基本不等式经典例题精讲

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不等式的性质八年级数学下学期重要考点精讲精练

2.2不等式的性质不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或)．注意：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．题型1：利用不等式的性质判定正误1.如果a ＞b ，那么下列结论一定正确的是（）A ．a ﹣3＜b ﹣3B ．＞C ．a +3＜b +3D ．﹣3a ＞﹣3b【变式1-1】已知a ＜b ，则（）A ．a +1＜b +2B ．a ﹣1＞b ﹣2C ．ac ＜bcD ．＞（c ≠0）【变式1-2】以下是两位同学在复习不等式过程中的对话：小明说：不等式a ＞2a 永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a ，就会出现1＞2这样的错误结论！a b c c>a b c c <题型2：利用不等式确定字母的取值范围2.已知x＞1，x+a＝1，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0【变式2-1】若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是．题型3：利用不等式的性质将不等式变形3.根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9；（2）6x＜5x﹣3；（3）；（4）﹣．【变式3-1】根据要求，回答下列问题：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是；（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是；（3）不等式x＞（x﹣1）的解集为．【变式3-2】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式：（1）x﹣2＜3；（2）4x＞3x﹣5；（3）x＜；（4）﹣8x＜10．题型4：利用不等式的性质比较大小4.若﹣2a＞﹣2b，则a与b的大小关系为．题型5：利用不等式的性质化简不等式5.已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．【变式5-1】已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，试化简：|a﹣1|+|a+2|．【变式5-2】已知x满足不等式组，化简|x+3|+|x﹣2|．题型6：利用不等式的性质求最值6.代数式|x﹣1|﹣|x+4|﹣5的最大值为（）A．0B．﹣10C．﹣5D．3【变式6-1】已知0≤m﹣n≤2，2≤m+n≤4，则当m﹣2n达到最小值时，3m+4n＝．题型7：数轴与不等式7.若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜【变式7-1】已知有理数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ab2＞ac2B．ab＜ac C．ab＞ac D．c+b＞a+b【变式7-2】已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，请判断下列不等式的正确性．（1）bc＞ab（2）ac＞ab（3）c﹣b＜a﹣b（4）c+b＞a+b（5）a﹣c＞b﹣c（6）a+c＜b+c．题型8：不等式的简单应用8.江南三大名楼指的是：滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼．其中岳阳楼位于湖南省岳阳市的西门城头、紧靠洞庭湖畔，始建于三国东吴时期．自古有“庭天下水，岳阳天下楼”之誉，因北宋范仲淹脍炙人口的《岳阳楼记》而著称于世．某兴趣小组参观过江南三大名楼的人数，同时满足以下三个条件：（1）参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数；（2）参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；（3）参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数．若参观过黄鹤楼的人数为4，则参观过岳阳楼的人数的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【变式8-1】如图，一个倾斜的天平两边分别放有2个小立方体和3个砝码，每个砝码的质量都是5克，每个小立方体的质量都是m克，则m的取值范围是（）A．m＜15B．m＞15C．m＞D．m＜【变式8-2】有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上。

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

2024年高考数学高三大一轮复习专题04 基本不等式

专题04 基本不等式【知识精讲】一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大) 4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号（3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+ 二、常见求最值模型模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mn x =时等号成立；模型二：)0,0(2)(>>+≥+−+−=−+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =−时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=−+⋅≤−=−（，当且仅当mnx 2=时等号成立. 【题型精讲】题型一利用基本不等式求最值【例1-1】对勾函数求下列函数的最值（1）已知54x <，则函数1445y x x =+−的最大值为___________.【答案】3 【解析】【分析】由于5,4504x x <−< ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x <，所以450x −<，540x −>,()1144554545y x x x x =+=−++−−()()11545254535454x x x x ⎡⎤=−−++≤−−⋅=⎢⎥−−⎣⎦当且仅当15454x x−=−，即1x =时，等号成立.故当1x =时，y 取最大值，即max 3y =.故答案为：3.（2）已知54x >，则函数1445y x x =+−的最小值为___________.【答案】3 【解析】【分析】由于5,4504x x >−> ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x >，所以450x −>，()1144554545y x x x x =+=−++−−()14555745x x ⎡⎤=−++≥=⎢⎥−⎣⎦当且仅当14545x x −=−，即32x =时，等号成立.故当32x =时，y 取最小值，即min7y=.故答案为：3.（3）已知2x ≥，则函数1445y x x =+−的最小值为___________. 【答案】325 【例1-2】最值定理（1）已知01x <<，则(43)x x −取得最大值时x 的值为________．【答案】 23【解析】【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；【详解】解：（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +−⎡⎤−=⨯−≤⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当343x x =−，即23x =时，取等号．故答案为：23.（2）若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式可得答案．【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=，当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．【例1-3】“1”的妙用（1）若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________.【答案】22 【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值．【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3b a a b =时，即a b ==时，11a b +的最小值为2.故答案为：2.（2）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x y x y++的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】将目标式中4代换成24x y +，展开由基本不等式可得. 【详解】因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+= 当且仅当4322yx x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为3故答案为：3【例1-4】分离常数法当2x >−时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】将函数解析式变形为()222y x x =+++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为2x >−，则20x +>，则()()22224622222x x x y x x x x ++++===+++++≥=当且仅当2x 时，等号成立，所以，当2x >−时，函数2462++=+x xy x 的最小值为故答案为：【例1-5】换元法已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（）AB ．34+CD ．38+ 【答案】A 【解析】【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=，即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∴21121344424444m n m n m n x y m n n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33244=+=，当且仅当244m n n m=，即2m =1n =时，等号成立，故选：A.【例1-6】消元法已知正实数a ，b 满足220ab a +−=，则4a b +的最小值是（）A．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】【分析】根据220ab a +−=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842，用凑配方式得出()b b ++−+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +−=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++−⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==22取等号. 故选：B.【例1-7】一元二次不等式法已知x ，y R ∈，2291x xy y −+=，则3x y +的最大值为________．【解析】【分析】由229123x y xy x y +=+⋅⋅，可推出15xy ，而222(3)6917x y x xy y xy +=++=+，代入所得结论即可．【详解】解：2291x xy y −+=，22916x y xy xy ∴+=+，即15xy ，当且仅当3x y =，即15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y +≤3x y ∴+【例1-8】拆项法,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12 B ．14CD【答案】A 【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=，当且仅当222a c b b +=，且a c =取等，即a b c ==取等号，即则2222ab bc a b c +++的最大值为12，故选：A ．【练习1-1】（1）已知1x >−，求函数27101x x y x ++=+的值域；（2）已知0x >，0y >，且280x y xy +−=，求：x y +的最小值．【答案】（1）[)9,+∞；（2）18．【解析】【分析】（1）设1t x =+，得到0t >，且1x t =−，化简2710451x x y t x t ++==+++，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；（2）由280x y xy +−=，得到821x y +=，化简()822810x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设1t x =+，因为1x >−，可得0t >，且1x t =−，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t ++−+−+===+++，因为44t t+≥，可得459t t ++≥，当且仅当2t =时，即1x =时，等号成立．所以函数2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域为[)9,+∞．（2）由280x y xy +−=，可得28x y xy +=，即821x y +=，则()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭281010218x y y x =++≥+=．当且仅当28x y y x=，即12x =且6y =时，等号成立，所以x y +的最小值为18．【练习1-2】已知正实数a ，b 满足26a b +=，则212a b ++的最小值为（）A ．45B ．43C ．98D ．94【答案】C 【解析】【分析】利用乘1法即得. 【详解】 ∵26a b +=，∴()214114122222822a b a b a b a b ⎛⎫+=+=+++ ⎪+++⎝⎭()(42121941582288b a b a +⎡⎤=+++≥⨯+=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当()42222b ab a+=+,即23b =，83a =时，取等号. 故选：C.【练习1-3】已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +−+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2 【解析】【分析】证明220x xy y −+>，由()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤，22222211x y xy x xy y x y +=−+−+结合基本不等式求出2222max x y x xy y ⎛⎫+ ⎪−+⎝⎭，即可得出答案. 【详解】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy −+=−+>，则()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=−+−+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y −≥+，所以22121xy x y ≤−+，即22222x y x xy y+≤−+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪−+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.故答案为：2.【练习1-4】已知正数a ，b 满足426a b ab ++=，则4a b +的最小值为（）A ．1BC ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】由基本不等式得出关于4a b +的不等式，解之可得．【详解】由已知2146(4)2()22a b a b ab +−+=≤⋅，当且仅当4a b =时等号成立，所以2(4)8(4)480a b a b +++−≥，(44)(412)0a b a b +−++≥，又0,0a b >>，所以44a b +≥，即4a b +的最小值是4，此时12,2a b ==．故选：C ．【练习1-5】设0a >，0b >，若221a b +=2ab −的最大值为（）A ．3+B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =−，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =−2ab −=)a b ac −=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ−=≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.题型二求数、式的范围【例2-1】若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是__ ； (2)a ＋b 的取值范围是__ __．【答案】（1）_[9，＋∞) （2）[6，＋∞) [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0． ∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b 2)2．今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0． ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．【例2-2】已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是。

