八年级奥数精讲与测试 相似三角形(无答案)
相似三角形精讲精练
课时六：相似三角形 【基础知识】知识点1：相似图形形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段．注意:（1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．（2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为:ad cb =．知识点3 ：比例的性质 基本性质：（1）bc ad d c b a =⇔=::;(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 注意：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 更比性质(交换比例的内项或外项）:()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质（把比的前项、后项交换):cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1）此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 ：比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：(1)平行于三角形一边直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例．（2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点5 ：黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0。
初二数学 相似三角形 知识精讲精练
初二数学 相似三角形 知识精讲精练【学习目标】1．知道相似形的定义及相似比的概念，能找出相似三角形的对应边和对应角．2．能说出“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”．【主体知识归纳】1．相似三角形:对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形的本质特征是“形状相同”但大小不一定相等．2．相似比:相似三角形对应边的比是k ，叫做相似比（或相似系数）．3．若△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k 1，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为k 2，则k 1＝21k ．4．相似三角形的判定定理:平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．5．相似三角形的传递性:由△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2可得△ABC ∽△A 2B 2C 2．【基础知识精讲】相似三角形判定的预备定理，可用来证明两个三角形相似，但是当图中有“平行线”而又需证明比例线段时，一般不用这个定理先判定两个三角形相似，而直接用“三角形一边的平行线”的性质定理．【例题精讲】［例1］如图5－25，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到点E ，使BE ＝2AB ，连结EC 并延长交AD 的延长线于F ，求AF 的长．图5－25剖析：考虑菱形的性质,得出平行线，从而得出相似三角形．用相似比即可求出AF 的． 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BC ∥A D ． ∴BE ＝2AB ＝6，△BCE ∽△AFE ． ∴69==BE AE BC AF ．∴AF ＝69BC ＝4.5．［例2］如图5－26，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连结DE 并延长交AC 的延长线于F ，若BD ∶DE ＝AB ∶AC ．求证：△CEF 是等腰三角形．图5－26剖析：由已知AB ∶AC ＝BD ∶DE 并结合图形容易看出，若过点D 作DG ∥AF ，交BC 于G ，则AB ∶AC ＝BD ∶DG ，所以DG ＝DE ，从而可证CF ＝EF ．证明：过点D 作DG ∥AF 交BC 于G ，则DGBDAC AB =,∵DEBDAC AB =， ∴DE ＝DG∵DG ∥CF ，∴△CFE ∽△GDE ． ∴DG CF ＝EDEF． ∴CF ＝EF ．∴△CEF 是等腰三角形．【同步达纲练习】 1．填空题（1）如图5－27所示，已知△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝∠C ．则相似三角形的对应边的比例式是_____．图5—27（2）如图5－28所示，△ABC 中，DE ∥BC ，DC 和BE 交于O ，则图中相似三角形有________________________________．图5—28（3）DE 为△ABC 的中位线，则△ADE ∽_____，它们的相似比是_____．（4）△ABC ∽△A 1B 1C 1，其相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2．其相似比为45，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比是_____．（5）已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点，则与△ABC 相似的三角形有_____个，它们是______________________．（6）△ABC 的三边分别是6 cm ，8 cm ，10 cm ，与其相似的△A ′B ′C ′的最大边的长是30 cm ，则△ABC 的面积是_____．2．如图5－29，已知：D ，E 分别在△ABC 的边BC ，AC 上，AD 、BE 交于点G ，点F 在AD 上，且△EFG ∽△BDG ．求证：△AEF ∽△AC D ．图5－293．如图5－30，矩形ABCD 中，AD ＝3AB ，E 、F 三等分BC ，G 、H 三等分A D ．求证： △BGH ∽△DG B ．图5－304．已知，如图5－31，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，F 是BC 的延长线上一点，且BE ＝CF ，BD 与AE 相交于G ．求证：（1）△ABE ≌△DCE ；（2）CF ·AE ＝BF ·GE ．图5－31 5．请阅读下列材料，并回答所得出的问题．已知：如图5－32，BE 、CF 分别是△ABC 的中线，且相交于G ．