函数的单调性与曲线的凹凸性.doc
函数的单调性与曲线的凹凸性(Word)
1．讨论函数()sin f x x x =-在[0,2]π上的单调性。
【解法一】因为'()1cos 0f x x =-≤由于cos 1x ≤，得[0,2]π上恒成立'()1cos 0f x x =-≥，而等号仅在0x =和2x π=两个孤立点上成立，可知，函数()sin f x x x =-在[0,2]π上单调增加。
【解法二】因为'()1cos 0f x x =-<在(0,2)π上恒成立，可知，函数()sin f x x x =-在(0,2)π上单调增加，亦即在[0,2]π上单调增加。
2．求下列函数的单调区间：⑴3229123y x x x =-+-；【解】函数3229123y x x x =-+-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'61812y x x =-+6(2)(1)x x =--，得函数有两个驻点2x =和1x =，无不可导点，作图表分析：1 22 1'x x y y ---+--++−−−−−−−−−→+-+可知，函数3229123y x x x =-+-分别在(,1)-∞和(2,)+∞内单调增加，在(1,2)内单调减少。
【课本答案漏了在(,1)-∞内单调增加】⑵y x =-【解】函数y x =-(,)-∞+∞，由于'1y ==1x =和一个不可导点1x =，作图表分析：0 11' y -++---+−−−−−−−−−→+-+y可知，函数y x =-分别在和(1,)+∞，在(0,1)内单调减少。
【课本答案漏了在(,0)-∞内单调增加】⑶33y x x =-；【解】函数33y x x =-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'33y x =-3(1)(1)x x =-+，得函数有两个驻点1x =和1x =-，无不可导点，作图表分析： -1 11 1'x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-+可知，函数33y x x =-分别在(,1)-∞-和(1,)+∞内单调增加，在(1,1)-内单调减少。
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
函数的单调性和曲线的凹凸性
故在(0, +)上 f (x)单增.
例4. 证明不等式 ex – (1+x) > 1– cosx, (x > 0)
证明思路: 用两次单调性
证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx)
= ex –x +cosx –2
则 F(0)=0. 要证F(x) > 0 (x > 0)
故曲线在(0, +)上是凹的.
即有 f (tx +(1– t) y) < t f (x) + (1– t) f (y) 即
定义2. 设f (x)C(U(x0)), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0))为该曲线的拐点.
= t f (x1)+(1– t) f (x2)
= t x1+(1– t) x2 x = x2+(x1– x2)t
弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
故得如下定义.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
凹凸性标志着图形弯曲的方向.
如图(a), (b)
y=f (x)
o
y
x
x1
x2
A
B
(x1, y1)
(x2, y2)
x
x
o
y
x1
x2
A
B
y=f (x)
(x2, y2)
(x1, y1)
函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法 二、曲线凹凸性及其判别法
三、小结
1.单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
二、曲线凹凸性及其判别法
1.曲线凹凸的定义 2.曲线凹凸的判定 3.曲线的拐点及其求法 4.利用凹凸性证明不等式 5.小结
1.曲线凹凸的定义
y
C B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
例4 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
求拐点的步骤：
• 求二阶导数等于零和不存在的点 • 判断二阶导数在这些点的左右两侧是否
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
函数的单调性与曲线的凹凸性
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法 定理1 设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是)()('00≤≥x f .证 若f为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有()()000≥--x x x f x f 。
令0x x →，即得00≥)('x f 。
反之，若)(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <），应用拉格朗日定理，存在，使得()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。
由此证得f 在I 上为增函数。
定理2 若函数f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是:(1)),(b a x ∈∀有)()('00≤≥x f ;(2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f .推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递减).注1 若函数f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f在),[b a 上亦为(严格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论.注2 如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就能保证)('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。
注意：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。
函数的单调性与曲线的凹凸性
x
1 ( , ) 5
1 5
(
1 ,0 ) 5
0 不存在 非拐点
(0,)
y(x)
y
－ 凸
拐点
0
1 6 1 ( , 3 ) 5 5 25
＋ 凹
＋ 凹
注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。
曲线的凹凸性反映的是不等式关系：
(1) 若曲线的图形是凹的（即 f ( x ) 0），则有
0 x 2k , ( k 0 , 1, 2 ,) f ( x ) 1 cos x 0 x 2k
f ( x ) 0 的点都是孤立点 , 所以 f ( x) 在 ( , )严格 单调增加.
( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: f
例2 讨论 y ( x 1)3 x 2 的凹凸性及拐点. y 解： y 5 x 2 x ,
3 3
1 4 10 3 2 3 2( 5 x 1) , y x x 4 9 9 9x 3
2 3
1 3
1 5
o
·
2 5
1 x
1 令y 0解得 x ; 当x 0时, y不存在. 现列表如下： 5
解.
D ( , ) . f ( x ) 32 , ( x 0) 3 x
当 x 0 时 , 导数不存在 .
y 3 x2
在 ( , 0) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 ( , 0 ] 上单调减少 ； f 在 ( 0 , ) 内， ( x ) 0 , f ( x ) 在 [ 0 , ) 上单调增加 . f 单调区间为: ( , 0 ] , [ 0 , ) .
函数的单调性及曲线的凹凸性
定义. 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界 点称为该曲线的拐点 由定义知: 如果在x0左右两侧f (x)异 号, 则(x0, f (x0))是拐点. 因此只有f (x0)=0 或不存在时, (x0 , f (x0))才可能是拐点.
求连续曲线弧拐点的步骤 (1) 在f(x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x)等于零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点.
即F ( x) F (1) 0. x 当x 1时，F ( x) e e 0, 可知F ( x)
为[1,)上的严格单调增加函数, 即F ( x) F (1) 0. x 故对任意x 1，都有F ( x) 0， 即 e ex.
二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外, 还有不 同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函 数曲线的弯曲方向呢？
3 2 2. 例 3 讨论函数 y x 的单调性 解: 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单减 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 ) 上单增
1 3. 例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x 1 1 1 f (x) 2 2 (x x 1) x x x 因为当x>1时, f (x)>0 所以f(x)在[1 )上 f(x)单增 因此 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
研究函数的单调性, 我们只关心 y在 子区间内的符号.
y
5 x3
函数的单调性与曲线的凹凸性
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
x2
的凹凸性．
（详细解答过程可参见课本 P108）
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性． （详细解答过程可参见课本 P109）
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点， 称为曲线的拐点．
一般地，连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点．
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时， f ( x) 0 ， (,0] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x) 0 ， [0, ] 上单调增加；
[0, ). 单调区间为( ,0]，
注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . （1）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凹的； （2）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凸的．
3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性
e x 2 2 cx o 3 s (1 2 1 )x 4 o (x 4 ) 2 ! 4 !
原式 lx i0m 172x4x4o(x4)172 10
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
x x2 1x1 (x0).
3 !
5 !
1ab0 a4b0 a16b0 a 4 b 1
3
3
14
泰勒公式的应用
(1) 利用多项式逼近函数 ,
f(x ) f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
2 !
n !
(2) 近似计算
Rn(x)
M (n1)!
例 如 ， yx2在 x0处 f(0)0,它 在 ( ,0)上 单 调 减 少 ， (0, )上 单 调 增 加 ，
20
观察下面的图形, 你能得出什么结论？
y
y
O
x0
x
O
x0
x
结 论 使 得 函 数 的 导 数 f (x ) 不 存 在 的 点 也 可 作 为
函 数 单 调 性 的 分 界 点 .
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 加 的 ;
恒 有 (2 )f(x 1)f(x 2),
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 减 少 的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
f ( x1)
f (x2 )
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (01)
函数的单调性与曲线凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
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产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
函数单调性与曲线凹凸性
二阶可导,
则 定理3.
（由定理3保证）
且点( x0 , f ( x0 )) 是曲线的拐点. 则 证明： f ( x ) 二阶可导,
f ( x ) 存在且连续 ,
定理3. 且点( x0 , f ( x0 )) 是曲线的拐点. 则 证明： f ( x ) 二阶可导,
f ( x ) 存在且连续,
f ( x )在x0 取得极值,
由费马引理
f ( x ) 0.
