04第三章第4节函数单调性与曲线的凹凸性
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
高数第三章第四次函数单调性凹凸性
o a
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设y f ( x )在 [a , b] 上连续，在(a , b)内可导.
（1） 若在(a , b)内f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加； ( 2)若在 (a , b)内 f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 .
三、曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理2 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数, 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的.
1 (x ) x4 x4 4 (x ) 4! 8 12 x4 1 lim lim x 0 x 0 x4 1 ( x2 ) 6 2 2 x (x ) 2 2 x2
4
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
）
f ( x ) 0
三、曲线凹凸的判定
例5 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解： y 3 x 2 , y 6x , 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
第三节公式第四节函数的单调性与凹凸性优秀课件
f
(x0 ),,an
1 n!
pn(n) (x0 )
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1.求 n 次多项式 pn (x), 近似等于 f (x) 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 )
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0 )n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
3-4第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性
y 高 x=1,x=3是曲线的拐点. 等 数 x 学 2 5 1 3 2 3 电 (2) y 3 x , y x , y x 3 9 子 教 没有使y“(x)=0的点,但当x=0时y“不存在,点(0,0)可能是拐点. 案 当x<0时, y“>0,当x>0, y“<0,
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y 2( x 1)e x ( x 1) 2 e x ( x 2 4 x 3)e x
则1，3可能是拐点
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x 1, y 0 1 x 3, y 0 x 3, y 0
曲线是凹的
曲线是凸的 曲线是凹的
高 等 数 学 电 子 教 案
第四节
函数的单调性和曲线的凹凸性
一、函数的单调性之判定
y Y=f(x)
y Y=f(x)
x
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x
a a b b 在图象中我们发现上升函数的导数大于0,而下降函数的 导数小于0,可见,函数的单调性与函数导数的符号有关.
高 等 数 学 电 子 教 案
高 等 数 学 电 子 教 案
区
间
y’
函数的单调性
(-∞,-1] [-1,1) (1,3] [3,+ ∞)
f ’(x)≥0 f ’(x) ≤ 0 f ’(x) ≤ 0 f ’(x)≥0
3
单调上升 单调下降 单调下降 单调上升
-1
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1
x
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记(x1+x2)/2=x0,并记 x2-x0=x0-x1=h, 则x1=x0-h, x2=x0+h 由拉格朗日中值公式,得到
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
函数的单调性及曲线的凹凸性
定义. 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界 点称为该曲线的拐点 由定义知: 如果在x0左右两侧f (x)异 号, 则(x0, f (x0))是拐点. 因此只有f (x0)=0 或不存在时, (x0 , f (x0))才可能是拐点.
求连续曲线弧拐点的步骤 (1) 在f(x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x)等于零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点.
即F ( x) F (1) 0. x 当x 1时，F ( x) e e 0, 可知F ( x)
为[1,)上的严格单调增加函数, 即F ( x) F (1) 0. x 故对任意x 1，都有F ( x) 0， 即 e ex.
二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外, 还有不 同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函 数曲线的弯曲方向呢？
3 2 2. 例 3 讨论函数 y x 的单调性 解: 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单减 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 ) 上单增
1 3. 例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x 1 1 1 f (x) 2 2 (x x 1) x x x 因为当x>1时, f (x)>0 所以f(x)在[1 )上 f(x)单增 因此 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
研究函数的单调性, 我们只关心 y在 子区间内的符号.
