高三数学数列苏教版
苏教版高中数学必修五第二章《数列》ppt课件
n
n d＞0
d＜0
一、等差数列
5. 用什么方法推导等差数列前n项和公式 的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点?
Sn＝An2＋Bn (A∈R)
注意: d＝2A !
一、等差数列
6. 你知道等差数列的哪些性质?
等差数列{an}中，(m、 n、p、q∈N+): ①an＝am＋(n－m)d ； ②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ； ③由项数成等差数列的项组成的数列仍 是等差数列； ④ 每n项和Sn , S2n－Sn , S3n－S2n … 组成的数列仍是等差数列.
二、等比数列 8. 等比数列的前n项和的性质
(1)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)， S偶 则 q. S奇
(2)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知 识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，a1、an、n、d（q） n“知 、S 三求二”，体现了方程（组）的思想、整体思想， 有时用到换元法． 3．求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等 于 1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨 论的思想． 4．数列求和的基本方法有公式法、化归法、倒 序相加法、错位相减法、并项求和法、分步求和 法、裂项相消法等．
二、等比数列
5. 等比数列的性质 (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时， {an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时， {an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列； 当q＜0时，{an}是摆动数列.
二、等比数列
5. 等比数列的性质 (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时， {an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时， {an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列； 当q＜0时，{an}是摆动数列. (2)an＝am·n－m(m、n∈N*). q
苏教版高中数学(必修5)2.1《数列》word教案3篇
第 1 课时：§2.1 数列（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
苏教版数列课件
等比
1．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝________；前8项的和S8＝________.(用数字作答)
【解析】 由a2＋a3＝q(a1＋a2)＝3q＝6，∴q＝2，∴a1(1＋q)＝3，∴a1＝1，∴a7＝26＝64.【答案】 643．设等比数列{an}的公比q＝ ，前n项和为Sn，则 ＝________.
an＋am＝ap＋aq
等差
(n－m)d
递减
大
常
递增
若数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，k∈N*，那么Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成 数列．
等差
6．奇数项和与偶数项和的关系设数列{an}是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项的和，Sn是前n项的和，则有如下性质：前n项的和Sn＝S奇＋S偶．当n为偶数时，S偶－S奇＝ d，其中d为公差；当n为奇数时，则S奇－S偶＝a中，S奇＝ a中，
【点拨】 本题可以利用等比数列的通项公式，也可以利用推广公式a5＝a2q3.【解】 (1)设等比数列{an}的公比为q，则
求和公式
在求等比数列前n项和时，若公比q用一个字母表示时，一定要注意对公比q进行讨论，即分公比q等于1和不等于1两种情况讨论
【点拨】 本题如果利用求和公式求解，需对公比q是否为1进行讨论，而要抓住条件中S30，S20，S10的特点，可以采用整体思想求解，避免求和公式出现，无需讨论公比是否为1.
6．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝ ，求{an}的通项公式．
通项公式
灵活运用等比数列的通项公式与定义式，可以简化运算，提高解题速度及准确性
已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.(1)求通项an；(2)若bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝360，求n的值．
江苏专版高中数学第4章数列4.1数列第1课时数列的概念及通项公式课件苏教版选择性必修第一册
解
观察数列中的数，可以看到 0 = 1 − 1 ， 3 = 4 − 1 ， 8 = 9 − 1 ， 15 = 16 − 1 ，
24 = 25 − 1 ， … ，所以它的一个通项公式为 = 2 − 1 .
② 1 ， −3 ，5， −7 ，9， … ；
数列各项的绝对值为1，3，5，7，9， … ，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，
的通项公式可能为( ABC )
A. = −1
B. = ቊ
C. = cos π
−1, = 2 − 1,
( ∈ ∗ )
1, = 2
D. = sin
π
2
[解析] 观察数列 { } 的前5项可知， { } 的通项公式可能为
= −
−, = −
题型分析·能力素养提升
【课标要求】通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图
象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.数列及其有关概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项.数列
的一般形式可以写成 1 , 2 , 3 , … , , … ,简记为 { } ，其中 1 称为数列 { } 的第1项
6 = 4 + 2 ，分母满足 5 = 3 × 1 + 2 ， 8 = 3 × 2 + 2 ， 11 = 3 × 3 + 2 ，
14 = 3 × 4 + 2 ，所以它的一个通项公式为 =
+2
.