拐点的求法：
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0,
(1) x0两侧f ( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))即为拐点;
( 2) x0两侧f ( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
若 f ( x ) 0, 则函数f ( x )在[a , b]上单调递增, 若 f ( x ) 0 , 则函数f ( x )在[a , b]上单调递减, 推论 如果f ( x )连续, 且除有限个(或可数个)点外,
f ( x ) 0或( f ( x ) 0), 则函数f ( x )单调递增(递减),
第四节 函数的单调性与曲线的凸凹性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数f ( x )在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导
若 f ( x ) 0, 则函数f ( x )在[a , b]上单调递增, 若 f ( x ) 0 , 则函数f ( x )在[a , b]上单调递减, 证: 不妨设 f ( x ) 0 , x I ,任取 x1 , x2 I ( x1 x2 ) 由拉格朗日中值定理得
3 x 2 , y 6 x , 令 f ( x ) 0 , 得 x 0 y
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定方法如果函数在上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即(或)由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理(函数单调性的判定法)设函数在上连续,在内可导.(1)如果在内,那么函数在上单调增加;(2)如果在内,那么函数在上单调减少.证明只证(1)（（2）可类似证得）在上任取两点,应用拉格朗日中值定理,得到.由于在上式中,因此,如果在内导数保持正号,即,那么也有,于是从而，因此函数在上单调增加.证毕例3-19判定函数在上的单调性.解因为在内,所以由判定法可知函数在上单调增加.例3-20讨论函数的单调性.解由于且函数的定义域为令,得,因为在内,所以函数在上单调减少;又在内,所以函数在上单调增加.例3-21讨论函数的单调性.解:显然函数的定义域为,而函数的导数为所以函数在处不可导.又因为时,,所以函数在上单调减少;因为时,,所以函数在上单调增加.说明:如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间,就能保证在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数在每个部分区间上单调.例3-22.确定函数的单调区间.解该函数的定义域为.而,令,得.列表函数f(x)在区间和内单调增加,在区间上单调减少.例3-23讨论函数的单调性.解函数的定义域为函数的导数为:,除时,外,在其余各点处均有因此函数在区间上单调减少;因为当时,,所以函数在及上都是单调增加的.从而在整个定义域内是单调增加的.其在处曲线有一水平切线.说明:一般地,如果在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例3-24证明:当时,.证明:令,则因为当时,,因此在上单调增加,从而当时,,又由于,故,即,也就是,().二、函数的凹凸性与拐点在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示，图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方定义3-6-1设在区间I上连续,如果对I上任意两点 ,恒有那么称在I上的下凸函数;如果恒有那么称在I上的上凸函数.函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性二、判定函数的凸性的充分条件定理设在上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在内,则在上是下凸的;(2)若在内 ,则在上是上凸的.证明只证(1)((2)的证明类似).设,记.由拉格朗日中值公式,得,,两式相加并应用拉格朗日中值公式得,即,所以在上的图形是凹的.拐点:连续曲线上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求出在二阶导数 ;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;注:根据具体情况（1）、（3）步有时省略.例3-34判断曲线的凸性.解:因为 ,.令得,当时,,所以曲线在内为上凸的;当时,,所以曲线在内为下凸的.例3-35求曲线的拐点及凸性区间.解:(1)函数的定义域为;(2),;(3)解方程,得,;(4)列表判断:在区间和上曲线是下凸的,在区间上曲线是上凸的.点和是曲线的拐点.例3-36问曲线是否有拐点？解, .当时,,在区间内曲线是下凸的,因此曲线无拐点.例3-37求曲线的拐点.解(1)函数的定义域为;(2),;(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ;(4)判断:当时,;当时,因此,点是曲线的拐点.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
3.3函数的单调性与曲线的凹凸性
第三节 函数的单调性与曲线的凹凸性一 函数的单调性二 曲线的凹凸性x y o )(x f y =xy o )(x f y =a b AB 0)(≥'x f a b B A 0)(≤'x f 函数的单调性0≥')x (f 0≤')x (f ()(,)y f x a b =若在区间上单调增加()(,)y f x a b =若在区间上单调减少单调性的判定法定理11020()[,](,)()(,)()()[,]()(,)()()[,].y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b ='>='<=设函数在上连续，在内可导如果在内，那么函数在上单调增加；如果在内，那么函数在上单调减少定理1~1020()[,](,)()(,)()()[,]()(,)()()[,].y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b ='≥='≤=设函数在上连续，在内可导如果在内，且等号只在有限个点成立，那么函数在上单调增加；如果在内，且等号只在有限个点成立，那么函数在上单调减少()()()[,],,a b c d +∞-∞注：定理中的区间换为其他任意区间如、等也是成立的函数在 内单调增加. ()+∞,0∴解函数的定义域为 .()+∞,0，01>='xy 例1判断函数 的单调性.xln y =x y ln =y x o 11、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.2、单调区间的求法：函数单调区间的求法0()()f x f x ''=第二步：求方程的点及不存在的点0()(),f x f x ''=第三步：以方程的根及不存在的点将函数的定义域划分为若干个部分区间 然后在每个区间上确定导数的符号，以此确定函数在该区间上的单调性， 最后写出单调区间()f x 第一步：求函数的定义域例2解(,)-∞+∞函数定义域为1x y e '=- 1=0x y e '=-0x =解得 000(,)(,][,)x ∴=-∞+∞-∞+∞将区间分为两个部分和 x y e x =-判断函数 的单调区间00(,]y '-∞<∴在区间上，，函数单调减少；00[,)y '+∞>∴在区间上，，函数单调增加；00[,)(,]∴+∞-∞函数单调增加区间为，单调减少区间为。
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
函数的单调性与曲线的凹凸性
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
证
x1,x2I,
记
x
0
x1x2 2
,利用一阶泰勒公式将
f ( x ) 在点 x 0 展开 f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) f2 (!)(x x 0 )2
分别取 x x1, x2 可得
由拉格朗日中值定理得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 ( x 1 ) 0
(x1,x2)I
故 f(x 1)f(x2).这说明 f (x) 在 I 内单调递增.