y
5 x3
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性与极值
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性与极值教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间，理解函数极值的概念，会求函数极值。
教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法和极值。
教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。
教学内容：一、函数单调性的判定法 如果函数)(x f y=在],[b a 上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即0)(≥'='x f y (或0)(≤'='x f y ) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1 (函数单调性的判定法) 设函数)(x f y =在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导.(1)如果在),(b a 内0)(>'x f , 那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加;(2)如果在),(b a 内0)(<'x f , 那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.证明 只证(1)（（2）可类似证得）在],[b a 上任取两点)(,2121x x x x <, 应用拉格朗日中值定理, 得到)()()()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ.由于在上式中012>-x x , 因此, 如果在),(b a 内导数)(x f '保持正号,即0)(>'x f , 那么也有0)(>'ξf , 于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ从而)()(21x f x f <，因此函数)(x f y=在],[b a 上单调增加. 证毕注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1 判定函数x x ysin -=在]2,0[π上的单调性.解 因为在)2,0(π内0cos 1>-='xy ,所以由判定法可知函数x x y sin -=在]2,0[π上单调增加.例2 讨论函数1--=x e y x的单调性.解 由于1-='xe y 且函数1--=x e y x的定义域为),(+∞-∞令0='y , 得0=x , 因为在)0,(-∞内0<'y , 所以函数1--=x e y x在]0,(-∞上单调减少; 又在),0(+∞内0>'y , 所以函数1--=x e y x在),0[+∞上单调增加.例3. 讨论函数32x y =的单调性.解: 显然函数的定义域为),(+∞-∞, 而函数的导数为332x y =')0(≠x所以函数在0=x处不可导.又因为0<x 时,0<'y , 所以函数在]0,(-∞上单调减少; 因为0>x时, 0>'y , 所以函数在),0[+∞上单调增加.说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程0)(='x f 的根及导数不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间, 就能保证)(x f '在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数)(x f 在每个部分区间上单调.例4. 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.解 该函数的定义域为),(+∞-∞.而)2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f ,令0)(='x f , 得2,121==x x .列表函数f (x )在区间]1,(-∞和),2[+∞内单调增加, 在区间]2,1[上单调减少.例5. 讨论函数3xy=的单调性.解 函数的定义域为),(+∞-∞函数的导数为:23x y =', 除0=x时, 0='y 外, 在其余各点处均有0>'y 因此函数3xy =在区间]0,(-∞上单调减少;因为当0≠x时, 0>'y , 所以函数在),0[+∞及),0[+∞上都是单调增加的.从而在整个定义域),(+∞-∞内3xy =是单调增加的. 其在0=x 处曲线有一水平切线.说明:一般地, 如果)(x f '在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时,那么)(x f 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6. 证明: 当1>x 时, xx 132->.证明: 令)13(2)(xx x f --=, 则)1(111)(22-=-='x x xx x x f 因为当1>x 时,0)(>'x f , 因此)(x f 在),1[+∞上单调增加, 从而当1>x 时,)1()(f x f > ,又由于0)1(=f , 故0)1()(=>f x f ,即0)13(2>--xx , 也就是xx 132->,(1>x ).二、曲线的凹凸与拐点 1. 凹凸性的概念x 1x 2y x O221x x +()221x x f+2)()(21x f x f + f (x 2) f (x 1) x 1 x 2yxO221x x +()221x x f+2)()(21x f x f + f (x 2)f (x 1)定义 设)(x f 在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点21,x x , 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 定义' 设函数)(x f y =在区间I 上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的. 2.