勾股定理专题

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专题勾股定理及其逆定理【九大题型】

专题2.6勾股定理及其逆定理【九大题型】【浙教版】【题型1勾股定理的运用】 (1)【题型2直角三角形中的分类讨论思想】 (2)【题型3勾股定理解勾股树问题】 (3)【题型4勾股定理解动点问题】 (4)【题型5勾股定理的验证】 (6)【题型6直角三角形的判定】 (8)【题型7勾股数问题】 (9)【题型8格点图中求角的度数】 (10)【题型9勾股定理及其逆定理的运用】 (11)【题型1勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A．32B．74C．2D．52【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD ＝．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD ＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是．【题型2直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（）A．24或84B．84C．48或84D．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A．42B．32C．42或32D．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（）A．30B．119+17C．119+17或30D．36【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为．【题型3勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）A．225B．250C．275D．300【题型4勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B 出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．62596或252B．252或24或12C．62596或24或12D．62596或252或24【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝s时，△BPC为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC的长是．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）又∵S四边形ADCB∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【题型6直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【题型7勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝°．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【题型9勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝102．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．。

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ABC勾股定理专题例1.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD=90o,∠DBC=90o,AD=3,AB=4,BC=12,求CD.例2.已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是什么三角形?例3.印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”:“平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅?”请用学过的数学知识回答这个问题.例4.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC ＝6cm,BC ＝8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它恰好落在斜边AB 上,且与AE 重合,求CD 的长. 例5.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BB 1=2,AD=3,一只蚂蚁从A 点出发,沿长方体表面爬到C 1点,求蚂蚁怎样走路程最短,最短路程是多少?例6.如图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC 的长; 练习1.如图,AD ＝4,CD ＝3,∠ADC ＝90o,AB ＝13,BC ＝12,求该图形的面积.2.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC 是什么三角形?3.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度.4.已知,如图,在Rt △ABC 中,∠C=90o ,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,求AC 的长.5.如图,一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,从圆侧面爬行的最短路程是多少?(π取3)6.已知,如图,长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF,则△ABE 的面积为多少?C DABA CD DAABCD AB EFDBADE13cmm5mD CBA AAOBAB CD检测题一.填空题:1.在Rt △ABC 中,斜边AB=2,则AB 2+BC 2+CA 2= ;2.如图1,图1中正方形A 的面积是_______,图2中正方形B 的面积是 ;3.在Rt ⊿ABC 中,斜边AB 上的高为CD,若AC=3,BC=4,则CD=_______;4.在高5m,长13m 的一段台阶上铺上地毯,台阶的剖面图如图,地毯的长度至少需要___________m.5.在Rt △ABC 中,∠C=90o,①若a=5,b=12,则c=_____;②若a=15,c=25,则b=_____;③若c=61,b=60,则a=_____;④若a:b=3;4,c=10则S Rt△ABC =____.6.在△ABC 中,AC=17cm,BC=10cm,AB=9cm,这是一个三角形(按角分).7.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________.8.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边, 花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m.9.已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 10.有一个长为12c m,宽为4c m,高为3c m 的长方体形铁盒,在其内部要放一根笔直的铁丝,则铁丝最长达到 c m.11.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积之和为______cm 2. 二.选择题:1.一直角三角形的斜边比直角边大2,另一直角边为6,则斜边长为( )A.4 B.8 C.10 D.122.CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高,若AB=10,AC:BC=3:4,则这个直角三角形的面积是( )A.6 B.8 C.12 D.243.斜边为17cm,一条直角边长为15cm 的直角三角形的面积是( )A.60 B.30 C.90 D.1204.下列数组中,是勾股数的是( )A.1,1,3 B.5,3,2 C.0.2,0.3,0.5 D.514131,,5.下列各组数中,以a,b,c 为边的三角形不是Rt △的是( )A.a=1.5,b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=56.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )A.25 B.14 C.7D.7或257.若线段a,b,c 组成Rt △,则它们的比可以是( )A.2:3:4 B.3;4;6 C.5;12:13 D.4:6;78.Rt △一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt △的周长为( )A.121 B.120 C.132 D.不能确定 9.等腰三角形底边长10cm,腰长为13,则此三角形的面积为( )A.40 B.50 C.60 D.70 10.已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里三.解答题:1.如图,一根旗杆在离地面9m 处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处,旗杆折断之前有多高?2.种盛饮料的圆柱形杯(如图),测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做多长?3.如图,一个长方形的操场,今不绕长方形操场的两邻边(即不A →B →C)走,而取捷径沿对角线(A →C)走,省去21长方形长边的距离,求长方形的短边和长边的比是多少?4.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处.另一只爬到树顶D ,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?5.如图,在四边形ABCD 中,AB=BC=2,CD=3,AD=1,且∠ABC=90o,试求∠A 的度数.6.如图,沿OA 将圆锥侧面剪开,展开成平面图形是扇形OAB.(1)扇形的弧AB 和点B 在圆锥的侧面上是怎样的位置关系?(2)若角∠AOB=90o ,则圆锥底面圆半径r 与扇形OAB 的半径R ? (3)若点A 在圆锥侧面上运动一圈后又回到原位,则点A 运动的最短路程应该怎样设计?若r 2=0.5,且∠动的最短路程.B 22581图2A225400图19m12m北南 A东D BA AB CD7c。

