数学归纳法测试题及答案

合集下载

数学归纳法

数学归纳法1．用数学归纳法证明1*，n>1)时，在证明过程的第二步从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加的项数是 ( )A ．2kB ．2k －1C ．1-2kD ．2k ＋1 2．则可归纳出式子（）3．用数学归纳法证明“”对于0n n ≥的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（） A. 1B. 3C. 6D. 104，且1)n >时，第一步应证明下述哪个不等式成立（）A ．12<B 5在验证1n =成立时,左边所得的项为 ( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++6．在用数学归纳法证明),1(111212*++∈≠--=++++N n a a a a a a n n 时，在验证当1=n 时，等式左边为（） A. 1 B. a +1 C. 21a a ++ D. 321a a a +++7．用数学归纳法证明=++++2321n ，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上增加（）A ．k 2+1B ．（k+1）2C ．D ．（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）28n=k+1与n=k 时相比，左边应添加( )9 A ．增加了1项B ．增加了2项CD10．用数学归纳法证明：从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）A.k 2B.12-kC.12-kD.12+k当k n =时成立，则当A ．1 B ．2 C ．k D ．k 212由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（）A.B.C.D.13（,1n N n +∈>）时，第一步应验证不等式（）A C D列式子… … , _________________ _______________ 15．用数学归纳法证明“221n n >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取_____________．16．（本小题满分10，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．17．（本小题满分12分）归纳法证明：数列}{n a 的通项公式18．（12分）数列}{n a 满足n （1）写出432,,a a a ；（2）猜出n a 的表达式，并用数学归纳法证明19．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，（Ⅰ）求5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.2021．在数列}{n a 中，（1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式22．数列}{n a 中，，用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n 23．在数列}{n a 中，，求数列}{n a 的通项公式 24．已知数列{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，对于一切*∈N n 均有n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项。

(完整版)数学归纳法练习题.doc

2.3 数学归纳法第 1 课时数学归纳法1．用数学法明“ 2n>n 2＋1 于 n ≥n 0 的自然数 n 都成立” ，第一步明中的起始 n 0 取()．A ．2B ． 3C ． 5D ．6解析当 n 取 1、2、3、4 2n2＋1 不成立，当＝，5＝2＋＝>nn 5 232>5 126，第一个能使 2n>n 2＋1 的 n5，故 C.答案 Cn ＋ 3 n ＋42．用数学法明等式1＋ 2＋ 3＋⋯＋ (n ＋ 3)＝(n ∈ N ＋ )， n2＝ 1 ，左取的是()．A ．1B ． 1＋ 2C ．1＋2＋3D ． 1＋ 2＋ 3＋ 4解析等式左的数是从 1 加到 n ＋3.当 n ＝1 ， n ＋3＝4，故此左的数从 1 加到 4. 答案 D1 11 (n ∈N ＋ )，那么 f(n ＋1)－ f(n)等于3． f(n)＝1＋2＋3＋⋯＋－3n1()．111A.3n ＋2B.3n ＋ 3n ＋1C. 1 ＋ 11 1 ＋ 1 ＋＋ 2D.3n ＋＋＋2 3n 1 3n3n1 3n11 1 解析∵f(n)＝1＋2＋3＋⋯＋，3n －11 11 111∵f(n ＋ 1)＝1＋2＋3＋⋯＋＋3n ＋＋，3n －13n ＋ 1 3n ＋2∴f(n ＋ 1)－f(n)＝ 1 1 1＋＋.3n 3n ＋ 1 3n ＋2答案D4．用数学法明关于 n 的恒等式，当n ＝k ，表达式1×4＋2×7＋⋯＋ k(3k ＋1)＝ k(k ＋ 1)2，当 n ＝k ＋1 ，表达式 ________．答案 1×4＋2×7＋⋯＋ k(3k ＋1)＋ (k ＋1)(3k ＋4)＝ (k ＋1)(k ＋2)2 5．凸 k 形的内角和f(k)，凸 k ＋ 1 形的内角和 f(k ＋ 1)＝f(k)＋________.解析由凸 k 形凸 k ＋1 形，增加了一个三角形形，故f(k ＋ 1)＝ f(k)＋ π.答案 π 6．用数学法明：1 ＋ 1＋⋯＋1＝1＋1＋⋯＋11×2 3×42n －1 ·2n n ＋1n ＋2n ＋n.明(1)当 n ＝1 ，左＝1＝1，右＝1，等式成立．1×222 (2)假当 n ＝k(k ∈N * ) ，等式成立，即111 111× ＋ ×＋⋯＋－＝＋ k ＋＋⋯＋ 2k .1 2 3 4 2k 1·2k k ＋ 1 2当 n ＝k ＋1 ，1 ＋ 1＋⋯＋1 ＋1 1×2 3×42k － 1 ·2k 2k ＋1 2k ＋2＝1＋1＋⋯＋ 1 ＋ 1k ＋1 k ＋2 2k2k ＋ 1 2k ＋ 2 ＝ 1 ＋ 1 1 ＋ 1 1 1＋⋯＋ 2k ＋ 1－ 2k ＋2 ＋k ＋2 k ＋3 1 k＝1＋1＋⋯＋ 1 ＋ 1 ＋ 1k ＋2 k ＋32k2k ＋1＋ 22k 1 111.即当 n ＝k ＋1＝k ＋1 ＋1＋k ＋ 1 ＋2＋⋯＋k ＋1 ＋k＋k ＋ 1 ＋ k ＋1 ，等式成立．根据 (1)(2)可知，一切 n ∈N * ，等式成立．7．若命 A(n)(n ∈N * )在 n ＝k(k ∈N * ) 命成立，有 n ＝k ＋ 1 命成立．知命 n＝ n0(n0∈ N* )命成立，有()．A．命所有正整数都成立B．命小于 n0的正整数不成立，大于或等于n0的正整数都成立C．命小于 n0的正整数成立与否不能确定，大于或等于n0的正整数都成立D．以上法都不正确解析由已知得 n＝n0 0∈*) 命成立，有n＝0＋1命成立；在n(n N n＝ n0＋1 命成立的前提下，又可推得n＝ (n0＋1)＋1 命也成立，依此推，可知 C.答案 C8．用数学法明 (n＋1)(n＋ 2)(n＋3)⋯(n＋n)＝2n·1·3·⋯·(2n－1)(n∈N* )，从n＝k 到 n ＝ k＋ 1，左增加的代数式( )．A．2k＋1 B．2(2k＋ 1)2k＋1 2k＋ 3C. k＋ 1D. k＋1解析n＝ k ，左＝ (k＋ 1)(k＋ 2)⋯(2k)； n＝k＋1 ，左＝ (k＋2)(k＋3)⋯ (2k＋ 2)＝2(k＋1)(k＋2)⋯(2k)(2k＋1)，故 B.答案 B9．分析下述明 2＋4＋⋯＋ 2n＝ n2＋n＋1(n∈N＋ )的程中的：明假当 n＝k(k∈N＋ )等式成立，即2＋ 4＋⋯＋ 2k＝k2＋k＋1，那么 2 ＋4＋⋯＋ 2k＋ 2(k＋ 1)＝k2＋ k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当 n＝k ＋1 等式也成立．因此于任何 n∈N＋等式都成立． __________________.答案缺少步奠基，上当n＝ 1 等式不成立10．用数学法明 (1＋ 1)(2＋2)(3＋ 3)⋯(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)，从 n＝k 到 n ＝ k＋1 左需要添加的因式是________．解析当 n＝ k ，左端： (1＋1)(2＋2)⋯(k＋k)，当 n＝k＋ 1 ，左端： (1＋1)(2＋2) ⋯(k＋k)(k＋ 1＋k＋1)，由 k 到 k＋1 需添加的因式： (2k＋2)．答案2k＋ 211．用数学法明2＋22＋⋯＋n2＝n n＋12n＋1 ∈*)．16 (n N 明(1)当 n＝1 ，左＝ 12＝1，右＝1× 1＋ 1 × 2×1＋16 ＝ 1，等式成立．(2)假当 n＝k(k∈N* )等式成立，即12＋22＋⋯＋k2＝k k＋12k＋16那么，12＋ 22＋⋯＋ k2＋(k＋1)2＝k k＋1 2k＋1＋(k＋1)26k k＋ 1 2k＋ 1 ＋6 k＋1 2＝6k＋1 2k2＋7k＋6＝6＝k＋1 k＋2 2k＋36＝k＋1 [ k＋ 1 ＋1][2 k＋ 1 ＋1]，6即当 n＝k＋1 等式也成立．根据 (1)和 (2)，可知等式任何n∈N*都成立．12．(新拓展 )已知正数数列n * n nn1n，用{a }( n∈ N )中，前 n 和 S ，且 2S ＝ a ＋a数学法明： a n＝－－n n 1. 明 (1)当 n＝1 ．1 1a1＝ S1＝2 a1＋a1，2∴ a1＝1(a n>0)，∴ a1＝1，又1－0＝1，∴ n＝ 1 时，结论成立．(2)假设 n＝ k(k∈ N* )时，结论成立，即a k＝ k－ k－1.当 n＝k＋ 1 时，a k＋1＝ S k＋1－S k＝1a k＋1＋ 1 －1a k＋1a a2 2k＋ 1 k＝1 k＋1 1 1 k－ k－1＋ 12a ＋a k＋1－2 k－ k－1 1 1＝2 a k＋1＋a k＋1－ k2∴ a k＋1＋2 ka k＋1－ 1＝ 0，解得 a k＋1＝ k＋1－k(a n>0)，∴ n＝ k＋1 时，结论成立．由 (1)(2)可知，对 n∈N*都有 a n＝n－n－1.。

