材料力学课件第六章截面图形的几何性质
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材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
材料力学—截面几何性质
主轴:满足惯性积为零的坐标轴
主惯性矩:对主轴的惯性矩
主形心轴与主形心惯性矩
I y
Iy
Iz
I y Iz cos2
I
2
2
z
I yz sin2
主形心轴 主形心轴
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
第六章 弯曲应力
二、 惯性积的平行移轴定理
I yz
yzdA
A
y a y0 , z b z0
I yz Aa y0 b z0 dA
I y0z0 A y0 z0dA, A y0dA 0, A z0dA 0
I yz I y0z0 Aab
1
1
yc1 A1 yc2 A2 yc3 A3
n
n
yc
Sz A
Si
i 1
A
i 1
yci Ai A
Sz
S(整) z
S(孔) z
y
c
S(整) z
A( 整 )
S(孔) z
A(孔)
负面积法
第六章 弯曲应力
例： 确定下图所示截面的形心位置
50
50
A1
z
60
A2
10
解：将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：
第六章 弯曲应力
A-4 转轴公式与惯性矩
一、 转轴公式 y1 ycos zsin z1 zcos ysin
I y1z1 A( ycos zsin )(zcos ysin )dA
：始边y轴，为正
I y1z1
Iy
2
Iz
sin2
I yzcos2
I y1 I y Iz I y Iz cos2
截面几何性质(材料力学)
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
bh3 Iz 12
C z
bh3 Iz' 12
h
b
y
注意： 1. 两个座标系的原点 必须重合； 2. 两轴惯性矩之和为常量
z
O
I y1 I
z1
I y I I p z
I z1 I y1
4）解法四 y1 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3 I z0 4
A3 y
d 4
64
2 I y 2 I z0 3 I z0 3
d4
64 Iy
2
A2 z0
d
4
128
I z I z1 I z0 3 OC
d
2
d4 Iy 128 18
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关， 2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm4
y dA
4. 惯性半径
Iy iy A
Iz iz A
y
（单位m 或 mm）
O
z z
例
试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y dy
解： 取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy
h
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 321104 mm4 y
I yc 0 I min
I zc I yc 2
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 57.4 104 mm 4 y
材料力学截面的几何性质课件
材料力学截面的几何 性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
材料力学截面图形的性质课件
(
I
y
A
A
A
由于 x 轴过形心
同理
ydA Sx 0
A
I y I y b2 A
I x I x a2 A
I xy I xy abA
平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )
y
y
x dA
b
y x
c
a
x
重要公式
Ix Ix a2 A
Iy Iy b2 A
Ixy Ixy abA
1. 两种坐标的转换
y
y
Q
Q O
K
P x
R Sx
P
x OP y OQ
x OP y OQ
x OP OR RP OR PS
OP cos PK sin x cos y sin
y PK SK SP SK PR
PK cos OPsin xsin y cos
x x cos y sin
惯性积 ( product of inertia )
Ixy xy dA A
极惯性矩 ( polar moment of inertia )
IP (x2 y2 )dA r2dA
A
A
例 求如图三角形对 x 轴的惯性矩。
y b
斜边的方程为 y h x b
h dA
x
Ix
y2dA
i
i
组合图形形心计 算中的负面积法
Sy Sy1 Sy2
A A1 A2
xy
S y1 A1
Sy2 A2
例 求如图截面的形心位置。 例 求如图截面的形心位置。
3a a
7a/ 2
5a/ 2
3a 3a/ 2
材料力学截面的几何性质课件
截面的对称性
截面可以是对称的或非对称的。
对称截面是指沿中心线对称的截面，如圆形、正 方形等。
非对称截面是指不沿中心线对称的截面，如椭圆 形、三角形等。
截面的重心
重心是物体质量的集中点，对于规则形状的物体，重心位置可以通过几何计算得 到。
对于截面，重心是截面质量的集中点，其位置可以通过计算截面的面积和质量得 到。
材料力学的发展历程
总结词
材料力学的发展经历了多个阶段，从最早的实验观察到现代的理论建模和计算机模拟。
详细描述
最初的材料力学研究主要基于实验观察和经验总结，随着数学和物理学的发展，人们开始建立更精确 的理论模型，并使用计算机进行模拟和分析。这些理论模型和方法在解决复杂工程问题方面发挥了重 要作用。
02
意义
主惯性矩是衡量截面抗弯和抗扭能力的一个重要参数，其 值越大，抗弯和抗扭能力越强。
04
材料力学截面的弯曲性质
弯曲的定义
弯曲是指物体在力的作用下发 生形变，其中物体的一部分相 对于另一部分发生转动。
