第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
㈠本课的基本要求
掌握用导数判断函数的单调性的方法，会用导数判断函数图形的凹凸性以及拐点，会单调性和凹凸性的一些简单运用
㈡本课的重点、难点
单调性的判断是本课的重点、凹凸性的判定为本课的难点
㈢教学内容
单调性是函数的重要性态之一，它既是决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。

本节以微分中值定理为工具，给出函数单调性及极值的判别法。

一．函数单调性的充分条件
单调性的定义。

再假设函数在某个区间内可导且具有单调性，如单调递增，由单调递增这一整体性质不难看到：无论0>∆x 还是0<∆x ，差商0)()(≥∆-∆+=∆∆x
x f x x f x y ，这样可得0)(≥'x f 。

（注意，即使严格递增，一般也得不到0)(>'x f 。

），反过来，也希望利用导数的符号判断函数在某个区间上的单调性。

定理1 设函数内可导上连续，在
在),(],[)(b a b a x f ⑴如果在内单调增加在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a >'；
⑵如果在内单调在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a <'减少。

证略。

（课堂上介绍）
几何意义：如曲线)(x f y =在某区间内的切线与x 轴正向的夹角α是锐角（tan α>0），则该曲线在该区间内上升，若这个夹角是钝角（tan α<0），则该曲线在该区间内下降。

(在黑板上画图)
由定理知，可导函数的单调性可根据其导数的正负情况予以确定。

如函数的导数仅在个别点处为0，而在其余的点处均满足定理的条件，那么定理1的结论仍然成立，例如3x y =在x=0处的导数为0，但在),(+∞-∞内的其它点处的导数均大于0，因此它在区间),(+∞-∞内是增加的。

有时，函数在其定义域上并不具有单调性，但在各个部分区间上却具有单调性。

如图（由图说明函数在哪些具体区间上具有单调性）。

另外由图可知，对于可导函数来说，显然这些单调区间的分界点处的导数值应为0.（在黑板上画图 ）
因此，要确定可导函数)(x f 的单调区间，应先求出满足不存在的点）（或
)(0)(x f x f '='的一切值。

确定某个函数的单调性的一般步骤：
⑴确定函数的定义域
⑵求出使不存在的点和)(0)(x f x f '='并以这些点为分界将定义域分为若干个子区间。

⑶确定)(x f '在各个子区间的符号，从而判定出)(x f 的单调性。

例1．讨论函数]2,0[cos 1π在x x y -+=上的单调性
例2．讨论55)(23+-+=x x x x f 的单调性
例3．求函数32
3
x x y -=的单调区间 例4．（血液的压强）血液从心脏里流出，经到主动脉后流到毛细血管，再通过静脉流回心脏。

医生建立了某个病人在心脏收缩的一个周期里血压P 的数学模型 100,1
12325)(22≤≤++=t t t t P 其中，压强单位是mmHg ，时间单位是s 。

0=t 表示血液从心脏里流出的时间。

则血压的变化率0)1(196)1()12325(2)1(50112325)(22222222<+-=++-+='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++='t t t t t t t t t t P 因此，在心脏收缩的一个周期里，血压是递减的。

例4．证明当x x x
x x ≤+≤+->)1ln(11时，不等式成立 例5．证013=-+x x 有且仅有一个实根
二．曲线的凹凸性及拐点
在黑板上画出示意图
定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点21,x x 恒有
2)()(22121
x f x f x x f +<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+， 那么称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭
⎫ ⎝⎛+， 那么称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

定义2 设)(x f y =在某区间内连续，则曲线)(x f y =在该区间内的凹凸分界点，叫做该曲线的拐点。

注：拐点是曲线上的点，因此，拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示。

分析凹凸性函数)(x f '的单调性
定理1 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内具有一阶和二阶导数，那么
⑴若在),(b a 内0)(>''x f ，则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；
⑵若在),(b a 内0)(<''x f ，则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的。

证 我们先证明⑴。

在),(b a 内任取两点21x x <，并记2
21x x c +=。

在],[1c x 与],[2x c 上对函数)(x f 分别用拉格朗日中值定理，得 ),(),)(()()(11111c x x c f x f c f ∈-'=-ξξ，
),(),)(()()(22222x c c x f c f x f ∈-'=-ξξ
下式减去上式，并记h c x x c =-=-21，得
h f f c f x f x f )]()([)(2)()(1212ξξ'-'=-+
由凹凸性定义，我们只要证明上式左边大于零就可以了。