【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练

基本不等式基本不等式知识1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2．（1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）4．若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等）应用一直接求最值例1 求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x（3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232xy =，则x y +的最小值为（）A ．1B ．2C ．6D ．4（4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则cb a 31211++的最小值为（5）若b a ,是不相等的正数，b a y ba x +=+=,2，则y x ,的大小关系是（6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是技巧一凑项例1已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 技巧二凑系数例2当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值技巧三分离例3求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域例4 求函数2y =的值域（单调性）相关练习1．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- （3）)0(4222>+-=x x x x y2．203x <<，求函数y =3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2 4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是_____5．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．26．某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．167．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________应用二条件求最值例1 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值例2 若实数满足2=+b a ，求ba 33+的最小值相关练习1．若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值2．若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值3．已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x+的最小值4．已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值 5．已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值 6．已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 7．若直角三角形周长为1，求它的面积最大值 8．设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c恒成立，则λ的取值范围是 9．已知,0,0>>b a 且2121=++b a ，则b a +2的最小值为 10．设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 11．已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b bβ=+，求αβ+的最小值 12．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最小值时,2x y z +-的最大值为（）A ．0B ．98C ．2D ．9413．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为_________14．（1）设0＜x ＜32，求函数y ＝4x ·(3－2x )的最大值；（2）当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y ＋2的最小值；（3）已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值．应用三利用基本不等式证明不等式1．已知c b a 、、为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++2222．正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 3．已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

