第26讲 整数整除的概念和性质

第二十六讲整数整除的概念和性质

对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n

整除有以下基本性质：

1．若a|b，a|c，则a|（b c）；

2．若a|b，b|c，则a|c；

3．若a| b c，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|b c，则必有p|b或p|c；

4．若b|a，c|a，且(b，c) =1，则b c|a．

解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：

1．被2整除的数：个位数字是偶数；

2．被5整除的数：个位数字是0或5；

3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除；4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除；

5．被3整除的数：数字和被3整除；

6．被9整除的数：数字和被9整除；

7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除．

【例1】一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是．

思路点拨略

(重庆市竞赛题)

注：确定已知条件来确定自然数，是数学活动中常见的一类问题，解这类问题时往往用到下列知识方法：

(1)运用整除性质；(2)确定首位数字；(3)利用末位数字；(4)代数化；(5)不等式估算；

(6)分类讨论求解等．

【例2】有三个正整数a、b、c其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b整除，②a2+c2不能被b整除：③(a+b)2不能被c整除；④a2+b2不能被c整除，其中，不正确的判断有( )．

A．4个B．3个 C 2个D．1个

思路点拨举例验证．(“希望杯”邀请赛试题)

【例3】已知7位数6

1287xy是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．(江苏省竞赛题)

思路点拨7位数6

1287xy能被8，9整除，运用整数能被8、9整除的性质求出x，y的值．

【例4】(1)若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x一a)(x一b)

(x一c)(x一d)一9＝0，求证；4︳(a+b+c+d)．

(2)已知两个三位数abc与def的和abc+def能被37整除，证明：六位数abcdef也能被37整除．

思路点拨 (1)x 一a ，x 一b ，x 一c ，x 一d 是互不相等的整数，且它们的乘积等于9，于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积；(2)因已知条件的数是三位数，故应设法把六位数abcdef 用三位数的形式表示，以沟通已知与求证结论的联系．

注：运用整除的概念与性质，建立关于数字谜中字母的方程、方程组，是解数学谜问题的重要技巧．

华罗庚曾说：“善于‘退’，足够地，‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”

从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想．

【例5】 (1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．

(北京市竞赛题)

(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．

A ．15

B ．1

C ．164

D ．174

(“五羊杯”竞赛题)

(3)设N=

个

1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题) 思路点拨 运用余数公式，余数性质，化不整除问题为整除问题．(1)N+1能分别被2，3，4，5，6，7，8，9，10整除，(2)建立关于x ，y 的方程组，通过解方程组求解，(3)从考察11，111，…111111被7除的余数人手．

【例6】盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )

A ．1990个

B ．1991个

C 1992个

D ．1993个

思路点拨 无论魔术师如何变，盒中球的总数为6k+7个，其中k 为自然数，经验证，1993=331×6+7符合要求．故选D ．

【例7】在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?

思路点拨 由于2与3互质，3与5互质，5与2互质(这种特性我们也称为2、3、5两两互质)，所以同时被2、3、5整除的整数必然被2×3×5=30整除；另—方面，被30整除的正整数必然可同时被2、3、5整除，因此，在100以内同时被2、3、5整除的正整数就是在100以内被30整除的正整数，显然只有30、60、90三个．

【例8】某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除． 思路点拨 显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n 是幸运券，那么号m=9999—n 也是幸运券，由于9是奇数，所以m ≠n ．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101│9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除

思考：“如果某个号码n 是幸运券，那么号m=9999—n 也是幸运券”，这是解决问题的关键，请你考虑这句话合理性． 若六位数9381ab 是99的倍数，求整数a 、b 的值．