论将MATLAB融入《线性代数》
线性代数教学中渗透MATLAB的探究
第3期
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
○高校讲坛○
科技信息
线性代数教学中渗透 ＭＡＴＬＡＢ 的探究
艾 玲 张立国 （ 沈阳理工大学 理学院 ， 辽宁 沈阳 110159 ）
【摘 要 】 针 对 线 性 代 数 教 学的 现状 ： 概念 抽 象 、 计算 冗 繁 、 理 论 实践 脱 节 ， 提 出了 在 线 性 代 数 教 学 中 结 合 MATLAB 软 件 教 学 ， 并 举 例 说 明
用下列 MATLAB 程序计算 x5 ，x10 ：
1 3 -3 = 1 1 1 来判别向量组的线性相关性 ， 实现这个运算 ， 并在空间画出 23 0 这些向量和其中两向量 v 1 , v 3 所确定的平面的 MATLAB 程序如下 ： v1=[1;1;2];v2=[3;1;3];v3=[-3;1;0]; A=[v1,v2,v3]; D=det(A) % 求 A 的行列式值 plot3([1,3,-3],[1,1,1],[2,3,0],'>');hold on% 绘制向量箭头 plot3([0,1],[0,1],[0,2]);hold on % 绘制向量 v1 plot3([0,3],[0,1],[0,3]);hold on % 绘制向量 v2 plot3([0,-3],[0,1],[0,0]);grid on% 绘制向量 v3 syms x y z B=[x,y,z;1,1,2;-3,1,0]; det(B) % det(B)=0 为 v1,v3 所张成的平面 ezmesh('1/2*x+3/2*y',[-3,3,-0.8,1.2]) % 绘制 v 1 , v 3 所张成的平面
对毕业设计进行科学合理的考核评价 ， 有利于促进学生发挥积极 性和主动性 。 因此 ， 在毕业设计考核时 ， 要把创新点作为重要的评分依 据 ， 提高其在毕业设计成绩评定标准中的分数比例 。 如果学生在设计 内容上有创新意识 ， 在现有的方法 、 技术上有所改进或突破 ， 就应该获 得较好的成绩 。 判定毕业设计是否做了一些实质性工作 ， 是否使用了一些新的方 法和手段解决问题 ， 或者使用老的方法解决了新的问题 。
用matlab解决线性代数的问题
生成向量（1）
• 初值:步长:终值 生成从初值开始、以步长为间隔、小于或等于终值的行向量 如果不设步长，则默认步长为1
x是行向量；x’是其转置，为列向量
节约计算时间的技巧
对于需要对其元素循环赋值的矩阵，可预先对整个矩阵赋值，例如赋值为零矩阵。 以某20X500个循环的 脚本为例：
提示：循环越多，矩阵越大， 节约计算时间就越重要。
利用函数生成矩阵（2）
• eye(n)生成n×n的单位矩阵； eye (m,n)生成m×n的单位矩阵； eye(size(A))生成与A同维数的单位矩阵
– AX=B的解是X=A\B，等价于inv(A)*B – XA=B的解是X=B/A，等价于B*inv(A)
• • • • • • • •
方矩阵A的行列式：det(A) 方矩阵A的逆：inv(A) 矩阵A的共轭转置：A’ 矩阵A的转置：conj(A’) 方矩阵A的乘方：A^n 方矩阵A的迹：trace(A) 矩阵A的秩：rank(A) 方矩阵A的特征向量(矩阵)v和特征值(对角矩阵) d ： [v d]=eig(A) • 对矩阵A作行初等变换化为行最简矩阵：rref(A) • 对矩阵A作奇异值分解：svd(A)
用matlab解决线性代数的问题
张宏浩
Matlab的一些常识
• • • • • • • • pi表示圆周率π=3.14159… i或j表示虚数单位sqrt(-1) conj(x)：取x的复共轭 log(x)：以e为底的对数函数ln(x) log10(x)：以10为底的对数函数 exp(x)：指数函数e^x sin(x),cos(x),tan(x),cot(x)：三角函数 asin(x),acos(x),atan(x),acot(x)：反三角函数
