详解第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
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详解第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A(小学高年级组)
一、填空题(每小题 10 分, 共80 分)
1、如右图, 边长为12 米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A, B, C, D
处各有一根木桩, 且CD=BC=AB=3 米. 现用长 4 米的绳子将一头羊拴
在其中的某根木桩上。为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在A, B, C, D 处的哪个木桩上?
解:因为BC=AB=3 米,拴在A桩和C桩上活动范围一样大,都是一个
半径为4米的半圆加上一个半径为1米的1
4
圆;拴在D桩上活动范围是一个半径为4米的半圆;而拴在B
桩上活动范围最大,是一个半径4米的3
4
圆。所以,绳子应当拴在B处的木桩上。
2、在所有是20 的倍数的自然数中, 不超过3000 并且是14 的倍数的数之和是。解:20和14的最小公倍数是:[20,14]=140
不超过3000 并且是14 的倍数的数有:[3000
140
]=21(个)
是14 的倍数的数之和是:140×(1+2+3+…+21)=32340。
3、从1~8这八个自然数中任取三个数,其中没有连续自然数的取法有种。
解法一:枚举法:
①、三个数字同为奇数:135、137、157、357. 共有4种;
②、三数字同为偶数:246、248、268、468. 共有4种;
③、三数字两奇一偶:136、138、158、147、358、257. 共有6种;
④、三数字两偶一奇:247、258、146、148、168、368. 共有6种;
总计:4+4+6+6=20(种)
解法二:排除法:
1~8中任取三个数,有3
8
C=56种不同的取法,其中三个连续数有6种(123 ~ 678)
两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种(如124、125、126、127、128等)
则满足题意的取法有56-6-30=20种
4、如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为4 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的
剪影(马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上), 则这个剪影的面积为多少平方厘米?.
解:解格点与面积的问题,一般通过分割和采用格点面积公式的计算来求得。本题,我们采用数格和计算相结合的办法来解答。如下图:
绿色部分的面积:32(cm2)
马耳部分:0.5(cm2)
马鬃部分,用梯形减去蓝色部分:
(3+4)×1÷2-3×1÷2=2(cm2);
马头及马嘴:2×(1+3)÷2=4 (cm2)
前腿部分(黄+黄+红+蓝):
3×1÷2+(1+1.5)×1÷2+1.5×1÷2+(1+3)×1÷2
=1.5+1.25+0.75+2=5.5(cm2)
马腹部分,两个红三角形的和:2(cm2)
马后腿:黄+红+蓝-蓝+红
=1.5+2+0.5-1=3(cm2)
马臀部分粉红:2×3÷2=3(cm2)
蓝色:3×1÷2=1.5(cm2)
黄色:(2+3)×1÷2=2.5(cm2)
大红:0.5(cm2)
所以,红鬃烈马的剪影面积为56.5平方厘米。
5、如果
11<
7
<
4
5
成立, 则“○” 与“□” 中可以填入的非零自然数之和最大是多少?
解:将7
<
4
5
通分,把分母统一为□×5,根据<
4
5
⨯
⨯
,推知,□≥9
再将
11<
7
通分,能得到
11
⨯
⨯
<
77
11⨯
,
推知,○×□<77. 而○×□的积最大为76,
而76=1×76=2×38=4×19.
题意要求“○” 与“□”中的和最大,那么,两数的差也应最大。
所以,当○=1,□=76时,两数之和最大,为:1+76=77.
6、如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数1~7 分别填到七个部分中,
要求每个圆内的四个数字的和都相等. 那么和的最大值是多少?
解:要求和的值最大,最大的数字应放在中心重叠3次的地方,把次
大的数字放在重叠2次的地方,数字1、2、3用来调节三个圆圈中和的多少。
三个圆圈中和的最大值是:4+6+2+7=3+7+4+5=1+5+6+7=19
7.学校组织1511人去郊游,租用42座大巴和25座中巴两种汽车.如果要求恰好每人一座且每座一人,则有种租车方案。
解:设大巴x辆,中巴y辆.
根据题意列不定方程42x+25y=1511
151142 y
25x
-
=则2511-42a,42a个位数字应为6,才能被5整除。经试验当x=8时,y=47
当x=8+25=33时,b=5,共2组整数解。
所以,共有两种租车方案。
8.平面上的五个点A,B,C,D,E满足:AB=8厘米,BC=4厘米,AD=5厘米,DE=1厘米,AC=12厘米,AE=6厘米.如果△EAB的面积为24平方厘米,则点A到CD的距离是多少厘米?
解:由8×6÷2=24,而S△EAB=24平方厘米,因此AE即是△EAB
的高,因而∠EAB是直角.
由AB=8厘米,BC=4厘米,AC=12厘米,因此A、B、C三点在一
直线上,由AD=5厘米,DE=1厘米,AE=6厘米,因此A、D、E三点在
一直线上,故△ACD是直角三角形,两条直角边AC=12厘米,AD=5厘
米,根据勾股定理
122+52=169=132
因此,知斜边CD长13厘米,而点A到CD的距离即斜边CD上的高
又△ACD的面积=12×5÷2=30(平方厘米)
斜边CD上的高,即点A到CD的距离。
点A到CD的距离为30×2÷13=60
13
(厘米)
二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)
9、把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方形(含正方形)组成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上。下图给出了n=6 时所有的不同放置方法, 那么n=9 时有多少种不同放置方法?
解:当层数为2时:
(1)8+1 有7种;(2)7+2 有5种;(3)6+3 有3种;(4)5+4 有1种;
当层数为3时: