高一精选题库习题 数学7-5

第7模块第5节

[知能演练]

一、选择题

1．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的

() A．充要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件

解析：若直线l与平面α垂直，由线面垂直的定义知，直线l垂直于平面α内的任意直线，所以直线l与平面α内无数条直线都垂直；但当直线l与平面α内无数条直线都垂直时，却不能得出直线l与平面α垂直，所以“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件．

答案：C

2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是

() A．a⊥α，b∥β，α⊥β

B．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a?α，b⊥β，α∥β

D．a?α，b∥β，α⊥β

解析：选项A中，若a⊥α，b∥β，α⊥β，则有a⊥b或a∥b(b⊥α时)，故A错误；选项B中，若a⊥α，α∥β，则有a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，因此B错误；选项C中，因为a?α，α∥β，所以a∥β，又因为b⊥β，所以a⊥b.反之，若a⊥b，则不一定有a?α，b⊥β，α∥β，所以C正确；选项D中，当b∥β，且b与α，β的交线平行或b?α时，a与b有垂直关系也有不垂直关系，当b∥β且b与α，β的交线垂直时，有a⊥b，所以D也不对．答案：C

3．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：

①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；

②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；

③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；

④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.

其中正确命题的序号是

() A．①②B．①④

C．②④D．③④

解析：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l?α，故①不正确；②l∥β，则过l作一平面γ使平面β与γ相交，交线设为l′，那么l∥l′，∵l⊥α，∴l′⊥α，又l′?β，∴α⊥β.故②正确；③不正确．如l与平面α相交；④正确．

答案：C

4．若两个平面α，β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内()

A．一定存在与直线m平行的直线

B．一定不存在与直线m平行的直线

C．一定存在与直线m垂直的直线

D．一定不存在与直线m垂直的直线

答案：C

二、填空题

5．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)

6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：

①点H是△A1BD的中心；

②AH垂直于平面CB1D1；

③AC1与B1C所成的角是90°.

其中正确命题的序号是________．

解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD

平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.

答案：①②③

三、解答题

7．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：

(1)直线EF∥平面ACD；

(2)平面EFC⊥平面BCD.

证明：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.

又AD?平面ACD，EF?平面ACD，

所以直线EF∥平面ACD.

(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，

所以EF⊥BD.

在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，

所以CF⊥BD.

因为EF?平面EFC，CF?平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.

又因为BD?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.

8．如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，分别交AC、SC于D、E，且SA＝AB＝a，BC＝2a.

(1)求证：SC⊥平面BDE；

(2)求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小．

解：(1)∵SA⊥平面ABC，

又AB、AC、BD?平面ABC，

∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD.

∴SB＝SA2＋AB2＝2a.

∵BC ＝2a ，∴SB ＝BC . ∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .

又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE . (2)由(1)的结论及BD ?平面BDE 得BD ⊥SC ， 又由(1)知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC . ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC .

∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角． ∵AB ⊥BC ，

∴AC ＝AB 2＋BC 2＝a 2＋2a 2＝3a . 在Rt △SAC 中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝a 3a ＝3

3，

∴∠SCA ＝30°，∴∠CDE ＝90°－∠SCA ＝60°.

[高考·模拟·预测]

1．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m ⊥β ”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当平面α内的直线垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．

答案：B

2．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是

( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AE

DE

＝3，故∠ADE ＝60°.故选C. 答案：C

3．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β (2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

(3)设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；

(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

解析：(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．

(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．

(3)如图，α∩β＝l，a?α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．

(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．

综上所述，真命题的序号为(1)(2)．

答案：(1)(2)

4．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．

(Ⅰ)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1，

(Ⅱ)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

(Ⅰ)证法一：取A1B1的中点为F1，

连接FF1，C1F1.

由于FF1∥BB1∥CC1，

所以F1∈平面FCC1，

因此平面FCC1即为平面C1CFF1.

连接A1D，F1C.

由于A1F1綊D1C1綊CD，

所以四边形A1DCF1为平行四边形，

因此A1D∥F1C.

又EE1∥A1D，所以EE1∥F1C.

而EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.

证法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD.

所以CD綊AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，

所以AD∥FC.

又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1，

又EE1?平面ADD1A1，

所以EE1∥平面FCC1.

(Ⅱ)证明：连接AC.在△FBC中，FC＝BC＝FB，

又F为AB的中点，

所以AF＝FC＝FB，

因此∠ACB＝90°，

即AC⊥BC.

又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，

所以AC⊥平面BB1C1C，

而AC?平面D1AC，

故平面D1AC⊥平面BB1C1C.

[备选精题]

5．如右图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.

(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；

(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

(1)证明：如右图，取PE的中点为H，连结HG，HF.

因为点E ，O ，G ，H 分别是PA ，AC ，OC ，PE 的中点， 所以HG ∥OE ，HF ∥EB . 因此平面FGH ∥平面BOE . 因为FG 在平面FGH 内， 所以FG ∥平面BOE .

(2)解：在平面OAP 内，过点P 作PN ⊥OE ，交OA 于点N ，交OE 于点Q .连结BN ，过点F 作FM ∥PN ，交BN 于点M .

下证FM ⊥平面BOE . 由题意，得OB ⊥平面PAC ， 所以OB ⊥PN .

又因为PN ⊥OE ，所以PN ⊥平面BOE . 因此FM ⊥平面BOE .

在Rt △OAP 中，OE ＝12PA ＝5，PQ ＝24

5，

cos ∠NPO ＝PQ OP ＝4

5，

ON ＝OP · tan ∠NPO ＝9

2

所以点N 在线段OA 上．

因为F 是PB 的中点，所以M 是BN 的中点．

因此点M 在△AOB 内，点M 到OA ，OB 的距离分别为12OB ＝4，12ON ＝9

4.