牛顿运动定律之滑块与传送带问题(含解析)

牛顿运动定律

滑块与传送带专题

一“滑块—滑板”模型

1．模型特点

上、下叠放两个物体，在摩擦力的相互作用下两物体发生相对滑动．

2．两种位移关系

滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；反向运动时，位移之和等于板长．

3．解题思路

处理此类问题，必须弄清滑块和滑板的加速度、速度、位移等关系．

(1) 加速度关系

如果滑块和滑板之间没有发生相对运动，可以用“整体法”求出它们一起运动的加速度；如果滑块和滑板之间发生相对运动，应采用“隔离法”分别求出滑块和滑板的加速度．应注意找出滑块和滑板之间是否发生相对运动等隐含的条件．

(2) 速度关系

滑块和滑板之间发生相对运动时，分析速度关系，从而确定滑块受到的摩擦力的方向．应注意当滑块和滑板的速度相同时，摩擦力会发生突变的情况．

(3) 位移关系

滑块和滑板叠放在一起运动时，应仔细分析滑块和滑板的运动过程，认清对地位移和相对位移之间的关系．这些关系就是解题过程中列方程所必需的关系，各种关系找到了，自然也就容易列出所需要的方程了．

例一、如图，两个滑块A和B的质量分别为m A＝1 kg和m B＝5 kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1＝0.5；木板的质量为m＝4 kg，与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1.某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0＝3 m/s.A、B相遇时，A与木板恰好相对静止．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2.求：

(1)B与木板相对静止时，木板的速度；

(2)A、B开始运动时，两者之间的距离．

解析：(1)滑块A和B在木板上滑动时，木板也在地面上滑动．设A、B和木板所受的摩擦力大小分别为F f1、F f2和F f3，A和B相对于地面的加速度大小分别为a A和a B，木板相对于地面的加速度大小为a1，在物块B与木板达到共同速度前有

F f1＝μ1m A g ①

F f2＝μ1m B g ②

F f3＝μ2(m＋m A＋m B)g ③

由牛顿第二定律得

F f1＝m A a A ④

F f2＝m B a B ⑤

F f2－F f1－F f3＝ma1 ⑥

设在t1时刻，B与木板达到共同速度，其大小为v1，由运动学公式有

v1＝v0－a B t1 ⑦

v1＝a1t1 ⑧

联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入已知数据得

v1＝1 m/s，方向与B的初速度方向相同⑨

(2)在t1时间间隔内，B相对于地面移动的距离为

s B＝v0t1－1

2a B t

2

1⑩

设在B与木板达到共同速度v1后，木板的加速度大小为a2，对于B与木板组成的体系，由牛顿第二定律有

F f1＋F f3＝(m B＋m)a2 ⑪

由①②④⑤式知，a A＝a B；再由⑦⑧式知，B与木板达到共同速度时，A的速度大小也为v1，但运动方向与木板相反．由题意知，A和B相遇时，A与木板的速度相同，设其大小为v2，设A的速度大小从v1变到v2所用的时间为t2，则由运动学公式，

对木板有v2＝v1－a2t2 ⑫

对A有v2＝－v1＋a A t2 ⑬

在t2时间间隔内，B(以及木板)相对地面移动的距离为

s1＝v1t2－1

2a2t

2

2⑭

在(t1＋t2)时间间隔内，A相对地面移动的距离为

s A＝v0(t1＋t2)－1

2a A(t1＋t2)

2 ⑮

A和B相遇时，A与木板的速度也恰好相同，因此A和B开始运动时，两者之间的距离为

s0＝s A＋s1＋s B ⑯

联立以上各式，并代入数据得s0＝1.9 m.

(也可用如图所示的速度－时间图线求解)

答案：(1)1 m/s方向与B的初速度方向相同

(2)1.9 m

【题后反思】

求解“滑块—滑板”模型问题的方法技巧

(1)弄清各物体初态对地的运动和相对运动(或相对运动趋势)，根据相对运动(或相对运动趋势)情况，确定物体间的摩擦力方向．

(2)正确地对各物体进行受力分析，并根据牛顿第二定律确定各物体的加速度，结合加速度和速度的方向关系确定物体的运动情况．

(3)速度相等是这类问题的临界点，此时往往意味着物体间的相对位移最大，物体的受力和运动情况可能发生突变．

跟踪练习

1. (水平面光滑的“滑块—滑板”模型)如图所示，质量M＝8 kg的小车静止在光滑水平面上，在小车右端施加一水平拉力F＝8 N．当小车速度达到1.5 m/s 时，在小车的右端由静止轻放一大小不计、质量m＝2 kg的物体，物体与小车间的动摩擦因数μ＝0.2，小车足够长．从物体放上小车开始经t＝1.5 s 的时间，

物体相对地面的位移为(g取10 m/s2)()

A．1 m B．2.1 m

C．2.25 m D．3.1 m

解析：选B．放上物体后，物体的加速度a1＝μg＝2 m/s2，小车的加速度：

a2＝F－μmg

M＝0.5 m/s

2，物体的速度达到与小车共速的时间为t1，则a1t1＝v0＋a2t1，

解得t1＝1 s；此过程中物体的位移：s1＝1

2a1t

2

1＝1 m；共同速度为v＝a1t1＝2 m/s；

当物体与小车相对静止时，共同加速度为a＝

F

M＋m

＝0.8 m/s2，再运动0.5 s的

位移s2＝vt′＋1

2at′

2＝1.1 m，故从物体放上小车开始的1.5 s时间内，物体相对地

面的位移为1 m＋1.1 m＝2.1 m，选项B正确．

2. (水平面粗糙的“滑块—滑板”模型)如图所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻(t＝0)将一相对于地面静止的物块轻放到木板上．已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上．在物块放到木板上之后，木板运动的速度—时间图象可能是图中的()

解析：选A．放上小物块后，长木板受到小物块施加的向左的滑动摩擦力和地面向左的滑动摩擦力，在两力的共同作用下减速，小物块受到向右的滑动摩擦力作用，做匀加速运动，当两者速度相等后，可能以共同的加速度一起减速，直至速度为零，共同减速时的加速度小于两者相对运动时木板的加速度，故A 正确，B、C错误；由于水平面有摩擦，故两者不可能一起匀速运动，D错误．3．(多个板块的组合模型)如图所示，两木板A、B并排放在地面上，A左端放一小滑块，滑块在F＝6 N的水平力作用下由静止开始向右运动．已知木板A、B长度均为l＝1 m，木板A的质量m A＝3 kg，小滑块及木板B的质量均为m＝