MATLAB在工程线性代数教学的应用及实践
MATLAB在工程线性代数教学的应用及实践【摘要】利用传统的教学方法进行工科线性代数教学，学生接受起来有一定难度，而且难以应用到实际问题中。
为了解决以上问题，本文将数学软件 MATLAB引入线性代数课堂教学中进行教学改革实践，并进行了相应的课堂教学设计和实验设计，希望能起到更好的教学效果。
【关键词】线性代数MATLAB 教学过程实践教学教学评价一、引言近年来，计算机技术和各种数学软件的飞速开展，给数学教育带来了巨大的影响。
为了提高高校传统数学的教学效果，改变只重理论无视应用的教学弊端，许多高校已在数学教学中引入 MATLAB 数学软件。
线性代数作为高校数学教育的三大根本公共根底课程之一，是培养学生的数学思维能力和计算能力的重要课程。
如何利用计算机技术改革线性代数教学，怎样进行从理论到应用的线性代数教学，是当前线性代数教学改革中的一个十分重要的课题。
MATLAB软件是一种先进的科学计算软件，它是由 MathWorks 公司于 1984 推出。
该软件集成了数据操作的根本单元，并提供了大量的内置函数，包括线性代数、矩阵分析和变换、统计、优化、数值计算等。
因此， MATLAB 软件是线性代数教学中最适合采用的数学软件。
二、教学过程设计长期以来，线性代数的教学中只重视理论和计算，无视了线性代数理论的背景及其应用。
传统的教学方法是黑板上书写定理、概念和习题，这样有利于解释理论的内容，让学生了解每一步的理论来源和逻辑思维过程，但在行列式、逆矩阵、解方程的计算例题讲授中，在黑板上写的篇幅太多而且消耗时间。
虽然“概念、定理、习题〞的教学模式能反映数学的逻辑与推理，但缺乏交互性和实用性，不利于调动学生的主动性和学习兴趣，也不利于培养学生的想象力和创造力。
因此，我们提出了利用多媒体课件和 MATLAB 软件的教学模式。
对于线性代数的理论知识和数值算例，我们仍然使用传统板书的教学方法，并结合 MATLAB数值计算和有绘图功能的多媒体教学，在黑板上逼真地再现抽象的知识和复杂的计算过程，以更生动直观的形象让学生了解解题过程，让学生在课堂内获得更多有用的信息。
【学习】用Matlab学习线性代数行列式
【关键字】学习用Matlab学习线性代数__行列式实验目的理解行列式的概念、行列式的性质与计算Matlab函数det实验内容前面的四个练习使用整数矩阵，并演示一些本章讨论的行列式的性质。
最后两个练习演示我们使用浮点运算计算行列式时出现的不同。
理论上将，行列式的值应告诉我们矩阵是否是奇异的。
然而，如果矩阵是奇异的，且计算其行列式采用有限位精度运算，那么由于舍入误差，计算出的行列式的值也许不是零。
一个计算得到的行列式的值很接近零，并不能说明矩阵是奇异的甚至是接近奇异的。
此外，一个接近奇异的矩阵，它的行列式值也可能不接近零。
1.用如下方法随机生成整数元素的5阶方阵：A=round(10*rand(5)) 和B=round(20*rand(5))-10用Matlab计算下列每对数。
在每种情况下比较第一个是否等于第二个。
（1）det(A) ==det(A T) （2）det(A+B) ；det(A)+det(B)（3）det(AB)==det(A)det(B) （4）det(ATBT) ==det(AT)det(BT)（5）det(A-1)==1/det(A) （6）det(AB-1)==det(A)/det(B)> A=round(10*rand(5));>> B=round(20*rand(5))-10;>> det(A)ans =5972>> det(A')ans5972>> det(A+B)ans =36495>> det(A)+det(B)ans =26384>> det(A*B)ans =4>> det(A)*det(B)ans =4>> det(A'*B')ans =4>> det(A')*det(B')ans =4>> det(inv(A))ans =0.00016745>> 1/det(A)ans =0.00016745>> det(A*inv(B))ans =0.29257>> det(A)/det(B)ans =0.29257>>2.n阶的幻方阵是否奇异？用Matlab计算n=3、4、5、…、10时的det(magic(n))。