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专题复习勾股定理（郑默言）本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。

2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数。

常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。

7、如图，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？l321S 4S 3S 2S 18、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。

9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

10、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

勾股定理的培优专题

勾股定理的培优专题勾股定理培优专题一、基础知识1.勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股定理的逆定理和勾股定理的题设和结论相反，被称为互逆命题。

3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数3、4、5 等，称为勾股数。

巩固练：1.如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，这个定理叫做勾股定理的逆定理。

2.如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有 1、2、3 号。

4.若△ABC 中，(b-a)(b+a)=c，则∠B=90°。

5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是直角三角形。

6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以 a-2、a、a+2 为边的三角形的面积为 6(a-1)。

7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。

1) 两直线平行，同位角相等。

逆命题为：同位角相等，则两直线平行。

真。

2) 若 a>b，则 a>b。

逆命题为：若a≤b，则a≤b。

假。

二、例题和训练考点一：证明三角形是直角三角形例1：已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD·BD。

求证：△ABC 是直角三角形。

训练：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足a+b+c+3√3=10a+24b+26c。

试判断△ABC 的形状。

例2：如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于AC，且 AD=CD。

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3、勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
二、典型例题与强化练习
题型一关于勾股定理的考察
例1（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，求BC的长；
例2如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在
△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，
S1=81、S3=225，则S2=_________．
强化练习
1、一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A、斜边长为25 B、三角形的周长为25ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C、斜边长为5 D、三角形面积为20
2、若直角三角形两直角边长分别为8和15，则其斜边长是____．
且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
强化练习
1、强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米的地方，请问旗杆折断之前有多长？
2、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
课后作业
4、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是。
5、下列三条线段不能组成直角三角形的是（）
A、a=8，b=15，c=17B、a=9，b=12，c=15
C、a=9，b=40，c=41D、a：b：c=2：3：4
6、若正整数a、b、c是一组勾股数，则下列各组数仍是勾股数的是（）
9、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型

勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理： (3)2.勾股定理的逆定理： (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。

注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边3.勾股定理的证明方法一：方法二：4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数：1）a=3，b=4，c=52）a=5，b=12，c=13特殊直角三角形①a=x，c=2x，b=√3x②a=x，b=x，c=√2x③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x④AC=x，AF=2x，DC=√3x，BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。

若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析：应用勾股定理，在直角三角形中，“知二求一”。

《勾股定理》专题复习(含答案)

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=．即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（）（A ）1个；（B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）（A ）10.5米；（B ）7。

(完整版)勾股定理知识点+对应类型

第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

勾股定理专题(含答案)

C DAB CFDE1、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

2、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？（2）DE与CE的位置关系3、如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝132。

求证：△ABC为直角三角形4、如图，直角三角形三条边的比是3:4:5.求这个三角形三条边上的高的比.5、如图，P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．6、已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，试说明：△ABC是等腰三角形。

7、已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝14DC，判断BE和EF的位置关系？并说明你的理由。

4cm5cm1、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是；2、左边是一个正方形，则此正方形的面积是 ( )A. 1cm 2B. 3cm 2C. 6cm 2D. 9cm 23、一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是 . 4、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，且c 2=2b 2，则这个三角形有一个锐角为；5、如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE 都是等腰三角形，CD=8，BE=3，则AC 的长等于；6、直角三角形两直角边长为6cm 和8cm,7、旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，把绳子的下端拉开绳子下端刚好接触地面，旗杆的高度为。

