>,sin 0θ<,此时复数z 在复平面内的点在第四象限;当0θ=时,1z R =-∈; 当02πθ<<时,cos 0θ>,sin 0θ>,此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误,B 选项正确; 对于C 选项,22cos sin 1z θθ=+=,C 选项正确;对于D 选项,()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-, 所以,复数1z的虚部为sin θ-,D 选项错误.故选BC . 8.已知非零复数1z ,2z 满足12z z R ∈,则下列判断一定正确的是 A .12z z R +∈B .12z z R ∈C .12z R z ∈D .12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈,结合选项逐个计算、判定,即可求解. 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈,则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++,则0ad bc +=,对于A 中,12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++,则12z z R +∈不一定成立,所以不正确;对于B 中,12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立,所以B 正确; 对于C 中,()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立,所以不正确;对于D 中,()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立,所以正确.故选BD .9.已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-,则下列说法正确的是 A .复数z 的虚部为5- B .复数z 的共轭复数15=-z i C.z =D .z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ,根据实部为-1,求a ,再根据复数的概念,判断选项. 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-,因为复数的实部是-1,所以321a +=-,解得1a =-, 所以15z i =--,A .复数z 的虚部是-5,正确;B .复数z 的共轭复数15z i =-+,不正确;C .z ==D .z 在复平面内对应的点是()1,5--,位于第三象限,正确.故选ACD 10.已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭(其中i 为虚数单位),下列说法正确的是() A .复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B .cos z θ=C .1z z ⋅=D .1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学(B )试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点,结合三角函数值的范围判断A ;复数的模判断B ;复数的乘法判断C ;复数的解法与除法,判断D . 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<(其中i 为虚数单位),复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限,所以A 不正确;1z ==,所以B 不正确;22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=.所以C 正确;11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数,所以D 正确;故选CD11.已知i 为虚数单位,下面四个命题中是真命题的是 A .342i i +>+B .24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C .()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D .12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ,B 是否正确,将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确;利用复数的除法法则化简12iz i+=+,判断D 选项是否正确. 【解析】对于A ,因为虚数不能比较大小,故A 错误;对于B ,若()242a a i ++-为纯虚数,则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩,解得2a =,故B 正确;对于C ,()()()211221242z i i i i i =++=+=-+,所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内,故C 正确;对于D ,()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-,虚部为15,故D 错误.故选BC . 12.已知复数(12)5z i i +=,则下列结论正确的是A .|z |B .复数z 在复平面内对应的点在第二象限C .2z i =-+D .234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+,再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解.【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-,22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限,故AD 正确.故选AD13.已知i 是虚数单位,复数12i z i -=(z 的共轭复数为z ),则下列说法中正确的是 A .z 的虚部为1B .3z z ⋅=C .z =D .4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--,再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解. 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---,所以2z i =-+, 对于A ,z 的虚部为1,故A 正确;对于B ,()2225z z i ⋅=--=,故B 不正确;对于C ,z =C 正确;对于D ,4z z +=-,故D 不正确.故选AC14.早在古巴比伦时期,人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶,数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法.此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根(重根按重数计).下列选项中属于方程310z -=的根的是A.12 B.12-+ C.122-- D .1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可.【解析】对A,当122z =+时, 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-,故3120z -=-≠,A 错误; 对B,当12z =-时,31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=,故310z -=,B 正确; 对C,当12z =-时,31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=,故310z -=,C 正确; 对D ,显然1z =时,满足31z =,故D 正确.故选BCD .15.已知复数()()122z i i =+-,z 为z 的共轭复数,则下列结论正确的是A .z 的虚部为3iB .5z =C .4z -为纯虚数D .z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ,然后进行逐项判断即可.【解析】因为()()12243z i i i =+-=+,则z 的虚部为3,5z z ===,43z i -=为纯虚数,z 对应的点()4,3-在第四象限,故选BCD .三、填空题1.已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位),则z =_________.【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末(一模)【答案】1【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解.【解析】由(1)1z i i ⋅-=+,得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+,所以1z =.故答案为1. 2.i 是虚数单位,复数1312i i-+=+_________. 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -,再利用乘法运算法则计算即可. 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--.故答案为1i +. 3.若复数z 满足方程240z +=,则z =_________.【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+,再计算2z ,根据实部和虚部的数值,列式求复数..【解析】设z a bi =+,则22224z a b abi =-+=-,则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩,解得02a b =⎧⎨=±⎩,所以2z i =±,故答案为2i ±. 4.复数21i-的虚部为_________. 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化,将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +,然后即可判断出复数的虚部. 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+,所以复数的虚部为1,故答案为1. 5.若复数z 满足(12)1i z i +=-,则复数z 的虚部为_________.【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则,求出z ,即可得出结果.【解析】因为(12)1i z i +=-,所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-, 因此其虚部为35.故答案为35. 6.复数34i i+=_________. 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理后得到最简形式即可. 【解析】由复数除法运算法则可得, ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-,故答案为43i -. 7.已知复数(1)z i i =⋅+,则||z =_________.【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则,化简复数为1z i =-+,进而求得复数的模,得到答案.【解析】由题意,复数(1)1z i i i =⋅+=-+,所以z == 8.i 是虚数单位,复数73i i-=+_________. 