3+2
（3） −3 ，7， −15 ，31;
高三数学专题复习—数列苏教版知识精讲
高三数学专题复习—数列苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题复习——数列【高考要求】了解数列的概念，掌握等差数列与等比数列。
二. 基本内容：1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n2. 等差数列的通项公式：a n =a 1+（n －1）d a n =a k +（n －k ）d （其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项） 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数3. 等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+ ； S n =2)(1n a a n +； S n =d n n na n 2)1(--当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式4. 等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1212--n S n 5. 等差中项公式：A=2ba + （有唯一的值） 6. 等比数列的通项公式： a n = a 1 q n －1a n = a k q n －k（其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0）7. 等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 （是关于n 的正比例式）；当q≠1时，S n =q q a n --1)1(1 S n =qq a a n --118. 等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值）9. 等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m － S 3m 、……仍为等差数列10. 等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 11. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a •=•12. 等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m － S 3m 、……仍为等比数列（当m 为偶数且公比为－1的情况除外）13. 两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n －b n }仍为等差数列14. 两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n •b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列15. 等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16. 等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17. 三个数成等差的设法：a －d ，a ，a+d ；四个数成等差的设法：a －3d ，a －d ，，a+d ，a+3d18. 三个数成等比的设法：a/q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3，a/q ，aq ，aq 3（因为其公比为2q >0，对于公比为负的情况不能包括） 19. {a n }为等差数列，则{}na c（c>0）是等比数列20. {b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } （c>0且c ≠1） 是等差数列【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=.解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=Q .（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ1213133312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得10d ,2d 21-== ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）①2n ≥时，212322a a a +++…2128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42nn a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）.由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-L(4)(2)(28)n =-+-++-L 2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k -单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k -≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得： 212+++=n n n b b b ， ∴ }{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ， 29,22122==b b b a 则 ， ∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ， ∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2n n S a b =⋅+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-Q .（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n n T -=++++L 231111231(2322222n n n n n T --=+++++L ） ，得2111111(1)232222n n n nT -=++++-L ，111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足 121(lg lg lg )k k b a a a k=+++L *()N k ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.解：（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-L ，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+L当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----L L 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+L∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n n b a a =，12n nS b b b =+++L 求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2n n n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n）∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2，若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-Q 成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴= 当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,a =2213,3,a a a ∴=∴= {}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-，11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++L11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++ 比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++<<-即 当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），将c n =2n ＋3n代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2 =[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]，即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n=0， 解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3. 