曲线凹凸性的判定定理 设)(x f 在],[b a 上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在),(b a 内0)(>''x f , 则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的;(2)若在),(b a 内0)(<'x f , 则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的. 证明 只证(1)((2)的证明类似) 设)(,],[,2121x x b a x x <∈ 记2210x x x +=由拉格朗日中值公式得2)())(()()(21101101x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 011x x <<ξ2)())(()()(12202202x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 220x x <<ξ两式相加并应用拉格朗日中值公式得2)]()([)(2)()(1212021x x f f x f x f x f -'-'=-+ξξ 02))((1212>--''=x x f ξξξ 21ξξξ<<即)2(2)()(2121xx f x f x f +>+ 所以)(x f 在],[b a 上的图形是凹的拐点: 连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线)(x f y =的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数)(x f y =的定义域;(2)求出在二阶导数)(x f ' ;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例1. 判断曲线x yln =的凹凸性.解:xy 1=',21xy -=''.因为在函数x y ln =的定义域),0(+∞内, 0<''y , 所以曲线x y ln =是凸的.例2. 判断曲线3xy=的凹凸性.解: 因为23x y =' ,x y 6=''. 令0=''y 得0=x .当0<x 时, 0<''y , 所以曲线在]0,(-∞内为凸的;当0>x 时,0>''y , 所以曲线在),0[+∞内为凹的. 例3. 求曲线14123223+-+=x x x y的拐点.解: 12662-+='x x y , )12(6612+=+=''x x y ，令0=''y , 得21-=x . 因为当21-<x 时,0<''y ; 当21->x 时, 0>''y , 所以点(21-, 2120)是曲线的拐点.例4. 求曲线14334+-=x x y的拐点及凹、凸的区间.解: (1)函数14334+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞; (2) 231212x x y -=',)32(3624362-=-=''x x x x y ;(3)解方程0=''y , 得01=x , 322=x ; (4)列表判断:(-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f ''(x ) + 0 - 0 +)(x f1 11/27在区间]0,(-∞和),32[+∞上曲线是凹的, 在区间]32,0[上曲线是凸的. 点)1,0( 和)2711,32(是曲线的拐点.例5 问曲线4xy =是否有拐点？解34xy =',212xy ='' .当0≠x 时, 0>''y , 在区间),(+∞-∞内曲线是凹的, 因此曲线无拐点.例6. 求曲线3x y =的拐点.解 (1)函数的定义域为),(+∞-∞; (2) 3231x y =', 32 92x x y -=''; (3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为0=x ;(4)判断: 当0<x 时,0>''y ; 当0>x时, 0<''y .因此, 点)0,0(是曲线的拐点.三、函数的极值及其求法定义 设函数)(x f 在0x 的某一邻域)(0x U 内有定义如果对于去心邻域)(0x U ︒内的任一x ，有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >）, 则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值（或极小值）.函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.说明：函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值, 那只是就0x 附近的一个局部范围来说, )(0x f 是)(x f 的一个最大值; 如果就)(x f 的整个定义域来说, )(0x f 不一定是最大值. 对于极小值情况类似.极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值.定理3 (必要条件)设函数)(x f 在点0x 处可导, 且在0x 处取得极值, 那么函数在0x 处的导数为零, 即0)(0='x f .定理1可叙述为：可导函数)(x f 的极值点必定是函数的驻点. 但是反过来, 函数)(x f 的驻点却不一定是极值点.考察函数3)(x x f =在0=x 处的情况. 显然0=x 是函数3)(x x f =的驻点，但0=x 却不是函数3)(x x f =的极值点.定理4 (第一种充分条件)设函数)(x f 在点0x 处连续, 在0x 的某去心邻域),(0δx U ︒内可导.(1) 若),(00x x x δ-∈时，0)(>'x f , 而),(00δ+∈x x x 时，0)(<'x f , 则函数)(x f 在0x 处取得极大值;(2) 若),(00x x x δ-∈时，0)(<'x f , 而),(00δ+∈x x x 时，0)(>'x f , 则函数)(x f 在0x 处取得极小值;(3)如果),(0δx U x ︒∈时，)(x f '不改变符号, 则函数)(x f 在0x 处没有极值. 定理2也可简单地叙述为: 当x 在0x 的邻近渐增地经过0x 时, 如果)('x f 的符号由负变正, 那么)(x f 在0x 处取得极大值; 如果)('x f 的符号由正变负, 那么)(x f 在0x 处取得极小值; 如果)('x f 的符号并不改变, 那么)(x f 在0x 处没有极值.