求证：GFGCGE GB ＝2．图5－32证明过程如下．证明：连结EF ．∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点． ∴EF ∥BC ，BC ＝2EF ．∴△BGC ∽△EGF ．∴GFGCGE GB =＝2．由此可知：三角形的三条中线相交于一点，并且这点与顶点的距离等于它与对边中点距离的2倍，这点叫三角形的重心，这一结论叫做三角形的重心定理．（1）上述证明过程中用到了哪些定理（只写两个）？（2）利用三角形重心定理解答问题：已知，如图5－33，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BE 是AC 边上的中线且AD 、BE 交于G ．求S △BDG ∶S △AB C ．图5－33参考答案【同步达纲练习】 1．（1）CB DE AB AE AC AD == （2）△ADE ∽△ABC 及△DEO ∽△CBO （3）△ABC 21 （4）65（5）4 △ADF,△BDE,△CFE,△EFD（6）216 cm 22．略3．设AD ＝3a ，则AB ＝a ，BG ＝2a ，GH ＝a ，GD ＝2a ，可证出△BGH 与△DGB 的三边成比例，再证角相等由相似形的定义即可得出结论．4．（1）略 （2）△BEG ∽△BFD 5．（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．等等（2）1∶6．。
竞赛中的相似三角形精讲
相似三角形精讲(一)1.如图:△ABC 中，∠ABC=60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA ，且PA=8，PC=6，则PB= ．2. 如图:△ABC 和△A l B l C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ． 求证：AA 1⊥CC 1．3．如图:梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，对角线AC ⊥BD 于P ，若43 BCAD ，则ACBD 的值是（ ） (A)23 (B)32 (C)33 (D)434. 如图:在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD ＝32，则△ABC 的边长为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 65.如图:在梯形ABCD中，AB∥CD，AB<CD，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，DC．交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I，已知EF=FG=GH=HI=IJ，则AB6. 如图:已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是．7.如图:设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC 于M、N两点，求证：BP×PC=BM×CN．8．如图:正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC．9．如图:梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，K 、M 分别是AD 、BC 上的点，已知∠DAM=∠CBK ，求证：∠DMA=∠CKB ．10．已知:△ABC 中，∠ACB=2∠ABC ，求证：AB 2=AC 2+AC ×BC ．11．如图，等边△ABC 的边长为a ，D 是BC 边上的一点，且BD ∶DC=2∶3，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处． （1）设折痕为MN ，求A M A N ； （2）如果B D n DC m，求A M A N．NMDCBA12．如图，AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，P 是AC 的中点，连结BP 并延长交AC 于E ．若AC ∶AB=k ．求AE ∶EC ．PE DCBA13．如图，在矩形ABCD 中，点M 是AD 的中点，N 是BC 的中点，P 是CD 延长线上的一点，PM 交AC 于Q ．求证：∠QNM=∠MNP ．14．如图，P 为△ABC 内一点，过P 点作线段DE 、FG 、HI ，分别平行于AB 、BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510，BC=450，CA=425，求d ．HI PGFE D CBA15．已知，如图，正方形DEMN 内接于ABC ，若A DEC E M S S ∆∆=，4D E M N S =正方形，3B D N S ∆=，求BC 的长．N MEDCBA16．已知，如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，DF ⊥AB 交AC 于F ，DE ⊥AC ，垂足为E ，若EF ∶CF=2∶1，DE=2，BD=65．求BC 的长．F EDC BA17．如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ， 求证：QH ⊥DH ．NMQPODCB A。
【初中】初中数学奥赛专题复习 知识梳理例题精讲 第七讲 相似三角形(提高篇,适合八年级使用,无答案)
相似三角形【知识梳理】1、通过寻找或构造相似三角形，计算线段长度，比例线段的证明，角相等的证明等。
2、利用相似三角形的性质解决实际问题。
3、做平行线构造相似三角形是常用的辅助线。
3、几何变换中的函数问题，利用相似三角形构造线段的比或面积的比是常用的方法。
【例题精讲】【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E 。
求证：OC 2＝OA·OE点拨：把OC 2＝OA·OE 化成比例形式【例2】如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，AD CE 、相交于G ． 求证：13GE GD CE AD ==．【巩固】D 是△ABC 中BC 边上的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝6，BE ＝4，连ED 并延长交AC 的延长线于F ，求AF :CF 的值。
B C D G E ACF【例3】如图，ABC ∆是一块锐角三角形余料，边长120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【巩固】△ABC 中的内接矩形EFGH ，EF :FG ＝5:9，高AD ＝16cm ，BC ＝48cm ，求矩形EFGH 的面积。