事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]qk －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21又n 2个数都是正数， ∴a 11 = d = q =21 ， ∴a kk = k k 2n n S 212132122132⨯++⨯+⨯+=Λ， 1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S Λ， 两式相减得：n n nS 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n nnn b b b T a b +++==Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a nΛ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==-（2）由（1）得n n n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴-Λ ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T Λ ② ①－②得 )21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++=ΛΛ1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--. nn 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n∈+=，则由 1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对Λ恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=Λ，则()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++ΛΛ )(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴>Θ是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ； ⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈L ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤Λ时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-L 6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++=ΛΛ765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n nn 9S 22n 56n n ≤≥（3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++Q ，∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+L .2(1)n n =+ 若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n mn >+对任意*N n ∈成立，*()1N nn n ∈+Q 的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n mT >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *.（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若8131220,a a m b b b +=L 求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。
数学：21《数列》课件(苏教版必修
总结词
详细描述
总结词
详细描述
等比数列是一种常见的数列 ，其相邻两项的比是一个常 数。
等比数列的定义是每一项与 它的前一项的比等于同一个 常数的一种数列。这个常数 被称为公比，通常用字母q 表示。例如，数列1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，公比 q=2。
等比数列的性质包括无限性 、变号性和无界性。
数列在实际生活中的应用
金融领域
数列在金融领域的应用非常广泛，如计算复利、 评估投资风险、计算保险费等。
自然现象
数列在自然界中也有很多应用，如蜂房的结构、 植物生长的规律等都与数列有密和解密信息 、设计算法等。
数列的数学建模与解决实际问题
建立数学模型
通过观察和分析实际问题的规律和特征，可以建立数列的数学模 型，从而将实际问题转化为数学问题。
等差数列的定义与性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性和递减性。
详细描述
等差数列的对称性是指如果一个数列是等差的，那么它的任意一项和它对称位置 的项的和是一个常数，这个常数等于首项和末项的和。递增性是指如果公差d>0 ，那么数列是递增的；递减性是指如果公差d<0，那么数列是递减的。
等比数列的定义与性质
和应用这些公式。
数列求和与其他知识点的结合
02
如数列求和与不等式、方程等的结合，需要综合运用各种知识
点来解决问题。
数列求和在实际问题中的应用拓展
03
除了传统的等差数列和等比数列问题，还可以拓展到解决一些
新颖的实际问题，如预测股票价格等金融问题。
05
数列的综合应用
数列与其他数学知识的结合
数列与函数
在日常生活方面，等差数列和等比数列的应用包括计算存款利息、评估投资风险、编制预算等等。在科学研究方 面，等差数列和等比数列的应用包括研究物理现象（如振动、波动）、生物繁殖、化学反应等等。此外，在计算 机科学、统计学、信息论等领域中也有广泛应用。
2023年苏教版新教材高中数学选择性必修第一册4.1数列 同步练习题含答案解析
4.1 数列一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n m =-++，且对任意*1,0n n n a a +∈-<N ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞ B ．(),2-∞- C ．()2,+∞ D ．(),2-∞【答案】A【分析】根据数列为递减数列，结合n a 与n S 的关系即可求解. 【详解】因为10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，当2n ≥时，()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦，故可知当2n ≥时，{}n a 单调递减， 故{}n a 为递减数列，只需满足21a a <， 因为1211,1a a S m =-==+, 所以11m -<+,解得2m >-，2．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+,那么它的通项公式n a =（ ） A ．n B ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1【答案】B【分析】根据111,1,2n n n a S n a S S n -==⎧⎨=-≥⎩即可求n a ．【详解】11112a S ==+=，()()()()221112,2n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=≥⎣⎦,当1n =时，122n a ==， 2n a n ∴=.3．已知数列{}n a 满足111n n a a ++=，若502a =，则1a =（ ） A ．1- B ．12C ．32D ．24．在数列{}n a 中，12a =，11n n a a -=-（2n ≥，N n +∈），则2023a =（ ）A ．12 B ．1C ．1-D ．25．已知数列n 满足17n n +，则2（ ） A ．1- B ．12C ．2D ．526．已知数列{}n a 满足*1120222022,,N 20232023nn a a n +⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则下列结论成立的是（ ） A ．202120222020a a a << B ．202220212020a a a << C ．202120202022a a a << D ．202020212022a a a <<【答案】A【分析】根据指数函数的性质判断1342a a a a <<<，即可猜想数列{}n a 的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，再证明即可，从而可得答案.7．已知数列n a 满足12111,3,N ,2n n n a a a a a n n *-+===+∈≥，则2022a =（ ）A ．2-B ．1C ．4043D ．4044【答案】A【分析】由递推式得到21n n a a +-=-，从而得到6n n a a +=，由此再结合11n n n a a a -+=+即可求得2022a 的值.【详解】由11n n n a a a -+=+得12n n n a a a ++=+， 两式相加得21n n a a +-=-，即3n n a a +=-，故6n n a a +=， 所以20226321()2a a a a a ==-=--=-.8．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n =-+，则这个数列的通项公式为（ ） A ．42n a n =-+B ．32n a n =-+C ．1,1,4 2.2n n a n n -=⎧=⎨-+≥⎩D ．1,1,32,2n n a n n -=⎧=⎨+≥⎩【答案】C【分析】已知和求通项公式：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行计算.【详解】当1n =时，11211;a S ==-+=-当2n ≥时，()2212121142;n n n a S S n n n -=-=-++--=-+ 二、多选题9．已知数列{}n a 的通项公式为31,22,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则下列正确的是（ ）A ．619a =B ．76a a >C ．522S =D ．68S S >【答案】BC【分析】根据通项公式即可作出判断.【详解】对于A ，6是偶数，则621210a =-=-，A 错误； 对于B ，7622a a =>，B 正确；对于C ，54(2)10(6)1622S =+-++-+=，C 正确；对于D ，56612S S a =+=，86781222(14)20S S a a =++=++-=，68S S <，D 错误.10．下列数列{}n a 是单调递增数列的有（ ） A ．231n a n n =-+ B ．12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2n a n n=+D ．ln1n n a n =+55,89,144,233,⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{}n a 满足()12211,n n n a a a a a n +++===+∈N .若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（ ） A ．910n n b b ++-= B ．1029n n S S ++=+ C ．20222b = D ．20222696S =【答案】ABC【分析】根据数列{}n a 可得出数列{}n b 是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断. 【详解】数列{}n a 为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…， 被3除后的余数构成一个新数列{}n b ，∴数列{}n b 为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可得数列{}n b 是以8为周期的周期数列，故910n n b b ++-=，A 正确；。
2024届苏教版高考数学一轮复习数列求和及综合应用课件
=
+
=2,所以
=2.
