函数的单调性与曲线的凹凸性精选
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
函数的单调性与曲线的凹凸性PPT课件
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
函数的单调性与曲线的凹凸性
证： x1, x2 ∈(a, b), 且 x1 < x2 , 应用拉氏定理,得
f (x2 ) f (x1) = f ′(ξ )(x2 x1) ∵x2 x1 > 0, (x1 < ξ < x2 )
若 (a, b)内 f ′(x) > 0, 在 ，
则 f ′(ξ) > 0,
∴ f (x2 ) > f (x1). ∴y = f (x)在 a, b]上 调 加 [ 单 增 .
若 (a, b)内 f ′(x) < 0, 在 ，
则 f ′(ξ) < 0,
∴ f (x2 ) < f (x1). ∴y = f (x)在 a, b]上 调 少 [ 单 减 .
例1
x 讨论函数 y = e x 1 的单调性
y
y = ex x 1
2
解 ∵y′ = ex 1.
又∵D :(∞, +∞).
单调区间求法
如果函数在定义区间上不是 单调的，但在各个部分区间 上单调，那我们如何划分呢？
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该 区间称为函数的单调区间. 区间称为函数的单调区间. 单调区间 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 等于零的点 分界点 方法： 方法：用方程 f ′( x) = 0 的根及 f ′( x) 不存在的点来划分函 的定义区间，然后判断区间内导数的符号。 数 f ( x) 的定义区间，然后判断区间内导数的符号。
3π 7π . 令 y′′ = 0, 得： x1 = , x2 = 4 4 3π 7π f ′′′( ) = 2 ≠ 0, f ′′′( ) = 2 ≠ 0, 4 4 3π 7π ∴ 在 [0, 2π ] 内曲线有拐点为 ( , 0), ( , 0).
函数的单调性和曲线的凹凸性
故在(0, +)上 f (x)单增.
例4. 证明不等式 ex – (1+x) > 1– cosx, (x > 0)
证明思路: 用两次单调性
证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx)
= ex –x +cosx –2
则 F(0)=0. 要证F(x) > 0 (x > 0)
故曲线在(0, +)上是凹的.
即有 f (tx +(1– t) y) < t f (x) + (1– t) f (y) 即
定义2. 设f (x)C(U(x0)), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0))为该曲线的拐点.
= t f (x1)+(1– t) f (x2)
= t x1+(1– t) x2 x = x2+(x1– x2)t
弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
故得如下定义.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
凹凸性标志着图形弯曲的方向.
如图(a), (b)
y=f (x)
o
y
x
x1
x2
A
B
(x1, y1)
(x2, y2)
x
x
o
y
x1
x2
A
B
y=f (x)
(x2, y2)
(x1, y1)
函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法 二、曲线凹凸性及其判别法
三、小结
1.单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
二、曲线凹凸性及其判别法
1.曲线凹凸的定义 2.曲线凹凸的判定 3.曲线的拐点及其求法 4.利用凹凸性证明不等式 5.小结
1.曲线凹凸的定义
y
C B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
例4 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
求拐点的步骤：
• 求二阶导数等于零和不存在的点 • 判断二阶导数在这些点的左右两侧是否
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
函数的单调性及曲线的凹凸性
定义. 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界 点称为该曲线的拐点 由定义知: 如果在x0左右两侧f (x)异 号, 则(x0, f (x0))是拐点. 因此只有f (x0)=0 或不存在时, (x0 , f (x0))才可能是拐点.
求连续曲线弧拐点的步骤 (1) 在f(x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x)等于零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点.
即F ( x) F (1) 0. x 当x 1时，F ( x) e e 0, 可知F ( x)
为[1,)上的严格单调增加函数, 即F ( x) F (1) 0. x 故对任意x 1，都有F ( x) 0， 即 e ex.
二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外, 还有不 同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函 数曲线的弯曲方向呢？
3 2 2. 例 3 讨论函数 y x 的单调性 解: 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单减 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 ) 上单增
1 3. 例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x 1 1 1 f (x) 2 2 (x x 1) x x x 因为当x>1时, f (x)>0 所以f(x)在[1 )上 f(x)单增 因此 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
研究函数的单调性, 我们只关心 y在 子区间内的符号.
y
5 x3
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性共36页
x
=
3
是极值点
y 2 7 6ab0
x 3
( 3)
联立(1)-(3),得 a = －6, b = 9, c = 2.
例15. 利用函数的凹凸性证明不等式:
ex
ey
xy
e 2 (xy).
2
证明: 令f(x)ex,
f(x)ex0, (x (, ) )
f(x)在( , )上是凹的
同理可证明(2).
例1．讨 论 函 f(x) 数 exx1的 单.调 性
解： 定 义 D:( 域 , ) . f(x)ex 1.
x
f (x) f (x)
(, 0)
0 (0, )
0
f(x)在( ,0]单调减 ;在少 [0,)上单调增. 加
说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义 区间为两个具有单调性的区间.
令f(x)0, x10,x2 2 ;x3 1是不可导.
(3) 列表判断:
x (,2) 2 (2,1) 1 (1, 0) 0 (0,)
f (x) 0 不存在 0
f (x)
单调增加区间: ( ,2][0, ) 单调减少区间: [2, 0].
1x 因f为 (x)在 [0,) 上连 , 续 且 (0 , 在 )内 ,可 f(x ) 0 导 ,
所以 f(x)在 [0, )上单调 ;由 增 f(0) 加 0, 知x当 0时 , f(x)f(0), 即 xln 1(x).
3. 曲线
y1ex2 的凹区间是 ( 1 , 2
( D )f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 0 )
提示: 利用 f (x)单调增加 , 及
f( 1 ) f( 0 ) f()( 0 1 )
函数单调性与曲线凹凸性
二阶可导,
则 定理3.
（由定理3保证）
且点( x0 , f ( x0 )) 是曲线的拐点. 则 证明： f ( x ) 二阶可导,
f ( x ) 存在且连续 ,
定理3. 且点( x0 , f ( x0 )) 是曲线的拐点. 则 证明： f ( x ) 二阶可导,
f ( x ) 存在且连续,
f ( x )在x0 取得极值,
由费马引理
f ( x ) 0.
拐点的求法：
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0,
(1) x0两侧f ( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))即为拐点;
( 2) x0两侧f ( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
若 f ( x ) 0, 则函数f ( x )在[a , b]上单调递增, 若 f ( x ) 0 , 则函数f ( x )在[a , b]上单调递减, 推论 如果f ( x )连续, 且除有限个(或可数个)点外,
f ( x ) 0或( f ( x ) 0), 则函数f ( x )单调递增(递减),
第四节 函数的单调性与曲线的凸凹性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数f ( x )在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导
若 f ( x ) 0, 则函数f ( x )在[a , b]上单调递增, 若 f ( x ) 0 , 则函数f ( x )在[a , b]上单调递减, 证: 不妨设 f ( x ) 0 , x I ,任取 x1 , x2 I ( x1 x2 ) 由拉格朗日中值定理得
3 x 2 , y 6 x , 令 f ( x ) 0 , 得 x 0 y
函数单调性和曲线凹凸性优秀课件
y
1 y=lnx
o
x
例5. 讨论曲线 y=x3 的凹凸性.
解: y=6x 当 x<0时, y<0.
故 y=x3在(, 0]内是凸弧.
当 x>0时, y >0.
故 y=x3 在 [0, +) 内是凹弧.
这里点(0, 0)称曲线 y=x3 的拐点.
y
y=x3
0
x
一般地，设f (x)C ( U ( x0) ), 若曲线 y=f (x) 在点(x0, f (x0))处左右两侧凹凸性相反，则称 (x0, f (x0)) 为该曲线的拐点.
定义1: 设f (x)C ( [a, b] ) ，x1, x2 [a, b] (x1x2) 和 t(0, 1), 若有 f ( t1 x ( 1 t ) x 2 ) t( x f 1 ) ( 1 t ) f ( x 2 )
( f ( t1 x ( 1 t ) x 2 ) t( x f 1 ) ( 1 t ) f ( x 2 ) )
y f (x)>0
0
x
y= f ( x)
思考问题 利用上面性质证明： x > 0 时 x > ln(1+ x)
二、 曲线的凹凸性及其判定法
y
y =x2
y x
o
x
y
B
A
f (x1)
o
x1
f (x2)
x x2 x
在曲线 y=f (x)上任取两点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，
则弦 AB 的参数方程为：
(1)若x (a,b), 有f (x)>0. 曲线y=f (x)在[a, b]上是
凹的.
