幂的运算例题精讲

幂的运算例题精讲

【知识方法归纳】

知识要点 主要内容

友情提示 同底数幂相乘 m n mn a a a ⋅= (m 、n 是正整数)；

a 可以多项式

幂的乘方 ()m n mn a a = (m 、n 是正整数) mn m n n m a a a ==)()(

积的乘方 ()n n n ab a b = (n 是正整数)

n n n ab a )()(= 同底数幂的除法

m

m n n a a a

-=(m 、n 是正整数，m >n) n m n m a a a ÷≠÷

方法归纳 注意各运算的意义，合理选用公式

注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数”

知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点） 同底数幂的乘法法则：

+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即m

n

p

m n p

a a a a

++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，

它们的指数之和等于原来的幂的指数。即m n

m n a

a a +=⋅（,m n 都是正整数）.

【典型例题】

例1：计算.

（1）2

3

4

444⨯⨯； （2）3

4

5

2

6

22a a a a a a ⋅+⋅-⋅；

（3）1

1211()()

()()()n

n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+

例2：辨析：下列运算是否正确？不正确的，请改为正确的答案。

(1)x 3

·x 5

= x 15

( ) ； (2) b 7

+ b 7

=b 14

( ) ；

（3）a 5- a 2=a 3 ( ) (4) 2x 3+ x 3=2x 6

( ) ；

(5) (b- a)3=-(a- b)3 ( ) ； (6)(- a- b)4=(a- b)4

( )

练习

计算

（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）； （3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．

1．计算（－2）

2007

+（－2）

2008

的结果是（ ） A ．2

2015

B ．2

2007

C ．－2

D ．－2

2008

2．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5

·（－a ）2n

的值为（ ）A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 3．（一题多解题）计算：（a －b ）2m －1

·（b －a ）2m ·（a －b ）

2m+1

，其中m 为正整数．

知识点2 逆用同底数幂的法则 逆用法则为：n m n

m a a a •=+（m 、n 都是正整数）

【典型例题】 例（1）如果21

+x =16，求x 的值 （2）如果a m =3， a n =5， 求a

n

m + 的值。

练习

1．（一题多变题）

（1）已知x m

=3，x n

=5，求x m+n

． （2）一变：已知x m

=3，x n

=5，求x

2m+n

； （3）二变：已知x m =3，x n =15，求x

n-n

知识点3 幂的乘方的意义及运算法则（重点） 幂的乘方指几个相同的幂相乘。

幂的乘方的法则：()m n mn

a a

= (m 、n 是正整数) 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘

要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p

mnp

a a

(0≠a ，,,m n p 均为正整数)

（2）逆用公式： ()()n

m

mn

m n a

a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变

形，从而解决问题.

【典型例题】 例1计算：

（1）2

()m a ； （2）34

[()]m -； （3）32

()m a

-．

例2、已知25m

x =，求61

55

m x -的值．

【变式1】已知2a

x =，3b

x =．求32a b

x

+的值． 【变式2】已知84=m ，85=n ，求328

+m n

的值．

练习

1．计算（-a 2）5+（-a 5）2

的结果是（ ）

A ．0

B ．2a 10

C ．-2a 10

D ．2a 7

2．下列各式成立的是（ ）

A ．（a 3

）x

=（a x

）3

B ．（a n

）3

=a n+3

C ．（a+b ）3

=a 2

+b 2

D ．（-a ）m

=-a m

3．如果（9n

）2

=312

，则n 的值是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4．已知x 2+3x +5的值为7，那么3x 2+9x

-2的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 6.计算：

（1）2

33

3

4

2

)(a a a a a +⋅+⋅ （2）2

24

4

2)()(2a a a ⋅+⋅

知识点4 积的乘方意义及运算法则 积的乘方指底数是乘积的形式的乘方。