《海伦-秦九韶公式》课件PPT1
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1.3算法案例---秦九韶算法PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
21.05.2019
在数学的发展史上，从公元前2、3世 纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮， 也有过低落，但一直走在世界的前列，是 世界数学的中心。中国古代数学对世界数 学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法 就是中国古代数学的一枝奇葩。 今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。
21.05.2019
பைடு நூலகம்
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
（3）若将x的值代入变形后的式子 中，那么求值的计算过程是怎样的？
将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前 的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数 继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数， 又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的 变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得 到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项 式的值。这种算法即是“秦九韶算法”
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
21.05.2019
在数学的发展史上，从公元前2、3世 纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮， 也有过低落，但一直走在世界的前列，是 世界数学的中心。中国古代数学对世界数 学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法 就是中国古代数学的一枝奇葩。 今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。
21.05.2019
பைடு நூலகம்
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
（3）若将x的值代入变形后的式子 中，那么求值的计算过程是怎样的？
将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前 的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数 继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数， 又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的 变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得 到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项 式的值。这种算法即是“秦九韶算法”
赛课：海伦和秦九韶教学课件ppt1
S 1 底高 2
C
b
h
a
x
A
cD B
问题 3、从公式的形式来看海伦与秦九韶面积公式的 共同点是什么？哪个更简洁？
S
1 4
c
2
a
2
c2
a2 2
b2
2
S ppapbpc, p abc
2
如：在三角形 ABC 中， a 10 ,b 13, c 5 ，
求三角形 ABC 的面积。哪个公式用起更方便呢？
五、反馈导练
1.在△ABC 中，角 A，B，C，所对边分别为 a，b，c，若 a=12cm，b=14cm，c=16cm，则
△ABC 的面积是多少？
2.在△ABC 中，角 A，B，C，所对边分别为 a，b，c，若 a= 6 ，b= 7 ，c= 8 ，则△ABC
的面积是多少？
3. 在△ABC 中，角 A，B，C，所对边分别为 a，b，c，若 a=15，b=8，c=17，则△ABC 的面
1 [a2b2
a
(
b2
2ab
c2
)2
]
4
2
4
2
1 [a2b2 (144 2ab 64)2 ] 1 [a2b2 (40 ab)2 ]
4
2
4
20ab 20 20 a2 12a 20
2 5 a 62 16
变式 1：在 ABC 中，若 a+b=12，c=8，请用海伦公式求 ABC 面积的最大值.
秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士， 先后在湖北、浙江等地做官。他在政务之余，对数学进行潜心钻 研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分 析、研究。 宋淳祐四至七年（1244－1247），写成了闻名的巨著 《数书九章》。
秦九韶算法PPT教学课件
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1， 求f(5)的值. 若先计算各项的值，然后 再相加，那么一共要做多少次乘法运算 和多少次加法运算？
4+3+2+1=10次乘法运 算， 5次加法运算.
思考2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果，再将这些数与x 和1相加，那么一共做了多少次乘法运算 和多少次加法运算？
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
研究有机化合物的一般步骤和方法
掌握：根据研究有机物的方法和步骤确定有机物的分子式与结构． 认识：分离提纯有机物的常规方法． 知道：测定有机化合物元素含量、相对分子质量的一般方法．
第
一
章
认 识 有 机
第四节 第1课
时
化
合
物
预习全程设计 名师全程导学 训练全程跟踪
例2 阅读 INPUT “x=”；a 下列程序，说 n=0 明它解决的实 y=0 际问题是什么？WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
小结作业
评价一个算法好坏的一个重要标志是 运算的次数，如果一个算法从理论上需 要超出计算机允许范围内的运算次数， 那么这样的算法就只能是一个理论算法. 在多项式求值的各种算法中，秦九韶算 法是一个优秀算法.
秦九韶算法课件
(2)已知一个五次多项式f(x)＝2x5－4x3＋3x2 －5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝3 是的值．
秦九韶算法课件
[探究] 1.用秦九韶算法求多项式的值时，几 次多项式就做几次乘法运算，对吗？
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn －1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，v0是什么？ v1呢？
秦九韶算法课件
[规律总结] 用秦九韶算法时要正确将多项 式的形式进行改写，然后由内向外依次计 算．当多项式函数中间出现空项时，要以系 数为零的齐次项补充．
秦九韶算法课件
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋ 4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[探究] 解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋ 1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7 分别是多少，再针对这些式子进行计算．
秦九韶算法课件
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
秦九韶算法课件
[规律总结] 更相减损术与辗转相除法都能
求两个数的最大公约数，二者的区别与联系
求出其中两个数的最大公约数，再求这个最 大公约数与第三个数的最大公约数，所得的 结果就是这三个数的最大公约数．
秦九韶算法课件
[解析] 先求175与100的最大公约数： 175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，
75＝25×3， ∴175与100的最大公约数是25. 再求25与75的最大公约数：
39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3.