高二数学数学归纳法试题答案及解析

高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。

数学归纳法

1．（1）用数学归纳法证明：(3)(4)(13(223))n n n n +++++++=∈*N ；（2）用数学归纳法证明：1)n n+++<∈*N ．【答案】（1）①当1n =时，左边123410=+++=，右边()()1314102+⨯+==，左边=右边．②假设()*n k k N=∈时等式成立，即()()()3412332k k k +++++++=，那么当1n k =+时，()()()()()341233442k k k k k +++++++++=++()()452k k ++=，即当1n k =+时，等式成立．综上，()()()()*3412332n n n n N +++++++=∈．（2）①当1n =时，左边1=，右边2=，左边<右边，故当1n =时不等式成立．②假设当()*n k k N=∈时不等式成立，即1k++<那么当1n k =+时，左边1k =+++<因为2244441k k k k +<++，所以 21k <+，所以==<=故当1n k =+时，不等式也成立．综上，由①②可知)*1n N n++<∈．2．用数学归纳法证明：()()()()()*12213521n n n n n n n N ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-∈．【答案】（1）当1n =时，左边112=+=，右边212=⋅=． ∴左边=右边，故当1n =时，结论成立；（2）假设()1n k k =≥结论成立，即()()()()()12321321kk k k k k k +++⋯+=⋅⋅⋯-，∴()()()()()()()()2132123212221221k k k k k k k k k k k ⋅⋅⋯-++⋯+++=⋅+⋅++()()12132121k k k +=⋅⋅⋯-⋅+，∴当1n k =+时，结论成立，故对任意*n N ∈，结论都成立．3．用数学归纳法证明:()()()2*1427310n 3n 1n n 1n ⨯+⨯+⨯+++=+∈N .【答案】（1）当1n =时，左边=144⨯=，右边=2124⨯=，所以等式成立（2）假设当n k =时命题成立，即()()21427311k k k k ⨯+⨯+++=+那么，当1n k =+时，()()()()()()21427311341134k k k k k k k k ⨯+⨯++++++=++++()()()()()21134111k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=++++=+++⎣⎦⎣⎦即1n k =+时，命题成立由（1）（2）知等式对任意的n N +∈均成立4 【答案】（ⅰ）当1=n 时，左边=1112=，右边=3411214=+⨯⨯，左边<右边，即不等式成立；（ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，不等式成立，即222211114123421k k k ++++⋅⋅⋅+<+，则当1+=k n 时，22222211111411234(1)21(1)k k k k k ++++⋅⋅⋅++<++++，问题可通过证明1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k 来实现. 要证32441)1(2)1(4)1(11242++=+++<+++k k k k k k k ，只需证1243244)1(12+-++<+k k k k k ，只需证)12)(32(4)1(12++<+k k k 只需证2)1(4)32)(12(+<++k k k ，只需证22483484k k k k ++<++，只需证43<，∵43<显然成立，∴1)1(2)1(4)1(11242+++<+++k k k k k ，即当1+=k n 是不等式也成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的n *∈N ，不等式恒成立. 考点：数学归纳法的证明.5．用数学归纳法证明：*1,n n ≥∈N ，111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=+++-++. 【答案】①当1n =时，左边11112211=-===+右边，所以等式成立； ②假设当()*1,n k k k =∈N ≥时，等式成立，则111111111234212122k k k k k-+-+⋯+-=++⋯+-++，当1n k =+时，111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++ 111111222122k k k k k =++⋯++-++++ 1111111112221122k k k k k k ⎛⎫=++⋯+++- ⎪+++++++⎝⎭1111111122212(1)k k k k k =++⋯+++++++++，即1n k =+时，等号也成立，所以，由①②可知，对任意的*n ∈N 等式成立.6．数学归纳法证明：．【答案】（ⅰ）当时，左边=，右边=，左边右边，即不等式成立；（ⅱ）假设时，不等式成立，即则当时，问题可通过证明来实现要证：只需证：,只需证：只需证：,只需证：∵,∴即当是不等式也成立.综上：由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的不等式恒成立.考点：数学归纳法的证明。

数学归纳法

数学归纳法一、选择题(每小题5分，共20分) 1．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1 ≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k(k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2 <（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2 ＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确【解析】选D.n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．2．用数学归纳法证明等式1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a ⎝⎛⎭⎫a≠1，n ∈N * ，在验证n ＝1成立时，左边需计算的项是( ) A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【解析】选A 当n ＝1时，等式左边＝1.3．凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f(n ＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2【解析】选C.增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.4．设S k＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k，则S k＋1为()A．S k＋12k＋2B．S k＋12k＋1＋12k＋2C．S k＋12k＋1－12k＋2D．S k＋12k＋2－12k＋1【解析】选C.因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k＝1k＋1＋1 k＋2＋…＋12k，①得S k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12（k＋1）.②由②－①，得S k＋1－S k＝12k＋1＋12（k＋1）－1k＋1＝1 2k＋1－12（k＋1）.故S k＋1＝S k＋12k＋1－12（k＋1）.二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n（2n2＋1）3(n∈N*)时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应增加的式子是__________________．【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n＝k，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，比较两式，可知等式左边应增加的式子是(k ＋1)2＋k 2. 答案：(k ＋1)2＋k 26．设f(x)＝2xx ＋2 ，x 1＝1，x n ＝f(x n －1)(n≥2，n ∈N *).则x 2＝________；数列{x n }的通项公式为________，【解析】(1)x 2＝f(x 1)＝23 ，x 3＝f(x 2)＝2×2323＋2 ＝12 ＝24 ，x 4＝f(x 3)＝2×1212＋2 ＝25 .(2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1.证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1 ＝1，与已知相符，归纳出的公式成立．②假设当n ＝k(k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1 ，那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2 ＝2×2k ＋12k ＋1＋2 ＝42k ＋4＝2（k ＋1）＋1 ，所以当n ＝k ＋1时，公式也成立．由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1.答案：23 x n ＝2n ＋1三、解答题(每小题10分，共20分)7．用数学归纳法证明1＋n 2 ≤1＋12 ＋13 ＋…＋12n ≤12 ＋n(n ∈N *).【证明】(1)当n ＝1时，左式＝1＋12 ，右式＝12 ＋1，所以32 ≤1＋12 ≤32 ，命题成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2 ≤1＋12 ＋13 ＋…＋12k ≤12 ＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12 ＋13 ＋…＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋…＋12k ＋2k>1＋k2 ＋2k·12k＋1＝1＋k ＋12 . 又1＋12 ＋13 ＋…＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋…＋12k ＋2k <12 ＋k ＋2k·12k ＝12 ＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立．8．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测数列{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论．【解析】由题意得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1 ＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4可得结论成立． ②假设当n ＝k(k≥2且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1 b k ＝（k ＋1）2（k ＋2）2（k ＋1）2 ＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立．【拓展提升】应用数学归纳法证题时应注意(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1. (2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明“凸n(n≥3，n ∈N *)边形的内角和公式”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1内角和增加了( )A ．π2B ．πC ．3π2 D ．2π【解析】选B.如图，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，凸n 边形的内角和增加的是∠1＋∠2＋∠3＝π.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1【解析】选B.当n ＝k 时，等式左边为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k)，而当n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)·(k ＋3)·…·(k ＋k ＋2)，前边少了一项(k ＋1)，后边多了两项(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，故增乘的代数式为（k ＋k ＋1）（k ＋k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1).3．当n ＝1，2，3，4，5，6时，比较2n 和n 2的大小并猜想得到的结论为( ) A ．n≥1时，2n >n 2 B ．n≥3时，2n >n 2 C ．n≥4时，2n >n 2 D ．n≥5时，2n >n 2【解析】选D.当n ＝1时，21>12，即2n >n 2；当n ＝2时，22＝22，即2n ＝n 2；当n ＝3时，23<32，即2n <n 2；当n ＝4时，24＝42，即2n ＝n 2；当n ＝5时，25>52，即2n >n 2；当n ＝6时，26>62，即2n >n 2；…猜想当n≥5时，2n >n 2；下面我们用数学归纳法证明猜想成立，(1)当n ＝5时，由以上可知猜想成立， (2)设n ＝k(k≥5)时，命题成立，即2k >k 2，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时，命题成立，由(1)和(2)可得n≥5时，2n >n 2；故当n ＝2或4时，2n ＝n 2；n ＝3时，2n <n 2；n ＝1及n 取大于4的正整数时，都有2n >n 2.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A．30 B．26 C．36 D．6【解析】选C.因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明：当n＝1，2时，由上得证，设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k －(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)⇒f(k＋1)能被36整除．因为f(1)不能被大于36的数整除，所以所求的最大的m的值等于36.二、填空题(每小题5分，共20分)5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝__________时，命题为真.【解析】因为n为正奇数，所以奇数2k－1之后的奇数是2k＋1.答案：2k＋16．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……按照以上式子的规律：则第5个等式为________，猜想第n⎝⎛⎭⎫n∈N*个等式________；【解析】(1)第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92.第n个等式为n ＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*.证明：①当n＝1时，等式左边＝1，等式右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立．②假设n＝k时，命题成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，则当n＝k＋1时，(k＋1)＋[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)2＋8k＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2，即n＝k＋1时等式成立．根据①和②，可知对任意n∈N*等式都成立．答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*7．在用数学归纳法证明“34n＋2＋52n＋1(n∈N*)能被14整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________.答案：(34k＋2＋52k＋1)34＋52k＋1(52－34)8．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.【解析】采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k来，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k ＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6三、解答题(每小题10分，共20分)9．求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.【证明】(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k ＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．10．数列{}a n满足S n＝2n－a n(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【解析】(1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝158，由此猜想a n＝2n－12n－1；(2)当n＝1时，a1＝1，结论成立；假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)，结论成立，即a k＝2k－12k－1，当n＝k＋1(k≥1，且k∈N＋)时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2⎝⎛⎭⎫k＋1－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1，即2a k＋1＝2＋a k，所以a k＋1＝2＋a k2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k，这表明当n＝k＋1时，结论成立，综上所述，a n ＝2n －12n －1 ⎝⎛⎭⎫n ∈N ＋ .。

人教版高二上学期数学(选择性必修二)《4.4数学归纳法》同步测试题带答案

人教版高二上学期数学(选择性必修二)《4.4数学归纳法》同步测试题带答案一、单选题1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<-（2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（） A ．12k -项 B ．2k 项 C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++=()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（） A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（） A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（） A ．1n k =+时等式成立 B ．2n k =+时等式成立 C ．22n k =+时等式成立 D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题：()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（） A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多选题7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（） A ．使不等式成立的第一个自然数01n = B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++ D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（） A ．使不等式成立的第一个自然数01n = B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++ D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为． 10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++=（n 为正整数，且2n）时，第一步取n = 验证．四、解答题11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N 12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；2．假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．如7321=⨯+，则7mod31=；再如3703=⨯+，则3mod73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．现从序号分别为0a 1a 2a 3a …n a 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ． (1)求10mod3；(2)当1n ≥时 ()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；(3)由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．参考答案1．B【分析】根据给定条件，探讨n 从k 变到1k +不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当(2,N )n k k k *=≥∈时，不等式左边为11112321k++++- 当1n k =+时，不等式左边为11111111232122121k k k k +++++++++-+-增加的项为111111122121221221k k k k k k k++++=++++-++-，共有2k 项. 故选：B 2．C【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断.【详解】当1n =时212113n +=⨯+=，所以左边为123++. 故选：C. 3．D【分析】由数学归纳法的证明步骤可得答案. 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知：当1n =时，等式的左边是1234+++. 故选：D ． 4．A【分析】列出增加的项，即可得解.【详解】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为12k 121k + (1121)k +- 因此增加的项数是21012k k --+=.故选：A ． 5．B【分析】直接利用数学归纳法的证明方法分析判断即可.【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真还需要再证明下一个偶数，即2n k =+时等式成立. 故选：B 6．B【分析】直接用数学归纳法证明可得答案．【详解】①当1n =时，左边1=，右边1=，左边=右边，即1n =时，等式成立； ①假设()*1,n k k k =≥∈N 时，等式成立即1111123456(1)(1)442k k k k ++⎛⎫-+-+-++-=+-+ ⎪⎝⎭则当1n k =+时 121211123456(1)(1)(1)(1)(1)(1)442k k k k k k k k ++++⎛⎫-+-+-++-+-+=-++-+ ⎪⎝⎭211(1)1442k k k +⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭ 2111(1)442k k ++⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭即当1n k =+时，等式成立．综上，对任意n +∈N 等式1111123456(1)(1)442n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+ ⎪⎝⎭恒成立所以ACD 错误. 故选：B ． 7．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当1n =时，可得113224<；当2n =时，可得111413342424+=>；即使不等式成立的第一个自然数02n =，故A 错误，B 正确；当n k =时，可得1111123k k k k k++++++++；当1n k =+时，可得11111232122k k k k k k ++++++++++；两式相减得：()()1111212212122k k k k k +-=+++++ 所以n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++，故C 正确，D 错误；故选：BC. 8．BC【分析】根据数学归纳法逐项分析判断. 【详解】当1n =时，可得113224<；当2n =时，可得111413342424+=>；即使不等式成立的第一个自然数02n =，故A 错误，B 正确；当n k =时，可得1111123k k k k k++++++++；当1n k =+时，可得11111232122k k k k k k ++++++++++；两式相减得：()()1111212212122k k k k k +-=+++++ 所以n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++，故C 正确，D 错误；故选：BC.9．()22133(2)k x x x -+++【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案.【详解】设当n k =时 ()121*(1)(2)k k x x k +-+++∈N 能被233x x ++整除所以1n k =+时 221(1)(2)k k x x +++++()12211(1)(2)(2)k k x x x x +-=+++++()1212211(1)(1)(2)(33)(2)k k k x x x x x x x +--=+++++++++ ()1212211[(1)(2)](33)(2)k k k x x x x x x +--=++++++++因此必须有代数式()22133(2)k x x x -++⋅+．故答案为：()22133(2)k x x x -++⋅+10．2【分析】利用数学归纳法证明的步骤一：取证明的命题对象中的最小自然数，即可得出．【详解】用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++=（n 为正整数，且2n ≥）时第一步取2n =验证．故答案为：2. 11．证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【详解】①当1n =时，左边11113123412=++=>，左边>右边，不等式成立； ①假设n k =时不等式成立，即11111231k k k +++>+++ 则当1n k =+时，左边()()111112313231311k k k k k =+++++++++++ ()()1111111123113231311k k k k k k k ⎛⎫=+++-+++ ⎪++++++++⎝⎭ ()()()22616111211132343191889189k k k k k k k k k ⎡⎤++>++-=+->⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦即当1n k =+时，不等式也成立. 由①①可知，原不等式成立. 12．(1)10mod31= (2)()5,33f =，答案见解析(3)()()1,221mod 2kf n n ⎡⎤+=+⎣⎦，证明见解析【分析】（1）用模取余法可求结论；（2）由()()()6,35,33mod60f f =+= ()5,35f < 可求()5,3f ；从1n +个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为()1,f n m +，从n 个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为(),f n m ，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，可推得结论；（3）取1,2,3,4,5,6,7n =时，分别求得()2,20f = ()3,22f = …… ()8,20f =；可得当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时()()1,221mod 2k f n n ⎡⎤+=+⎣⎦，进而利用数学归纳法证明即可．【详解】（1）因为10331=⨯+，所以10mod31=．（2）因为()()()6,35,33mod60f f =+=，且()5,35f < 所以()5,336f +=，故()5,33f =．当n m ≥时，递推关系式的实际意义：当从1n +个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为()1,f n m + 而从n 个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为(),f n m ．如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的当然还要重新排序，由于退出来的是1m a -，则原环的m a 就成了新环的0a 也就是说原环的序号下标要比新环的大m ，原环的n a 就成了新环的n m a -．需要注意，新环序号n m a -后面一直到1n a -，如果下标加上m ，就会超过n ．如新环序号1n m a -+对应的是原环中的0a ，…，新环序号1n a -对应的是原环中的2m a -．也就是说，得用新环的序号下标加上m 再减去()1n +，才能在原环中找到对应的序号这就需要用模取余，即()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++．（3）由题设可知()1,20f =，由（2）知：()()()2,21,22mod22mod20f f =+==； ()()()3,22,22mod32mod32f f =+==； ()()()4,23,22mod44mod40f f =+==； ()()()5,24,22mod52mod42f f =+==； ()()()6,25,22mod64mod64f f =+==； ()()()7,26,22mod76mod76f f =+==； ()()()8,27,22mod88mod80f f =+==；由此推测，当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时 ()()1,221mod 2k f n n ⎡⎤+=+⎣⎦．下面用数学归纳法证明：1．当0112n +==时()()01,2021mod 2f ==，推测成立；2．假设当12k n t +=+（k ∈N ，t ∈N 且02k t ≤<）时推测成立即()()2,222mod 22k k kf t t t ⎡⎤+=+=⎣⎦．由（2）知()()()()21,22,22mod 21k k kf t f t t ++=++++()()22mod 21k t t =+++．（①）当021k t ≤<-时 ()()21,222221mod 2k k kf t t t ⎡⎤++=+=++⎣⎦；（①）当21k t =-时 ()21,20kf t ++=，此时1212k k t +++= 即()()1112,222mod 2k k k f +++=．故当121k n t +=++时，推测成立．综上所述，当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时 ()()1,221mod 2kf n n ⎡⎤+=+⎣⎦．推测成立.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.。