勾股定理专题训练

勾股定理专题训练1、一块试验田的形状如图所示，已知：∠ABC＝90°，AB＝4 m，BC＝3 m，AD＝12 m，CD ＝13 m．求这块试验田的面积．2、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？3、如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？4如图：已知长方体的长、宽、高分别为12、9、5，蚂蚁从A爬到C'点的最短路程是多少？（长方体各面都是长方形）5、如图，在长方体上有一只蚂蚁从项点A出发，要爬行到顶点B去找食物，一只长方体的长、宽、高分别为4、1、2，如果蚂蚁走的是最短路径，你能画出蚂蚁走的路线吗？6、如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径．7、如图，在海上观察所A，我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶．我边防海警即刻派船前往C处拦截．若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？8、定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．9、张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下表:n 2 3 4 5 …a 22-1 32-1 42-1 52-1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系,并用含自然数n (n>1)的代数式表示:a =" ______,b" =" ______,c" = ______.(2)猜想:以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形?并说明你的猜想.10、如图,在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=900，试求∠A的度数｡11、求图中的字母A、B所代表的正方形的面积．12、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．13、如图，已知长方形ABCD中AB="8" cm,BC="10" cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.14、如图：要修建一个育苗棚，棚高h="1.8" m,棚宽a="2.4" m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？15、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？16、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且，，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.17、勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：，，（其中为正整数，且）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下表，通过表格，你会发现勾股数有哪些规律？请查阅有关资料，相信你将有更多收获.12 3 4 5 6 …2 3 4 5 6 … … … … … … … …18、已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?19、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.20、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：试卷答案1,四边形ABCD的面积是36 m22,D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元3,这棵树有15米高．4,解：①如图展开得：根据题意得：AB=12，BC'=5+9=14，在△ABC′中，由勾股定理得：AC′===2．②如图AC=12+9=21，C C′=5，由勾股定理得：AC'=＞2答：蚂蚁从A爬到C′点的最短路程是2．5,解：线段AB的长就是蚂蚁走的最短距离，分为两种情况：如图1：AC=4，BC=2+1=3，∠C=90°，由勾股定理得：AB=5；如图2：AC=4+1=5，BC=2，∠C=90°，在△ABC中，由勾股定理得：AB=＞5，∴沿图1路线走时最短，即能画出蚂蚁走的最短路线：如图从A到C′再到B．6,解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则BC=SE=×24cm=12cm，EF=18cm﹣1cm﹣1cm=16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF===20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．7,解：∵AB=6，BC=8∴AC==10km，∵可疑船只的行驶速度为40km/h，∴可疑船只的行驶时间为8÷40=0.2小时，∴我边防海警船的速度为10÷0.2=50km/小时，∴我边防海警船的速度为50km/h时，才能恰好在C处将可疑船只截住．8,解：（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：（2）①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下：设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为．因为，若边长a为整数，那么面积一定非整数．所以不存在等边“整数三角形”；②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：9,(1)n2-1，2n，n2+1；（2）是直角三角形10,135011,字母A所代表的正方形的面积是225；字母 B所代表的正方形的面积是22512,解：（1）∵A D平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE。

勾股定理专题复习课

勾股定理可以用于计算直角三角形的面积。
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误以为它适用于所有三角形，导致在解题时出现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形，需要使用其他定理和公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形，如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
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总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗心或对公式理解不准确而出现计算错误。
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总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密切关系，可以通过三角函数来求解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角函数问题时，勾股定理常常被用来计算边长或角度。例如，在求解三角函数的实际应用问题时，可以使用勾股定理来计算相关物体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相关的实际问题时，常常需要使用勾股定理和三角函数来求解角度和距离。

勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)

勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解〔1〕直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，如此如下关于a,b,c的关系不成立的是〔〕A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、 a²+b²= c²〔2〕在直角三角形中，∠A=90°，如此如下各式中不成立的是〔〕A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB ²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB ²2、应用勾股定理求边长〔3〕在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.〔4〕在直角△中，假如两直角边长为a、b，且满足，如此该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积〔5〕以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