【例3】正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．M Q N P D C B AK D H G C B A FEQ P C B A【巩固】如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒4cm 的速度向点B运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动的时间为x 。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
初二第二学期相似三角形试题1
八年级第二学期相似三角形试题 姓名一、填空：⑴ 6∶x = (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5x -)∶x 中的x = ；⑵ 若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x ； ⑶ 若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ；⑷ 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶ 5 , 且12=++z y x , 那么_________,____,===z y x ；⑸ 若43===f e d c b a , 则______=++++fd be c a ； ⑹ 已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② )(y x +∶____)(=+z y ；⑺ 若322=-y y x , 则_____=y x ； ⑻ 图纸上画出的某个零件的长是 32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 ；⑼ 如图，已知 AB ∶DB = AE ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm ,AC = 28 cm , 则 AE = ；⑽ 已知，线段a = 2 cm , )12(-=b cm , )32(-=c cm,则线段b 的比例中项是 ;⑾ 若 ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3⑿ 在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BC 相交于点O 则 BD ∶AC = ； ⒀ 如图，已知，D 是 BC 的中点，E 是 AD ⒁ 判断对错： ① 所有的等边三角形都相似-----------------------------------------------------------------------（ ）② 所有的等腰三角形都相似-----------------------------------------------------------------------（ ）③ 有一个角等于 48 0的等腰三角形都相似--------------------------------------------------（ ）④ 有一个角对应相等的直角三角形相似---------------------------------------------------------（ ）⒂ 判断对错① 含︒30的角的直角三角形都相似---------------------------------------------------------------（ ）② 顶角相等的两个等腰三角形相似--------------------------------------------------------------（ ）③ ΔABC 和ΔA ′B ′C ′中，AB ∶A ′B ′= AC ∶A ′C ′，且 ∠B = ∠B ′，则ΔABC ∽ΔA ′B ′C ′--------------------------------------------------------------------------------（ ）④ 两边分别对应成比例的两个直角三角形一定相似A D E A------------------------------------------（ ）⒃判断对错① 一个三角形的三边分别与另一个三角形的三边平行，这两个三角形一定相似-------（ ）② 有两组对应边成比例，那么这两个三角形相似---------------------------------------------（ ）③ 所有矩形都相似------------------------------------------------------------------------------------（ ）④ 所有圆都相似---------------------------------------------------------------------------------------（ ）⒄如图，若ΔABC 的中线是 AM ，O 是重心， 则ABC ABM AOB S S S ∆∆∆==_______ ⒅ 在 ABC 中， D 为 AB 的中点，AB = 4 ，AC = 7 ，若 AC 上有一点E ，且 ΔADE 与原三角形相似，则 AE = ；⒆ 如图，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则ΔADE 与ΔABC的周长之比为 ；面积之比为 ； ⒇ 两个相似三角形对应高的比为 1∶3 为 ；对应角平分线的比为 ；周长比为 ；面积比为 ；二、证明题：⒈ 如图，已知，AB ∥FG ，AC ∥EH ，BG = CH ，求证：EF ∥BC⒉ 如图，已知，ΔABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：BF DE DF AE DB AD ==A C D BO C A C B E FG H A C D B E。
相似三角形习题精讲及答案(最新整理)
每个学生都应该用的“超级学习笔记”相似三角形习题精讲及答案相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、A D ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABCཁB ཁཁཁཁG ཁཁཁཁཁཁཁཁ每个学生都应该用的“超级学习笔记”分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE ，∠DBC 公用。
八年级数学相似三角形 (2)
相似三角形性质定理２:相似三角形周长之比等于相似比.