类似地可以证明 f (x) 0 的情形.
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
y1
6 3 25
5,
y2
0
令 y 0 得 x1
1 5
,
且x2
0
为二阶不可导的点.
3) 列表判别
x (,1/5) 1 / 5 (1/5, 0) 0
y
0
(0, )
y
凸
6 35 25
凹
0
凹
故该曲线在 (,1/5) 上是凸的, 在(1/5,)上是凹的 ,
点
(
1 5
,
6 25
3
5)
为拐点,
而
(
0
,
0
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
说明：
1）如上例，函数在定义区间上不是单调的，但 在各个部分区间上单调．
2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
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函数的单调性与曲线的凹凸性练习题
(3 ) y =ln(x+ Jl + x，) (4) y = ln( x+ Jl + 侦)；
1.埔空题
(1)函数)，=4x:-h(x:)的06调增加区间是, 9S调奶区间是.
(2 )若函数导数存在，且f\x) > 0,/(0) = 0.则F(x) = &在0<x<^x±
X
是单调.
(3)函^y=ax:+l在(0,♦:c)内第调增加，则。
.(7)
(6) v = 2x* - In Xo
o
v = 2x+—(x> 0)；
⑻〜 X
(4)若点(1> 3)为曲雄)・ = 的拐点，则。
■, b=,曲线的凹区间为:,凸区间为・.
2.单项选择题
(1)下列函数中，()在指定区间内是单调减少的函数.
A. y = 2*? (-x. + X)B・ y = e" (-x, 0) C. v = Inx (Q + x) D. y = sinx (Q 丁)
(2 )设/,(x) = (x-l)(2x+l).则在区间G，l)内().
A.y = /(x)®调增加，曲线，= /(x)为凹亩
B..】・ = /(对单调减少，曲线.l・ = /(X)为凹的
C.V = /(X)单调彼少，曲线\ = /(幻为凸的
D. 3 =/(x)单调增加，曲线3 =/(x)为凸的
4.证明下列不等式
(1 )证明：对任意实数々和b ,成立不等式—— < —^+―—.
1+1 々+ ■ | 1+| a | 1+| 61
(3) /(X)在(-x,+x)内可导，且当Xi > x: W, /(-Vi) > /(x:),9N( ) A任意X. r(x) > 0 B.任意x./r(-x) S 0 C. /(-x)S调憎D, -/(-¥)哪增
(4 )设函数在［0』上二阶导数夬于0,则下列关系式成立的是() A- /r(l)>/(0)>/(l)-/(0) B. /，(1)>/(1)-/(0)>/，(0)
C- /(I) 一/(0) > /XI) > 尸(0) D. /XI) > /(0) - /(I) > 广(0) (2 )当x>l 时：lnx>*皂
X+1
3、求下列函数的单调区间:
(1 ) v = —x—1. (2 ) v = (2x-5)^?.
(3 )当x>。
时,•X3 stn x>x ------ •
6
5.讨论方程x■如sin E灯其中k为常数港(0二)内有几个实t艮.
6.试确定曲线)=ov'+k：+cx + d中的a、b、c、d,使得》=一2处曲线有水平切线，(1-1(^ 为拐点，且点(・=4旬在曲先上.
• • ■• «■■■» • • •—• • • ••• • •■■■»
(2 ) y=(2x-5)V?拐点及凹或凸的区间
8.利用凹凸性证明：当0 v xv 丁时，sin->-
13
、
2 I
.证明函数y=x-ln （l + x :）单调增加。
in
判定函数/(x) = x+ sinx(O<x< 2K )的单调性。
1U 、
11、试证方程sin r = X 只有一个实根。
:
单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：/（X ）= x+ sin X- 12、
值时,点（1,3）为曲线v = a 疽+ 5疽的拐点？
问a 及b 为何。