(2)若x (a,b), 有f (x)<0. 曲线y=f (x)在[a, b]上是
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定方法如果函数在上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即(或)由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理(函数单调性的判定法)设函数在上连续,在内可导.(1)如果在内,那么函数在上单调增加;(2)如果在内,那么函数在上单调减少.证明只证(1)（（2）可类似证得）在上任取两点,应用拉格朗日中值定理,得到.由于在上式中,因此,如果在内导数保持正号,即,那么也有,于是从而，因此函数在上单调增加.证毕例3-19判定函数在上的单调性.解因为在内,所以由判定法可知函数在上单调增加.例3-20讨论函数的单调性.解由于且函数的定义域为令,得,因为在内,所以函数在上单调减少;又在内,所以函数在上单调增加.例3-21讨论函数的单调性.解:显然函数的定义域为,而函数的导数为所以函数在处不可导.又因为时,,所以函数在上单调减少;因为时,,所以函数在上单调增加.说明:如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间,就能保证在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数在每个部分区间上单调.例3-22.确定函数的单调区间.解该函数的定义域为.而,令,得.列表函数f(x)在区间和内单调增加,在区间上单调减少.例3-23讨论函数的单调性.解函数的定义域为函数的导数为:,除时,外,在其余各点处均有因此函数在区间上单调减少;因为当时,,所以函数在及上都是单调增加的.从而在整个定义域内是单调增加的.其在处曲线有一水平切线.说明:一般地,如果在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例3-24证明:当时,.证明:令,则因为当时,,因此在上单调增加,从而当时,,又由于,故,即,也就是,().二、函数的凹凸性与拐点在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示，图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方定义3-6-1设在区间I上连续,如果对I上任意两点 ,恒有那么称在I上的下凸函数;如果恒有那么称在I上的上凸函数.函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性二、判定函数的凸性的充分条件定理设在上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在内,则在上是下凸的;(2)若在内 ,则在上是上凸的.证明只证(1)((2)的证明类似).设,记.由拉格朗日中值公式,得,,两式相加并应用拉格朗日中值公式得,即,所以在上的图形是凹的.拐点:连续曲线上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求出在二阶导数 ;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;注:根据具体情况（1）、（3）步有时省略.例3-34判断曲线的凸性.解:因为 ,.令得,当时,,所以曲线在内为上凸的;当时,,所以曲线在内为下凸的.例3-35求曲线的拐点及凸性区间.解:(1)函数的定义域为;(2),;(3)解方程,得,;(4)列表判断:在区间和上曲线是下凸的,在区间上曲线是上凸的.点和是曲线的拐点.例3-36问曲线是否有拐点？解, .当时,,在区间内曲线是下凸的,因此曲线无拐点.例3-37求曲线的拐点.解(1)函数的定义域为;(2),;(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ;(4)判断:当时,;当时,因此,点是曲线的拐点.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
函数单调性和曲线凹凸性
当 x<1 时: f (x)>0,
所以f (x)单调增加;
当1<x<3时: f (x)<0, 所以f (x)单调减少;
1 特别地取 t 则得 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) y=f (x)凹 f 2 2
例6. 利用上式证明 x>0, y>0 且 xy 时，有
1 n x y n ( x y )， 其中n>1. 2 2
证：令 f ( t )= tn. ( t > 0 )
n
f ''( t )=n(n1) t n2 > 0. 故t > 0时 f (t)的曲线为凹的.
取 x > 0, y > 0 得
( t > 0)
1 n x y n ( x y ) 2 2
n
§3-5 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 y 0
y= f ( x )
(2)若x(a,b)有f (x) <0.则y=f (x)在[a,b]上单调减少; 证: x1, x2 [a,b] 且x1< x2. 由于 [x1, x2 ] [a, b],
在(x1, x2 )内可导.
故f ( x ) C ( [x1, x2 ] ), 且
根据Lagrange中值定理,得出
Байду номын сангаас
这里点(0, 0)称曲线 y=x3 的拐点.