2#数学归纳法练习题(含答案)

2# 数学归纳练习题一、填空题1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．2．设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．3．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．4．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．5．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．二、解答题1．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.2．用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1(n∈N*且n＞1)．2# 答案1．解析：设最多分成的圆弧的段数为f (n )，则由题图容易发现，f (2)＝4＝22，f (3)＝9＝32，f (4)＝16＝42.答案：n 22. 解析：取n ＝1，则4×6n ＋5n ＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：93. 解析：∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.答案：2k ＋14. 解析：n ＝1时，21>13，n ＝2,3，…，9时2n <n 3，n ＝10时，210＝1 024>103，∴n 0＝10.答案：105. 解析：a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5解答题1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12kF ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．2. 证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边为12＋13＋14＝1312＞1，故n ＝2时表达式成立； (2)假设当n ＝k (k ＞1，k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1 那么，当n ＝k ＋1时，由k ≥2得1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1 k ＋1 2＞1－1k ＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1＞1－1k＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k ＋1 2＋1 k ＋1 2＋…＋1 k ＋1 2＝1－1k ＋2k ＋1 k ＋1 2＝1＋k 2－ k ＋1 k ＋1 2 当k ≥2时，k 2－k －1＞0成立，故当n ＝k ＋1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n ＞1，n ∈N *时不等式都成立．。

【高二】高二数学数学归纳法检测试题(有答案)

【高二】高二数学数学归纳法检测试题（有答案）数学归纳法及其应用举例一、（共49题，共245分）1.用数学归纳法证明:"1+++…+1）“当n=K（K>1）时，证明当n=K+1时，左边要加的项数为a.2k-1b.2k-1c.2kd.2k+12.球面上有n个大圆，其中任意三个都不在同一点相交。

让球体被这n个大圆分开成的部分为f(n),则下列猜想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2对，对a.①与②b.①与③c.②与③d.只有③3.一个命题与自然数M有关。

如果当M=K（K）时命题为真∈ n）当m=K+1时，可以推断该命题为真。

现在我们知道，当m=5时，这个命题是不成立的，那么它就可以被推导出来a.当m=6时该命题不成立b.当m=6时该命题成立c、当m=4时，命题不成立D。

当m=4时，命题成立4.设f(n)=(n∈n),那么f(n+1)-f(n)等于a、 b.c.+d-5.用数学归纳法证明1+a+a2+…+=(n?n,a≠1)中,在验证n=1时,左式应为a、 1b。

1+ac.1+a+a2d。

1+a+a2+a36.用数学归纳法证明"5n-2n能被3整除"的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应把5k+1-2k+1变形为a、（5k-2k）+4×5k-2kb。

5（5k-2k）+3×2kc。

（5k-2k）（5-2）d.2（5k-2k）-3×5k7.平面内原有k条直线,它们把平面划分成f(k)个区域,则增加第k+1条直线后,这k+1条直线把平面分成的区域至多增加a、 K b.K+1 C.F（K）D.F（K）+（K+1）8.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k≥3)条,则凸k+1边形的对角线条数为a、 f（k）+kb。

f（k）+k+1c。

f（k）+k-1d。

f（k）+k-29.用数学归纳法证明(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于a、 2k+2b。

数学自我小测：数学归纳法

自我小测1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!(a≠1,n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是（）A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．对于不等式错误!＜n＋1（n∈N＋）,某同学用数学归纳法证明的过程如下:（1)当n＝1时，错误!＜1＋1，不等式成立．（2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，错误!＝错误!＜错误!＝(k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确3．一个关于自然数n的命题，如果验证n＝1时命题成立，并在假设n＝k（k≥1)时命题成立的基础上，证明了n＝k＋2时命题成立，那么综合上述说法，可以证明对于（）A．一切自然数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对4．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f（k），则增加一条直线后，它们的交点个数最多为（)A．f（k)＋k B．f(k）＋1 C．f(k）＋k＋1 D．kf(k)5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N）时该命题成立,那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立6．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N）第一步应验证当n ＝________时成立．7．用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜n(n∈N且n＞1),第二步证明从“k到k＋1"，左端增加的项数是________．8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中,当n＝k＋1时，34(k＋1）＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______________．9．用数学归纳法证明:错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜1－错误!(n≥2，n∈N＋）．10．是否存在常数a，b使等式错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!对一切n∈N＋都成立？参考答案1．解析：当n＝1时,左边＝1＋a＋a2.故选C项．答案:C2．解析：因为从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有用到归纳假设，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．答案：D3．答案：B4．解析：第k＋1条直线与原来k条直线相交，最多有k个交点．答案：A5．解析：由反证法可知当n＝4时该命题不成立,因为若n＝4时该命题成立，必将推得n＝5时该命题成立，这与已知矛盾．答案：C6．答案:37．解析：当n＝k时左端为1＋错误!＋错误!＋…＋错误!，当n＝k＋1时左端为1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋k项．错误!，故增加的项数为2答案：2k8．解析：当n＝k＋1时,34（k＋1)＋2＋52（k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25（34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋29．证明:(1)当n＝2时，左边＝错误!＝错误!,右边＝1－错误!＝错误!，左边＜右边,不等式成立；（2)假设当n＝k时（k∈N＋，k≥2）不等式成立．即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜1－错误!。

