第7章截面几何性质答案

第七章 截面几何性质

基本要求与重点

1.形心与重心

（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。

（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。

（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。

2.面积静矩（又称静矩或面矩）

（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。

（2）能熟练计算组合图形的静矩。

（3）熟知面积静矩的重要性质。

3.惯性矩与极惯性矩。

（1）理解惯性矩与极惯性矩

（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义

（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系

（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。

（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩

（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。

4.了解惯性积、形心主轴的概念

主要内容

1.形心与重心

（1）概念与性质

重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。对均质物体，重心与形心位置重合。 若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。

（2）计算

形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。其中，常用的是代数形式的计算公式：

11n n ic i ic i

i i c c x A y A x y A A

==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）

（1）定义：分为代数式和积分式两种形式

有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。 积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。

（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。

（3）计算

根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。

11S S n n

x ix i i c i i y A y A ====⋅∆=⋅∑∑

11S S n n

y iy i i c i i x A x A ====⋅∆=⋅∑∑

3.惯性矩与极惯性矩。

（1）定义

点对轴的惯性矩：22z y dI y dA dI z dA =⋅=⋅，

点对点的极惯性矩2O dI dA ρ=⋅

图形对轴的惯性矩22,z y A A

I y dA I z dA ==⎰⎰ 图形对点的惯性矩2p A

I dA ρ=⎰ （3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系

若y z I I 、是某一图形对直角坐标系yOz 中两轴的惯性矩，p I 是对该坐标系原点O 的极惯性矩。则：

p z y I I I =+

（4）惯性矩的平行轴定理：几何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。（太长了，慢慢读）即：

2C z z I I A d =+⋅

（5）组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。

第1步：将图形分割为几个简单图形，按形心计算公式求出总的形心位置。

第2步：利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。

第3步：将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。

4.惯性积、形心主轴的概念

惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。

yz A

I z ydA =⋅⎰ 惯性积的值可为：正、负或零。

当0yz I =时，对应的坐标轴y z 、称为主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

当坐标原点在形心时，对应的坐标轴称为形心主轴；对应的惯性矩称为形心主惯性矩。 两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。

思考题与习题

7-1．如图所示T形截面，C为形心，z为形心轴，问z轴上下两部分对z轴的静矩存在什么关系

答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。

7-2．如图所示矩形截面m-m以上部分对形心轴z的静矩和m-m以下部分对形心轴z的静矩有何关系

答：同上。

7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的为什么它们的值有的恒为正有的可正、可负、还可为零

答:定义在主要内容中所详细说明。

由定义可知，它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。面积元为正，坐标可能为正、负、零。所以惯性积，可为正、负、零。而（极）惯性矩是面积与坐标平方的积，恒为正，所以它们的积分也为正。

7-4．图a所示矩形截面，若将形心轴z附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b，问此截面对z轴的惯性矩有何变化为什么

答：惯性矩为变大。因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b)图离轴远的点更多。

7-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩4128

z D I π=，则对z 1轴的惯性矩如下计算是否正确为什么

()124242

1512828128

z D D D D I I a A πππ=+=+⋅= 答：不对。

平行移轴公式2C z z I I a A =+中，C z I 的轴必须是过形心且与z 平行的轴。

7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系惯性半径i z 是否就是图形形心到该轴的距离

答：1.惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：z z i I A

=

。惯性半径不是图形形心到该轴的距离。

2.不是，由上式可以看出惯性半径恒大于零，图形形心到该轴的距离可以等于零。（什么时候）

7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为1z 轴，试计算对1z z 1轴的静矩。