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
函数的单调与曲线的凹凸
随着$x$的增大，$f(x)$的值也增大。
单调递减函数
随着$x$的增大，$f(x)$的值减小。
判断函数单调性的方法
导数法
通过求函数的导数，并分析导数的符号，判断函数的单调 性。如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0， 则函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同区间的函数值来判断函数的单调性。
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单调性与凹凸性综合实例分析
• 函数$f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4$在区间$(-\infty, -\frac{1}{2})$上是单调递减的， 在区间$(-\frac{1}{2}, +\infty)$ 上是单调递增的，并且在全实数 域$R$上是凸函数。
在工程学中，单调性和凹凸性可用于 分析机械、电子和控制系统中的性能 指标，以确保系统的稳定性和优化性 能。
在物理学中，单调性和凹凸性可用于 描述速度与时间、位移与时间等物理 量之间的关系。
04 实例分析
单调性实例分析
函数$f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$上是单调递减的，而在区间$(0, +infty)$上是单调递增的。
单调性与凹凸性在函数图像上的表现
单调性可以通过观察函数图像的上升或下降趋势 来识别。
凹凸性可以通过观察函数图像的弯曲方向来识别， 即向上凸起或向下凹。
在同一张函数图像上，单调性与凹凸性可以同时 存在，但它们的方向相反。
单调性与凹凸性在实际问题中的应用
在经济学中，单调性和凹凸性可用于 分析商品价格与需求量之间的关系， 以及生产成本与产量之间的关系。
函数单调性与曲线凸凹性市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
2
2
图形是凹旳;
(2) 若恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) , 则称 f (x)的
2
2
图形是凸旳 .
yyy
连续曲线上旳凹凸分界点 (x0, f (x0 )) 称为拐点 .
(x0 , f (x0 ))
ooo
xx11 xx11xx22
22
xx22
xxx
7
定理2.(凹凸鉴定法) 设函数 f (x)在区间I 上有二阶导数
)
f (x1 x2 ),
2
阐明 (1) 成立; (2) 证毕
8
例3. 判断曲线 y x4旳凹凸性.
y
解: y 4x3, y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时, y 0, 故曲线 y x4在 (, ) 上是向上凹旳. o x
阐明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线旳凹凸性不变 .
2) 根据拐点旳定义及上述定理, 可得拐点旳鉴别法如下:
若曲线 y f (x) 在点x0 连续, f (x0 ) 0 或不存在, 但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线 y f (x) 旳一种拐点.
9
例4. 求曲线 y 3 x 旳拐点.
2
5
解:
y
1 3
14
备用题
1. 求证曲线
y
x1 x2 1
有位于一直线旳三个拐点.
证明：y
(x2
1) (x 1)2x (x2 1)2
1 2x x2 (x2 1)2
y
(2 2x) (x2 1)2 (1 2x x2 ) 2(x2 1) 2x (x2 1)4
高等数学课件——函数的单调性与曲线的凹凸性
1.讨论曲线y ln x的凹凸性.
2.讨论曲线y x3的凹凸性.
3.讨论曲线y 3 x的凹凸性.
注：y f ( x)凹凸区间的分界点可能是 使f ''( x) 0的点； 或者f ''( x)不存在的点.
def :曲线上有一点( x0 , f ( x0 )),曲线在该点一边是上凸的， 在另一边是上凹的.称该点为曲线的拐点.
证： 不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f ( 2 ) x1 f (1 ) x1 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 ) x1 f ( )( 2 1 ) 0 (1 2 )
4.讨论函数f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调性.
解：D f R. f '( x) 6 x 2 18 x 12. 令f '( x) 0得：x1 1, x2 2. x1 1, x2 2将D f 划分为(-,1],[1, 2],[2, ). 在(-,1)内，f '( x) 0. f ( x)在(-,1]上单调递增； 在(1，内， 2) f '( x) 0. f ( x)在[1, 2]上单调递减； 在(2, )内，f '( x) 0. f ( x)在[2, )上单调递增.
§3-4函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性 曲线的凹凸性
一、函数的单调性
已观察：f ( x)单调增加，则f '( x) 0; f ( x)单调减少，则f '( x) 0.
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3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 3.
4.1函数的单调性的判别法
定理3.8 设函数()f x 在(),a b 内可导，则()f x 在(),a b 内递增（或递减）的充分必要条件是
()()()()00,,.f x f x x a b ''≥≤∀∈或 （3—21）
证 只证递增的情形.
充分性 ()1212,,,.x x a b x x ∀∈<设则由拉格朗日中值定理的，()12,x x ξ∃∈使得
()()()()2121f x f x f x x ξ'-=-
因()()0,,f x x a b '≥∀∈，故()0.f ξ'≥故()()()()21120,.f x f x f x f x -≥≤于是()f x 在(),a b 内单调递增.