所以 a1,a3,a5,…成等比数列;a2,a4,a6,…成等比数列,
所以 S2 018=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2 017+a2 018
=(a1+a3+a5+…+a2 017)+(a2+a4+a6+…+a2 018)
=
-
-
+
(-
A.
B.
C.
D.
解析:bn= =
=
=
-
++ (+)(+) + +
选 B.
B )
,前 10 项和为 - + - +…+ - = - = .故
4.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17=
a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:(1)由题设知 a1a4=a2a3=8,
又 a1+a4=9,解得
= , = ,
或
(舍去).
=
=
3
设等比数列{an}的公比为 q,由 a4=a1q 得 q=2,
n-1
n-1
故 an=a1q =2 ,n∈N+.
例1-2
苏教版高三数学复习课件5.4 数列的求和
答案： 答案：
5． (2010·南京市第九中学调研测试 已知数列 n}满足：an＝ ． 南京市第九中学调研测试)已知数列 满足： 南京市第九中学调研测试 已知数列{a 满足 则数列{a 的前 的前100项的和是 项的和是________． 则数列 n}的前 项的和是 ． 解析： 解析：an＝
∴a1＋a2＋…＋a100＝
6．常见的拆项公式有： ．常见的拆项公式有：
(1)
(2)
(3) 思考：用裂项相消法求数列前 项和的前提是什么 项和的前提是什么？ 思考：用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提． 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提．
第4课时 数列的求和
掌握数列求和的几种常见方法． 掌握数列求和的几种常见方法． 【命题预测】 命题预测】 数列的求和在近几年高考中，填空题与解答题都有出现 ， 重点以容易题和中档 数列的求和在近几年高考中 ， 填空题与解答题都有出现， 题为主，基本知识以客观题出现，综合知识则多以解答题体现， 题为主 ， 基本知识以客观题出现 ， 综合知识则多以解答题体现 ， 主要是探索型 和综合型题目．复习时，要具有针对性地训练，并以“注重数学思想方法、 和综合型题目 ． 复习时 ， 要具有针对性地训练 ， 并以 “ 注重数学思想方法 、 强 化运算能力、重点知识重点训练”的角度做好充分准备． 化运算能力、重点知识重点训练”的角度做好充分准备．
1． 数列 ． 数列0.9,0.99,0.999，…， ，
项和为________． …的前n项和为 的前 项和为 ．
解析：数列的通项公式为 其前n项和 解析：数列的通项公式为an＝1－0.1n，其前 项和 －
苏教版 高中数学选择性必修第一册 数列 课件2
12，14，18，116，312，….
④
某种树木第 1 年长出幼枝，第 2 年幼枝长成粗干，第 3 年粗干可生出幼枝(如图 2)，
那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为
1,1,2,3,5,8，….
⑤
从 1984 年到 2016 年，我国共参加了 9 次夏季奥运会，各次参赛获得的金牌总数依 次为
15,5,16,16,28,32,51,38,26.
（n＋2）（n－1）
n（n＋1）
＝2 2 ，∴an＝2 2 ·2＝2 2 ，当 n＝1
时，满足上式，故选 A.
►规律方法 根据形如 an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式 求通项公式时，常用累乘法求出aan1与 n 的关系式，进而得到 an 的通项公式．
数列的通项公式
(3)原数列可变形为1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故数列的一个通项公式为 an＝1－110n.