由于函数)(x f 在),(b c 二阶可导，所以导函数)(x f '在],[b a 满足拉格朗日中值定理条件。

在],[21ξξ上对导函)(x f '再用拉帮朗日中值定理，得),(),)(()()(211212ξξξξξξξξ∈-''='-'f f f ，由定理条件知0)(>''ξf ，又0,12>>h ξξ，所以
022)()()(2)()(121212>⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=-+x x f x f x f c f x f x f 即2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+。

所以曲线是凹的。

同理可证⑵。

定理2 （拐点的必要条件）若))(,()()(0000x f x x f x x f y 存在，且点处的二阶导数
在''=为曲线0)()(0=''=x f x f y 的拐点，则。

注：这只是必要条件，不是充分条件，如处在04==x x y 。

定理3 若0000)()(x x f x x f y 且在处在=''=两侧的二阶导数变号，则点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点。

注：这只是充分条件，如)(x f ''不存在的点，也可能是拐点。

判定)(x f y =的凹凸与拐点的步骤：
⑴求一阶及二阶导数)(),(x f x f '''；
⑵求出所有满足方程0)(=''x f 的点及使二阶导数不存在的点；
⑶由定理1,2,3及定义来判定曲线的凹凸与拐点。

例1．判定曲线x y ln =的凹凸性。

例2．求曲线355x x y -=的凹凸区间与拐点。

例3．求3/11x y -=的凹凸区间及拐点。

例4．求323x x y -=的极值及增减区间、拐点及凹凸区间（0；1；2）
例5．确定摆线π20),cos 1(),sin (≤≤-=-=t t a y t t a x 的凹凸性。

解 )20,0)c o s 112
22π<<<--=t t a d y d ，又注意到摆线在]2,0[π上连续，所以它在]2,0[π上是凸的。

例6．（众议院席位（House function ））根据美国当选总统的得票率，预测他所在的党在众议院获得席位比率的一个数学模型。

设当选总统的得票率是p ，则House 函数
10,)1()(3
33
≤≤-+=p p p p p H 预示他所在的党在这届众议院里将得到的席位占总席位数的比率。

我们分析一下House 函数的凹凸性。

有)(p H 在)21
,0(内是凹的，在)1,21(内是凸的，2
1=p 是拐点。

注 House 函数基本反映了美国众议院席位的实际情形。

例如在1936年的选举中罗斯福赢得61%的选票，由House 函数估计民主党在众议院中分得席位的比率是
%)3.79(793.039.061,061.0)61.0(3
33
≈+=H 实际上，当年民主党在众议院获得333个席位，占总席位的78.9%，与预测结果相差无几。

当然，它也并不总是非常准确的。

最大的差别出现在1984年里根连任时。

里根得到了59%的选票，由House 函数计算共和党在众议院可以得到约75%的席位，但实际只得到48%的席位，相差25个百分点。

这是由多方面的原因造成的。

例7．求224163234+-+-=x x x x y 的凹凸区间和拐点。

利用函数的凹凸性，可以证明关于算术平均值和几何平均值的不等式。

例8．设)(x f 在),(b a 内凹，),(,,,21b a x x x n ∈ 。

证明
n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+++≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++ 。

（用数学归纳法） 例9．设n i x i ,,2,1,0 =>。

证明：n
x x x x x x n n n +++≤
2121，其中的等号成立当且仅当所有的i x 全相等。

证 当所有的i x 全相等时等号显然成立，因此只需证明当i x 不全相等时上式是严格不等式。

考虑函数x x f ln )(=在),0(+∞上是严格递增且凸的，故 n n n n x x x n x x x n x x x 1
212121)ln(ln ln ln ln =+++>+++
即n
x x x x x x n n n +++≤ 2121 例10．利用函数图形的凹凸性，证明不等式)(,22y x e e e y
x y
x ≠>++
证 因为x e x f =)(在R 内为凹。

由凹函数的定义即可得。

小结：
作业：P.151.1,3(2)(8),4(3),5,7(3),8(2),9(1),10,12。