〔6〕如图〔1〕，图中的数字代表正方形的面积，如此正方形A的面积为。

〔7〕如图〔2〕，三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y=。

〔8〕在Rt△ABC中，∠C＝90°，假如AC＝6，BC＝8，如此AB的长为〔〕A、6B、8C、10D、12〔9〕在直线l上依次摆放着七个正方形〔如图4所示〕。

斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进展推导。

专题01 勾股定理(考点清单)解析版

专题01讲勾股定理（考点清单）【聚焦考点】题型一：用勾股定理解三角形题型二：勾股数问题题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积题型四：勾股定理和网格问题题型五：勾股定理和折叠问题题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和题型七：以炫图为背景的计算题题型八：勾股定理的应用题型九：勾股定理的证明题型十：勾股定理的综合问题【题型归纳】题型一：用勾股定理解三角形A ．13【答案】A 【专训1-1】（2023下·河南新乡·八年级校考期末）如图，在Rt ABC △中，90B Ð=°，6AB =，10AC =，以边BC 为直径作一个半圆，则半圆(阴影部分)的面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【专训1-2】（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，菱形OABC 的边长为2，45AOC Ð=°，则点B 的坐标是( ) A ．()22,2B ．(2【答案】D 【分析】过点B 作x 轴的垂线，可证OH BH 与就是点B 的横坐标与纵坐标．因为菱形OABC 的边长为2，∴2OA AB ==．由菱形的对边AB OC ∥可得：又90BHA Ð=°，题型二：勾股数问题，，是勾股数的是（）【专训2-1】（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组a b c【专训2-2】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家m³，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（3如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（）A ．14B ．16C ．35D ．37【答案】C 【分析】依题意，设斜边为x ，则股为2x -，根据勾股定理即可求出x 的值．【详解】解：依题意，设斜边为x ，则股为2x -，∴()222122x x +-=，解得：37x =，∴股为237235x -=-=，故选：C ．题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积【典例3】2023下·云南红河·八年级统考期末）如图，直线l 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的面积分别为6和9，则b 的面积为（）A ．9B ．12C ．15D ．20【答案】C 【分析】先根据AAS 证明ABC CDE △△≌，由此得BC DE =，在Rt ABC △中，根据勾股定理可得222AC AB BC =+，等量代换可得222AC AB DE =+，即可求出b 的面积．【详解】如图，ABC QV 中90ABC Ð=°，90ACB BAC \Ð+Ð=°．90ACE Ð=°Q ，90ACB ECD \Ð+Ð=°，BAC ECD \Ð=Ð．又90,ABC CDE AC CE Ð=Ð=°=Q ，AAS ()ABC CDE \≌V V ，BC DE \=．90,ABC ABC Ð=°QV ，222AC AB BC \=+，222AC AB DE \=+，即6915b a c S S S =+=+=．故选：C【专训3-1】（2023下·安徽马鞍山·八年级校考期末）ABC V 中，90ACB Ð=°，分别以ABC V 的三边作为边长向形外作正方形，并把各正方形的面积分别记作1S ，2S ，3S ，如图，若126S =，29S =，则3S 的值为（）A ．13B ．17C ．20D ．35【答案】B 【分析】由2=26AB ，29BC =，再根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵126S =，29S =，∴2=26AB ，29BC =，∵90ACB Ð=°，∴22226917AC AB BC =-=-=，∴2317S AC ==．故选：B ．【专训3-2】（2023下·广西柳州·八年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，分别以AC 、BC 为边作正方形，若12AB =，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为（）A ．144B ．120C ．100D ．无法计算【答案】A 【分析】根据勾股定理即可进行解答．【详解】解：∵四边形ADEC 和四边形BCFG 为正方形，∴2ADEC S AC =形正方，2BCFG S BC =形正方，∵在Rt ABC △中，90C Ð=°，∴222212144AC BC AB +===，∴22144ADEC BCFG S S BC AC +=+=正方正方形形，故选：A ．题型四：勾股定理和网格问题【典例4】（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图，在34´的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A ，B ，C ，D 的是（）A ．线段ABB ．线段BC C ．线段ACD ．线段BD【答案】B 【分析】根据勾股定理分别求解AB ，BC ，AC ，BD ，从而可得答案．【详解】解：由勾股定理可得：【专训4-1】（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得ABCV，则AC边上的高是（）A．32 2【答案】C【分析】设AC边上的高为【专训4-2】（2022上·山西运城·八年级统考期末）如图，ABCV的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边上的高为（）题型五：勾股定理和折叠问题【典例5】（2023下·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90,8,6A AB AC Ð=°==，将ABC V 沿CD 翻折，使点A 与BC 边上的点CDA ．5【答案】D 【分析】利用勾股定理求得【专训5-1】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，90C Ð=°，2AC =，32BC =，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为（） A ．1B ．34【答案】C 【分析】根据勾股定理求出AB 【专训5-2】（2023下·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为（）题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和【典例6】（2021上·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（）A ．29B ．32C ．36D ．45【答案】D 【分析】在Rt △ABD 及Rt △ADC 中可分别表示出BD 2及CD 2，在Rt △BDM 及Rt △CDM 中分别将BD 2及CD 2的表示形式代入表示出BM 2和MC 2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，BD 2＝AB 2−AD 2，CD 2＝AC 2−AD 2，在Rt △BDM 和Rt △CDM 中，BM 2＝BD 2＋MD 2＝AB 2−AD 2＋MD 2，MC 2＝CD 2＋MD 2＝AC 2−AD 2＋MD 2，∴MC 2−MB 2＝（AC 2−AD 2＋MD 2）−（AB 2−AD 2＋MD 2）＝AC 2−AB 2＝45．故选：D ．【专训6-1】（2020上·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在Rt ABC D 中， 90ACB °Ð=，以AB ，AC ，BC 为边作等边ABD D ，等边ACE D .