基本不等式30题解析

基本不等式30题解析一、多选题1．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数,x y 满足2x y xy +=，则（）A ．16xy ≥B ．29x y +≥C ．6x y +>D ．1831x y+≥-2．（21-22高一下·全国·开学考试）下列不等式一定成立的是（）A ．()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎝⎭B ．()lgeln 21lg x x x+>>C ．()21012x x x ≥>+D ．()1121x x <∈+R 【答案】AD【分析】结合对数函数的单调性利用基本不等式判断A ，举反例判断BC ，根据指数函数的有界性判断D.3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知,a b 均为实数，则()222a b a b ab+++的可能值为（）A ．43B ．34C ．1D ．24．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若62,63a b ==，则下列不等关系正确的有（）A2B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．14ab <【答案】BCD【分析】根据题意分析可知()1,,0,1a b a b +=∈，结合不等式性质以及基本不等式逐项5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知位于第一象限的点(),a b 在曲线1x y+=上，则（）A ．()()111a b --=-B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．221223a b +≥6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A ．222p q +<B ．228p q +>C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =由图可知，当0t >时，直线设p q <，则01p q <<<，由由()lg 0f q q t =-=，可得lg 对于A 选项，222p q pq +>=对于B 选项，2222p q p ++>对于C 选项，33log log 1p <=对于D 选项，由上可知1pq =故选：CD.7．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22x y x =+B ．2y =C ．13y x x=-D ．411y x x =-++【答案】ACD 【详解】因为x ≥1，所以＋≥2(当且仅当x ＝2时取等号)；y ＝＝＋＞2，等号取不到；因为函数y ＝3x －在[1，＋∞)上单调递增，所以3x －≥2；因为x ≥1，所以y ＝x －1＋＝x ＋1＋－2≥4－2＝2(当且仅当x ＝1时取等号).故选ACD.8．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝1，且a 2－c 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．a ＜32B ．tan A ＋3tanC ＝0C ．角B 的最大值为3πD ．△ABC 的外接圆面积的最小值为π9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，在ABC 中,4BC =，且M 点为BC 边的中点，则下列结论正确的有（）A ．设G 是AM 的中点，则0GA GB GC ++=B ．sin sin BAM ACCAM AB∠=∠C ．若π3BAC ∠=，则AM的最小值为D ．若π6BAM ∠=，则AC 边的最小值为2【详解】对于B ，分别在ABM 和ACM △中由正弦定理可得sin sin sin sin AMB BAMAC CM AMC CAM ⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩，因为2πBM CM AMB AMC ==⎧⎨∠+∠=⎩，则sinsin AB CAMAC BAM ∠=∠，正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理可得2216b c bc +-=，所以22162b c bc bc +=+≥，则16bc ≤，当且仅当4bc ==时取等，又2AB AC AM +=，所以AM AM ===，当且仅当4b c ==时取等，故AM 最大值为对于D ，在ABM 中，由正弦定理可得242πsin 6R==，故ABM 的外接圆圆O 的半径为2R =，则点A 在优弧 BM上运动，则AC 的最小值为2OC R R -=-=-，正确.故选：BD10．（2024·贵州毕节·二模）已知252100a b ==，则下列式子中正确的有（）A ．211a b+=B ．121a b+=C ．8ab >D ．29a b +>【答案】BCD 【分析】由指对互化得到25log 100a =，2log 100b =，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.【详解】11．（2024·江苏·一模）已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则()A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <【答案】ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】12．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a b->C ．14a b+的最小值是10D【答案】AB 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD ，由12a b b -=-讨论b 的范围判断B 即可.【详解】选项A ：因为,a b 为正实数，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，所以ab 有最大值14，A 说法正确；选项B ：由1a b +=可得12a b b -=-，因为,a b 为正实数，所以01b <<，1121b -<-<，所以1212222a b b --<=<，B 说法正确；选项C ：由题意可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即13a =，23b =时等号成立，所以14a b +的最小值是9，C 说法错误；选项D ：由A 得212a b =++=+≤，当且仅当12a b ==，不存在最小值，D 说法错误；故选：AB13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（）A ．2610y x x =-+B ．3y x =-+C ．1y xx=+D ．2y =14．（23-24高三下·广东·阶段练习）若0a >，0b >，8a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 4≤B 4+≥C ．2232a b +≥D ．1498a b +≥【详解】15．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且24x y +=，则（）A ．ln ln ln2x y +≤B ．248x y +<C ．1294x y +≥D ．324e e x x y-≥16．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（）A ．()134x f x x=++B ．()f x =C ．()()31011f x x x x=+<<D ．()f x =17．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设正实数0x >，0y >，且满足3x y xy ++=，则（）A ．413x y +≥B ．9xy ≤C ．2218x y +≤D ．1123x y +≥18．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b+≥B ．112a b+≥C ．22log log 1a b +≤D ．222a b +≥【答案】ABCD【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.19．（2024·河南信阳·一模）已知正数,m n 满足322m n+=，则（）A ．12mn ≥B ．222m n +≥C ．32m n +≥D ．2,(0,),()2m n m n mn mn-∃∈+∞≥20．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使20x ax a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为04a ≤≤C ．不等式21x>的解集是(),2-∞D ．设a +∈R ，则24a a+的最小值为4.21．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b +C ．()ln 2a b ab ++>D ．111ln 1ln a b<22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知0a b >>，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A ．22()(1)a b b +>+B ．11b b a a ->-2223．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数,a b满足2a b+=，则（）A．11a b+的最小值为2B．1122a b a b+++的最大值为23C2D．3ab b-的最大值为1424．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知3824a b ==，则a ，b 满足的关系是（）A ．111a b+=B ．112a b+=C ．()()22112a b -+-<D ．()()22112a b -+->26．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．44ππcos sin 882-=27．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若,m n 均为正数，且满足22m n +=，则（）A ．mn的最大值为12B ．11m n+的最小值为3+C ．24m n +的最小值为4D ．2mm n+的最小值为1+28．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知0a b >>，下列说法正确的是（）A ．11a b b a+>+B ．2b a a b+>C ．若0c >，则b b ca a c+<+D ．若c d >，则a c b d->-【答案】ABC29．（23-24高三上·海南·期末）已知0,0a b >>，且4a b ab +-=，则（）A ．3a b +≥B ．104ab <≤或94ab ≥C ．221(1)(1)2a b -+-≤D ．11413a b <+≤或114a b+≥试卷第21页，共21页30．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．41ab >B ．2728a b +≥C ．41912a b +≥D 2≤。

2.2 基本不等式(精讲)(解析版)

x
，
y
满足
1 y
3 x
5
，则
3x
4
y
的最小值
是（）
24
A．
5
【答案】C
28
B．
5
C．5
D．25
【解析】正数 x ， y 满足 1 3 5 ，则 yx
3x
4y
1 5
(3x
4 y)(
1 y
3) x
1 5
13
3x y
12 y x
1 5
13
3
2
x y
4y x
5
，当且仅当
x
2
y
1
时取等
号．3x 4 y 的最小值是 5．故选：C．
思维导图
2.2 基本不等式
常见考法
考点一公式的直接运用
【例 1】（1）（2020·全国高一课时练习）若 0 a 1 ，则 a 1 2a 的最大值是
2
1
A．
8
1
B．
4
1
C．
2
D．1
（2）（2020·全国高一课时练习）已知
x
1 ，求函数
y
x
1
的最小值是
x 1
A．4
B．3
C．2
D．1
（）（)
【答案】（1）A（2）D
C
2．（2020·上海高一开学考试）已知 x 2 ，函数 y
x
4
2
x
的最小值是（
）
A．5
B．4
C．8
D．6
【答案】D
【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，

巧解：基本不等式中含参数不等式恒成立问题

巧解：基本不等式中含参数不等式恒成立问题一、温故知新如果a , b ∈R +，那么（当且仅当a =b 时，式中等号成立）二、典例精讲典例1、正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)解：a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝12时取“＝”，故只需－x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.典例2、已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ≥n a －c ，求n 的最大值．解法一：∵1a －b ＋1b －c ≥na －c ，且a >b >c ，∴n ≤a －ca －b ＋a －c b －c ＝(a －c )2(a －b )(b －c ).ab b a ≥+2∵对a 、b 、c 上式都成立，∴n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －c )2(a －b )(b －c )min(a －c )2(a －b )(b －c )≥(a －c )2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(a －b )＋(b －c )22＝4. ∴n 的最大值为4.解法二：∵a >b >c ，∴a －ca －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b＋a －b b －c≥2＋2＝4.∴n ≤4，∴n 的最大值为4. 三、归纳总结基本不等式中含参数恒成立问题：利用基本不等式性质先求出最值，然后分离参数即可得出参数的范围。

