空间向量专题练习答案

空间向量专题练习

一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为 ______ ．

【答案】

π3或2π3 【解析】

解：设平面α的法向量为m ⃗⃗⃗ =（1，0，-1），平面β的法向量为n ⃗ =（0，-1，1），

则cos ＜m

⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=√2⋅√2=-12， ∴＜m

⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=2π3． ∵平面α与平面β所成的角与＜m

⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞相等或互补， ∴α与β所成的角为π3或2π3．

故答案为：π3或2π3．

利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．

本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．

2.平面α经过三点A （-1，0，1），B （1，1，2），C （2，-1，0），则平面α的法向量u

⃗ 可以是 ______ （写出一个即可） 【答案】

（0，1，-1）

【解析】

解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，-1，-1）， 设平面α的法向量u ⃗ =（x ，y ，z ），

则{u ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +z =0u ⃗ ⋅AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −y −z =0，令z =-1，y =1，x =0． ∴u ⃗ =（0，1，-1）．

故答案为：（0，1，-1）．

设平面α的法向量u ⃗ =（x ，y ，z ），则{u ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +z =0u

⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −y −z =0，解出即可． 本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．

3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2），AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），则平面ABC 的一个法向量为 ______ ． 【答案】

（-2，3，1）

【解析】

解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，1，1），

设平面ABC 的法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ），

则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +2z =02x +y +z =0，取x =-2，则z =1，y =3．

∴n ⃗ =（-2，3，1）．

故答案为：（-2，3，1）．

设平面ABC 的法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解出即可． 本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．

4.在三角形ABC 中，A （1，-2，-1），B （0，-3，1），C （2，-2，1），若向量n

⃗ 与平面ABC 垂直，且|n

⃗ |=√21，则n ⃗ 的坐标为 ______ ． 【答案】

（2，-4，-1）或（-2，4，1）

【解析】

解：设平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ），

则m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且m ⃗⃗⃗ •AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，2），AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2）， ∴{−x −y +2z =0x +2z =0

， 即{x =−2z y =4z

， 令z =1，则x =-2，y =4，

即m ⃗⃗⃗ =（-2，4，1），

若向量n

⃗ 与平面ABC 垂直， ∴向量n

⃗ ∥m ⃗⃗⃗ ， 设n ⃗ =λm ⃗⃗⃗ =（-2λ，4λ，λ），

∵|n

⃗ |=√21， ∴√21•|λ|=√21，

即|λ|=1，

解得λ=±1，

∴n ⃗ 的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），

故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）

根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．

本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．

二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)

5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，

∠BAD=60°，Q 为AD 的中点．

（1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；

（2）点M 在线段PC 上，PM =1

3PC ，若平面

PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，求二面角M-

BQ-C 的大小．

【答案】

解：（1）证明：由题意知：PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，PQ ∩BQ=Q ，

∴AD ⊥平面PQB ，

又∵AD⊂平面PAD ，

∴平面PQB ⊥平面PAD ．

（2）∵PA=PD=AD ，Q 为AD 的中点，

∴PQ ⊥AD ，

∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，

∴PQ ⊥平面ABCD ，

以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，

建立如图所求的空间直角坐标系，

由题意知：Q （0，0，0），A （1，0，0），

P （0，0，√3），B （0，√3，0），C （-2，√3，0）

∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-23，√33，2√33

）， 设n 1⃗⃗⃗⃗ 是平面MBQ 的一个法向量，则n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，

∴{√3y =0

−2

3x+√33y+2√33

z=0，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3，0，1)，

又∵n 2⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1)平面BQC 的一个法向量，

∴cos ＜n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ ＞=12，

∴二面角M-BQ-C 的大小是60°．

【解析】

（1）由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD ．

（2）以Q 这坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C 的大小．

本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

6.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧

棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，点E 是PC 的中点，F

在直线PA 上．

（1）若EF ⊥PA ，求PF PA 的值；

（2）求二面角P-BD-E 的大小．

【答案】