八年级奥数精讲与测试 相似三角形(无答案)

例1．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F 为DE的中点，AF、BE交于H，求证：AF⊥BE。

例2．如图，△ABC中，∠C=90°，D、E是BC边上的点，且∠ABC=1 2

∠ADC=1

3

∠AEC。若BD=11，DE=5，求AC。

例3．如图，等腰Rt△ABC中，B=90，AD是BC边的中线，BE⊥AD交AC于E，EF⊥BC。若AB=BC=a，求EF。例4．如图，在锐角三角形ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，

DE=B到AC的距离。

例5．如图，△ABC中，DE∥BC，已知S△OBC=n2，S△BOD=mn(n>m)，其中O为BE和CD的交点，求S BCED和S ADE 。

例6．如图，D为等边△ABC的边BC上一点。已知BD=1，CD=2，CH⊥AD于点H，连结BH。试证：∠BHD=60°。

A卷

一、填空题

01．如图191，△ABC中，DE∥BC，∠ACD=∠B，则图中共有_______对相似三角形。

02．如图192，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM=EC，垂足为M，则BM的长为_______。

03．在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2。如果在AB

上找一点E，使△ADE与原三角形相似，则AE=_______。

04．如图193，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O。若AB=2，

BC=3，AF=1，则AE=_______。

05．在△ABC中，BC=15cm，DE、FG均平行于BC，且将△ABC的面积

分成相等的三部分，则FG=_______。

06．如图194，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3。如果边AB

上有一点P，以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相

似，那么这样的P有_______个。

07．如图195，∠ACB=90°，D是AB的中点，DF⊥AB，CD=6，∠E=4，

则DF=_______。

08．如图196，已知四边形ABCD是一张矩形纸片，E在AB上，且BE : EA=

5 : 3，

EC=BCE沿EC对折，点B恰好落在AD边上的F点，

则AB=_______。

09．如图197，在△ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上的高，且AD

为12，S△EBD : S△ABC=1 : 4，则BD=_______。

10．如图198，四边形ABCD是平行四边形、若∠BDC=∠ACB，则AC :

AB=_______。

二、解答题

11．如图，过线段AB的两端作线段AC、BD，使AC⊥AB，BD⊥AB，

AD与BC交于N，作MN⊥AB于M，求证：△ACM∽△BDM。

12．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，CD⊥AB，DE

⊥BC，DF⊥AC，求S△BEF : S△AEF 。

B卷

一、填空题

01．如图201，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD >AB。设E、F分别是AC，BD的中点，AC、BD交于O点，△OEF是边长为1的等边三角形，

S△BOC

S梯形ABCD=________。

02．面积为16cm2的三角形的三条中线所构成的三角形的面积为________。03．如图202，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC。若AB=5，AC=3，则AD=________。

04．如图203，正方形ABCD及正方形AEFG，连结BE、CF、DG，则BE :

CF : DG=________。

05．等腰△ABC的顶角∠A=108°，BC=m，AB=AC=n，x=

m n

m n

+

-

，

y=

()2

m n

mn

+

，z=

2

3

m

n

，则x、y、z之间的大小关系是________。

06．如图204，梯形的对角线互相垂直，其中一条对角线长为5，梯形的高

为4，则梯形的面积为________。

07．如图205，已知点P是面积为12cm2的平行四边形所在平面上一点，且

△PAB的面积为2cm2，则△PCD与平行四边形ABCD的公共部分的面积

最大值为________。

08．如图206，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，

BP交AC于E，EF⊥BC于F。若AE=3，EC=12，则EF=________。

09．如图207，正△ABC和正△A1B1C1，点O既是AC的中点又是A1C1

的中点，则AA1: BB1=________。

10．如图208，边长为1的等边△ABC，BC上有一点D，BD=

1

3

，AC上

有一点E，∠ADE=60°，则EC=________，S△ADE=________。

二、解答题

11．已知△ABC中，AB=AC=2，AB边上的高CH

DEFG

的DE边在BC上，F、G分别在AC、AB上，求DE的长。

12．如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC边上的点，且BP=BQ，

过B作PC的垂线BH，垂足为H，求证：DH⊥HQ。

C

卷

解答题

01．如图，平行四边形ABCD 的面积是60，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 与DE 、DB 分别交于G 、H ，求四边形EBHG 的面积。

02．如图，在等边△ABC 的BC 边上有一点D ，BD : DC=1 : 2，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连结BH ，求证：△ADB ∽△BDH 。

03．如图，△ABC 中，BC=2AC ，D 、E 分别是BC 、AB 上的点，且∠1=

∠2=∠3。如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长为m 、m 1、m 2，求1

2

m m m

+的值。

04．如图，在直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形△ABC 、△ADE 、△AFG ，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ，求AL 的长。

05．如图，△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：a 12+a 12+a 12= b 12+b 12+b 12

06．如图，设P 、Q 是线段BC 上的两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？证明你的结论。

07．如图，△ABC 的面积是其内接矩形△QRS 面积的三倍，并且边BC 与高AD 的值是有理数，问矩形PQRS 周长的值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？

08．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ACB=45°⑴求这个三角形三边之比AB : BC : AC ；⑵设P 为△ABC 内一点，且

PA=

PB=

PC=，求∠APB 、∠BPC 、∠CPA 。

09．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠B 的平分线分别与AD 、AC 交于E 、F ，H 为EF 中点，⑴求证：AH ⊥EF ；⑵设△AHF 、△BDE 、△BAF 的周长分别为C 1、C 2、C 3，试证明：123

C C C +≤9

8，并求出当等号成立时

AF

BF

的值。

10．如图，在任意△ABC 的外部作△BPC 、△CQA 和△ARB ，使∠PBC=∠CAQ=45°，∠BCP=∠QCA=30°，∠ABR=∠BAR=15°，求证⑴RP=RQ ；⑵∠PRQ=90°。