确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数)('x f ;(2)求出)(x f 的全部驻点和不可导点;(3)列表判断(考察)('x f 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值. 例1 求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值解 963)(2--='x x x f )3)(1(3-+=x x令，0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论x)1,(--∞1-)3,1(-3),3(+∞)(x f '++)(x f↑极大值↓极小值↑所以极大值)1(-f ,10=极小值22)3(-=f .22-= 函数593)(23+--=x x x x f 的图形如下例2 求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值解 显然函数)(x f 在),(+∞-∞内连续 除1-=x 外处处可导 且 313)1(5)(+-='x x x f 令)('x f 得驻点1=x ，1-=x 为)(x f 的不可导点(3)列表判断x )1,(--∞-1 )1,1(-1 ),1(+∞)('x f+ 不可导 - 0 + )(x f↗↘343-↗所以极大值为0)1(=-f 极小值为343)1(-=f如果)(x f 存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有定理5 (第二种充分条件) 设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0'=x f ,0)(0≠''x f , 那么(1)当0)(0<''x f 时, 函数)(x f 在0x 处取得极大值;(1)当0)(0>''x f 时, 函数)(x f 在0x 处取得极小值; 证明 对情形(1), 由于0)(0<''x f , 由二阶导数的定义有0)()(lim)(0000<-'-'=''→x x x f x f x f x x .根据函数极限的局部保号性, 当x 在0x 的足够小的去心邻域内时,0)()(00<-'-'x x x f x f . 但0)(0'=x f , 所以上式即为0)(0<-'x x x f . 于是对于去心邻域内的x 来说, )('x f 与0x x -符号相反. 因此, 当00<-x x 即0x x <时,0)('>x f ; 当00>-x x 即0x x >时,0)('<x f . 根据定理2,)(x f 在0x 处取得极大值.类似地可以证明情形(2).说明：如果函数)(x f 在驻点0x 处的二导数0)(0≠''x f , 那么该点0x 一定是极值点, 并可以按)(0x f ''的符来判定)(0x f 是极大值还是极小值. 但如果0)(0=''x f , 定理3就不能应用.例如讨论函数4)(x x f =, 3)(x x g =在点0=x 是否有极值？因为34)(x x f =', 212)(x x f =''，所以0)0(='f ，0)0(=''f但当0<x 时0)(<'x f , 当0>x 时0)(>'x f , 所以)0(f 为极小值. 而23)(x x g =',x x g 6)(=''，所以0)0(='g ，0)0(=''g 但)0(g 不是极值．例3 求出函数 20243)(23--+=x x x x f 的极值解 2463)(2-+='x x x f )2)(4(3-+=x x令，0)(='x f 得驻点 2,421=-=x x ，由于66)(+=''x x f由于=-'')4(f ,018<- 所以极大值)4(-f 60= 而='')2(f ,018>所以极小值)2(f .48-=函数 20243)(23--+=x x x x f 的图形如下注意 当0)(0=''x f 时，)(x f 在点0x 处不一定取得极值，此时仍用定理2判断。
函数的单调性与曲线凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
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产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性共36页
x
=
3
是极值点
y 2 7 6ab0
x 3
( 3)
联立(1)-(3),得 a = －6, b = 9, c = 2.
例15. 利用函数的凹凸性证明不等式:
ex
ey
xy
e 2 (xy).
2
证明: 令f(x)ex,
f(x)ex0, (x (, ) )
f(x)在( , )上是凹的
同理可证明(2).
例1．讨 论 函 f(x) 数 exx1的 单.调 性
解： 定 义 D:( 域 , ) . f(x)ex 1.
x
f (x) f (x)
(, 0)
0 (0, )
0
f(x)在( ,0]单调减 ;在少 [0,)上单调增. 加
说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义 区间为两个具有单调性的区间.
令f(x)0, x10,x2 2 ;x3 1是不可导.
(3) 列表判断:
x (,2) 2 (2,1) 1 (1, 0) 0 (0,)
f (x) 0 不存在 0
f (x)
单调增加区间: ( ,2][0, ) 单调减少区间: [2, 0].
1x 因f为 (x)在 [0,) 上连 , 续 且 (0 , 在 )内 ,可 f(x ) 0 导 ,
所以 f(x)在 [0, )上单调 ;由 增 f(0) 加 0, 知x当 0时 , f(x)f(0), 即 xln 1(x).
3. 曲线
y1ex2 的凹区间是 ( 1 , 2
( D )f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 0 )
提示: 利用 f (x)单调增加 , 及
f( 1 ) f( 0 ) f()( 0 1 )
函数单调性与曲线凹凸性
二阶可导,
则 定理3.
（由定理3保证）
且点( x0 , f ( x0 )) 是曲线的拐点. 则 证明： f ( x ) 二阶可导,
f ( x ) 存在且连续 ,
定理3. 且点( x0 , f ( x0 )) 是曲线的拐点. 则 证明： f ( x ) 二阶可导,
f ( x ) 存在且连续,
f ( x )在x0 取得极值,
由费马引理
f ( x ) 0.