四、迎接挑战1、若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 2、已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m ，对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案：1、解析：∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x≤12＋3＝15 ∴a ≥15.2、解：因为a ，b ，x ，y为正实数，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ayx ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D.。

基本不等式精讲

1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)2)2(b a ab +≤(a ，b ∈R )；(4)222)2(2b a b a +≥+(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是2)2(b a ab +≤(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)ab b a b a ≥+≥+222)2(2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；(2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．考向一利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________．【训练1】(1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________．(2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．(4）已知正数b a ,满足1=+b a （1）求ab 的取值范围;（2）求abab 1+的最小值.考向二利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【例2】►(1)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c ；(2)设R c b a ∈,,且1=++c b a ，求证：31222≥++c b a .【训练2】已知正常数b a ,和正变量y x ,满足y x yb x a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a ,的值.考向三利用基本不等式解决恒成立问题当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【例3】►(1)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．(2)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．【训练3】若关于x 的方程0124=++⋅+a a x x 有实数解，求实数a 的取值范围.阅卷报告——忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.【防范措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.【示例】►已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求1a＋2b的最小值．(2010·四川)设a＞b＞0，求a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值及取等号的条件．。

专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)

专题1.7 基本不等式-重难点题型精讲1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤(a +a 2)2(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a +a 2)2(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【题型1 利用基本不等式求最值（拼凑法）】【例1】（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则4x x+3y+3y x的最小值为（）A ．53B ．103C ．32D ．3【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：∵x ，y 为正实数， ∴4x x+3y+3y x=41+3y x+（1+3yx ）﹣1 ≥2√41+3y x(1+3yx )−1＝4﹣1＝3，当且仅当(1+3yx )2=4即x ＝3y 时“＝”成立，故选：D ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题．【变式1-1】（2020•天津模拟）设x ＞y ＞0，则x +4x+y +1x−y 的最小值为（） A ．3√2B ．2√3C ．4D ．3√102【分析】原式可变形为x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y]，然后根据基本不等式即可求出原式的最小值．【解答】解：∵x ＞y ＞0， ∴x ﹣y ＞0，∴x +4x+y +1x−y =[12(x +y)+4x+y ]+[12(x −y)+1x−y ]≥2√2+√2=3√2，当且仅当12(x +y)=4x+y，12(x −y)=1x−y，即x =3√22，y =√22时取等号．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式求最小值的方法，利用基本不等式时需说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题．【变式1-2】（2021•浙江模拟）已知正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则a 2+1a+2b 2b+1的最小值是（）A ．94B ．73C ．174D ．133【分析】变形利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：∵正实数a ，b 满足a +2b ＝2, ∴a 2+1a +2b 2b+1=a +1a +2b +2﹣4+2b+1=1a +2b+1, =14(a +2b +2)(1a+2b+1)=14(1+4+2b+2a +2a b+1)≥14×(5+2√2b+2a ×2a b+1)=94, 当且仅当a =43，b =13时，取得最小值，故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式1-3】（2021•和平区校级模拟）实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是（）A ．4B ．6C ．32D ．83【分析】利用基本不等式得到ab 的范围，可解决此题．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，∴4＝a +b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤4． ∴a 2a+1+b 2b+1=a 2(b+1)+b 2(a+1)(a+1)(b+1)=a 2+b 2+ab(a+b)ab+a+b+1=(a+b)2−2ab+4abab+5=16+2ab ab+5=2(ab+5)+6ab+5=2+6ab+5∈[83，165）．∴最小值为83．故选：D ．【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题．【题型2 利用基本不等式求最值（常数代换法）】【例2】（2021•丙卷模拟）若a ＞0，b ＞0，且ab ＝a +b ，则4a +9b 的最小值为（） A ．25B ．5C ．26D ．13【分析】由ab ＝a +b 可得1a+1b =1，再由4a +9b 转化（1a+1b）（4a +9b ）可解决此题．【解答】解：由ab ＝a +b 可得1a +1b=1，又a ＞0，b ＞0，∴4a +9b =(4a +9b)(1a +1b )=13+9b a +4a b ≥13+2×√9b a ×4a b=13+12=25，当且仅当9b a=4a b，且1a+1b=1，即a =52，b =53时，等号成立，所以4a +9b 的最小值为25，故选：A ．【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．【变式2-1】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数m ，n 满足m （n ﹣1）＝4n ，则m +4n 的最小值是（） A ．25B ．18C ．16D ．8【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为m （n ﹣1）＝4n ，可得mn ﹣m ＝4n ，整理可得1=4m +1n，所以m +4n ＝（m +4n ）（4m+1n）＝8+m n +16n m ≥8+2√m n ⋅16n m=16，当且仅当m n=16n m时，即m ＝8，n ＝2时等号成立，所以m +4n 的最小值为16．故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题．【变式2-2】（2021•辽阳一模）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝4，则4a+9b 的最小值为．