等边CBF D .设AEH D 的面积为1S ，ABC D 的面积为2S ，BFG D 的面积为3S ，四边形DHCG 的面积为4S ，则下列结论正确的是（）【专训6-2】（2018上·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图OP=1，过P 作PP 1⊥OP 且PP 1=1，得OP 1P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1，得OP 2P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2，依此法继续作下去，得OP 2017等于（）题型七：以炫图为背景的计算题【典例7】（2023下·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若168ab =，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（）A ．7B ．24C ．17D ．25【答案】C 【分析】勾股定理得：22625a b +=，又222()26252168289a b a b ab -=+-=-´=，由此即可求出17()a b a b -=>，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是a b -，由勾股定理得：22625a b +=，222()26252168289a b a b ab -=+-=-´=Q ，17()a b a b \-=>，\小正方形的边长为17．故选：C ．【专训7-1】（2023下·青海西宁·八年级统考期末）如图，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两直角边为a ，b ．斜边为c ，若85ab c ==，，则小正方形的边长为（）A．3B【答案】A【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：【专训7-2】（2023下·北京房山·八年级统考期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾3a=，弦c=，则小正方形的面积为（）5A．1B．2【答案】A【分析】首先根据勾股定理求出c=，【详解】∵勾3a=，弦5∴224=-=b c a2()(题型八：勾股定理的应用【典例8】（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若2AD =，1BE =，3AE =，一只蚂蚁在A 处发现C 处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（） A ．25B ．【答案】A 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从【专训8-1】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A 放在距离墙根C 0.7米处，另一头B 点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）A ．0.4B ．0.6C ．0.7D ．0.8【专训8-2】（2023下·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，1号舰沿东偏南60°方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A ，B 两点，此时两舰的距离是（）A ．9海里B ．12海里C ．15海里D ．30海里【答案】D 【分析】由60EOA Ð=°，60BOM Ð=°，求得30MOA Ð=°，90AOB Ð=°，再利用勾股定理的逆定理计算求解．【详解】解：由题意可得：60EOA Ð=°，60BOM Ð=°∴30MOA Ð=°，90AOB Ð=°又∵9218AO =´=（海里），12224BO =´=（海里），题型九：勾股定理的证明【典例9】（2023下·四川绵阳·八年级统考期末）如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（）A ．黄金分割【答案】D 【分析】如图，边长为为()b a -的小正方形的面积，即可求解．由题意得：边长为c 的大正方形的面积的小正方形的面积，即：214(2c ab b =´+-整理得：222c a b =+，【专训9-1】（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】D 【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．【详解】解：①()()22211222S a b a ab b =+=++梯形，(2111122222S ab ab c ab c =++=+梯形【专训9-2】（2023上·河北保定·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的， 90610BAC AB BC Ð=°==，，，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（）A ．420B ．440C ．430D ．410【答案】B 【分析】延长AB 交KL 于P ，延长AC 交LM 于Q ，可得ABC PFB QCG V V V 、、全等，根据全等三角形对应边相等可得PB AC CQ AB ==，，然后求出IP 和DQ 的长，再根据长方形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长AB 交KL 于P ，延长AC 交LM 于Q ，由题意得，90BAC BPF FBC BC BF ===°=∠∠∠，，∴90ABC ACB PBF ABC +=°=+∠∠∠∠，∴ACB PBF =∠∠，∴()AAS ABC PFB △≌△，同理可证()AAS ABC QCG △≌△，∴86PB AC CQ AB ====，，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴86822IP =++=，68620DQ =++=，∴长方形KLMJ 的面积2220440=´=．故选：B ．题型十：勾股定理的综合问题【典例10】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，某自动感应门的正上方A 处装着一个感应器，离地的高度AB 为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD 正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时( 1.2BC =米），感应门自动打开，AD 为多少米？【答案】2.5米【分析】过点D 作DE 【详解】解：如图，过点2.5AB =Q 米，BE =答：AD为2.5米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．【专训10-1】．（2023上·河南周口·八年级校考期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；b=时，求图2中空白部分的面积．(2)当3a=，4【答案】(1)见解析(2)13【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以【专训10-2】（2023上·河北承德·八年级统考期末）如图，已知在ABC V 中，90ACB Ð=°，8AC =，16BC =，点D 在线段AC 上，且3CD =，点P 从点B 出发沿射线BC 方向以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P 的运动时间为t 秒，连接AP ． (1)当3t =时，求AP 的长度；(2)当ABP V 是以BP 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(3)连接PD ，在点P 的运动过程中，当PD 平分APC Ð时，直接写出【答案】(1)241则90AED PED Ð=Ð=°．90PED ACB \Ð=Ð=°．PD Q 平分APC Ð，DE AP ^3ED CD \==，PE PC ==同①得3ED CD ==，PE PC =835AD AC CD \=-=-=，AE \=2225AD DE -=-。