拐点的求法：
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0,
(1) x0两侧f ( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))即为拐点;
( 2) x0两侧f ( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
若 f ( x ) 0, 则函数f ( x )在[a , b]上单调递增, 若 f ( x ) 0 , 则函数f ( x )在[a , b]上单调递减, 推论 如果f ( x )连续, 且除有限个(或可数个)点外,
f ( x ) 0或( f ( x ) 0), 则函数f ( x )单调递增(递减),
第四节 函数的单调性与曲线的凸凹性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数f ( x )在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导
若 f ( x ) 0, 则函数f ( x )在[a , b]上单调递增, 若 f ( x ) 0 , 则函数f ( x )在[a , b]上单调递减, 证: 不妨设 f ( x ) 0 , x I ,任取 x1 , x2 I ( x1 x2 ) 由拉格朗日中值定理得
3 x 2 , y 6 x , 令 f ( x ) 0 , 得 x 0 y
函数单调性和曲线凹凸性
当 x<1 时: f (x)>0,
所以f (x)单调增加;
当1<x<3时: f (x)<0, 所以f (x)单调减少;
1 特别地取 t 则得 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) y=f (x)凹 f 2 2
例6. 利用上式证明 x>0, y>0 且 xy 时，有
1 n x y n ( x y )， 其中n>1. 2 2
证：令 f ( t )= tn. ( t > 0 )
n
f ''( t )=n(n1) t n2 > 0. 故t > 0时 f (t)的曲线为凹的.
取 x > 0, y > 0 得
( t > 0)
1 n x y n ( x y ) 2 2
n
§3-5 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 y 0
y= f ( x )
(2)若x(a,b)有f (x) <0.则y=f (x)在[a,b]上单调减少; 证: x1, x2 [a,b] 且x1< x2. 由于 [x1, x2 ] [a, b],
在(x1, x2 )内可导.
故f ( x ) C ( [x1, x2 ] ), 且
根据Lagrange中值定理,得出
Байду номын сангаас
这里点(0, 0)称曲线 y=x3 的拐点.
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
高数讲义第四节函数的单调性与凹凸性
2、曲线凹凸的判定
特点：（1）曲线弧总位于 切线的下方。
（2）切线的斜率随 x 的增大 而减少。
y y f (x)
B
A oa
bx
即 f ( x)在[a, b]上单调减少.
由单调性判断可知：
若 f ( x) 0 f ( x)单调减少 曲线 y f ( x)是凸的.
2、曲线凹凸的判定
定理2 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内具有
o
x
当 x 0时， y 0, 在(,0]上单调增加；
当0 x 时， y 0, 在[0,)上单调增加；
在(,)上函数单调增加.
一般地:若 f (x) 在区间内除有限个点处的导数为零, 在其余点处导数恒为正（或恒为负），则 f (x) 在该 区间上仍旧是单调增加的（或单调减少的 ） .
注意:单调性也常用来证明不等式或方程的根的个数.
一阶和二阶导数 , 若在 (a, b) 内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的.
说明： （1）证明的思路与单调性的情形完全一样。
（2）若将区间 [ a , b ] 换为其它形式的区间（包括 无穷区间），定理2的结论仍然成立。
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2) 解方程f ( x) 0 得，x1 1, x2 2. 将 D划分为: (, 1], [1, 2] , [2, ) 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少；
f (1) 1 0, f (0) 1 0,
第四节 函数单调性、凸凹性与极值
例2. 确定函数
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
2 解: f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
(2) 令 f '' ( x ) 0, 解出全部实根, 并求出使 f '' ( x )
不存在的点; (3) 对步骤(2)中求出的每一个点, 检查其邻近左、 右两侧二阶导数 f '' ( x ) 的符号, 确定曲线的凹凸 区间和拐点.
例8. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x3 12 x 2 ,
y f ( x ) 在 [a , b]上单调增加. 若在 (a , b )内, f ' ( x ) 0, 则 f ' ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
例 1 讨论函数 y e x 1 的单调性.