应用型本科《线性代数》与matlab教学改革
Matlab 是数学计算软件，功能非常强大，随着科学技术的不断发展，笔算与电脑算相结合是未来发展的必然趋势，光 用笔算不行，光用电脑算也不行，为什么呢？因为有些数学模型，用笔算很难算出，有的几乎不可能。但用电脑算（数学软 件）很容易算出结果，来得快。但不能全依赖于电脑，基本计算方法、必要的简单的笔算能力是要掌握的，有些简单的问题 用笔算还快一点，再则电脑算有它的局限性，它是死算，是机器算，不是人算，过份使用它会失去数学的一个重要作用：即 逻辑思维能力的培养。例如：现在经商的、或上街买菜算数都用计算器，很少用笔算，难道叫小学生不要学笔算加、减、乘、 除了吗？，专学用计算器来算，那就麻烦了，将成为机器的奴隶，影响智力的开发。所以只有笔算和电脑算“两算”相结合、 互相弥补才是最佳途径。 学过线性代数的人都知道,线性代数的特点是计算量大,单独用笔算是很麻烦的,特别在实际应用中，更为突出，例如： 案例：某食品厂收到某种食品订单，要求这种食品由甲、乙、丙、丁四种原料做成，且该食品中含蛋白质、脂肪和碳水 化合物的比例分别为 15%、5%和 12%，而甲、乙、丙、丁四种原料中含蛋白质、脂肪和碳水化合物的百分比由下表给出， 这四种原料各用多少才配置出满足要求的食品？ 甲 蛋白质 脂肪 （%） （%） 20 3 10 乙 16 8 25 丙 10 2 20 丁 15 5 5
上面方程若用笔算来解， 比较麻烦， 但用 matlab 解只用两分钟 （电脑输入过程） 就可以解出： x1 0.1031 ， x2 0.2147 ，
收稿日期：2012－04－21 基金项目：第二批院级教学成果培育项目“应用型本科《高等数学》教学改革研究与实践” 。 作者简介：刘忠志（1959－） ，男，湖南永州人，广东白云学院基础教学部副教授，研究方向为高等数学教育研究。 7
应用型本科《线性代数》与matlab教学改革
题，实行笔算与电脑算相结合的教学改革与探讨，取得较好的教学效果，深受学生欢迎。
关键 词：应 用型本科；线性代数教学 ；“ ａ ａ”计 算；教 学改革 ｍ ｔｂ ｌ
中图分类号 ：０ ３ １ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ７— ２ ９ （０ ２ ８ ０ ０ — ６ ６ ３ ２ １ ２ １ ）０ — ０ ７ ０
注 ：Ａ 是增广矩阵 ，￣ Ｒ 是计算命令 ，ａ ｓ ｅ Ａ） ｎ 是计算结果 ：第一 、二、三、 四列分别表示 １ ２ 、 、 最后一列分别是 、 ２ Ｘ 、 ４的得数 。 、 ３ 用 ｍａａ ｔ ｂ解决数 学问题 是死 算，只知其算 ，不 知其理 ，所 以笔算方法要给学生讲清楚 。 ｌ
Ｍａ ａ ｔ ｂ是数学计算软件 ，功能非常强大 ，随着科 学技术 的不断发展 ，笔算与 电脑算相结合 是未来 发展的必然趋势 ，光 ｌ 用笔算 不行 ，光 用电脑算也不行 ，为什 么呢？ 因为有些数学模型 ，用笔算很难算 出，有 的几乎不可能 。但 用 电脑 算 （ 数学软 件 ）很容易算 出结果 ，来得快 。但不能全依赖于 电脑 ， 本计算方法、必要 的简单 的笔算能力 是要 掌握 的，有些简单的问题 基
用笔算还快一 点 ， 再则 电脑算有它 的局 限性 ，它是死算 ， 是机器 算 ， 不是人算 ， 过份使用它会失去数学 的一个重要作 用：即
逻辑思 维能力 的培养 。例 如 ： 现在经商 的、或上街 买菜 算数 都用计算器 ，很少用笔算 ， 难道 叫小 学生不要 学笔算加 、减、乘、 除 了吗？ ，专学用计算器来算 ， 那就麻烦 了，将成为机器 的奴隶 ，影 响智力 的开发 。所 以只有笔算和 电脑算 “ 两算”相结合、
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线性代数及matlab应用
线性代数及matlab应用线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的性质。
线性代数在许多领域中都有广泛的应用，尤其在计算机科学、物理学、工程学和经济学等领域中起着重要的作用。
而MATLAB作为一种强大的数学软件工具，可以方便地进行线性代数的计算和应用。
线性代数的基本概念包括向量、矩阵、线性方程组、线性变换等。
向量是线性代数中的基本对象，它可以表示空间中的一个点或者一个方向。
矩阵是由一组数按照一定的规则排列成的矩形阵列，它可以表示线性映射或者线性方程组。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，它可以表示多个变量之间的线性关系。
线性变换是一种保持向量加法和数乘运算的映射，它可以将一个向量空间映射到另一个向量空间。
MATLAB提供了丰富的线性代数计算函数和工具箱，可以方便地进行向量和矩阵的运算。
例如，可以使用MATLAB的矩阵乘法函数`*`来计算两个矩阵的乘积，使用矩阵的转置函数`'`来计算矩阵的转置，使用矩阵的逆函数`inv()`来计算矩阵的逆等。
此外，MATLAB还提供了求解线性方程组的函数`linsolve()`和求解特征值和特征向量的函数`eig()`等。
线性代数在实际应用中有许多重要的应用。
例如，在计算机图形学中，线性代数可以用来描述和变换三维空间中的图形和物体。
在机器学习和数据挖掘中，线性代数可以用来描述和处理大量的数据和特征向量。
在信号处理和通信系统中，线性代数可以用来描述和分析信号的传输和处理过程。
在经济学和金融学中，线性代数可以用来描述和分析经济模型和金融市场。
总之，线性代数是数学中的一个重要分支，它在许多领域中都有广泛的应用。
MATLAB作为一种强大的数学软件工具，可以方便地进行线性代数的计算和应用。
通过学习线性代数和掌握MATLAB的使用，可以更好地理解和应用线性代数的概念和方法，提高数学建模和问题求解的能力。
【matlab-7】Matlab与线性代数（一）
【matlab-7】Matlab与线性代数（⼀）⼀、线性代数基本⽅程组基本⽅程组：矩阵表⽰：解决问题的视⾓：1、解联⽴⽅程的视⾓ (⾏阶梯变换 & 矩阵运算)着重研究解x，即研究线性⽅程组的解法。
中学⾥的解⽅程和MATLAB的矩阵除法就是这样。
要点：矩阵的每⼀⾏代表⼀个⽅程，m⾏代表m个线性联⽴⽅程。
n列代表n个变量。
如果m是独⽴⽅程数，根据m<n、m=n、m>n确定⽅程是 ‘⽋定’、‘适定’ 还是 ‘超定’。
对这三种情况都会求解了，研究就完成了。
必须剔除⾮独⽴⽅程。
⾏阶梯形式、⾏列式和秩的概念很⼤程度上为此⽬的⽽建⽴。
2、向量空间中向量的合成的视⾓ (⽤向量空间解⽅程组)把A各列看成n个m维基本向量，线性⽅程组看成基向量的线性合成：要点：解x是这些基向量的系数。
它可能是常数(适定⽅程)，也可能成为其中的⼀个⼦空间(⽋定⽅程) 。
要建⽴其⼏何概念，并会求解或解空间。
3、线性变换或映射的视⾓ (线性变换及其特征)把b看成变量y，着重研究把Rn空间的x变换为Rm空间y 的效果，就是研究线性变换系数矩阵A的特征对变换的影响。
要点：就是要找到适当的变换，使研究问题的物理意义最为明晰。
特征值问题就是⼀例。
⼆、线性代数建模与应⽤概述介绍⼀些⼤的系统⼯程中使⽤线性代数的情况，使读者知道为什么线性代数在近⼏⼗年来变得如此的重要。
Leontief教授把美国的经济⽤500个变量的500个线性⽅程来描述，在1949年利⽤当时的计算机解出了42×42的简化模型，使他于1973年获得诺贝尔经济奖，从⽽⼤⼤推动了线性代数的发展。
把飞⾏器的外形分成若⼲⼤的部件，每个部件沿着其表⾯⼜⽤三维的细⽹格划分出许多⽴⽅体，这些⽴⽅体包括了机⾝表⾯以及此表⾯内外的空⽓。
对每个⽴⽅体列写出空⽓动⼒学⽅程，其中包括了与它相邻的⽴⽅体的共同边界变量，这些⽅程通常都已经简化为线性⽅程。
对⼀个飞⾏器，⼩⽴⽅体的数⽬可以多达400,000个，⽽要解的联⽴⽅程可能多达2,000,000个。
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论将MA TLAB融入《线性代数》
郑成勇
(五邑大学数学与计算科学学院广东江门 529020)
摘要探讨如何将ATLAB引入《线性代数》课程，提出了一些个人的看法和主张。
关键词MATLAB线性代数
中图分类号：G64 文献标识码：A
Introducing MA TLAB Into Linear Algebra
Zheng Chengyong
(Dept. of Mathematics & Physics, Wuyi University, Jiangmen , Guangdong ,529020)
Abstract In this paper, we discuss how to introduce MA TLAB into course of linear algebra, and put forward some personal ideas and opinions.
Keyword MATLAB, Linear Algebra
一、当前主流线性代数教材存在的不足
《线性代数》(以下简称《线代》) 同济版教材[1]，书写简洁、体系完整，知识前后联系紧密，环环相扣。
从数学角度而言，该书堪称经典，非常符合一般数学老师要求，而且配套的ppt课件也做的很好，也就不难解释该教材为何在全国采用率如此之高了。
但因为该书是给工科学生用的，对工科学生而言，其内容有些过于偏重理论，缺乏必要的应用实例，缺乏与工程实际及工科专业课的联系。
如缺乏对工程实际中广泛涉及的超定方程的讨论，对工程应用中较少涉及的欠定方程组的通解问题花费较多笔墨。
而且，由于过于强调内容体系的完整以及知识间的逻辑联系，第一章从古古怪怪的逆序数，引出古古怪怪的行列式的定义，到行列式的性质、克拉默法则，还有不少的习题，这需要花费较多的学时来讲授。
但行列式不应该是《线代》的重点，《线代》的核心应该是矩阵、线性方程组等，主轴是矩阵的初等行变换。
从行列式开始引入不符合先易后难的认知规律，容易使初学者误认为行列式是重点，不利于学生把握《线代》的重点和主轴。
另外，现在流行的教材仍然没有引入科学计算软件，导致学生学完了该课程也难以求解4阶或4阶以上的矩阵问题，无法实现该课程应有的对学生科学计算能力的培养以及该课程在后续课程中的应用。
二、引入MATLAB的必要性
1、更新教学内容，加强课程工科特性，需要引入MATLAB
工科《线代》是面向工科学生，内容必须具有工科特性。
要使内容具有工科特性，必须适当地引入具体的应用实例。
而一般的实际问题，靠手工计算是不现实的，必须借助必要的科学计算软件。
而MA TLAB是目前国内外最流行的标准的科学计算软件，借助MA TLAB，许多工程应用问题都可以利用线性代数的有关知识进行建模求解，从而增强《线代》的工科特性。
有了实际的应用背景，学生才会真正体会到线性代数“有用”，并掌握具体的应用技巧。
2、提高学生科学计算能力，需要引入MATLAB
科学计算能力是理工科学生理应具备的一种重要能力。
那么，什么是科学计算能力？学生的科学计算能力从何而来？
科学计算能力是指的利用现代计算工具(包括硬件和软件)解决教学和科研中计算问题的能力[2]。
既然科学计算能力要求学生掌握现代的计算工具，而MA TLAB是目前国内外最流行的标准的科学计算软，那么我们就没有理由仍坚持传统偏重理论的以笔算为主的《线代》课程教学。
应将MA TLAB 融入《线代》课程教学中去，让学生在掌握一般的原理方法的基础上，将学生从低级繁琐的初等行列变换中解脱出来，重点培养学
生分析问题、应用知识、建立数学模型，并能应用数学软件进行求解的能力，通过理论与实践的结合，真正培养学生的科学计算能力。
3、改革教学手段，提高教学效率，需要引入MATLAB
《线代》中涉及大量的矩阵计算，然而目前的教学仍是以黑板粉笔推演为主。
黑板粉笔推演适合一些定理、性质的阐释，适合二、三阶矩阵的计算，但对一般《线代》问题的求解，笔算常常是令人生畏的。
不借助软件工具，许多实际问题无法在课堂展开，无法将一些规模稍大的工程实际问题引入《线代》课程教学，导致传统的《线代》教学只能从理论到理论，无法体现《线代》的应用特性，学生也几乎兴趣索然。
加强笔算与机算的结合，丰富课堂内容，提高教学效率。
三、如何融入MATLAB
如何合理地将MA TLAB融入《线代》课程，是个复杂的系统的问题。
需要从教材内容的选取、内容的编排，课程实验的设置等等诸方面去综合考虑。
课程的内容方面，西安电子科技大学的陈怀琛等人编写的《工程线性代数（MA TLAB版）》为我们提供了一个很好的参考，该书在将加强《线代》的工科特性及融入MA TLAB方面做了很好的尝试。
在内容编排上，个人认为，设为“第一章矩阵及其运算”、“第二章线性方程组与矩阵初等变换”，然后是“第三章向量组的线性相关性”、“第四章行列式”、“第五章相似矩阵及二次型”等会比较好。
从数据表很容易引出矩阵的定义，不一定非要从线性方程组引出，如可以从一般的数据表格、从图像、从加权图等引出矩阵。
在介绍了矩阵及其运算后，可以很自然地引入MA TLAB中矩阵的表示及其基本运算。
有了矩阵的知识后，可以很轻易第给出线性方程组的矩阵表示，有了矩阵表示后，容易将线性方程组的消元法求解自然地对应于矩阵的初等变换，进而由矩阵的初等行变换引出矩阵的秩、线性方程组解的有关判别定理等。
这部分内容重点将MA TLAB中化矩阵为行最简型的函数rref()、求矩阵的秩函数rank()、求齐次线性方程组的基础解系的函数null()、求矩阵的逆函数inv()、左除(“\”)、右除(“/”)运算以及最小二乘法解超定方程的方法引入课堂教学。
“向量组的线性相关性”问题本质上是线性方程组问题，安排在“线性方程组与矩阵初等变换”之后也很自然，涉及到的MA TLAB函数主要还是rank()、rref()等。
在讲“特征值、特征向量”之前，需要用到行列式，将行列式的内容排在“相似矩阵及二次型”也是体现这种知识的逻辑关系。
行列式在《线代》中是根硬骨头，花时较少难以讲清楚，费时太多又容易引偏《线代》的重点。
区别于教材[1]，国外的教材一般对行列式的有关内容进行了适当的淡化处理。
采用以上这种内容编排，避免一开始就让学生面对行列式这样的硬骨头，符合先易后难、循序渐进的认知规律；可使MA TLAB 顺利融入《线代》课程；有利于把握主线、突出重点。
四、应注意的地方
1、引入MA TLAB进行科学计算的同时，不能忽视笔算题和理论证明题的作用。
笔算题有助于学生对相关算法的掌握与理解，理论证明题有助于学生逻辑思维能力的培养。
2、注意学时分配的合理性，不能花太多时间用于MA TLAB的教学，强调通过考试杠杆作用让学生主动去学习掌握必要的MA TLAB 技能。
3、加强对教师MA TLAB的培训，提高数学教师应用数学软件的能力。
参考文献
[1]同济大学应用数学系. 工程数学-线性代数（第四版）[M].北京:高等教育出版社.2003.
[2] 陈怀琛, 高淑萍, 杨威. 科学计算能力的培养与线性代数改革[J]，高等数学研究, 2009, 12(3)：23-26.。