专题13勾股定理(知识点串讲)(解析版)

专题13 勾股定理知识框架重难突破一、勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.备注：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，2、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.3、勾股定理的应用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.例1．（2019·安徽省定远县第二初级中学初二月考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是（）A ．365B ．1225C ．94D ．4【答案】A【解析】设点C 到AB 距离为h ．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，∴222AC BC AB +=∵9AC =，12BC =∴15AB == ∵1122∆==ABC S AC BC AB h ∴12936==155⨯h ．故选：A ．练习1．（2019·安徽省初二期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为6和10，那么这个三角形的第三边长为（）A ．8B ．10C ．D ．8或【答案】D【解析】当6和10是两条直角边时，第三边324 ，当6和10分别是一斜边和一直角边时，第三边=8，所以第三边可能为8或．故选：D ．例2．（2019·安徽省初二期中）下列各组数中，是勾股数的为（）A ．1，1，2B ．1.5，2，2.5C ．7，24，25D ．6，12，13【答案】C【解析】解：A 、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；B 、1.5和2.5不是整数，此选项错误；C 、∵72+242=252，∴是勾股数，此选项正确；D 、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．故选C ．练习1．（2018·合肥市第四十二中学初二期中）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =∠BCD = 90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S 1+ S 4= 100，S 3= 36，则S 2=（）A ．136B ．64C ．50D ．81【答案】B 【解析】由题意可知：S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=CD 2，S 4=AD 2，如果连接BD ，在直角三角形ABD 和BCD 中，BD 2=AD 2+AB 2=CD 2+BC 2，即S 1+S 4=S 3+S 2，因此S 2=100-36=64，故选B ．例3．（2019·安徽省初二期末）在平面直角坐标系中，点()43P ,-到坐标原点O 的距离是______.【答案】5【解析】点P 到原点O 5．故答案为：5练习1．（2019·安徽省初二期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．AC=BC ．边AC 落在数轴上，点A 表示的数是1，点C 表示的数是3，负半轴上有一点B₁，且AB₁=AB ，点B₁所表示的数是（）A ．-2B ．-C ．-1D ．1-【答案】D 【解析】解：根据题意，AC=3-1=2，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴AB ==，∴B 1到原点的距离是-1．又∵B′在原点左侧，∴点B1表示的数是1-．故选D．例4．（2018·安徽省初二期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）A．32B．3C．1D．43【答案】A【解析】∵AB=3，AD=4，∴DC=3∴根据勾股定理得AC=5根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C=DC=3，DE=D′E设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=3 2故选A.练习1．（2018·安徽省初二期末）如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=4，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．53B．52C．83D．5【答案】C【解析】解：设NB=x，则AN=6−x由翻折的性质可知：ND=AN=6−x ∵点D是BC的中点，∴BD=12BC=12×4=2在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND²=NB²+DB²，即(6−x) ²=x²+2²，解得：x=8 3∴BN=8 3故选C例5．（2019·安徽省初二期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为()A．13B．19C．25D．169【答案】C【解析】解：小正方形面积开方,得边长1,则有b-a=1大正方形边长的平方为其面积即13,则在三角形中有a2+b2=13将b-a=1两边平方,得a2+b2−2ab=1将a2+b2=13代入,得13-2ab=1故ab=6由a2+b2=13与2ab=12两式相加,得a2+b2+2ab=25(a+b)2=25故选C练习1．（2019·安徽省初一期末）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形。

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