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
2 3 y x 例 3 讨论函数 的单调区间. 解 D : ( , ). y 32 ( x 0), 3 x 当 x 0 时， 导数不存在. 当 x 0 时，y 0, 在 ( ,0] 上单调减少； 当 0 x 时，y 0,
2
2 1 f ( x ) ln(1 x ) x x , 2 因为 f ( x ) 在 [0,) 上连续，在 (0, ) 内可导，
函数的单调性与曲线的凹凸性教案
x2
(1 2 x 2 )
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备用题
x 1 1. 求证曲线 y 2 有位于一直线的三个拐点. x 1 1 2x x2 ( x 2 1) ( x 1)2 x 证明：y 2 2 ( x 1) ( x 2 1) 2
(2 2 x) ( x 2 1) 2 (1 2 x x 2 ) 2( x 2 1) 2 x y ( x 2 1) 4 2( x 3 3x 2 3x 1) ( x 2 1) 3 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) ( x 2 1) 3
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
2
y
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1 的单调减区 返回 结束
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
O y
x
2
2
练习2：P153 5(3)
且 f (x)cos xsec2x2 , f (0)0 ,
( x ) sin x 2sec2 x tan x sin x(2sec3 x 1) 0 f
从而f (x)在[0,
从而f(x)在 [0, ) 内单调增加 2 因此当 0 x 时 f(x)f(0)0 sin xtan x2x0 也就是 sin xtan x2x
x
f ( x )
1 ( , ) 2
1 2
1 ( , ) 2
凹
0
拐点
1 arctan 1 2 ( ,e ) 2
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一、单调性的判别法 二、曲线的凹凸性及拐点 三、小结及作业
1
一、单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
8
例4 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
B
y
y f (x)
A
o
x
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
13
1. 曲线的凹凸与拐点的定义
定义 1. 设函数 f ( x)在区间 I上连续 , x1 , x2 I,
(1) 若恒有 f ( x1 x2 ) f 证明不等式。 例5 当x 0时,试证x ln(1 x)成立.
证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
1 x
f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0, 在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，f ( x) f (0) 0
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)( x 2) 令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (, 1) 1 (1 , 2) 2 (2, )
f (x)
0
0
f (x)
2
1
故 f ( x)的单调增区间为 (, 1) ,(2, ) f ( x)的单调减区间为 (1 , 2)
2
2
则称 f (x) 的图形是凹的;
(2)
若恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1) 2
f (x2) ,
则称 f ( x) 的图形是凸的 . yy
函数图形上凹凸的分界点称为拐点 .
oo
x1
x1 x2 2
x214
xx
2、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
2
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x ln(1 x) 0,
即 x ln(1 x). 10
例6
当0
x 时， 证明ex
2
sin
x 1
x2 。 2
证明：作f ( x) ex sin x (1 x2 ) 2
0 x
2
f (0) 0 f ( x) ex cos x x
f (0) 0 f (x) ex sin x 1
6
（3）讨论函数单调性的步骤： ） 1）确定函数的定义域；
2）求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点； 3）这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论 。4）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调 性.
例如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上单调增加.
y x3
x
7
例3. 确定函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
5
（2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但 在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的 点只可能是的 f (x) 0点及导数不存在的点．
如 y sin x在[0,2 ]上不单调
但在[0, ],[ , 3 ],[3 ,2 ]上单调
2 22 2
且f ( ) f (3 ) 0
2
2
3
2 2
2
再如 y x 在x 0点不可导但改变单调性。
f (0) 0 f ( x) ex cos x 0
因此，f ( x)单调减少, f ( x) f (0) 0
f (x)单调减少， f ( x) f (0) 0
f(x) 单调减少 f ( x) f (0) 0
也就是
ex
sin
x
(1
x2
)
0
ex
sin
x
x2 111
2
2
例7 证明x3 x2 x 1 0只有一个实根。 证明：令f ( x) x3 x2 x 1
3
例1 讨论y x sin x在[0,2 ]上的单调性。
解 ： y 1 cos x 0, x (0,2 ),
y x sin x在[0,2 ]上单调增加。
说明：（1）把(a, b)换成无穷区间定理仍成立
如 f (x) 2x 8 x
在(,2)上f (x)
2
8 x2
0
f (x)在(,2)上单调增加。
4
例2 讨论函数y ex x 1的单调性. 解 y e x 1.又 D : (,).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
f ( x) 3x2 2x 1 3(x 1)2 2 0
f ( x)在(,)上严格单增3 3
所以方程最多有一个实根。
又f (0) 1 0, f (2) 8 4 2 1 5 0
所以f (x)在[2,0]上至少有一实根， 即方程只有一个实根
12
二、曲线的凹凸性及拐点
y
C
问题:如何研究曲线的弯曲方向?