3 n为奇数
(4)数列给出前 4 项，其中奇数项为 3，偶数项为 5，所以通项公式的一种表示方法为 an＝ 5
n为偶数
.
3＋5 此数列还可以这样考虑，3 与 5 的算术平均数为 2 ＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可 以写为 an＝4＋(－1)n.
►考向一 由 an 与 Sn 求通项公式 an[师生共研]
[例 1] (1)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 log2(Sn＋1) ＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_a_n_＝___32_， n，_． nn＝≥12，
(2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．若 Sn＝2的一列数称为数列。
2、数列项的定义 数列中的每个数叫做这个数列的项。 数列中的第一个数叫做这个数列的第1项或首项，各项 依次叫作这个数列的第1项(或首项)，第2项， ···，第n 项。
高中数学苏教版必修5《第2章2.1数列》课件
2
1．数列的概念 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做 这个数列的 项 ．项数有限的数列叫做 有穷 数列，项数无限的数列 叫做 无穷 数列．
3
2．数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为 __{a_n__} __，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为 首项 )，a2称为第2 项，…，an称为第n项．
思路探究：利用二次函数的单调性，求得k的取值范围．
31
[解] ∵an＝n2＋kn，其图象的对称轴为n＝－2k， ∴当－2k≤1，即k≥－2时， {an}是单调递增数列． 另外，当1<－2k<2且－2k－1<2－－2k， 即－3<k<－2时，{an}也是单调递增数列(如图所示)． ∴k的取值范围是(－3，＋∞)．
35
1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所 对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的
函数不一定单调．
2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，
一般地，若
an－1≤an， an＋1≤an，
则an为最大项；若
an－1≥an， an＋1≥an，
则an为最小
令an＝1，得n2－221n＝1， 而该方程无正整数解， ∴1不是数列{an}中的项．
27
(2)假设存在连续且相等的两项为an，an＋1， 则有an＝an＋1， 即n2－221n＝n＋12－221n＋1， 解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和 第11项．
28
数列的性质
[探究问题] 1．数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最 大(小)项？ [提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函 数与数列的差异，数列{an}中，n∈N*.
2024届苏教版高考数学一轮复习数列基础课件
• 知识点二 数列的表示法
列表法 图像法
列表格表示n与an的对应关系 把点______(_n_，__a_n_) ______画在平面直角坐标系中
通项公式
把数列的通项使用__通__项__公__式____表示的方法
公式法
如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的_相__邻__两__项__或__两__项__以__上__
• 二、应用探究点——由an与Sn的关系求通项(思维拓展) • [典例剖析]
• [例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an ＝[解__析_]__由_题__意_知_，. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当 n＝1 时，a1＝S1＝4≠2×1
＋1.因此 an＝42nn＋＝11n，≥2.
故数列an＋13是首项为130，公比为 4 的等比数列． 所以 an＋13＝130×4n－1，故数列{an}的通项公式为 an＝130×4n－1－13. [答案] 130×4n－1－13(n∈N*)
[案例 2] 若数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，则 an＝__________. [解析] 因为 an＋1＝a2n＋an2，a1＝2，所以 an≠0， 所以an1＋1＝a1n＋12，即an1＋1－a1n＝12，又 a1＝2，则a11＝12，所以数列a1n是以12为首项，12为 公差的等差数列．
第六章 数列
第一节 数列基础
课程标准解读 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像公式).2.了解数列是自变
量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用an与Sn的关系求通项公式an.4.掌握利用递推 关系构造等差或等比数列求通项公式an.
必备知识新学法基础落实
苏教版 高中数学选择性必修第一册 数列 课件1
4.an 与 Sn 的关系 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.
教材拓展
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即 用aann≥ ≥aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)或aann≤ ≤aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)求解， 也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．
三角形数
1, 3,
6,
10, .…..