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可．【解答】解：因为4a+9b=14(a +4b)(4a+9b)=14(40+16b a+9a b)，16b a+9a b ≥2√16b a⋅9a b=24，当且仅当a ＝1，b =34时，等号成立．所以4a+9b≥16．故答案为：16．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题．【变式2-3】（2021•红桥区二模）已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为．【分析】将a 2+4a+b 2+1b变形再代入a +b ＝1，利用基本不等式可得答案．【解答】解：已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则a 2+4a+b 2+1b=a +4a +b +1b =a +b +4a +1b =1+4a +1b =1+（a +b ）（4a +1b）＝1+5+ab +4b a ≥6+2√a b ⋅4b a=10，当且仅当a b=4b a且a +b ＝1时，取等号，即a =23，b =13时取等号，则a 2+4a+b 2+1b的最小值为10；故答案为：10．【点评】本题考查基本不等式的运用，属于基础题．【题型3 利用基本不等式求最值（消元法）】【例3】（2021•浙江模拟）若正实数x ，y 满足1x +1y+x y=4，则x +1x +1y的最小值为．【分析】先由已知关系式求出y 的表达式，代入所求的关系式中化简，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：由1x +1y+x y=4可得：x+1y=4−1x=4x−1x,所以y =x(x+1)4x−1, 则x +1x+1y =x +1x +4x−1x(x+1)＝x +x+1+4x−1x(x+1)=x +5x+1=(x +1)+5x+1−1 ≥2√(x +1)⋅5x+1−1=2√5−1,当且仅当x +1=5x+1,即x =√5−1时取等号，此时x +1x+1y的最小值为2√5−1, 故答案为：2√5−1．【点评】本题考查了基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．【变式3-1】（2021•海曙区校级模拟）已知正数a ，b 满足1a +1b=2，则3b+1−a 的最大值为．【分析】利用已知的等式，将所求的式子进行消元，得到关于a 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：因为1a+1b=2，所以a +b ＝2ab ，当a =12时，1b=0，不符合题意，所以b =a 2a−1(a ＞12)，则3b+1−a =3a2a−1+1−a =2−(13a−1+3a−13)−13，因为a ＞12,则a ＞13，所以3a ﹣1＞0，则13a−1+3a−13≥2√13a−1⋅3a−13=2√33，当且仅当13a−1=3a−13，即a =1+√33时取等号，所以2−(13a−1+3a−13)−13≤2−2√33−13=5−2√33, 则3b+1−a 的最大值为5−2√33．故答案为：5−2√33．【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．【变式3-2】（2021•鄞州区校级模拟）若实数x ，y 满足2x 2+xy ﹣y 2＝1，则5x 2﹣2xy +2y 2的最小值为．【分析】由已知2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1，而5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2，然后利用基本不等式即可求解，【解答】解：因为2x 2+xy ﹣y 2＝（2x ﹣y ）(x +y )＝1，令t ＝2x ﹣y ,则x +y =1t,则5x 2﹣2xy +2y 2＝（2x ﹣y ）2+(x +y )2=t 2+1t 2≥2√t2⋅1t 2=2, 当且仅当t 2=1t 2，即t ＝±1时取等号，此时5x 2﹣2xy +2y 2取最小值2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．【变式3-3】（2021•嵊州市二模）已知x ＞0，y ＞0，若x •（y +1）＝2，则x −1y的最大值为．【分析】根据条件可得x −1y =x−x 22−x ，设t ＝2﹣x ，则x −1y =−（t +2t ）+3，然后利用基本不等式求出最大值即可．【解答】解：因为x ＞0，y ＞0，x •（y +1）＝2，所以y=2−xx，则x−1y=x−x2−x=x−x22−x，设t＝2﹣x，则由0＜x＜2，得0＜t＜2，所以x−1y=−(2−t)2+2−tt=−（t+2t）+3≤3−2√2，当且仅当t=2t，即t=√2时取等号，所以x−1y的最大值3﹣2√2．故答案为：3﹣2√2．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．【题型4 基本不等式的综合（求参数）】【例4】（2021•广东模拟）当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8【分析】当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，只需m≤（x+4x−4）min，求出x+4x−4的最小值即可．【解答】解：∵x＞4，∴x﹣4＞0，∴x+4x−4=x﹣4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x＝6时取等号，∵当x＞4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤（x+4x−4）min＝8．∴m的取值范围为：（﹣∞，8]．故选：A．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．【变式4-1】（2020•藁城区校级模拟）若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4＜m2﹣m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】将不等式x+y4＜m2﹣m有解转化为m2﹣m＞（x+y4）min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：若不等式x +y 4＜m 2﹣m 有解，即m 2﹣m ＞（x +y 4）min 即可， ∵1x +4y=2，∴12x+2y =1，则x +y4=（x +y4）（12x +2y）=12+24+2xy +y8x ≥1+2√2xy ⋅y8x =1+2×√14=1+2×12=1+1＝2，当且仅当2x y=y 8x，即y 2＝16x 2，即y ＝4x 时取等号，此时x ＝1，y ＝4，即（x +y 4）min ＝2，则由m 2﹣m ＞2得m 2﹣m ﹣2＞0，即（m +1）（m ﹣2）＞0，得m ＞2或m ＜﹣1，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），故选：D ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．【变式4-2】（2020•湖北模拟）若不等式1x +11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1x+11−4x 的最小值为9，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，x ∈（0，14），则1﹣4x ＞0，则1x+11−4x=44x+11−4x=[4x +（1﹣4x ）]（44x+11−4x）＝5+4(1−4x)4x +4x1−4x≥5+2×√4(1−4x)4x ×4x 1−4x=9，当且仅当1﹣4x ＝2x 时等号成立，则1x +11−4x 的最小值为9，若不等式1x+11−4x−m ≥0对x ∈（0，14）恒成立，即式1x+11−4x≥m 恒成立，必有m ≤9恒成立，故实数m 的最大值为9；故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题．【变式4-3】（2021•浙江模拟）已知x ＞0、y ＞0，且2x +1y=1，若2x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．[﹣9，1]D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）【分析】先把2x +y 转化为（2x +y ）（2x+1y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x +y ＞m 2+8m 恒成立求得m 2+7m ≤9，进而求得m 的范围．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +1y=1，∴（2x +y ）（2x+1y）＝5+2x y +2y x ≥5+2√2x y ⋅2yx=9，当且仅当x ＝3，y ＝3时取等号， ∵2x +y ＞m 2+8m 恒成立， ∴m 2+8m ＜9，解得﹣9＜m ＜1，故选：B ．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．【题型5 基本不等式与其他知识综合】【例5】（2021•河北模拟）已知函数f （x ）＝x +21+e x ，若正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2，则2m+1n的最小值为（） A ．8B ．4C ．83D ．89【分析】直接利用函数的单调性和对称性的应用及基本不等式的应用求出结果．【解答】解：函数f （x ）＝x +21+e x ，所以f （﹣x ）＝﹣x +21+e −x ，所以f （x ）+f （﹣x ）＝2．