分式知识点总结

分式知识点总结

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0；

分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

〔分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.〕

〔分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。〕

4.分式的根本性质：分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式，分式的值不

变。

用式子表示为〔〕，其中A、B、C是整式

注意：〔1〕“C是一个不等于0的整式〞是分式根本性质的一个制约条件；

〔2〕应用分式的根本性质时，要深刻理解“同〞的含义，防止犯只乘分子〔或分母〕的错误；

〔3〕假设分式的分子或分母是多项式，运用分式的根本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一

整式C；

〔4〕分式的根本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的根本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成

相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

〔1〕“各分母所有因式的最高次幂〞是指凡出现的字母〔或含字母的式子〕为底数的幂选取指数最大的；

〔2〕如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

〔3〕如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的根本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

〔1〕约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母

分解因式，然后再约分；

〔2〕找公因式的方法：

①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就

是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

易错点：〔1〕当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘〔或漏除以〕；

〔2〕在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—〞放在分数线前；

〔3〕确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

7.分式的运算：

分式乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示是：

提示：〔1〕分式与分式相乘，假设分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简

分式；假设分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；

〔2〕当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

〔3〕分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

〔4〕分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺

序，有括号先算括号

里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符

号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式〔分式的分子、分母没有公

因式〕或整式的形式。

分式乘方法那么：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

用式子表示是：〔其中n是正整数〕

注意：〔1〕乘方时，一定要把分式加上括号；

〔2〕分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂

为正，奇次幂为负；

〔3〕分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

〔4〕在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解

因式，再约分。

分式的加减法那么：

法那么：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示为：±＝

法那么：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

用式子表示为：±＝±＝

注意：〔1〕“把分子相加减〞是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括

号可以省略；

〔2〕异分母分式相加减，“先通分〞是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，

特别是分子相减，要注意分子的整体性；

〔3〕运算时顺序合理、步骤清晰；

〔4〕运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算

乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，

〔

注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

9. 整数指数幂：

假设m、n为正整数，a≠0，a m ÷a m＋n＝＝

又因为a m ÷a m＋n＝a m－﹙m＋n﹚＝a－n,所以a－n＝

一般地，当n是正整数时，a－n＝〔a≠0〕，即a－n〔a≠0〕是a n的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体

整数。整数指数幂可具有以下运算性质：(m,n是整数)

〔1〕同底数的幂的乘法：；

〔2〕幂的乘方：;

〔3〕积的乘方：；

〔4〕同底数的幂的除法：( a≠0)；

〔5〕商的乘方：；(b≠0)

规定：a0＝1〔a≠0〕，即任何不等于0的零次幂都等于1.

10. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

去分母

分式方程的解法：

转化

〔1〕解分式方程的根本思想方法是：分式方程－－－－－→整式方程.

〔2〕解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的根本性质；