正方形数
1, 4,
9,
16, ……
提问：这些数有什么规律吗？
3
三角形数：1，3，6，10，···
正方形数：1，4，9，16，···
1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：
1，1 ，1 ，1 ， 234
高一（4）班每次考试的名次由小到大排成的一列数： 1，2，3，4，35 -1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数： 1， 1，1， 1 无穷多个1排列成的一列数：
1， 1， 1， 1，
4
定义：按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性)
问1： 数列 3 1，2 ，3 ，… ，35 改为 3 , 2 ，1 ，… ，35 请问：是不是同一数列？
问2: 数列 4 -1，1，-1，1…… 改为： 1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？
5
新知讲解:
数
反思感悟用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变 形；若用作商法则要特别注意分母的符号．
►规律方法 根据形如 an＋1＝pan＋q 的递推关系式求通项公式时，一 般先构造公比为 p 的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式 化为 an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公 式，最后求{an}的通项公式．
高中数学苏教版必修五《第2章数列2.3等比数列》课件
证明：(1)an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an－4an－1， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)， ∴bn＝2bn－1(n≥2)． 又b1＝a2－2a1＝S2－3a1＝a1＋2＝3， ∴{bn}是以首项为3，公比为2的等比数列．
＝q(q 为常数)也可以用aan＋ n 1＝aan－n 1(n≥2)进行判断．
例3 在等比数列{an}中，对 n∈N*，a1＋a2＋…＋an ＝2n－1，求证：数列{a2n}是等比数列．
【分析】 可先求出an，再利用等比数列的定义证明
【证明】 ∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，
①
∴a1＝1且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1.
(2)求数列{an}的通项公式． 【分析】 由递推公式变形出 an－23、an－1－23，通过待 定系数法寻找关系．
【解】 (1)证明：由 an＋1＝12an＋13，得 an＋1－23＝12(an－23)． 又 an－23≠0，
∴an＋1－32＝ an－32
12，即数列an－23是
首项为254，公比为12的等
(2)∵bn＝3·2n－1，∴an＋1－2an＝3·2n－1， 又 cn＝a2nn， ∴cn＋1－cn＝2n1＋1(an＋1－2an)＝2n1＋1·3·2n－1＝34， 且 c1＝a21＝12， ∴{cn}是以12为首项，34为公差的等差数列．
题型二 等比数列的判定
判断一个数列是等比数列的基本方法是紧扣定义： an an－1
比数列．
(2)由(1)知 an－23＝(a1－23)(12)n－1，且 a1＝78， 即 an＝(a1－23)(12)n－1＋23
苏教版高三数学复习课件5.1 数列
第1课时
数列
数列
了解数列的概念和几种简单的表示法/了解数列是自 变量为正整数的一类函数．
【命题预测】 数列在历年高考中都占有较重的地位，一般情况下会有一至 两个客观性试题和一个解答题，客观性试题主要考查等差数 列、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或基本 知识和基本性质的灵活应用．
(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋n，且a1＝0，求an.
思路点拨：(1)转化为等比数列．(2)采用累乘法．(3)采用累加
法．
解：(1)因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以
所以数列{an＋3}为等比数列．又q＝2，a1＋3＝4，
＝2，
所以an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，an＝2n＋1－3.
2．已知数列前n项和Sn＝2n2＋n，n∈N*，则它的通项公式为
________．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－
1.
3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋1，则a2 010＝________. 当n＝1 时，上式成立，所以an＝4n－1. 解析：因为an＋1 答案：an＝4n－1 ＝an＋1，所以an＋1－an＝1， 所以a2 010＝(a2 010－a2 009)＋(a2 009－a2 008)＋(a2 008－a2 007)＋…＋(a 2－a1) ＝1＋1＋1＋…＋1＝2 009. 答案：2 009
变式1：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式：
(1)
答案：(1)an＝
…；(2)0，
(2)an＝
….