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试(文)【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可. 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-.故答案为2i -. 9.设复数z 的共轭复数是z ,若复数143i z i -+=,2z t i =+,且12z z ⋅为实数,则实数t 的值为_________.【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试(理) 【答案】34【分析】先求出12,z z ,再计算12z z ⋅即得解. 【解析】由题得14334i z i i-+==+,2z t i =-, 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数, 所以3430,4t t -=∴=.故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =,不需要限制a .10.函数()n nf x i i -=⋅(n N ∈,i 是虚数单位)的值域可用集合表示为_________. 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域.【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==,故答案为{}1. 11.已知()20212i z i +=(i 为虚数单位),则z =_________.【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二(理)【分析】由i n 的周期性,计算出2021i i =,再求出z ,求出z .【解析】因为41i =,所以2021i i =,所以i 12i 2i 55z ==++,所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型:(1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则;(2) 求共轭复数是实部不变,虚部相反;(3) 复数的模的计算直接根据模的定义即可.12.若31z i =-(i 为虚数单位),则z 的虚部为_________. 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试(文) 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ,由此可得出复数z 的虚部. 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+,因此,复数z 的虚部为32-. 故答案为32-. 13.设i 为虚数单位,若复数z 满足()21z i -⋅=,则z =_________. 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末(文)【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ,利用共轭复数的定义可求得复数z .【解析】()21z i -⋅=,122z i i ∴=+=-,因此,2z i =+.故答案为2i +. 14.已知i 是虚数单位,则11i i+=-_________. 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-,利用复数的模长公式可求得结果. 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+,因此,111i i i +==-.故答案为1. 15.i 是虚数单位,复数103i i=+____________. 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可.【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-,故答案为13i +. 16.在复平面内,复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上,则实数a =_________.【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解.【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+,其在复平面内对应点的坐标为()1,a -, 由题意有:10a -+=,则1a =.故答案为1.17.已知复数z 满足()1234i z i +=+(i 为虚数单位),则复数z 的模为_________.【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模.【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+,5z == 18.复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________. 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底(期末)考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--,进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--, 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-.故答案为1-. 19.已知i 是虚数单位,复数11z i i =+-,则z =_________. 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算,化简复数为1122z i =-+,再结合复数模的计算公式,即可求解. 【解析】由题意,复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----,所以2z ==.故答案为2. 20.计算12z ==_______. 【试题来源】2021年高考一轮数学(理)单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式,化简求值.【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--. 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算,注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭,()212i i +=, 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦,等公式化简求值. 四、双空题1.设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位,a ,b ∈R ),则a =_________,b =_________. 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+,利用复数相等的定义得到a ,b 的值,即得解. 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-,1,1a b ∴=-=-. 故答案为-1;-1.2.已知k ∈Z , i 为虚数单位,复数z 满足:21k i z i =-,则当k 为奇数时,z =_________;当k ∈Z 时,|z +1+i |=_________.【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学(苏教版)【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解.【解析】当k 为奇数时,()()2211k k k i i ==-=-, 所以1z i -=-即1z i =-+,122z i i ++==; 当k 为偶数时,()()2211k k k i i ==-=,所以1z i =-,122z i ++==;所以12z i ++=.故答案为1i -+;2.3.若复数()211z m m i =-++为纯虚数,则实数m =_________,11z=+_________. 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩,即可求出m ,再由复数的除法运算即可求出.【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数,21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩,解得1m =,。
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河南省名校联盟2020-2021学年高三11月联考数学
试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合,,则()A.B.C.D.
2. 若,则下列不等式成立的是()
A.B.C.D.
3. 中,角,,,的对边分别为,,,若,,
,则()
A.B.C.D.
4. 已知向量,,若向量与的夹角为,则
()
A.B.10 C.D.
5. 已知幂函数为奇函数,则实数的值为()A.4或3 B.2或3 C.3 D.2
6. 已知,为第二象限角,则()
A.B.C.D.
7. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:,它表示:在受高斯白噪声干扰的信道中,最大信息传递速率取决于信道带宽、
信道内所传信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小,其中叫
做信噪比.按照香农公式,在不改变的情况下,将信噪比从1999提升至,使得大约增加了20%,则的值约为(参考数据:,
)()
A.7596 B.9119 C.11584 D.14469
8. 已知函数,则函数的零点个数为
()
A.1 B.2 C.3 D.4
9. 已知数列满足,,则()
A.B.3 C.1
D.
10. 的部分图象如图所示,若将函数
的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则()
A.
B.
C.
D.
11. 如图,在离地面的热气球上,观察到山顶处的仰角为,在山脚处观察到山顶处的仰角为60°,若到热气球的距离,山的高度,,则()
A.30°B.25°C.20°D.15°
12. 已知函数,其中是自然对数的底数,若
,则实数的取值范围为()
C.D.
A.B.
二、填空题
13. 已知变量,满足约束条件,则目标函数的最大值为______.
14. 已知为等比数列,为其前项和,若,,则
______.
15. 曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为2,则实数的值为______.
16. 已知一个圆锥内接于球(圆锥的底面圆周及顶点均在球面上),若球的半径,圆锥的高是底面半径的2倍,则圆锥的侧面积为______.
三、解答题
17. 设等差数列的前项和为,.
(1)求;
(2)求数列的前项和.
18. 在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
.
(1)求c的值;
(2)若,求面积的最大值.
19. 已知的图象过点,且图象的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求函数的单调区间;
(2)若在区间上的最大值与最小值之和为,求实数的值.
20. 已知向量,,且. (1)求及;
(2)求函数的最值以及对应的值.
21. 如图,已知平行四边形中,为的中点,且,且
,且.将四边形沿折起,使平面,连接、.
(1)求证:平面;
(2)设为的中点,求点到平面的距离.
22. 已知函数,.
(1)求的单调区间;
(2)当时,判断函数的零点个数.。