弯曲变形通常发生在梁、柱等 细长结构中，其中截面上的应 力分布不均匀。
弯曲变形可以通过施加外力或 重力等作用力引起，也可以由 热膨胀、收缩等因素引起。
扭转的变形能
1 2
变形能
物体在受到外力作用时，由于发生变形而储存的 能量称为变形能。
扭转变形能
物体在扭转变形时，由于变形而储存的能量称为 扭转变形能。
3
扭转变形能的计算
扭转变形能可以通过计算截面上的剪切应变和剪 切胡克常数来计算。
扭转的稳定性
01
稳定性
在材料力学中，稳定性是指物体在外力作用下保持其平衡状态的能力。
剪切变形能
材料力学第六章
极惯性矩： d r d d4 2dA=2d/2r2· ddr = z Ip= A r· 0 0 32 C 轴惯性矩： Ip=IZ+IY d4 IZ= IY = Ip/2= 64 2 sin· cos· ddr =0 12 r· r· 惯性积：IZY= AyzdA= 0 d/2 r· 0
z h 2
h1 2
C b 2 b 2
11
例6-4 圆形对其对称轴的几何性质
面积： A=AdA=d2/4 2 sin· ddr =0 静矩： SZ=AydA=0 d/2r· r· 0
2 SY=AzdA= 0 d/2r· cos· ddr =0 r· 0
dA=rddr y dr
计算主惯性矩的一般公式
由式： 2 IZY tg20 = IZ IY 2 IZY sin20 = ( IZ IY)2+4 I2ZY cos20 = 2 ( IZ IY) ( IZ IY)2+4 I2ZY
可得：
代入上节的IZ1、 IY1计算式便可得： IZ+ IY 1 + ( IZ IY)2+4 I2ZY IZ0= 2 2 IZ+ IY 1 – ( IZ IY)2+4 I2ZY IY0= 2 2
例6-5
23
a1 zO a2 z
截面对yO轴的惯性矩为两个矩形面积对yO轴的惯性矩之 和： 0.120.63 0.40.23 IZo= II + III = + =0.242 10-2m4 YO YO 12 12
24
求图示图形的形心主轴位置和形心主惯性矩。 6 解：该图形由I、II、III三个 y 矩形组成组合图形。显然组 合图形的形心与矩形II的形 I C1 心重合。 为计算形心主轴的位置及 b1 形心主惯性矩 ，过形心选择 一对便于计算惯性矩和惯性 C z 积的z、y轴如图示。 II 矩形I、III的形心坐标为： 2 a1=0.04m a3=-0.04m C3 III b1=-0.02m b3=0.02m b3 组合截面对z、y轴的惯性矩 尺寸单位 cm 6 和惯性积分别为
材料力学截面图形的几何性质
y dA C
y yC
S y zdA
A
O
zC z
z
图形对 z 轴的静矩
S z ydA
A
静矩的单位：m3,cm3,mm3
2
4.1 截面的静矩与形心
2.形心的位置
yC
ydA
A
A
Sz zC A ，
zdA
A
A
Sy A
静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有
S yC 0
S zC 0
A1 c1 A2 c2
Sy
（3）组合图形静矩可分块计算求代数和
S z S z1 S z 2 A1 yC1 A2 yC 2
（4）求形心
S z A1 yC1 A2 yC 2 yC A A
A1 zC1 A2 zC 2 zC A A
3
4.1 截面的静矩与形心
O
dy
z
I y z 2dA
b 2 b 2
3 b h 2 hz dz 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积 惯性矩与惯性积
例4 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心 轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。 解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,
y
I yz yzdA
A
dA
（1）惯性积与轴有关，可正可负可 为零。
（2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴， 则 Iyz = 0。
y
性质
O
z
z
11
4.3 平行移轴公式 1.平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。
y yC
S y zdA
A
O
zC z
z
图形对 z 轴的静矩
S z ydA
A
静矩的单位：m3,cm3,mm3
2
4.1 截面的静矩与形心
2.形心的位置
yC
ydA
A
A
Sz zC A ，
zdA
A
A
Sy A
静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有
S yC 0
S zC 0
A1 c1 A2 c2
Sy
（3）组合图形静矩可分块计算求代数和
S z S z1 S z 2 A1 yC1 A2 yC 2
（4）求形心
S z A1 yC1 A2 yC 2 yC A A
A1 zC1 A2 zC 2 zC A A
3
4.1 截面的静矩与形心
O
dy
z
I y z 2dA
b 2 b 2
3 b h 2 hz dz 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积 惯性矩与惯性积
例4 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心 轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。 解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,
y
I yz yzdA
A
dA
（1）惯性积与轴有关，可正可负可 为零。
（2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴， 则 Iyz = 0。
y
性质
O
z
z
11
4.3 平行移轴公式 1.平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。