1．由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归
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高三数学数列苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：数列二. 本周教学目标：1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
3. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
三. 本周知识要点： （一）数列（1）一般形式：n a a a ,,,21⋯ （2）通项公式：)(n f a n = （3）前n 项和：及数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：（二）等差数列1. 等差数列的定义：①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2. 等差数列的判定方法：②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数），则数列{}n a 是等差数列。
③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3. 等差数列的通项公式：④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
该公式整理后是关于n 的一次函数。
4. 等差数列的前n 项和：⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
5. 等差中项：⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
5. 等差数列的性质：⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 6. 奇数项和与偶数项和的关系：⑩设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：前n 项的和偶奇S S S n +=当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n（其中中a 是等差数列的中间一项）。
7. 前n 项和与通项的关系：（11）若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a（三）等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。
2. 等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
也就是说，如果G 是a 与b 的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =2。
3. 等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。
②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。
4. 等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a ，或者n m n m a a q -=。
5. 等比数列的前n 项和：①)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ②)1(11≠--=q qqa a S n n③当1=q 时，1na S n =。
当1q ≠时，前n 项和必须具备的形式：(1),(nn S A q A =-≠6. 等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时，k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列，如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++【典型例题】例1. 若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为 （ ）A. 67B. 57C. 37D. 17解：逐步计算，可得167a =，21251,77a =-=31031,77a =-=46,7a =51251, (77)a =-= 这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+， 所以7520=a 。
应选B 。
点评：分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色。
例2. 如图，一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动，在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ，接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。
（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。
解：（1） 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ，当粒子从原点到达n A 时，明显有13,a = 211,a a =+ 3111234,a a a =+=+⨯ 431,a a =+ 5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+… …2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=++++-＝241n -，222114n n a a n -=+=221212(21)441n n b a n n n --=--=-+， 2222244n n b a n n n =+⨯=+222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-， 2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+，即2n c n n =+（2）由图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过的时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒（3）由2n c n n =+≤2004，解得1n ≤≤，取最大值得n ＝44例3. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n 且S 5＝－5，S 10＝15，求数列｛nS n｝的前n 项和T n 。
解：设数列｛a n ｝的公差为d ，首项为a 1， 由已知得 5a 1＋10d ＝－5，10a 1＋45d ＝15 解得a 1＝－3，d ＝1∴S n ＝ n （－3）＋n n n n 27212)1(2-=- ∴2721-=n n S n ∵(),2127212712111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-++n n n S n S n n ∴｛n S n ｝是等差数列且首项为11S ＝－3、公差为12∴T n ＝ n ×（－3）＋2)1(-n n n n 41341212-=例4. 等比数列}{n a 中，各项均为正数，且610354841,4a a a a a a ⋅+⋅=⋅=，求84a a +解：设等比数列首项为1a ，公比为q ，则⎩⎨⎧=+⇒=+⇒==+749)(441842732110216211421a a q q a q a q a q a另法：2261035844141a a a a a a ⋅+⋅=⇒+=，4848428a a a a ⋅=⇒⋅=将两式相加得 248()41849a a +=+=又因为数列}{n a 中，各项均为正数，所以84a a +＝7例5. 设数列{a n }的前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q ＝f （m ）且1113,()(*,2),2n n b a b f b n N n -==∈≥ 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求证为等差数列，并求n b解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+ 两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+ {}n a ∴是等比数列点评：为了求数列{}n b 的通项，用取“倒数”的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．【模拟试题】一. 选择题1. 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为n8，则此人应选（ ） A. 1楼 B. 2楼 C. 3楼 D. 4楼2. 若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则A. P ＝MSB. P ＞MSC. nM S P ⎪⎭⎫⎝⎛=2D. 2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛3. 数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列若a n ＝b n ，则n 的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 4. 在等差数列{a n }中，a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n 的值为（ ）A. m ＋nB.)(21n m + C.)(21n m - D. 05. 在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 24 D. 216. 数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（ ） A. 第13项 B. 第14项 C. 第15项 D. 不在此数列中7. 若数列{a n }是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 若q>1，则a n ＋1>a n B. 若0<q<1，则a n ＋1<a nC. 若q ＝1，则S n ＋1＝S nD. 若－1<q<0，则n n a a <+1二、填空题8. 数列{a n }中，a 1＝p ，a 2＝q ，a n＋2＋a n ＝2a n ＋1，则a 2n 9. 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 7＋a 8＋a 9＋a 14＝70，则a 810. 在等比数列{a n }中，a 1－a 5＝－215，S 4＝－5，则a 4＝ 11. 三个正数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝62，，lga ＋lgb ＋lgc ＝3，则这三个正数为三、解答题12. 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）3231,1615,87,43,21…… （2）－1，,63,51,43,31,23--……（3）3，33，333，3333，…… （4）,177,73,115,21,53…… 13. 已知数列{a n }为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和 14. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝n S 1，且a 3b 3＝21，S 5＋S 3＝21，求b n 。