(完整版)数学归纳法测试题及答案

选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立．那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

高考数学(人教a版,理科)题库：数学归纳法(含答案)

第3讲数学归纳法一、选择题1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是( )A 1B 1＋aC 1＋a＋a2D 1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．A.12k＋2B．－12k＋2C.12k＋1－12k＋2D.12k＋1＋12k＋2解析∵当n＝k时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.答案 C4．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．答案 D5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析 (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．答案 D6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()．A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a、b、c解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎨⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14. 答案 A 二、填空题7．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2).答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)8. 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可.答案k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)2(2k＋3)9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴(n－1)n2＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案(5,7)10．在数列{a n}中，a1＝13且S n＝n(2n－1)a n，通过计算a2，a3，a4，猜想a n的表达式是________．解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝15a1＝115；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝114(a1＋a2)＝135；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝127(a1＋a2＋a3)＝163.∴a1＝13＝11×3，a2＝115＝13×5，a3＝135＝15×7，a4＝17×9，故猜想a n＝1n－n＋.答案a n＝1n－n＋三、解答题11．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝S 4＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立； (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2，则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n ≥2，n ∈N *.不等式S 2n >1＋n2都成立．12．已知数列{a n }：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝r ，a n ＋3＝a n ＋2(n ∈N *)，与数列{b n }：b 1＝1，b 2＝0，b 3＝－1，b 4＝0，b n ＋4＝b n (n ∈N *)．记T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n .(1)若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝64，求r 的值； (2)求证：T 12n ＝－4n (n ∈N *)．(1)解 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋2)＋5＋6＋(r ＋4)＋7＋8＋(r ＋6)＝48＋4r . ∵48＋4r ＝64，∴r ＝4.(2)证明用数学归纳法证明：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .①当n ＝1时，T 12＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋a 9－a 11＝－4，故等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即T 12k ＝－4k ，那么当n ＝k ＋1时，T 12(k ＋1)＝T 12k ＋a 12k ＋1－a 12k ＋3＋a 12k ＋5－a 12k ＋7＋a 12k ＋9－a 12k ＋11＝－4k ＋(8k ＋1)－(8k ＋r )＋(8k ＋4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－(8k ＋8)＝－4k －4＝－4(k ＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .13．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n －2na n ＋2，n ＝1,2,3，…(1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n <2n 成立的最小正整数n ，并给出证明．解(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想a n＝2n＋1.(2)S n＝n(3＋2n＋1)2＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n>n2＋2n成立．14．数列{x n}满足x1＝0，x n＋1＝－x2n＋x n＋c(n∈N*)．(1)证明：{x n}是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c的取值范围，使{x n}是递增数列．(1)证明先证充分性，若c<0，由于x n＋1＝－x2n＋x n＋c≤x n＋c<x n，故{x n}是递减数列；再证必要性，若{x n}是递减数列，则由x2<x1可得c<0.(2)解①假设{x n}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.由x1<x2<x3，得0<c<1.由x n<x n＋1＝－x2n＋x n＋c知，对任意n≥1都有x n<c，①注意到c－x n＋1＝x2n－x n－c＋c＝(1－c－x n)(c－x n)，②由①式和②式可得1－c－x n>0，即x n<1－c.由②式和x n≥0还可得，对任意n≥1都有c－x n＋1≤(1－c)(c－x n)．③反复运用③式，得c－x n≤(1－c)n－1(c－x1)<(1－c)n－1，x n<1－c和c－x n<(1－c)n－1两式相加，知2c－1<(1－c)n－1对任意n≥1成立．根据指数函数y＝(1－c)n的性质，得2c－1≤0，c≤14，故0<c≤14.②若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立． (i)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (ii)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即x n <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由①②知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.。

高二数学数学归纳法试题答案及解析

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。

【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。

数学归纳法试题

数学归纳法试题一、使用数学归纳法证明某个命题时，首先需要验证的是？A. 命题对第一个自然数成立B. 命题对所有自然数都成立的一个特殊情况C. 命题的递推关系式D. 命题对无穷大的自然数成立（答案：A）二、在数学归纳法中，假设命题对某个自然数k成立，接下来需要做的是？A. 证明命题对k+1也成立B. 证明命题对k-1也成立C. 重新验证命题对k的成立性D. 直接得出命题对所有自然数都成立的结论（答案：A）三、以下哪个步骤不是数学归纳法证明中的必要步骤？A. 验证基础情况B. 假设归纳步骤C. 证明递推关系D. 验证特殊情况（答案：D）四、设有一个关于自然数的命题P(n)，若要用数学归纳法证明P(n)对所有自然数n都成立，首先需要验证的是？A. P(0)成立（假设0为自然数的起点）B. P(1)成立（假设1为自然数的起点）C. P(2)成立D. P(n)的递推关系式成立（答案：A或B，根据自然数的定义起点而定，通常选B）五、在数学归纳法的归纳步骤中，我们通常做的是？A. 验证命题对第一个自然数的成立性B. 假设命题对某个自然数k成立，然后证明它对k+1也成立C. 验证命题对所有负整数的成立性D. 无需做任何假设，直接证明命题对所有自然数都成立（答案：B）六、关于数学归纳法，以下哪个说法是不正确的？A. 数学归纳法是证明自然数命题的一种有效方法B. 在使用数学归纳法时，必须验证基础情况C. 只要证明了递推关系式，就可以直接使用数学归纳法得出结论D. 数学归纳法包括基础步骤和归纳步骤（答案：C）七、设P(n)是一个关于自然数n的命题，若P(n)对n=1成立，且当P(k)成立时，P(k+2)也成立，则能得出什么结论？A. P(n)对所有自然数n都成立B. P(n)对所有正奇数n都成立C. P(n)对所有正偶数n都成立D. 无法得出P(n)对任何特定自然数集合成立的结论（答案：B，考虑到递推间隔为2）八、在数学归纳法的应用中，以下哪个情况是不需要的？A. 明确命题P(n)的形式B. 验证命题P(n)对第一个自然数的成立性C. 假设命题P(k)成立，然后证明P(k+1)也成立D. 验证命题P(n)对某个特定大数N的成立性（答案：D）。

高中数学《数学归纳法》同步检测试卷与答案解析

选择性必修二《4.4 数学归纳法》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( ) A ．a 1＋(k －1)d B ．C ．ka 1＋d D ．(k ＋1)a 1＋ d 2．已知f(n)＝，则( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝＋ B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝＋＋ C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝＋ D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝＋＋ 3．用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f(n)＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f(k ＋1)－f(k)等于( ) A ．3k －1 B ．3k ＋1 C ．8k D ．9k 4．证明等式12＋22＋32＋…＋n 2＝(n ∈N *)时，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＝，等式成立； ②假设n ＝k(k ∈N *)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝，则当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2(1)2n n -1()2k k a a +(1)2k k -(1)2k k +2111112n n n n +++++12131213141213121314(1)(21)6n n n ++1236⨯⨯(1)(21)6k k k ++＝＋(k ＋1)2＝＝＝，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，故原式成立．那么上述证明( ) A ．过程全都正确 B ．当n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝，b ＝c ＝B ．a ＝b ＝c ＝C ．a ＝0，b ＝c ＝D ．不存在这样的a ，b ，c 6.用数学归纳法证明3n ≥n3(n ≥3,n ∈N*),第一步验证 ( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n =47.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n −1<n(n ≥2,n ∈N*)的过程中,由n=k 变到n=k+1时,左边增加了( )A.1项B.k 项C.2k-1项D.2k 项 8．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（） A ．B ．C ．D ．二、多选题9.一个与正整数n 有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k 时命题成立可以推得n=k+2时(1)(21)6k k k ++[](1)(21)6(1)6k k k k ++++2(1)2766k k k ⎡⎤+++⎣⎦()[](1)112(1)16k k k +++++⎡⎤⎣⎦12141414213122+<221151233++<222111712344+++<()2221111231n +++⋅⋅⋅++1nn +211n n -+211n n ++21nn +命题也成立,则下列说法正确的是( ) A.该命题对于n=6时命题成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与k 取值无关 D.以上答案都不对10．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（） A ． B ．是等比数列C ．D ．11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．514=1=1030n n a 2n an b ={}n a {}n b 1058b b ={}n b 130105a b =357246209193a a a a a a ++=++{}n a 11a =21a =()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈n n S nc 2111n n n n S a a a +++=+⋅12321n n a a a a a +++++=-1352121n n a a a a a -++++=-()1214n n n n c c a a π--+-=⋅12．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（） A ． B ． C ． D ．三、填空题13．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 14．用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，当n ＝1时，原式为__________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是________________． 16．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k ＋1)＝f(k)＋________. 16.用数学归纳法证明1-12+13−14+…+12n−1−12n=1n+1+1n+2+…+12n时,第一步应验证的等式是;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是. 四、解答题 17．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n ∈N *)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝n[f(n)－1](n≥2，n ∈N *)．18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(n ∈N *)．(1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．19．已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1＝1，a n ＋1＝a n (4－a n )，n ∈N *.证明a n ＜a n ＋1＜2(n ∈N *)．20．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n 个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．20．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 21．已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是21121n n nn ->++(),n k n k N ≥∈k 1234(1)2n n +12131n1n na a +1231231331431n()g n =32212n {}n a n S {}n a n n S 2a 2n na -a不为的常数. （1）求.（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明. 22．观察下列等式：．．．．．．按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．答案解析一、单选题1．用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( ) A ．a 1＋(k －1)d B ． C ．ka 1＋ d D ．(k ＋1)a 1＋ d 【答案】C【解析】假设当n ＝k 时，公式成立，只需把公式中的n 换成k 即可，即S k ＝ka 1＋d. 2．已知f(n)＝，则( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝＋ B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝＋＋ 0123,,a a a n a 11=2349++=3456725++++=4567891049++++++=()*n n N∈()*n n N ∈(1)2n n -1()2k k a a +(1)2k k -(1)2k k +(1)2k k -2111112n n n n +++++1213121314C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝＋ D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝＋＋【解析】选D 由f(n)可知，f(n)中共有n 2－n ＋1项，且n ＝2时，f(2)＝＋＋3．用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f(n)＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f(k ＋1)－f(k)等于( ) A ．3k －1 B ．3k ＋1 C ．8k D ．9k 【答案】C【解析】因为f(k)＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f(k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1)，则f(k ＋1)－f(k)＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k.4．证明等式12＋22＋32＋…＋n 2＝(n ∈N *)时，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＝，等式成立； ②假设n ＝k(k ∈N *)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝，则当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝＋(k ＋1)2＝＝＝，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，故原式成立．那么上述证明( ) A ．过程全都正确 B ．当n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确1213121314121314(1)(21)6n n n ++1236⨯⨯(1)(21)6k k k ++(1)(21)6k k k ++[](1)(21)6(1)6k k k k ++++2(1)2766k k k ⎡⎤+++⎣⎦()[](1)112(1)16k k k +++++⎡⎤⎣⎦【答案】A【解析】通过对上述证明的分析验证知全都正确，故选A. 5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( ) A ．a ＝，b ＝c ＝ B ．a ＝b ＝c ＝ C ．a ＝0，b ＝c ＝ D ．不存在这样的a ，b ，c 【答案】A【解析】令n ＝1,2,3，得即解得a ＝，b ＝，c ＝. 6.用数学归纳法证明3n ≥n3(n ≥3,n ∈N*),第一步验证 ( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 【答案】C【解析】由题知,n 的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.7.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n −1<n(n ≥2,n ∈N*)的过程中,由n=k 变到n=k+1时,左边增加了( )A.1项B.k 项C.2k-1项D.2k 项【答案】D【解析】当n=k 时,不等式左边的最后一项为12k −1,而当n=k+1时,最后一项为12k+1−1=12k −1+2k,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.8．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（） 1214141422313(),1233(2),123333(3),a b c a b c a b c =-+⎧⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩331,1897,812734,a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩121414213122+<221151233++<222111712344+++<()2221111231n +++⋅⋅⋅++A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即，.故选：C. 二、多选题9.一个与正整数n 有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k 时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是( ) A.该命题对于n=6时命题成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与k 取值无关 D.以上答案都不对【答案】AB【解析】由n=k 时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.10．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（） A ． B ．是等比数列C ．D ．【答案】BD【解析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，1n n +211n n -+211n n ++21nn +1n +1n +21n ()2221112112311n n n ++++⋅⋅⋅+<++∴514=1=1030n n a 2n an b ={}n a {}n b 1058b b ={}n b 130105a b =357246209193a a a a a a ++=++{}n a {}n a d 15a =由题意可得，解得，，，（非零常数），则数列是等比数列，选项正确；，，，选项错误；，，选项错误；，，所以，，选项正确.