海伦-秦九韶公式

海伦公式的推导和应用

海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据M orris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

海伦公式的推导和应用

海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：\《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。证明：与海伦在他的著作\《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a_+b_-c_)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos_ C)=1/2*ab*√[1-(a_+b_-c_)_/4a_*b_] =1/4*√[4a_*b_-(a_+b_-c_)_]=1/4*√[(2ab+a_+b_-c_)(2ab-a_-b_+c_)] =1/4*√[(a+b)_-c_][c_-(a-b)_] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, (a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]当P＝1时，△2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}因式分解得1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则S△ABC=1/2 aha =1/2 ab×sinC =1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的证明证一勾股定理如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理如右图。斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：变形②S =可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S =则要证S === ab×sinC此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵证一，x = =－c = p－cy = =－a = p－az = =－b = p－b∴r3 =∴r =∴S△ABC = r·p =故得证。二、海伦公式的推广于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD∴= = =解得：e =①f =②于S四边形ABCD = S△EAB将①，②跟b =代入公式变形④，得：∴S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。三、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。解：设BC = x海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0当x = 1时，AD = BC = 1∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,sa=inputbox(\请输入三角形第一边的长度\ b=inputbox(\请输入三角形第二边的长度\ c=inputbox(\请输入三角形第三边的长度\ a=1*a b=1*b c=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*qmsgbox(\三角形面积为\,\三角形面积\在VC中实现#include #include main() {int a,b,c,s;printf(\输入第一边\\n\ scanf(\ printf(\输入第二边\\n\ scanf(\ printf(\输入第三边\\n\ scanf(\ s=(a+b+c)/2;printf(\面积为:%f\\n\ }海伦公式

海伦公式

海伦公式我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明过程证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

三角形海伦面积公式证明

三角形海伦面积公式证明摘要：一、引言二、海伦公式的历史背景三、海伦公式的推导过程1.三角形面积公式2.引入变量3.计算面积4.验证海伦公式四、结论正文：一、引言在几何学中，计算三角形面积是一个常见的问题。

海伦公式是一个计算三角形面积的公式，它不仅简单易用，而且具有广泛的应用。

本文将介绍海伦公式的证明过程。

二、海伦公式的历史背景海伦公式，又称海伦- 秦九韶公式，得名于德国数学家海伦（Heron）和我国南宋数学家秦九韶。

他们在公元1 世纪和13 世纪独立发现了这个公式。

海伦公式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，例如计算电路面积、计算机图形学等。

三、海伦公式的推导过程1.三角形面积公式首先，我们回顾一下三角形面积的计算公式：S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))，其中a、b、c 为三角形的三边，p 为半周长，即p = (a + b + c) / 2。

2.引入变量为了证明海伦公式，我们可以先引入一些变量。

令s 为半周长，即s = p / 2。

我们用a、b、c 表示三角形的三边，用A、B、C 表示三角形的三角。

3.计算面积利用三角形面积公式，我们可以得到：S = √(s * (s - a/2) * (s - b/2) * (s - c/2))。

4.验证海伦公式我们可以将s 表示为p / 2，然后将p 表示为a + b + c。

代入公式中，我们可以得到：S = √((a + b + c) / 4 * ((a + b + c) / 4 - a/2) * ((a + b + c) / 4 - b/2) * ((a + b + c) / 4 - c/2))。

经过简化，我们可以得到：S = √((ab + ac + bc) / 4)。

这就是海伦公式！四、结论通过以上推导，我们证明了海伦公式。

这个公式为我们提供了一种简便的方法来计算三角形的面积。

海伦—秦九昭公式的推导和应用

海伦—秦九昭公式的推导与应用海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/ 2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