由于函数f （x ）＝x +21+e x 在定义域上单调递增，故正实数m 、n 满足f （m ﹣9）+f （2n ）＝2，故9﹣m ＝2n ，所以m +2n ＝9，所以2m+1n=19⋅（m +2n ）（2m +1n）=19(4+4n m +m n )≥19×(4+2√4)=89（当且仅当买m ＝2n 时，等号成立）．故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，函数的单调性和对称性的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【变式5-1】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn ＞0，则1m +2n的最小值为（） A ．23B ．43C ．2D ．4【分析】由对数函数的性质可求A （﹣2，﹣1），代入直线方程可得2m +n ＝4，从而有1m+2n=14（1m+2n）（2m +n ），利用基本不等式即可求解．【解答】解：f （x ）＝log a （x +3）﹣1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx +ny +4＝0上， ﹣2m ﹣n +4＝0即2m +n ＝4， ∵mn ＞0， ∴m ＞0，n ＞0， ∴1m+2n=14（1m +2n ）（2m +n ）=14(4+n m +4m n )≥14(4+4)=2，当且仅当4m n=n m且2m +n ＝4即m ＝1，n ＝2时取得最小值2．故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，试题具有一定的综合性．【变式5-2】（2020•济宁模拟）已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a n 2＝a 42，则2m+1n的最小值为，等号成立时m ，n 满足的等量关系是．【分析】设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)，根据a m a n 2＝a 42，可得到m ，n 的关系式，然后结合基本不等式求解即可．【解答】解：设首项与公比为a ，则通项为a n =a n (a ≠0)， ∵a m a n 2＝a 42，∴a m +2n ＝a 8，∴m +2n ＝8，m ，n ∈Z +． ∴2m+1n=18(m +2n)(2m+1n)=18(4+4n m+m n)≥18(4+2√4n m×m n)=1．当且仅当n ＝2，m ＝4时取等号，此时m ＝2n ．故答案为：1，m ＝2n ．【点评】本题主要是考查了基本不等式的应用．注意适用条件的判断．属于中档题．【变式5-3】（2020•河南三模）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为．【分析】运用两角差的正弦公式，化简可得y ＝2sin （x −π6），可得0＜m ≤2，讨论m 的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得m ＝2，将A 代入直线方程，可得a +2b ＝2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由√3sin x ﹣cos x ＝2（√32sin x −12cos x ）＝2sin （x −π6），存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列，即有0＜m ≤2．若0＜m ＜2，由y ＝2sin （x −π6）的图象可得：直线y ＝m 与函数y ＝2sin （x −π6）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m ＝2，即有x −π6=2k π+π2，即为x ＝2k π+2π3，k ∈Z ，可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π，则m ＝2，由点A （1，2）在直线ax +by ﹣2＝0上，可得a +2b ＝2，a ，b ＞0，即b +12a ＝1，则1a +2b =（1a+2b）（b +12a ）＝2+12+b a +ab≥52+2√b a ⋅ab =52+2=92．当且仅当a ＝b =23时，取得最小值92．故答案为：92．【点评】本题考查最小值的求法，注意运用基本不等式，运用乘1法，同时考查三角函数的化简，以及等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题．【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021•湖南模拟）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为万元．【分析】先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x ，y 2=k2x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为5x +20x∵5x +20x ≥2√5x ×20x =20，当且仅当5x =20x ，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元故答案为：2，20【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．【变式6-1】（2020秋•浙江期中）某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为y =x 210−30x +4000．问：（1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润；（2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成．【分析】（1）根据题意得出z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250），利用二次函数求解即可．（2）得出函数式子W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250），运用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）年产量为x ，年利润为z 万元，根据题意得： z ＝16x ﹣（x 210−30x +4000）=−x 210+46x ﹣4000=−110（x ﹣230）2+1290，（150≤x ≤250），当x ＝230时，z max ＝1290（万元），（2）年产量为x 吨时，每吨的平均成本为W 万元，为y =x 210−30x +4000．∴W =y x =x 104000x −30=110（x +40000x）﹣30，（150≤x ≤250）， ∵x +40000x≥2√40000=400，（x ＝200等号成立）， ∴x ＝200时，W 最小=110×400﹣30＝10．故年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．【点评】本题考查了函数，基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•虹口区期末）某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m 2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x+48，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm ，则其东西侧边长为1200xm ，人行道占地面积为S ＝（x +6）（8+1200x ）﹣1200＝8x +7200x +48≥2√8x ⋅7200x+48＝528，当且仅当8x =7200x ，即x ＝30（m ）时取等号，S min ＝96（m 2），此时1200x=40（m ），所以矩形停车场的南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是528m 2．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．【变式6-3】（2020秋•大丰区校级期末）合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ．（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值．【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值．（2）由题意得b ≥2a ，b =20000a ，求得a 的范围，由（1）可得S ＝30（a +40000a）+60600，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值．【解答】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，所以b=20000a，广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000a）+60600≥30×2√a×40000a+60600＝72600，当且仅当a=40000a，即a＝200时，取等号，此时b＝100．故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为72600cm2．（2）由题意得，b≥2a，b=20000a，解得0＜a≤100，由（1）可得S＝30（a+40000a）+60600，当a＝100时，广告的面积最小为75600cm2．故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为75600cm2．【点评】本题考查函数模型的构建，基本不等式的运用，解题的关键是正确表示整个矩形广告面积，属于中档题．。