故选：BD11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD130********da ⨯+=1629d =116129(1)29n n a a n d +∴=+-=2na nb =1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴==={}n b B 16805532929d =⨯=≠()553105222dd b b ==≠1058b b ∴≠A 3012951621a a d =+=+=2113052105a b ∴=⨯>C 41161933532929a a d =+=+⨯=51162094542929a a d =+=+⨯=357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++D {}n a 11a =21a =()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈n n S nc 2111n n n n S a a a +++=+⋅12321n n a a a a a +++++=-1352121n n a a a a a -++++=-()1214n n n n c c a a π--+-=⋅【解析】对于A 选项，因为斐波那契数列总满足，所以，，，类似的有，，累加得，由题知，故选项A 正确，对于B 选项，因为，，，类似的有，累加得，故选项B 正确，对于C 选项，因为，，，类似的有，累加得，故选项C 错误，对于D 选项，可知扇形面积，故，故选项D 正确，故选：ABD.12．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（） A ．B ．C ．D ．()*123,n n n a a a n n N--=+≥∈2121a a a =()22222312321a a a a a a a a a a ==-=-()23333423432a a a a a a a a a a ==-=-()21111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-==-=-22221231n n n a a a a a a +++++=⋅222222112311211n n n n n n n n S a a a a a a a a a a ++++++=+++++=⋅=+⋅11a a =231a a a =-342a a a =-11n n n a a a +-=-123122++1n n n n a a a a a a a a ++++=+-=-11a a =342a a a =-564a a a =-21222n n n a a a --=-13211222++n n n a a a a a a a -+=+-=24nn a c π⋅=()()2222111124444n n n n n n n n c c a a a a a a ππππ+----⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅21121n n nn ->++(),n k n k N ≥∈k 1234【答案】CD【解析】取，则，不成立；取，则，不成立；取，则，成立；取，则，成立；下证：当时，成立.当，则，成立；设当时，有成立，则当时，有，令，则，因为，故，因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD. 三、填空题13．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．1n =2111,21312n n n n -==++21121n n nn ->++2n =2132,21513n n n n -==++21121n n nn ->++3n =2173,21914n n n n -==++21121n n nn ->++4n =21154,211715n n n n -==++21121n n nn ->++3n ≥21121n n nn ->++3n =2173,21914n n n n -==++21121n n nn ->++()3n k k =≥21211k k kk ->++1n k =+11213121212121321k k k k k k ++-+-+=-+++2121k k t -=+1121318=32133k k t t t ++-+=-+++1k t k >+11218413214331k k k k k k ++-+>-=++++()()411210432432k k k k k k k ++--=>++++()1121112121+1k k k k k k ++-++>=+++1n k =+21121n n n n ->++3n ≥【答案】2k ＋1【解析】∵n 为正奇数，且与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1，∴需证n ＝2k ＋1时，命题成立．14．用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，当n ＝1时，原式为__________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是________________．【答案】1＋2＋22＋23＋2425k＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4【解析】当n ＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k＋25k ＋1＋…＋25(k ＋1)－1.16．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k ＋1)＝f(k)＋________. 【答案】k ＋1 【解析】f(k)＝1＋， f(k ＋1)＝1＋，∴f(k ＋1)－f(k) ＝＝k ＋1，∴f(k ＋1)＝f(k)＋(k ＋1)． 16.用数学归纳法证明1-12+13−14+…+12n−1−12n=1n+1+1n+2+…+12n时,第一步应验证的等式是 ;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是 . 【答案】1-12=1212k+1−12(k+1) 【解析】当n=1时,应当验证的第一个式子是1-12=12,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是12k+1−12(k+1). 四、解答题 17．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n ∈N *)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝n[f(n)－1](n≥2，n ∈N *)．【解析】当n ＝2时，左边＝f(1)＝1，(1)2n n +(1)2k k +(1)(2)2k k ++(1)(2)(1)1122k k k k +++⎡⎤⎡⎤+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12131n右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k(k≥2，k ∈N *)时，等式成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k －1)＝k[f(k)－1]，那么，当n ＝k ＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k －1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k ＋1)f(k)－k ＝(k ＋1)－k ＝(k ＋1)f(k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时等式仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝n[f(n)－1](n≥2，n ∈N *)． 18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝＝， a 3＝＝，a 4＝＝. (2)由(1)的计算猜想a n ＝. 下面用数学归纳法进行证明． ①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立． ②假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝，那么a k ＋1＝，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝. 1112⎛⎫+- ⎪⎝⎭1(1)1f k k ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦1n na a +111a a +12221a a +13331a a +141n1k111111k k a k a k k==+++1n19．已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1＝1，a n ＋1＝a n (4－a n )，n ∈N *.证明a n ＜a n ＋1＜2(n ∈N *)．【解析】①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝a 1(4－a 1)＝， ∴a 1＜a 2＜2，命题正确．②假设n ＝k 时，有a k ＜a k ＋1＜2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1－a k ＋2＝a k (4－a k )－a k ＋1(4－a k ＋1)＝2(a k －a k ＋1)－(a k －a k ＋1)·(a k ＋a k ＋1) ＝(a k －a k ＋1)(4－a k －a k ＋1)．而a k －a k ＋1＜0,4－a k －a k ＋1＞0， ∴a k ＋1－a k ＋2＜0. 又a k ＋2＝a k ＋1(4－a k ＋1)＝[4－(a k ＋1－2)2]＜2， ∴n ＝k ＋1时命题正确．由①②知，对一切n ∈N *都有a k ＜a k ＋1＜2.20．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n 个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．【解析】n ＝2时，f(2)＝2＝1×2， n ＝3时，f(3)＝2＋4＝6＝2×3， n ＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4， n ＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n －1)(n≥2)．下面用数学归纳法给出证明：①当n ＝2时，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假设当n ＝k(k≥2，k ∈N *)，时猜想成立，即f(k)＝k(k －1)，则n ＝k ＋1时，其中圆O 与其余k 个圆各有两个交点，而由假设知这k 个圆有f(k)个交点，所以这k ＋1个圆的交点个数f(k ＋1)＝f(k)＋2k ＝k(k －1)＋2k ＝k 2＋k ＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]，即n ＝k ＋1时猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n －1)(n≥2)．12123212121212121220．已知f(n)＝1＋＋＋＋＋，－，n∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．【解析】（1）当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n ＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；当n ＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．（2）由（1）猜想： f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明． ①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k(k∈N *)时不等式成立，即1＋＋＋＋＋－，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝f(k)＋－＋，因为－＝－＝＜0，所以f(k ＋1)＜－＝g(k ＋1)．由①②可知，对一切n∈N *，都有f(n)≤g(n)成立. 21．已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数. （1）求.（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明. 【解析】（1）由题意知：31231331431n()g n =32212n 9811825121631221631231331431k ≤32212k 31(1)k +≤32212k 31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++212(1)k +23112(1)k k ++332(1)k k ++212k 32312(1)k k k --+32212(1)k +{}n a n S {}n a n n S 2a 2n na -a 0123,,a a a n a 222n n S a na =-即，当时，，解得. 当时，，解得. 当时，，解得. （2）猜想：证明：①当时，由（1）知等式成立. ②假设当时等式成立，即，则当时，又则，，∴，即所以，即当时，等式成立. 结合①②得对任意均成立.22．观察下列等式：．．．．．．n n S a na =-1n =111S a a a ==-12a a =2n =21222S a a a a =+=-26a a =3n =312333S a a a a a =++=-312a a =()()*1n aa n N n n =∈+1n =()*1,n k k k N =≥∈()1k aa k k =+1n k =+n n S a na =-k k S a ka =-11k k S a ka ++=-()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--()()1211k k a ak a ka k k k k ++==⨯=++()()()()112111k aaa k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦1n k =+()1n aa n n =+*n N ∈11=2349++=3456725++++=4567891049++++++=按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．【解析】（1）第5个等式为．第个等式为，．（2）证明：①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立． ②假设时，命题成立，即，则当时，，即时等式成立．根据①和②，可知对任意等式都成立．()*n n N∈()*n n N∈256789101112139++++++++=n 2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-*n N ∈1n =1=2(21)1=-=n k =2(1)(2)(32)(21)k k k k k ++++++-=-1n k =+(1)[(1)1][(1)2][3(1)2](1)(2)(3)(31)k k k k k k k k ++++++++++-=++++++++(1)(2)(32)(31)3(31)k k k k k k k k =++++++-+-+++-2222(21)84418(21)[2(1)1]k k k k k k k =-+=-++=+=+-1n k =+*n N ∈。