必要性 (),,x a b ∀∈则当x ∆充分小时，(),x x a b +∆∈.因()f x 在(),a b 内递增，故
()()
0,f x x f x x
+∆-≥∆
于是，由极限的不等式性得，
()()()
lim
0.x f x x f x f x x
∆→+∆-'=≥∆
定理3.9 若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且
()()()()()0,,0,,f x x a b f x x a b ''>∀∈<∀∈或，
则()f x 在(),a b 内严格单调递增（或严格单调递减）. 例1 判定函数sin y x x =-在[]0,2上的单调性.
解 因该函数在[]0,2上连续，在()0,2内，1cos 0y x '=->，故sin y x x =-在[]0,2上单调递增.
例2 讨论函数1x
y e x =--的单调性.
解 该函数的定义域为(),-∞+∞， 1.x
y e '=-解方程10x
e -=得0.
x =
列表
故该函数(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增.
例3 讨论函数y =.
解 函数y =
(),-∞+∞，其不可导点是0.x =当0x ≠时，
()
f x '=
故该函数在(],0-∞是单调递减，在[)0,+∞是单调递增. 例4 （自学）
例5 讨论函数3
y x =的单调性.
解 函数的定义域为(),-∞+∞，2
3.y x '=令0y '=得，0.x =列表
故3
y x =在(],0-∞及[)0,+∞上都是递增的，又因该函数在点0x =是连续的，故该函数在区间(),-∞+∞内是连续的.
3.4.2 曲线的凸凹性与拐点
定义3.2 设函数()y f x =在(),a b 内可导，若曲线()y f x =都位于其每个点处的切线的上方（或下方），则称函数()y f x =在(),a b 内的图象是凹（或凸）的. 定理3.10 设函数()f x 在区间(),a b 内具有二阶导数()f x ''，那么 （1） 若在(),a b 内，()0f x ''≥，则曲线()y f x =在[],a b 内是凹的； （2） 若在(),a b 内，()0f x ''≤，则曲线()y f x =在[],a b 内是凸的. 严格凹，严格凸，P122
例7 判断曲线ln y x =的凹凸性. 解 该函数的定义域为()0,+∞，()211
,0,0,y y x x x
'''==-<∀∈+∞ 故曲线ln y x =在()0,+∞内是凸的. 例8 讨论曲线arctan y x =的凹凸性. 解 该函数的定义域为(),-∞+∞，易得()
2
221x
y x ''=-
+，令0y ''=得0x =.
当0x <时，0y ''>；当0x >时，0y ''<，所以曲线arctan y x =在(],0-∞是凹的，在
[)0,+∞是凸的.
本例中，点()0,0是曲线的凹凸分界点，称为曲线的拐点.
定理 3.11 若函数()f x 在区间(),a b 内存在二阶导数，则()00f x ''=是点()()
00,x f x 为函数()f x 的拐点的必要条件.
例9 求曲线3
2
23214y x x x =+-+的拐点.
解 该函数的定义域为(),-∞+∞，2
1662,12612.2y x x y x x ⎛
⎫
'''=+-=+=+
⎪⎝⎭
令0y ''=得1.2
x =-当12x >-
时，0y ''>；当12x <-时，0y ''<，故点1
1,152
2⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点.
例10 求曲线4
3
341y x x =-+的拐点及凹、凸区间.
解 该函数的定义域为(),-∞+∞；3
2
2
2=1212,362436.3y x x y x x x x ⎛⎫'''-=-=-
⎪⎝⎭
解方程0y ''=，得122
0,.x x ==列表
故曲线()y f x =在区间(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
和都是凹的，在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
是凸的.
作业 P125: 1.(1), 3.(1).
部分习题解答
1. 确定下列函数的单调区间： （1）3
3.y x x =-
解 该函数的定义域为(),-∞+∞，()()2
33311.y x x x '=-=-+-令0y '=得
121, 1.x x =-=列表
故该函数在(],1-∞-上单调递减，在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减. 2. 确定下列函数的凹凸区间与拐点： (1) 3
2
233625.y x x x =--+
解 该函数的定义域为(),-∞+∞，2
16636,1266.2y x x y x x ⎛⎫
'''=--=-=-
⎪⎝⎭
令0y ''=得1
.2
x =
列表
故曲线在
1
,
2
⎛⎤
-∞
⎥
⎝⎦
上是凸的，在
1
,
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭是凹的.
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