材料力学第六章截面图形的几何性质_new
P=∑ΔPi
y
合力的作用线通过物体的重心， 由合力矩定理
CC1Ci源自M y ( P ) M y (Δ Pi )
即 P xC Δ Pi xi
o
P
ΔP1
ΔPi
于是有 同理有
xC
Δ Pi xi P
x1
xC xi
x
yC
Δ Pi yi P
§6-1 截面的静距与形心位置
工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面
轴平行的窄条， d A 2 r 2 - y2 • d y
y
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 - y2 )d y 2 r3 3
dA
dy
yC
Sx A
2r 3
r 2
/ /
3 2
4r
3
yC
Cr
y
O
x
例6-2 求图示图形的形心。
10
解：将此图形分别为I、II、III三
部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线
y
z
dA
A
ry
O
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
z iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
y
z
dA
A
ry
O
I y
z 2dA
A
＞0
I z
y 2dA
A
＞0
z
I yz
yzdA
A
＞0 或＜0
IP
材料力学课件之截面几何性质
d
2 2
16 43 416 (5.53 2)2 12
4123 412 (10.57 6)2 12
2416.76mm4
y
C2 C
z
C1
646 （单位mm）
y1
y2
29
Ai yi Ai Ai zi Ai
Ai yi
A
Ai zi
A
o Z1
z
Z2
使用上述公式时，对于挖掉部分的面积应取负值。
6
例2 求图示矩形截面abcd 部分对z 轴的静矩。
y
C3
C1
C2
o 2
4
6
12
123
Ai 144 72 -16
yi 6 4 6
z
zi 6 16 4
（单位：cm）
解：
yC
404
402
(mm)
402 )
12
64
4
23034100.7mm4
17
截面图形的的几何性质------形心和惯性矩
1，简单截面
1、有对称轴的截面，记忆或直接判断 教材353页附录Ⅱ
2、型钢，查表。教材356页附录Ⅲ
2，组合截面，组合法。
§Ⅰ.5惯性矩和惯性积的转轴公式,主惯性轴
一：已知 Iy、Iz、Iyz、(逆时针为正)，求 Iy1、Iz1、Iy1z1
cos 2
0
C
z
方形截面
Iz'
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I yz sin 2
Iz
Iy 2
Iz
I
y'
Iz
2
其中：
I
《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质
Ip
r2dA A
D 2
r2
2
rdr
D4
0
32
Ip Iy Iz
Iy
பைடு நூலகம்
Iz
Ip 2
D4
64
四、组合截面的惯性矩与惯性积
z
I
例如工字型截面 A AI AII AIII
II
y
III
Iy
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
m
I yI I yII I yIII I yi
包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯 性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等
6.1 静矩和形心
一、静矩
截面对z轴的静矩
z
Sz
ydA
A
截面对y轴的静矩
y
dA
A
z
Sy
zdA
A
o
单位： m3
y
静矩的数值可大于零、等于零或小于零。
二、形心
如图所示均质薄板，重心与形心C重合，
由静力学可知形心坐标在yoz：
何关系， y R sin , dy R cosd ,
dA 2R cosdy 2R2 cos2 d
Sz
A
（2）形心
ydA yC
2 0
Sz A
R sin 2R2 cos2 d
2 R3 3
4R
1 R2 3
zC
2 3
0
R3
2
三、组合截面的静矩和形心 z
D d
y
整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。
z1
y1 z
材料力学课件第六章截面图形的几何性质
例6-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐 标yC。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条， d A 2 r2 - y2 d y
所以 S x A y d A 0
r
2 3 y( 2 r - y ) d y r 3
2 2
y dA yC O C r
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz A dA
y
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
I y 1 z1 d A
2 A
O a
y1
O´ b
z
I z1 y1 dA
2 A
I y1z1 y1 z1dA
A
y1=y＋a z1=z＋b
第6章 截面的几何性质
2 A
b 2 b 2
hb3 z hdz 12
2
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
Δ Pi y i P
于是有 同理有
yC
x xC
xi
§6-1 截面的静距与形心位置
工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面 例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力 作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y (本 节中的x轴就是以前我们所用的z轴) 的一些几何性质，例
