复变函数疑难问题分析

复变函数疑难问题分析

1)函数f(z)在区域D 中是否有无限个零点？ 2)

是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？ 答：有无限个零点。可以具体写出其所以零点；

不矛盾。因为这无限多个

零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为 z 0为非孤立的奇点。 2.

“函数sinz 在z 平面上是有界的”是否正确？ sin z 在 z 平面上无界。

3. “函数e z 为周期函数” 是否正确？

e z 是以2k i 为周期的函数。因为 z C ，e z2ki e z e 2k i e z 1 e z ，k 为整数

4. “ f(z) z 是解析函数” 是否正确？

f (z) z 在z 平面上不解析。因为f (z) z x iy ，所以u(x, y) x , v(x, y) y 所以丄1，丄 1，丄0,丄0

x y y x

但是-1

1 —，所以u(x, y)，v(x, y)在z 平面上处处不满足C. R.条件

x

y

所以f (z) z 在z 平面上不解析。

5. 根据教材中建立起球面上的点(不包括北极点N)复平面上的点间的一一对应， 试求解下列问题。 (1)

复球面上与点(一^,

2

,1)对应的复数；

2 2

1.设 f (z)

z 2 sin 丄,D z

z|z 1 1

若上小题的答案是肯定的,

iz

iz

这是因为sinz e —，令z iy(y

2i

0)，则 | sin z| | iz iz

e e

2i

(y

(2)复数1+i与复球面上的那个点;

(3)简要说明如何定义扩充复平面。

解：(1)建立空间直角坐标系(以0点为原点，SON为z轴正半轴)，则过点P(—2, —2,1)与点N(o,o,2)的直线方程为:-、2—-。当z 0时，

2 22 1

x y 2，所以(上1,丄1,1)与复数J 、、2i对应。

2 2

(2)复数1 i的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程-丄 * 与球面

1 1 2

x2 y2 (z 1)2 1 相交，其交点为(三2

,

2

)，N(0,0,2)

3 3 3

(3)z平面上以个模为无穷大的假想点一北极N相对应，复平面上加上后称为扩充复平面。

6. 说明复变函数可微性与解析性的关系。

复变函数w f(z)在点Z。处可导，又称为可微，而f(Z)在Z。处的某个邻域内任一点处均可导(可微)，则称f(z)在Z。处是解析的。

所以(1) w f(z)在点Z。处可导(可微)，但不一定在z处是解析的，

(2)f(z)在Z0处解析是指在Z0处的某个邻域内任一点处均可导，

(3)f(z)在区域D内可微与在区域D内解析是等价的。

1

7. f z sin-在区域D : 0 z 1上解析且有无穷多个零点，但在区域D上z

f z不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？

1 1

f (z) sin —在区域D，0 z 1内有无穷多个零点厶一，但lim z k0，

z k k

但0 D，而区域D是去心邻域，f(z)在z 0点无意义，所以f(z)在z 0处是

不解析的，也即f(z) sin丄在D内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0,与

z

零点孤立性定理不矛盾。

8. 复级数a n与b n都发散,则级数(a n b n)和a n b n发散.这个命题是否

n 1 n 1 n 1 n 1

9. 下列说法是否正确？为什么？

(1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 (2)每一个幕级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点

答:(1) 不正确，因为幕级数在它的收敛圆周上可能收敛，也可能发散.

⑵不正确，因为收敛的幕级数的和函数在收敛圆周内是解析的 10. 为什么区域|z| R 内解析且在区间(R, R)取实数值的函数f(z)展开成z 的

幕级数时，展开式的系数都是实数?

因为当z 取实数值时，f(z)与f (x)的泰勒级数展开式是完全一致的,

展开成z 的幕级数时，它的系数都是实数。

z

2 3

11.由 门

z z z

°,所以有结果…

请解释错误的原因

z

...要求

z

...要求z

成立？为什么? 答.不一定•反例：

a n

n 1

i

2 , b n n n 1

但 (a n n 1

b n )

飞收敛;

n

(a n b n )

n 1

-发散; n 1 n

a n

b n

[

n 1

n 1

(丄 n

1)]收敛.

n

而在|x| R 内，f(x)的展开式的系数都是实数

所以，在区域| z| R 内，f(z)

z2z3所以,在不同区域内

而 sin z >1 e yx 1 |e yxi 1 e y e y

2 2

当y

时，e y

，e y

有 | sin(x iy)|

当y 时，e y ，e y 0 有 | si n(x iy)| y xi e e y y xi e

y xi y xi e e sin z —

2 e y 12. z 0是函数f(z)

cos(1/ z)

的孤立奇点吗？为什么?

解:

1

因为

f(z)

cosq 的奇点有

z 0

k n n 1 -z ---------------- (k 0, 1, 2,...) k n n 2 所以在z 0

的任意去心邻域，总包括奇点

1

； ，当 k

时，z=0。

k n 2

1

从而z 0不是cos ■仃的孤立奇点.

1

13.

函数f(z) k 在z 1处有一个二级极点,

但根据下面罗朗展开式:

1 L 1 1 1

z(z 1)2

(z 1)5 (z 1)4 (z 1)3'

我们得到“ z 1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么 ？ 解：不对,z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点•所给罗朗展开式不是在

z 1

1

内得到的

z 1

1

内的罗朗展开式为

1 1

z(z 1)2 z

1 1

2 2 (z 1)2 (z 1)2

1 2

1 (z 1) (z 1)

14.如何证明当y

时, |sin(x iy) | 和 | cos(x

iy)|都趋于无穷大?

证明：sin z — e iz

2i

iz

e

1 2i

y xi

e

y xi

e