相似三角形性质定理３: 相似三角形面积之比等于相似比
的平方.
我们挑好椰子放到案板上，瘦弱的女摊主挥刀劈砍，刀刃碰撞椰肉，发出沉重“咔咔”的声，旁边的男人则躺在吊床上悠哉悠哉，心安理得的喝茶抽烟，看着女人忙活，丝毫没有过来帮忙的意思。 我心里为女人鸣不平，就问经理，他说，海南有些地方的风俗是女人干活，男人在家带孩子做饭。嗨，原来如此，这风俗可真不怎么样！星悦国际
一、相似三角形的定义
对应角相等ꢀ、对应边成比例＿ 的两个三角形，叫做相似三角 形。
二、相似三角形的判定
三、相似三角形的性质
相似三角形的判定：
的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
相似三角形判定与性质的应用
1.判一判:
（1）两个等腰三角形一定相似吗
不一定 （2）两个等边三角形一定相似吗
一定 （3）两个直角三角形一定相似吗
不一定
引申：增加什 么条件能使两 个等腰三角形
相似
引申：增加什么 条件能使两个直 角三角形相似
2.找一找:
(1) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, DE⊥AB,则图中有没有 三角形相似?
截△ABC所得的新三角形与原三角形相似（点P在AB上
固定不动）． A
A
P Q
P Q
B
C
B
A
C A
P
P
B
QC
B
Q
C
挑战自我
八年级数学相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用知识精讲试题
卜人入州八九几市潮王学校初二数学相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用华东师大【同步教育信息】一.本周教学内容：相似三角形的定义、识别、性质及性质的应用二.重点、难点：教学重点：相似三角形的识别及性质教学难点：识别及性质的灵敏应用［知识精讲］一、知识梳理：1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。
用符号“∽〞表示。
注：①在书写相似三角形时一定要把对应顶点写在对应位置。
②相似三角形对应边的比叫相似比。
△ABC∽△A'B'C'，ABA BACA CBCB Ck ''''''===那么△A'B'C'与△ABC的相似比是1 k③具有传递性，△1∽△2，△2∽△3，那么△1∽△3。
2.相似三角形的识别。
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个△相似。
用数学语言表示：假设∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'且ABA BACA CBCB C ''''''==那么△ABC∽△A'B'C'②预备定理：平行于三角形一边与另两边或者〔两边延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似。
假设DE∥BC那么△ADE∽△ABC③角的关系：两角相等的两个三角形相似假设∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，那么△ABC∽△A'B'C'④边的关系：三边成比例的两个三角形相似假设ABA BACA CBCB C''''''==，那么△ABC∽△A'B'C'⑤边角关系：两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似。
假设ABA BACA CA A ABC ABC '''''''' ==，且∠∠，则△∽△3.相似三角形的性质。
八年级数学相似三角形及其判定知识精讲试题
卜人入州八九几市潮王学校初二数学相似三角形及其断定人【本讲教育信息】一.教学内容：相似三角形及其断定二.重点、难点重点：相似三角形的概念，以及断定定理的应用。
难点：相似三角形断定定理的综合应用。
三.知识构造1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
注意：对应顶点写在对应的位置上，△ABC ∽△A’B’C’相似比〔相似系数〕：相似三角形对应边的比K 。
假设∆∆ABC A B C AB A B K ~='''''，。
那么∆∆∆∆ABC A B C K A B C ABC 与的相似比为，而与''''''的相似比为1K 。
2.相似三角形的断定定理：〔1〕平行于三角形一边的直线和其他两边〔或者两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似。
〔2〕假设一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简单说：两角对应相等，两三角形相似。
假设∠=∠∠=∠A A B B ''，那么∆∆ABC A B C ~'''〔3〕两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
假设：AB A B AC A C A A '''''=∠=∠，那么∆∆ABC A B C ~'''〔4〕三边对应成比例，两三角形相似。
假设：AB A B AC A C BC B C ''''''== 那么∆∆ABC A B C ~'''〔5〕两个直角三角形，假设斜边与一条直角边对应成比例，那么两直角三角形相似。