基本不等式题目讲解

基本不等式题目讲解
基本不等式是解决数学中不等式关系的一种基本方法。

下面给出几个基本不等式的例子，并进行讲解。

1. 一元一次不等式：如2x-5>7，解这个不等式可以移项得到
2x>12，再除以2得到x>6，所以解集是x∈(6,+∞)。

2. 一元二次不等式：如x^2-3x-4<0，可以移项得到x^2-3x<4，将右侧移到左侧可以得到x^2-3x-4<0，可以用因式分解法将其化简为(x-4)(x+1)<0，根据因子的符号可以得到-1<x<4，所以
解集是x∈(-1, 4)。

3. 一元绝对值不等式：如|2x-3|<5，这个不等式可以分为两种
情况讨论。

当2x-3≥0时，去掉绝对值可以得到2x-3<5，解得
x<4。

当2x-3<0时，去掉绝对值可以得到-(2x-3)<5，解得
x>4/2=2。

综合两种情况，所以解集是x∈(2, 4)。

4. 二元一次不等式：如2x+y>7，x+y<5，解这个不等式可以
转化为二元线性方程组的解法。

通过联立这两个不等式，可以得到-2x<2，即x>-1，结合x+y<5，可以得到x>-1，y<5-x。

所以解集是x>-1，y<5-x。

这些是基本不等式的讲解，不同的不等式形式有不同的解法，需要根据具体情况运用适当的方法进行求解。

基本不等式典型例题精讲精析

基本不等式典型例题精讲精析［例1］设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，求证：2lg lg 2++n n S S 1lg +<n S .【证法一】依题意，{a n }的首项a 1>0,公比q >0，故0<S n <S n+1<S n+2,∵qS n S n+2=qS n (a 1+qS n+1)<a 1qS n+1+q 2S n S n+1=qS n+1(a 1+qS n )=qS n+12,∴S n S n+2<S n+12,2lg lg 2++n n S S <lg S n+1. 【证法二】依题意首项a 1>0,S n+1>S n ，故S n S n+2－S n+12=S n (a 1+qS n+1)－S n+1(a 1+qS n )=a 1(S n －S n+1)<0.∴S n S n+2<S n+12, ∴2lg lg 2++n n S S <lg S n+1. 【点评】利用对数函数的性质，将该问题等价转化为证明S n S n+2<S n+12.［例2］设a ∈R ,解下列关于x 的不等式|1－x1|<a . 【解法一】当a ≤0时，原不等式的解集为∅，当a >0时，|||1|x x - <a 即(x －1)2<a 2x 2.即(a 2－1)x 2+2x －1>0①当a >1时，原不等式可化为［(a +1)x －1］［(a －1)x +1］>0∴原不等式的解集为{x |x >11+a 或x <a-11} ②当0<a <1时，原不等式可化为［(1+a )x －1］［(1－a )x －1］<0∴原不等式的解集为{x |a +11<x <a-11} ③当a =1时，原不等式可化为2x －1>0,{x |x >－21} 综上，当a ≤0时，原不等式的解集为∅.当a >1时，原不等式的解集为{x |x >11+a 或x <a-11},当a =1时，原不等式的解集为{x |x >21}. 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a +11<x <a-11}.【解法二】当a ≤0时，不等式解集为∅当a >0时，原不等式等价于－a <1－x 1<a 1－a <x1<a +1 ∴⎩⎨⎧+<<+>)1(1)1(0a x a x x 或⎩⎨⎧+>>-<)1(1)1(0a x a x x ①若0<a <1时，等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>-<>a x a x x 11110或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<-><a x a x x 11110 即{x |a +11<x <a-11} ②若a =1时，等价于⎪⎩⎪⎨⎧+>>110a x x 或⎩⎨⎧∈<ϕx x 0 即{x |x >11+a }={x |x >21} ③若a >1时，等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>->>11110a x a x x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<-<<11110a x ax x即{x |x >11+a 或x <a-11}. 【点评】该题还可以利用图象来解.［例3］某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50≤x ≤80时，每天售出的件数P =25)40(10-x ，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元? 【解法一】设销售价定为每件x 元(50＜x ≤80)每天获得利润y 元，则：y =(x －50)·P =25)40()50(10--x x设x －50=t ，则0＜t ≤30∴y =250020201020100101002010)10(10552525=+≤++=++=+tt t t t t t 当且仅当t =10，即x =60时，y max =2500【答】每件60元时，每天获利最多，最多是2500元.【解法二】求y =25)40()50(10--x x 的最大值的解法,还可转化为二次函数的最大值问题解之. 令401-x =t ∵10＜x －40≤40 ∴401≤t ＜101 y =)101(10)40()1040(102525-⋅=---tt x x =105(－10t 2+t ) 当t =201，即x =60时，y max =2500 求y 的最大值，还可以用二次函数的判别式方法解.令x －40=t ，则10＜t ≤40y =25)10(10tt - 即yt 2－105t +106=0 ①Δ=1010－4·106·y ≥0解之y ≤2500，即y max =2500检验：当y =2500时，方程①2500t 2－105t +106=0即t 2－40t +400=0解之t =20∈(10，40］这时x =60.【点评】①设变量时，把最值变量定为函数，建立函数关系式.②构造相应的数学模型求最值.法一：令x －50=t ，使分子最简，同除以分子后，很容易用均值不等式求分母的最值.法二：令401-x =t ，使二次函数式最简，易于求二次函数y 的最值.法三：令x －40=t ，应用二次方程判别式求最值.但应注意检验.［例4］若f (x )是定义在(0，+∞)上的增函数，且对一切x >0,y >0满足f (yx )=f (x )－f (y ).(1)求f (1)的值;(2)若f (2)=1,解不等式f (x +3)－f (x1)<2. 【解】(1)∵一切x >0,y >0满足f (yx )=f (x )－f (y ) 令x =y =1则f (1)=f (1)－f (1)=0 (2)f (x +3)－f (x 1)<2⎩⎨⎧><+⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+<+⇔02)3([0032)]3([x x x f x x x x f 又f (24)=f (4)－f (2) ∴f (4)=2f (2) 而f (12)=f (2)－f (1) ∴f (2)=1,∴f (4)=2∴⎩⎨⎧><+0)4()]3([x f x x f ∵f (x )是(0，+∞)上的增函数∴⇒⎩⎨⎧><<-⇒⎩⎨⎧><+0140432x x x x x 0<x <1 ∴原不等式的解集为(0，1)【点评】该题是抽象函数问题，即不知道函数的解析式，而由条件判断函数的性质(单调性、周期性、奇偶性)，并解决有关问题.这是近几年的高考热点.。

第五讲不等式性质及解法

博通教育辅导讲义年级高一辅导科目数学学科教师课次数课题第五讲不等式的基本性质及解法主管审核教学内容知识点及例题精讲一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n n a b >；4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

[例1]（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ 二、一元二次不等式解法1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式： ①ax 2+bx+c ＞0(a ＞0);②ax 2+bx+c ＜0(a ＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a＞0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)图像与解△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0 方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a＜0的情况自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0，其中a1＜a2＜…＜a n.把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.例1解下列关于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;例2解不等式≥2.例3若函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是( ) A.f(1)＜f(2)＜f(4) B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)例4已知不等式ax2+bx+2＞0的解为-＜x＜，求a，b值.例5若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值.例6设A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，试求a,b 的值.例7已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a的取值范围.例8公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?巩固练习与随堂测验一、选择题1.已知集合A=｛x｜x2-2x-3＜0 ，B=｛x｜｜x｜＜a ，若B A，则实数a的取值范围是( )A.0＜a≤1；B.a≤1；C.-1＜a≤3；D.a＜1.2.集合A=｛x｜x2-3x-10≤0，x∈Z｝，B=｛x｜2x2-x-6＞0，x∈Z｝，则A∩B的子集的个数为( )A.16；B.8；C.15；D.7.3.不等式≥0的解集是( )A.｛x｜-1≤x≤3｝B.｛x｜x≤-1，或x＞3｝C.｛x｜x≤-1，或x≥3｝D.｛x｜-1≤x＜3｝4.若对于任何实数，二次函数y=ax2-x+c的值恒为负，那么a、c应满足( )A.a＞0且ac≤B.a＜0且ac＜C.a＜0且ac＞D.a＜0且ac＜0二、填空题2.不等式ax2+bx+2＞0的解集是｛x｜- ＜x＜,则a+b=________ .3.不等式≤1的解集是 __________________ .4.不等式-4≤x2-3x＜18的整数解为____________________ .5.已知关于x的方程ax2+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜-1或x＞2｝.则不等式ax2-bx+c＞0的解集为___________________________________ .三、解答题1.求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.4.已知a＞1解关于x的不等式组5.解不等式课后作业1.解关于x的不等式x2-x-a2+a＞02.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围.3.已知A=｛x｜x2-3x+2≤0｝,B=｛x｜x2-(a+1)x+a≤0｝.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B A，求a的取值范围；(3)若A∩B为仅含有一个元素的集合，求a的值.4不等式＞1解集是 .5如下图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3∶5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处?6要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户(如下图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?。