数学归纳法

数学归纳法时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共48分)1．若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n－2B．f(n)＋n－1C．f(n)＋n D．f(n)＋n＋1【答案】 B【解析】凸n(n≥4)边形到凸(n＋1)边形其对角线条数增加了n －1条，因此凸(n＋1)边形的对角线条数f(n＋1)＝f(n)＋n－1.故选B.2．下列代数式(k∈N＋)能被9整除的是()A．6＋6×7k B．2＋6×7k－1C．2(2＋2×7k＋1) D．3(2＋7k)【答案】 D【解析】当k＝1时6＋6×7＝48不能被9整除，故排除A,2＋6×70＝8不能被9整除，故排除B,2(2＋2×72)＝200，不能被9整除，故排除C,3(2＋7)＝27能被9整除，故选D.3．(2012·威海模拟)在用数学归纳法证明2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立时，第一步验证的n0等于()A．1 B．3C．5 D．7【答案】 C【解析】n＝1时2>1，n＝2时4＝4，n＝3时8<9，n＝4时16＝16，n＝5时，32>25，n＝6时，64>36，故选C.4．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，则从k 到k ＋1时，左边所要添加的项是( )A.12k ＋1B.12k ＋2－12k ＋4 C.12k ＋1－12k ＋2 D ．－12k ＋2【答案】 C【解析】左边共2n 项，从k 到k ＋1时，左边应添加12(k ＋1)－1－12(k ＋1)，故选C. 5．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72.推测：当n ≥2时，有( )A ．f (2n －1)>n ＋12 B ．f (2n )>n ＋22 C ．f (2n )>n2 D ．f (2n －1)>n2【答案】 B【解析】 ∵f (2)＝32； f (4)>2，即f (22)>2＋22； f (8)>52，即f (23)>3＋22； f (16)>3，即f (24)>4＋22； f (32)>72，即f (25)>5＋22，故猜想f (2n )>n ＋22(n ≥2)．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，试归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.2n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋1D.2n 2n ＋1【答案】 A【解析】由已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，……， ∴S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32，……，猜想S n ＝2nn ＋1.7．(2012·曲阜一中模拟)设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A ．[12，2) B ．[12，2] C ．[12，1] D ．[12，1)【答案】 D【解析】由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝f 2(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝f 3(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，…，a n ＝f (n )＝f n (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n ， ∵n ∈N *，∴12≤S n <1.8．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立【答案】 C【解析】方法一：由n ＝k (k ∈N *)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立．所以n ＝4一定不成立．方法二：其逆否命题“若当n ＝k ＋1时该命题不成立，则当n ＝k 时也不成立”为真，故“n ＝5时不成立”⇒“n ＝4时不成立”．二、填空题(每小题8分，共24分)9．(2012·吉林市检测、浙江金华)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，则可以猜想：当n ≥2时，有____________________．【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)【解析】观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为2n －1n .10．下面是按照一定规律画出的一列“树型”，如图．设第n 个图有a n 个树枝，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是________．【答案】 a n ＋1＝2a n ＋211．(东北四校2012届一模)给出下列不等式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32>1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为________．【答案】 1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12三、解答题(共28分)12．(14分)是否存在常数a ，b ，c 使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？并证明你的结论．【解析】分别用n ＝1,2,3代入等式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝381a ＋9b ＋c ＝18，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－14c ＝0.下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，由上可知等式成立；(2)假设n ＝k 时，等式成立，即1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k 4－14k 2，则n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋1·(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4－14k 2＋1·2(k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)，(2)得知等式对一切的x ∈N *均成立．13．(14分)(2011·丹东四校协作体联考)设数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1＝a n＋1a n(n∈N*)．(1)证明：a n>2n＋1对n∈N*恒成立；(2)令b n＝a nn(n∈N*)，判断b n与b n＋1的大小，并说明理由．【解析】(1)证法1：当n＝1时，a1＝2>2×1＋1，不等式成立，假设n＝k时，a k>2k＋1成立，当n＝k＋1时，a2k＋1＝a2k＋1a2k＋2>2k＋3＋1a2k>2(k＋1)＋1.∴n＝k＋1时，a k＋1>2(k＋1)＋1时成立，综上由数学归纳法可知，a n>2n＋1对一切正整数成立．证法2：当n＝1时，a1＝2>3＝2×1＋1，结论成立；假设n＝k时结论成立，即a k>2k＋1，当n＝k＋1时，由函数f(x)＝x＋1x(x>1)的单增性和归纳假设有a k＋1＝a k＋1a k>2k＋1＋12k＋1，因此只需证：2k＋1＋12k＋1≥2k＋3，而这等价于(2k＋1＋12k＋1)2≥2k＋3⇔12k＋1≥0，显然成立，所以当n＝k＋1时，结论成立；综上由数学归纳法可知，a n>2n＋1对一切正整数成立．证法3：由递推公式得a2n＝a2n－1＋2＋1a2n－1，a 2n －1＝a 2n －2＋2＋1a 2n －2，a 22＝a 21＋2＋1a 21，上述各式相加并化简得a 2n ＝a 21＋2(n －1)＋1a 21＋…＋1a 2n －1>22＋2(n －1)＝2n ＋2>2n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时，a n >2n ＋1显然成立，故a n >2n ＋1(n ∈N *)． (2)解法1：b n ＋1b n ＝a n ＋1n a n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2n nn ＋1<⎝⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1n n ＋1＝2(n ＋1)n(2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－14n ＋12<1，又显然b n >0(n ∈N *)，故b n ＋1<b n 成立．解法2：b n ＋1－b n ＝a n ＋1n ＋1－a n n ＝1n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n －a n n ＝1a n n (n ＋1)[n －(n ＋1－n )a 2n ]≤1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )(2n ＋1)](由(1)的结论)＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1＋n )－(2n ＋1)]＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n [n (n ＋1)－(n ＋1)]＝1n (n ＋1＋n )a n (n －n ＋1)<0，所以b n ＋1<b n .解法3：b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1n ＋1－a 2n n＝1n＋1⎝⎛⎭⎪⎫a2n＋1a2n＋2－a2nn＝1n＋1⎝⎛⎭⎪⎫2＋1a2n－a2nn<1n＋1⎝⎛⎭⎪⎫2＋12n＋1－2n＋1n＝1n＋1⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1－1n<0，故b2n＋1<b2n，因此b n＋1<b n.。

高二数学数学归纳法试题答案及解析

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.观察下列各不等式：…（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到的结论．【答案】（1）且；（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【解析】（1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.试题解析：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为且.（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【考点】归纳推理；数学归纳法.2.设，其中为正整数．（1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）【解析】（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.试题解析：解：（1） 3分（2）猜想： 4分证明：①当时，成立 5分②假设当时猜想正确，即∴由于8分∴，即成立由①②可知，对成立 10分【考点】数学归纳法及其应用.3.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第4个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A．24B．26C．28D．30【答案】B【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图形中有8根火柴，第二个图形中有8+6根火柴，第三个图形中有8+26根火柴，第三个图形中有8+36根火柴，即26根火柴，故选B.【考点】归纳推理.4.是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由.【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.6.用数学归纳法证明（），在验证当n=1时，等式左边应为A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【答案】D【解析】注意到的左端，表示直到共n+3项的和，所以，当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，选D。

数学归纳法(理)

12-6数学归纳法(理)基础巩固一、选择题1．若命题p (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立，又已知命题p (1)成立，则下列结论正确的是( )A ．p (n )对所有自然数n 都成立B ．p (n )对所有正偶数n 成立C ．p (n )对所有正奇数n 都成立D ．p (n )对所有大于1的自然数n 成立 [答案] C2．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋____________( )A.π2 B ．π C.32π D ．2π [答案] B[解析] 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.3．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( )A ．n ＝1成立B ．n ＝2成立C ．n ＝3成立D ．n ＝4成立[答案] C[解析] 凸n 边形的内角和为(n －2)π，最少边的凸n 边形为三角形，所以应验证n ＝3时成立．4．下列代数式(其中k ∈N ＋)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案] D[解析]对于选项D,3(2＋7k)，(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．5．用数学归纳法证明“1＋2＋…＋n＋(n－1)…＋2＋1＝n2(n∈N ＋)”，从n＝k到n＝k＋1时，左边添加的代数式为() A．k＋1 B．k＋2C．k＋1＋k D．2(k＋1)[答案] C[解析]在由n＝k到n＝k＋1时，左边式子为1＋2＋3＋…＋k ＋k＋1＋k＋…＋2＋1，因此，左边添加的式子为k＋1＋k.6．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开() A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案] A[解析]假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．二、填空题7．在各项为正数的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n＝12(a n＋1a n)，则a3＝________，猜想数列{a n}的通项公式为______________．[答案]3－2a n＝n－n－1[解析](1)由S n＝12(a n＋1a n)可计算出a1＝1，a2＝2－1，a3＝3－ 2.(2)由a1，a2，a3可归纳猜想出a n＝n－n－1.8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为________．[答案]2(2k＋1)[解析]当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是(2k＋1)(2k＋2)k＋1＝2(2k＋1)．三、解答题9．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1n(n＋1)2.[证明](1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－11×22＝1，结论成立．(2)假设n＝k时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k －1k (k ＋1)2.那么，当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2.结论也成立．由(1)(2)可知，对于一切正整数n ，结论都成立.能力提升一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 [答案] D[解析] ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )A ．190B ．715C ．725D ．385 [答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n6. 当n ＝10时，总数为715. 二、填空题3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．[答案] f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2[解析] ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.4．(2012·青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．[答案] 2k[解析] 当n ＝k 时为1＋12＋13＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时为1＋12＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12·2k －1，所以从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了2k 项．三、解答题5．数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n (n ≥1)．用数学归纳法证明：a n ≥2(n ≥2)．[解析] 证明：(1)①当n ＝1时，a 2＝2≥2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2(k ≥2)，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(1＋1k (k ＋1))a k ＋12k ≥(1＋1k (k ＋1))×2＋12k＝2＋2k (k ＋1)＋12k >2，这就是说，当n ＝k ＋1时不等式成立．根据①②可知a n ≥2对所有n ≥2成立． 6．已知△ABC 的三边长都为有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)对任意正整数n，求证cos nA是有理数．[分析]本题主要考查余弦定理、数学归纳法等础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．[解析](1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A＝AB2＋AC2－BC22AB·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数．①当n＝1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin A·sin A＝1－cos2A 也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，及①和归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．7．(2012·西安模拟)是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．[解析]假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立．当n＝1时，a(b＋c)＝1；当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19.解得⎩⎨⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]．即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N ＋都成立．。