假设：AC A C AB A B ''''= 那么∆∆ABC A B C ~'''【典型例题】例1.两个相似三角形，其中一个三角形的边分别为4、5、6，另一三角形的一边长为2，求另一三角形的其他两边？分析：设其他两边分别为x ，y ，由相似三角形的意义：对应边成比例，关键是寻找对应边。
相似三角形及判定
相似三角形及判定在数学的奇妙世界中，相似三角形就像是一组神秘而有趣的密码，等待着我们去解读和探索。
相似三角形不仅在数学理论中占据重要地位，在实际生活中的应用也十分广泛。
那到底什么是相似三角形呢？简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形就是相似的。
这就好比是两个不同大小的同款风筝，它们的形状是一样的，只是一个大一个小。
相似三角形有很多有趣的性质。
比如说，它们的对应角相等。
想象一下，有两个相似三角形，其中一个三角形的三个角分别是 30 度、60 度和 90 度，那么另一个相似三角形对应的三个角也必然是 30 度、60度和 90 度。
再比如，它们的对应边成比例。
如果一个三角形的三条边分别是 3、4、5，而另一个与其相似的三角形的对应边分别是 6、8、10，那么 3 与 6 的比值、4 与 8 的比值、5 与 10 的比值都是相等的。
接下来，咱们重点聊聊相似三角形的判定方法。
这可是解决相似三角形问题的关键钥匙。
第一种判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
这很好理解，因为三角形的内角和是固定的 180 度，如果两个三角形有两个角分别相等，那么第三个角自然也相等。
就像两个人，眼睛和鼻子长得一样，那嘴巴大概率也长得差不多，整体长相也就相似了。
第二种判定方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
比如说，一个三角形的两条边分别是 4 和 6，夹角是 60 度；另一个三角形对应的两条边是 8 和 12，夹角也是 60 度，那么这两个三角形就是相似的。
第三种判定方法是“三边成比例的两个三角形相似”。
假如一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个三角形的三边分别是 6、8、10，因为 3 比 6 等于 4 比 8 等于 5 比 10，所以这两个三角形相似。
咱们通过几个实际的例子来看看这些判定方法是怎么运用的。
假设在一个三角形 ABC 中，角 A 等于 30 度，角 B 等于 60 度，在另一个三角形 DEF 中，角 D 等于 30 度，角 E 等于 60 度。
八年级数学上册《相似三角形》测试题及答案
八年级数学上册《相似三角形》测试题及答案一、选择题1. 若两个三角形的两个内角分别相等，则称这两个三角形为（）。
A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 相似三角形答案：D2. 在两个相似三角形中，对应角的度数相同，对应边的比值相等，称这两个三角形为（）。
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 对应三角形答案：D3. 已知两个三角形相似，其边长比为2:3，而其中一个三角形的周长为18cm，则另一个三角形的周长为（）。
A. 24cmB. 27cmC. 30cmD. 36cm答案：27cm二、判断题1. 两个等腰三角形一定是相似三角形。
（）答案：错误2. 如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形一定相似。
（）答案：正确三、解答题1. 已知∠ABC = 60°，∠DEF = 45°，且∠ABC ≌∠DEF，求证△ABC ≌△DEF。
解：根据已知条件可知，∠ABC = ∠DEF = 60°。
再由∠ABC≌∠DEF，可以得出三角形ABC和DEF的对应边分别相等。
因此，根据相似三角形的定义，可以得出△ABC ≌△DEF。
答案：根据已知条件，可证明△ABC ≌△DEF。
2. 如图所示，∠ABC = 90°，AD ⊥ BC，AD = 4cm，AD上的高为3cm，求△ABC与△ACD的边长比。
解：根据题意可知，三角形ABC是直角三角形，且三角形ACD是直角三角形。
已知AD ⊥ BC，所以△ABC和△ACD共有一边BC相等，并且△ACD中的∠CAD和△ABC中的∠CBA分别为共顶角和直角，因此∠CAD = ∠CBA = 90°。
此外，由题意可知AD = 4cm，AD上的高为3cm，所以BC = 4cm - 3cm = 1cm。
因此，△ABC与△ACD的边长比为1:4。
答案：△ABC与△ACD的边长比为1:4。
八年级数学相似三角形人教版知识精讲
初二数学相似三角形人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：相似三角形【典型例题】例1. 一条河的两岸是平行的，在河的一岸每隔5米有一棵树，在对岸每隔50米有一根电线杆，在离开岸边30米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两树之间还有三棵树，求河宽？解：由题意可知CD ＝20m ，AB ＝50m过M 作MN ⊥CD 于N ，交AB 于N’∵AB ∥CD ，∴MN’⊥AB∴MN m =30∴△MCD ∽△MAB∴=MN MN CD AB' 即：302050MN '= ∴=∴=-=-=MN NN MN MN '''75753045答：河宽45米。