海伦秦九韶算法公式

海伦秦九韶算法公式
海伦秦九韶算法公式是一种用于求解三角形面积的数学公式。

该公式由古希腊数学家海伦提出，后来被中国古代数学家秦九韶所发扬光大，因此也被称为“海伦-秦九韶公式”。

海伦秦九韶公式的表达式为：
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S为三角形的面积，a、b、c分别为三角形三边的长度，p 为三角形半周长，即：
p = (a+b+c)/2
海伦秦九韶公式的推导过程较为复杂，但其优点在于可以快速、准确地计算任意形状的三角形的面积，而不需要事先知道其高度或底边长。

由于其实用性和广泛应用，海伦秦九韶公式已成为中学数学教学中不可或缺的一部分。

- 1 -。

数学文化之海伦—秦九韶公式

古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程 ①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC 中，过A 作高AD 交BC 于D,设BD = x ，那么DC = a-x,
由于AD 是△ABD 、△ACD 的公共边，
则h 2=c 2-x 2=b 2-（a-x ）2，
解出x 得x=222
c -b +a 2a ，于是h=222
2c -b +a c -2a 2
（）， S △ABC 的面积=1ah 2=12a ·222
2c -b +a c -2a 2
（），
即S=12222
22c +a -b c a -22（），
令p=1
2（a+b+c ），
对被开方数分解因式，并整理得到 S=.))()((c p b p a p p --- 得证.
②由海伦公式推导秦九韶公式
秦九韶公式：])2([4122
2
222c b a b a S -+-=.
推导过程:
))()((c p b p a p p ---.。

海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式：△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c)这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。

有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。

诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。

在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。

虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。

与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。

到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。

海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。

他注重实际应用。

最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。

这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。

所以他们想到了三角形的三条边。

如果这样做求三角形的面积也就方便多了。

但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶海伦公式的证明过程

秦九韶海伦公式的证明过程嘿，咱今儿来聊聊秦九韶海伦公式的证明过程哈！这可是个相当有意思的玩意儿呢！咱先来说说啥是秦九韶海伦公式。

简单来讲，它就是用来计算三角形面积的一个神奇公式。

你想啊，给你一个三角形，要你算出它的面积，要是没这个公式，那得多费劲呀！但有了它，就像找到了一把钥匙，一下子就能把门打开啦！那它到底是咋证明出来的呢？咱一步一步来看哈。

咱先设三角形的三条边分别为 a、b、c，半周长为 s。

然后呢，就开始捣鼓啦！这证明过程就像是搭积木一样，一块一块往上垒。

你看，先是通过一些巧妙的计算和推导，得出一些中间的式子。

这就好比是先找到合适的积木块。

然后呢，再把这些式子组合起来，就像把积木搭成一个漂亮的城堡。

哇塞，突然之间，秦九韶海伦公式就出现在眼前啦！这就好像变魔术一样神奇，不是吗？你想想，本来毫无头绪的一个问题，通过这么一番操作，就变得清晰明了啦！你说这古人咋就这么聪明呢？他们是咋想到这些的呀？难道他们脑袋里装了个超级计算器不成？其实啊，这都是他们不断思考、不断尝试的结果。

就跟咱平时做事一样，多琢磨琢磨，说不定就能找到好办法呢！而且你发现没，数学这东西，有时候真的很神奇。

一个小小的公式，背后可能蕴含着巨大的智慧和奥秘。

咱再回过头来看看这个秦九韶海伦公式的证明过程，每一步都充满了智慧的火花呀！这就像在黑暗中点亮了一盏盏小灯，最后照亮了整个道路。

咱学习这个证明过程，可不仅仅是为了知道怎么证明，更是要学习古人的那种钻研精神。

遇到问题不退缩，努力去寻找答案。

你说要是咱平时遇到难题都能像古人研究这个公式一样，那还有啥问题解决不了呀？对吧！总之呢，秦九韶海伦公式的证明过程是个非常有趣且充满智慧的东西。

咱可得好好研究研究，说不定还能从中发现更多的宝藏呢！你说是不是呀？嘿嘿！。

数学文化之海伦—秦九韶公式

数学文化之海伦—秦九
韶公式
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
海伦—秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的着作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程
①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD = x，那么DC = a-x,
由于AD是△ABD、△ACD的公共边，
则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，
对被开方数分解因式，并整理得到
②由海伦公式推导秦九韶公式
推导过程:
p
a
p-
-
-.
)
p
)(
b
)(
(c
p。