第03讲基本不等式 (精讲+精练)(学生版)

第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②叫做正数a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--；凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y+=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x ++=>；（2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（）A B C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()+∞B ．(-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（）A0 B ．有最大值为2491，最小值为0 CD ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b++的最小值是（） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。

新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)范文

应用一：求最值例：求下列函数的值域•••值域为(—a, — 2] U [2 , + a)解题技巧技巧一：凑项例已知x，求函数y =4x-2的最大值。

4 4x —5解：因4x -5 ：：： 0 ,所以首先要“调整”符号，又 (4x -2) 要进行拆、凑项,*51r 1 ) /x5-4x 0, y=4x-2- 5-4x -44x —5I5—4x 丿当且仅当5-4x -，即X =1时，上式等号成立，故当X =1时，y max=1。

5-4x技巧二：凑系数例：当 -■' - 1时，求y =x(8 -2x)的最大值。

解析：由匚二U 》知，。

‘一工、-,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x • (8 - 2x)二8为定值，故只需将 y=x(8-2x)凑上一个系数即可。

y == l[2x * (8 — 2打]—店卩=8当，即x = 2时取等号当x = 2时，y = x(8-2x)的最大值为8。

解: (1)y = 3x 2 值域为[6 , + a)⑵当x > 0时, 当x V 0时, 1y = x +_ =x3—23 = 11+2x1°)戸3x 2 +示1 x • =2 ;1y = x + _ >2x 1x • = — 21(—x — _ ) < — 2x不是常数，所以对4X-23变式：设0 ：：： x ，求函数y =4x(3 -2x)的最大值。

2解:c 3 _ _ -•/ 0 ::: X .飞-2X 0 ••• y2 y= 4x(3-2x) =2 2x(3-2x)<22x 3「2x当且仅当2x=3—2x,即x=3^f0,- i时等号成立。

4 < 2丿技巧三：分离技巧四：换元2，「亠x+7x十10 “心亠例：求y (x • -1)的值域。

x +1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(X + 1 )的项，再将其分离。

基本不等式典型例题

基本不等式典型例题一、利用基本不等式求最值1. 例1：已知x > 0，求y = x+(1)/(x)的最小值。

- 解析：对于基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0，当且仅当a = b时等号成立）。

- 在y=x+(1)/(x)中，a = x，b=(1)/(x)，因为x>0，所以(1)/(x)>0。

- 根据基本不等式y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2。

- 当且仅当x=(1)/(x)（x > 0），即x = 1时等号成立。

所以y的最小值为2。

2. 例2：已知x <0，求y=x+(1)/(x)的最大值。

- 解析：因为x<0，则-x>0。

- 此时y=x+(1)/(x)=-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]。

- 对于-x和(1)/(-x)，根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），这里a=-x，b = (1)/(-x)，则(-x)+(1)/(-x)≥slant2√((-x)×frac{1){-x}}=2。

- 所以y =-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]≤slant - 2，当且仅当-x=(1)/(-x)，即x=-1时等号成立。

所以y的最大值为-2。

二、基本不等式在实际问题中的应用1. 例3：用篱笆围一个面积为100m^2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？- 解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy = 100。

- 篱笆的周长C=2(x + y)。

- 根据基本不等式x + y≥slant2√(xy)，因为xy = 100，所以x +y≥slant2√(100)=20。

- 则C = 2(x + y)≥slant40。

- 当且仅当x=y时等号成立，由xy = 100且x=y，可得x=y = 10。

基本不等式经典例题精讲

基本不等式经典例题精讲新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例11) 已知 x < 1/3，求函数 y = x + 1/x 的最大值；2) 求函数 y = x(1-3x)/3 的最大值和值域。

思路分析：1) 由极值定理，可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外 x 的系数变成互为相反数；2) 中，未指出 x 的取值范围，因而不能直接使用基本不等式，需分 x。

1/3 与 x < 1/3 讨论。

解法一：1) 由基本不等式，得y = x + 1/x ≥ 2，当且仅当x = 1/√2 时，等号成立。

2) 由基本不等式，得 y = x(1-3x)/3 ≤ 1/3√3，当且仅当 3x = 1-3x，即 x = 1/6 时，等号成立。

综上，可知函数 y = x + 1/x 的最大值为 2，函数 y = x(1-3x)/3 的最大值为1/3√3，值域为 (-∞,1/3√3] ∪ [1/3.+∞)。

解法二：1) 由基本不等式，得y = x + 1/x ≥ 2，当且仅当x = 1/√2 时，等号成立。

2) 由基本不等式，得 y = x(1-3x)/3 ≤ 1/3√3，当且仅当 x = -1/√3 时，等号成立。

综上，可知函数 y = x + 1/x 的最大值为 2，函数 y = x(1-3x)/3 的最大值为1/3√3，值域为 (-∞,1/3√3] ∪ [1/3.+∞)。

1) 解法一：由基本不等式，得y = x + 1/x ≥ 2，当且仅当x = 1/√2 时，等号成立。

2) 解：当 x。

1/3 时，由基本不等式，得 y = x(1-3x)/3 ≥ 2/3√3，当且仅当 3x = 1-3x，即 x = 1/6 时，等号成立；当 x < 1/3 时，由基本不等式，得 y = x(1-3x)/3 ≤ 1/3√3，当且仅当 3x = 1-3x，即 x = -1/√3 时，等号成立。

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