例2. 已知：线段AB 长5cm ，点C 在AB 上，射线CM ⊥AB ，AC ＝1cm ，点P 在射线CM 上，设x CP =。
当x 为何值时，∠APB 为：（1）直角，（2）钝角，（3）锐角。
A C B解：（1）当x cm =2时∵AC ＝1cm ，AB ＝5cm∴CB ＝4cm∴===∴=AC PC PC CB AC PC PC CB 122412， 又∵PC ⊥AB∴∠ACP ＝∠PCB ＝90°∴△ACP ∽△PCM∴∠A ＝∠CPB又∵∠ACP ＝90°，在Rt ACP ∆中∴∠+∠=︒A APC 90∴∠+∠=︒APC CPB 90即当x cm =2时，∠APB ＝90°（2）当02<<x 时，设为P’点∴P’在线段CP 内是不与P 重合∴∠AP’C 为△APP’的外角∴∠AP’C ＞∠APC同理：∠BP’C ＞∠BPC∴+>+∠∠∠∠AP C BP C APC BPC ''即∠∠AP B APB '>=︒90∴当02<<x 时，∠APB 为钝角（3）略。
当x cm >2时，∠APB 为锐角例3. 已知梯形ABCD 中，AD ＝2，BC ＝3，∠B ＝90°，AB ＝7，P 在AB 上，问：当AP 为何值时，△ADP 与△BCP 是相似三角形。
初中数学奥赛专题复习 知识梳理+例题精讲 第六讲 相似三角(基础篇,适合八年级使用,无答案)
1初中数学奥赛专题复习 知识梳理+例题精讲 第六讲 相似三角（基础篇，适合八年级使用，无答案）【知识梳理】1、比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b ＝c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
2、平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
4、相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：（1）如图1，当 时，ABC ADE ∆∆∽（2）如图2，当 时， ABC AED ∆∆∽。
（3）如图3，当 时， ABC ACD ∆∆∽。
AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF ===则，，，…图3图2图1D CB AE DC B AE D C B A2（4）如图4，如图1，当AB ∥ED 时，则△ ∽△ 。
（5）如图5，当 时，则△ ∽△ 。
图4 图5 （6）如右图，特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC ＝90° ∴【例题精讲】【例1】如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =⋅． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【巩固】1、如图，DE ∥BC ，DH ∥EC 交BC 延长线于点H (1)试找出图中的相似三角形?(2)若AE:AC ＝1:2，则AC:DH ＝_______。
八年级数学相似三角形
努力修行自己最好的模样，只要做到深情地不辜负每一次遇见就够了，其它的都交给时间去珍藏或淘汰。
我们也不必刻意去地忘记一段情或一段爱，经过的都是生命流年里遇见的草长，花开。光阴的美，常常就在于它的必然流逝，而我们即使千百方计也无法把握住。淡然地接受人或物的来去，保持质 朴的心在光阴里前行。
我有时喜欢选择独坐，在绿树浓荫下的江滩公园长椅上，看蓝天白云自在轻盈，看鲜花美草间蜂戏蝶舞，听夏木阴阴里知了声声，时间如水流泻在每一寸皮肤上，享受着独处安静的快乐。人生有多 少次可以不戴虚伪的面具，坦然地面对自己的心境。
我们常常以为已找到了某个人，心灵开始有了凭寄、倚靠，灵魂开始有了共鸣，梦想开始结伴同行，可不经意间，说好灵魂结伴同行的两个人，还是走到了时间的叉路口上分道扬镳，最后越走越远， 只到小于尘埃般的背影消失于茫茫天地间时，才知道所谓的相见恨晚和刻骨铭心，也只是流年画卷上的一幅图罢了，蓦然回首时，已只剩下一地斑驳的回忆。开心8官网 时间深情也薄情，在毫无征兆的人生离别里，我们除了深情地选择活着，真的已别无他法。
八年级数学相似三角形
很好的五月天，我到香港去演讲，诗人知道了，叫我到他任教的中文大学去吃饭，中文大学的地势是"据山为王"的。如果走路当然很辛苦，但如坐在别人开的车子里上上下下攀爬自如倒也有趣，何 况车子里还坐满了此地"盛产"的作家。
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八年级奥数精讲与测试 相似三角形(无答案)
例1．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F 为DE的中点，AF、BE交于H，求证：AF⊥BE。
例2．如图，△ABC中，∠C=90°，D、E是BC边上的点，且∠ABC=12∠ADC=13∠AEC 。
若BD=11，DE=5，求AC。
例3．如图，等腰Rt△ABC中，B=90，AD是BC边的中线，BE⊥AD交AC于E，EF⊥BC。
若AB=BC=a，求EF。
例4．如图，在锐角三角形ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=22，求点B到AC的距离。
例5．如图，△ABC中，DE∥BC，已知S△OBC=n2，S△BOD=mn(n>m)，其中O为BE和CD的交点，求S BCED和S ADE 。
例6．如图，D为等边△ABC的边BC上一点。
已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连结BH。
试证：∠BHD=60°。
A卷一、填空题01．如图191，△ABC中，DE∥BC，∠ACD=∠B，则图中共有_______对相似三角形。
02．如图192，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM=EC，垂足为M，则BM的长为_______。
03．在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2。
如果在AB 上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE=_______。
04．如图193，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O。
若AB=2，BC=3，AF=1，则AE=_______。
05．在△ABC中，BC=15cm，DE、FG均平行于BC，且将△ABC的面积分成相等的三部分，则FG=_______。
06．如图194，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3。
如果边AB 上有一点P，以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的P有_______个。
07．如图195，∠ACB=90°，D是AB的中点，DF⊥AB，CD=6，∠E=4，则DF=_______。
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例1．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F 为DE的中点，AF、BE交于H，求证：AF⊥BE。
例2．如图，△ABC中，∠C=90°，D、E是BC边上的点，且∠ABC=1 2
∠ADC=1
3
∠AEC。
若BD=11，DE=5，求AC。
例3．如图，等腰Rt△ABC中，B=90，AD是BC边的中线，BE⊥AD交AC于E，EF⊥BC。
若AB=BC=a，求EF。
例4．如图，在锐角三角形ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，
DE=B到AC的距离。
例5．如图，△ABC中，DE∥BC，已知S△OBC=n2，S△BOD=mn(n>m)，其中O为BE和CD的交点，求S BCED和S ADE 。
例6．如图，D为等边△ABC的边BC上一点。
已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连结BH。
试证：∠BHD=60°。
A卷
一、填空题
01．如图191，△ABC中，DE∥BC，∠ACD=∠B，则图中共有_______对相似三角形。
02．如图192，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM=EC，垂足为M，则BM的长为_______。
03．在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2。
如果在AB
上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE=_______。
04．如图193，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O。
若AB=2，
BC=3，AF=1，则AE=_______。
05．在△ABC中，BC=15cm，DE、FG均平行于BC，且将△ABC的面积
分成相等的三部分，则FG=_______。
06．如图194，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3。
如果边AB
上有一点P，以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相
似，那么这样的P有_______个。
07．如图195，∠ACB=90°，D是AB的中点，DF⊥AB，CD=6，∠E=4，
则DF=_______。
08．如图196，已知四边形ABCD是一张矩形纸片，E在AB上，且BE : EA=
5 : 3，
EC=BCE沿EC对折，点B恰好落在AD边上的F点，
则AB=_______。
09．如图197，在△ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，且AD
为12，S△EBD : S△ABC=1 : 4，则BD=_______。
10．如图198，四边形ABCD是平行四边形、若∠BDC=∠ACB，则AC :
AB=_______。
二、解答题
11．如图，过线段AB的两端作线段AC、BD，使AC⊥AB，BD⊥AB，
AD与BC交于N，作MN⊥AB于M，求证：△ACM∽△BDM。