材料力学-第6章II 截面几何性质
2
dA= hdz
b
Iy = ∫ z2dA = ∫
A
b 2 b − 2
hb3 z2hdz = 12
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
惯性矩、极惯性矩、 惯性矩、极惯性矩、惯性半径
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩、极惯性矩、惯性积、 y
z
iy =
Iy A
dA
y
——图形对 轴的惯性半径 ——图形对 y 轴的惯性半径
Iz z iz = A
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
为什么要研究截面的几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。 量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
A
Sz = AyC
zC = Sy A
Sz ∫A ydA yC = = A A
∫ zdA =
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标 已知静矩， 已知图形的形心坐标，可以确定静 已知图形的形心坐标， 矩
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
静矩、 静矩、形心及其相互关系
z
I y = ∫ z2dA
dA= hdz
b
Iy = ∫ z2dA = ∫
A
b 2 b − 2
hb3 z2hdz = 12
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
惯性矩、极惯性矩、 惯性矩、极惯性矩、惯性半径
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩、极惯性矩、惯性积、 y
z
iy =
Iy A
dA
y
——图形对 轴的惯性半径 ——图形对 y 轴的惯性半径
Iz z iz = A
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
为什么要研究截面的几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。 量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
A
Sz = AyC
zC = Sy A
Sz ∫A ydA yC = = A A
∫ zdA =
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标 已知静矩， 已知图形的形心坐标，可以确定静 已知图形的形心坐标， 矩
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
静矩、 静矩、形心及其相互关系
z
I y = ∫ z2dA
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
材料力学-截面几何特性
IxC1 (70mm)3 10mm/12 28.58104 mm4 I yC1 70mm(10mm)3 /12 0.58104 mm4
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
材料力学-截面的几何性质
1 2
(
I
y
Iz)
1 2
(
I
y
Iz )cos 2
I yz sin
2
I z1
1 2
(
I
y
Iz)
1 2
(
I
y
Iz )cos 2
I yz sin
2
(a)
I y1z1
1 2
(
I
y
Iz )sin
2
I yz sin
2
4.2 主惯性轴和主惯性矩(principal moment of inertia)
A
y2dA
A
z2dA
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z y
o
A dA
z y
惯性积
定义
I yz
yzdA
A
z A
y
dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和 惯性积。
解：将图形看作是两个矩形的结合。 形心坐标为
yc 0
zc
A1z1 A1
A2 z2 A2
103.3mm
z 100
20
I CI
C
140
CII
103.3
II
a1 a2 y
y
20
求图形对y、z轴的惯性矩
z 100
I z I zI I zII
201003 140 203
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P=∑ΔPi
y
合力的作用线通过物体的重心， 由合力矩定理
C
C1
Ci
M y ( P ) M y (Δ Pi )
即 P xC Δ Pi xi
o
P
ΔP1
ΔPi
于是有 同理有
xC
Δ Pi xi P
x1
xC xi
x
yC
Δ Pi yi P
§6-1 截面的静距与形心位置
工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面
Ixy
xy d A
A
§I-1 截面的静矩和形心的位置
y
1.静矩 Sx A ydA
Sy AxdA
y
2.形心
yd A
yC
A
A
xdA
xC
A
A
3.形心与静 矩的关系
yC xC
Sx A
Sy A
或
Sx yC • A S y xC • A
dA
C
yC
x
O
xC
x
图形对某轴的静矩 为零，则该轴一定过图 形的形心；某轴过图形 的形心，则图形对该轴 的静矩为零。
4、组合图形的形心与静矩 （1）组合图形的静矩
（2）组合图形的形心
Sx Sxi Ai yCi
S y S yi Ai xCi
yC
Sx Ai
Ai yCi Ai
xC
Sy Ai
Ai xCi Ai
例6-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐
标yC。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x
轴平行的窄条， d A 2 r 2 - y2 • d y
y
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 - y2 )d y 2 r3 3
dA
dy
yC
Sx A
2r 3
r 2
/ /
3 2
4r
3
yC
Cr
y
O
x
例6-2 求图示图形的形心。
10
解：将此图形分别为I、II、III三
部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz
A
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
dA
y
O
y1
a O´
I y1 A z12dA
z
I z1 A y12dA
I y1z1 A y1 z1dA
b
y1=y＋a
z1=z＋b
第6章 截面的几何性质
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
y
z
dA
A
ry
O
I y
z 2dA
A
——图形对 y 轴的惯性矩
I z
y 2dA
A
——图形对 z轴的惯性矩
z
I yz
yzdA
A
——图形对 y z 轴的惯性积
IP
r 2dA
A
——图形对 O 点的极惯性矩
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
120 10
C1
C2 90
x
xi Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1 A2
110105 9010 45 23(mm) 10110 9010
x
yyi
Ai
y 1
A1 y 2
A2
A
A1 A2
11010 65 90105 38(mm) 10110 9010
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
y
z
dA
A
ry
z O
I y
z 2dA
A
I z
y 2dA
A
IP
r 2dA
A
IP Iy Iz
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
例题2 y
dA
dr
r C
d
已知：圆截面直径d
求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
dA 2π rdr
z
I y
Iz
IP 2
1 2
r 2dA
A
1
d
2 r 2 2π
rdr π
d4
20
64
IP
Iy 2
πd 4 32
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
例题3 y
dA
dy
已知：矩形截面b× h 求：Iy， Iz
解：取平行于x轴和y轴的微元面积
dA y h
C z dz
z
dA bdy
Iz
y2dA
A
第6章 截面的几何性质
为什么要研究截面的几何性质
为什么要研究截面的几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量与截面的几何形状有关。
x const.
FN
A
xdA
FN
x A dA FN
x
FN A
M x
IP
IP
2dA
A
重心和形心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
右图认为是一个平面力系，则
例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力
作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y (本 节中的x轴就是以前我们所用的z轴) 的一些几何性质，例 如：
惯性矩 (moment of inertia) Ix A y2 d A，I y A x2 d A
惯性积 (product of inertia)
I 300 II
取为x轴，则
III
yC
Ai yC i Ai
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300)
38.8 mm
由于对称知： xC=0
y y1 200
C O
10 150yC x1
x
[例6-3] 试确定下图的形心。
y 10
解 ： 组合图形， 图形分割及坐标如图
第六章 截面图形的几何性质
§6-1 截面的静距与形心位置 §6-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 §6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·
组合截面的惯性矩 §6-4 惯性矩和惯性积的转轴公式·
截面的主惯性轴和主惯性矩
第6章 截面的几何性质
为什么要研究截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理 形心主轴与形心主惯性矩 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 结论与讨论
h
2 -h
2
y2bdy
bh3 12
dA hdz
b
Iy
z2dA
A
b
2 -b
2
z 2 hdz
hb3 12
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
y
z
dA
A
ry
O
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
z iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 截面的几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性半径
y
z
dA
A
ry
O
I y
z 2dA
A
＞0
I z
y 2dA
A
＞0
z
I yz
yzdA
A
＞0 或＜0
IP
r 2dA
A
＞0
第6章 截面的几何性质