海伦公式的推导和应用

海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p 作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

海伦—秦九昭公式的推导和应用

海伦—秦九昭公式的推导与应用海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/ 2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

海伦公式的推导和应用

海伦公式的推导和应用 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。

我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p 作为半周长。

——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明（1）：与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。

设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。

海伦——秦九韶公式推导的多样性

：
，
（ｂ）ａ－一）
／＋＋）ｏｂｃ一ａ Ⅱ ｂｃ一ｂｎｂｃ一ｃ（ｂｃ（＋＋）２（＋＋）２（＋＋）２ Ⅱ
２２２２ ‘
即海俭 — — 泰力．公式．韶
出．参考文献：［］ｔ吴文俊．文俊论数学机械化［．济南：山东教吴Ｍ］
育出版社，９６１９．
（ａ＋ｂ＋Ｃ（）ａ＋ｂ—ｃ（）ａ＋ｃ—ｂ（）ｂ＋Ｃ—ａ）
即海伦 —— 秦九韶公式：
Ａ＝／（ｓＳ—ａ（）Ｓ—ｂ（）ｓ—ｃ）
可知：
如上图所示，Ｄ＝列方程可得Ａ
１
ｆ△ ｃ寺．
１＋ｈ＝ｂ ‘
【一ｃ＋ｈ＝ｎ（）
２１一（ｂ［
）］
（ａ）一（＋ｂ２ｂａ一ｃ）。！
一
我们的目的是消去，，ｈ得到ａｂｃ △之间的关，，，系．将变元依次排序Ａ，ｈ用吴消元法对多项式组：，．
Ｐ．；ｃ・ｈ一２，５
－
４
’
＿
所
＝
…２ｂ
一
Ｃ
２
—
２ａｂ
…
Ｐ
ｈ＋Ｘ一ｂ。２
．
一
（２二．＝一 ± ：二
４４
Ｐ＋（ —ｃ：一ａ．３ｉｈ）
求其特征列，可得：
Ｃ３ｉ・ｈ一２Ａ，ｃＣｉｘ＋ａ２一ｂ一ｃ２ｃ２
．
ｎ＋ｂ＋ｃａ＋ｂ— Ｃｃ＋ａ — ｂＣ— ａ＋ｂ２２２２ ’

阅读思考..海伦公式

2ac
2
2
a c b
2 2

2 2

2ac a
c 2 b 2 2ac a 2 c 2 b 2
2

2
1 2a
a c
b 2 b 2 a c

1 2a
a c
2
b
2
b
2
a c
2

1 2a
4
b ac . 4
2

21 因为： p源自 a b c 2所以，原式
2p 2b 2 p 2c 2 p 2a p. . . 2 2 2

p P a p b p c
综合运用
如图，△ABC的三个顶点坐标分别是 A(0,2),B(4,0),C(6,4)求△ABC的周长和面积
a b c a c b b a c b a c
∴S△=½.a.AD
1 a b c a c b b a c b a c =½.a. 2a 1 a b c a c b b a c b a c 4 a b c . a b c . a b c . a b c
y
（6，4）
C
AB
Bc AC
x2 x1 y2 y1
2
2 2
2
2 5 （0，2）
A
x2 x1 y2 y1 x2 x1 y2 y1
2
2 5
O
2
2 10
5 2 10
B （4，0）

海伦公式1

海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。

但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证)。

原理简介
中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
而公式里的p为半周长：
注1："Metrica"(《论》）手抄本中用s作为半周长，所以
和两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

由于任何n边的多边形都可以分割成（n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。

比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。