12．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，CD⊥AB，DE
⊥BC，DF⊥AC，求S△BEF : S△AEF 。
B卷
一、填空题
01．如图201，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD >AB。
设E、F分别是AC，BD的中点，AC、BD交于O点，△OEF是边长为1的等边三角形，
S△BOC
S梯形ABCD=________。
02．面积为16cm2的三角形的三条中线所构成的三角形的面积为________。
03．如图202，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC。
若AB=5，AC=3，则AD=________。
04．如图203，正方形ABCD及正方形AEFG，连结BE、CF、DG，则BE :
CF : DG=________。
05．等腰△ABC的顶角∠A=108°，BC=m，AB=AC=n，x=
m n
m n
+
-
，
y=
()2
m n
mn
+
，z=
2
3
m
n
，则x、y、z之间的大小关系是________。
06．如图204，梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高
为4，则梯形的面积为________。
07．如图205，已知点P是面积为12cm2的平行四边形所在平面上一点，且
△PAB的面积为2cm2，则△PCD与平行四边形ABCD的公共部分的面积
最大值为________。
08．如图206，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，
BP交AC于E，EF⊥BC于F。
若AE=3，EC=12，则EF=________。
09．如图207，正△ABC和正△A1B1C1，点O既是AC的中点又是A1C1
的中点，则AA1: BB1=________。
10．如图208，边长为1的等边△ABC，BC上有一点D，BD=
1
3
，AC上
有一点E，∠ADE=60°，则EC=________，S△ADE=________。
二、解答题
11．已知△ABC中，AB=AC=2，AB边上的高CH
DEFG
的DE边在BC上，F、G分别在AC、AB上，求DE的长。
12．如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC边上的点，且BP=BQ，
过B作PC的垂线BH，垂足为H，求证：DH⊥HQ。
C
卷
解答题
01．如图，平行四边形ABCD 的面积是60，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 与DE 、DB 分别交于G 、H ，求四边形EBHG 的面积。
02．如图，在等边△ABC 的BC 边上有一点D ，BD : DC=1 : 2，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连结BH ，求证：△ADB ∽△BDH 。
03．如图，△ABC 中，BC=2AC ，D 、E 分别是BC 、AB 上的点，且∠1=
∠2=∠3。
如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长为m 、m 1、m 2，求1
2
m m m
+的值。
04．如图，在直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形△ABC 、△ADE 、△AFG ，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ，求AL 的长。
05．如图，△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：a 12+a 12+a 12= b 12+b 12+b 12
06．如图，设P 、Q 是线段BC 上的两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？证明你的结论。
07．如图，△ABC 的面积是其内接矩形△QRS 面积的三倍，并且边BC 与高AD 的值是有理数，问矩形PQRS 周长的值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？
08．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ACB=45°⑴求这个三角形三边之比AB : BC : AC ；⑵设P 为△ABC 内一点，且
PA=
PB=
PC=，求∠APB 、∠BPC 、∠CPA 。
09．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠B 的平分线分别与AD 、AC 交于E 、F ，H 为EF 中点，⑴求证：AH ⊥EF ；⑵设△AHF 、△BDE 、△BAF 的周长分别为C 1、C 2、C 3，试证明：123
C C C +≤9
8，并求出当等号成立时
AF
BF
的值。
10．如图，在任意△ABC 的外部作△BPC 、△CQA 和△ARB ，使∠PBC=∠CAQ=45°，∠BCP=∠QCA=30°，∠ABR=∠BAR=15°，求证⑴RP=RQ ；⑵∠PRQ=90°。