人教版数学九年级下27.2.3相似三角形的应用举例教案及教学反思

解析：先利用△BDC ∽△FGE 得到 ＝ ，可计算出 BC ＝6m ， 27.2.3 相似三角形的应用举例

1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；

(重点)

2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点)

一、情境导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七

大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希

腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃

及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到

塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？

二、合作探究

探究点：相似三角形的应用

【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度

如图，某一时刻一根 2m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2m ，此时，

小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上

的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6m ，求树 AB 的长．

BC 2 3.6 1.2

CD GE 3.6 1.2 DCE ＝ °，∴△90

BAE ∽△DCE ，∴ ＝ .∵CE ＝2.5m ，DC ＝1.6m ，∴＝ ，∴AB ＝12.8，∴大楼 AB 的高度为 12.8m.

然后在 △R t ABC 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系即可得到 AB

的长．

BC EF BC 2 解：如图，CD ＝3.6m ，∵△BDC ∽△FGE ，∴ ＝ ，即 ＝ ，

∴BC ＝6m.在 △R t ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12m ，即树长

AB 是 12m.

方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问

题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题

【类型二】 利用镜子的反射测量物体的高度

小红用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度．如图，在水

平地面点 E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离 AE ＝20m.当她

与镜子的距离 CE ＝2.5m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端

B .已知她的眼睛距地面高度 D

C ＝1.6m ，请你帮助小红测量出大楼 AB

的高度(注：入射角＝反射角)．

解析：根据物理知识得到∠BEA ＝∠DEC ，所以可得△BAE ∽△DCE ，

再根据相似三角形的性质解答．

解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA ＝∠DEC ，∵∠BAE ＝∠

AB AE DC EC

AB 20 1.6 2.5

方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型三】利用标杆测量物体的高度

如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．

解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．

解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于E，∴DE＝CB＝9.6m，BE ＝CD＝2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m，∴学校旗杆的高度为10m.

方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

＝°，易得△

90A BE∽△CDE.根据＝，即可算出AB的高．【类型四】利用相似三角形的性质设计方案测量高度

星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯

玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪

念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑

的高度(画出示意图)，并说明理由．

解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰

好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．

解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面

镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B

CD DE

AB BE

方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

三、板书设计

1．利用相似三角形测量物体的高度；

2．利用相似三角形测量河的宽度；

3．设计方案测量物体高度．

通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.