高二数学秦九韶算法-18页PPT资料
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
算法案例
第二课时
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2 v3 v2 x an3
vn vn1x a0
最后的一 项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
多项式的值
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来
吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
算法案例
第二课时
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2 v3 v2 x an3
vn vn1x a0
最后的一 项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
多项式的值
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来
吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
秦九韶算法与进位制PPT课件
D流，下列 不属于信息交流的是 A、激素与细胞膜表面受体结合 B、相邻细胞的细胞膜接触 C、植物细胞的胞间连丝
ＤD、核酸不能通过细胞膜
５.细胞膜常常被脂类溶剂和蛋白酶处理溶解，
由此可以推断细胞膜的化学成分主要是（ ）
A．磷脂、蛋白质、多糖 B.蛋白质、多糖
ＣC。磷脂、蛋白质
• 程序运行时输入314706,8,6.
• [点评] 上述程序可以把任何一个k进制数 a(共有n位)转化为十进制数b，只要输入相 应的a，k，n的值即可．
• 把 7 进 制 数 24005(7) 化 为 十 进 制 数 的 结 果 为 ________．
• [答案] 2401
• [解析] 只需将该数写成其各位上的数字与7的 幂的乘积之和的形式，再计算即可化为十进制 数．
• i＝i＋1 • a＝c • LOOP UNTIL c＝0 • PRINT b • END • 运行时，输入a＝22，k＝3.
• [例4] 用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋ 5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的函数值f(2)．
• [解析] 本例中，有几项不存在，可视这些项的 系数为0，如含x5的项可记作0·x5.
• 求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1 当x＝－2时的值．
• [解析] 先改写多项式，再由内向外计算．
• f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1
• ＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
• 而x＝－2，所以有：
• v0＝1，v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3， • v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4， • v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2， • v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1， • v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1. • 即f(－2)＝－1.
高一数学最新课件-秦九韶算法001 精品
下面我们计算一下多项式
当 x =5 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。 若将 x 的值直接代入，计算各项的值再相加。
乘法次数： 4 + 3 + 2 + 1 =10 次
加法次数： 5 次
有无更简便的方法使 得运算次数减少？
我们把多项式变形为：
乘法次数： 1 + 1 + 1 + 1 = 4 次 加法次数： 5 次
较前一种算法显然少了6次乘法运算。 这种算法就叫秦九韶算法。
秦九韶计算多项式的方法
n–1个 ......
思考：
用秦九韶算法求 n 次多项 式 f(x) 时，需要多少次乘法 运算，多少次加法运算？
例2 已知一个5次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当时的值。 解：
即
练习： 利用秦九韶算法计算
当 x = 5 时的值
开始
输入f (x)的系数：
a0、a1、a2、a3、a4、a5
输入x0 n=1
秦九韶算法的程序需用到 basic 语言的数组内容， 在此高中不作要求，只需 掌握其算法思想。
v=a5
n ≤5?
否
输出v
n=n+1 v= v·x0+a5-n
是
作业：
38页，A组2
结束
当 x =5 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。 若将 x 的值直接代入，计算各项的值再相加。
乘法次数： 4 + 3 + 2 + 1 =10 次
加法次数： 5 次
有无更简便的方法使 得运算次数减少？
我们把多项式变形为：
乘法次数： 1 + 1 + 1 + 1 = 4 次 加法次数： 5 次
较前一种算法显然少了6次乘法运算。 这种算法就叫秦九韶算法。
秦九韶计算多项式的方法
n–1个 ......
思考：
用秦九韶算法求 n 次多项 式 f(x) 时，需要多少次乘法 运算，多少次加法运算？
例2 已知一个5次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当时的值。 解：
即
练习： 利用秦九韶算法计算
当 x = 5 时的值
开始
输入f (x)的系数：
a0、a1、a2、a3、a4、a5
输入x0 n=1
秦九韶算法的程序需用到 basic 语言的数组内容， 在此高中不作要求，只需 掌握其算法思想。
v=a5
n ≤5?
否
输出v
n=n+1 v= v·x0+a5-n
是
作业：
38页，A组2
结束
《海伦-秦九韶公式》课件1
S p( p a)( p b)( p c)
17 (17 6)(17 5)(17 4)
22
2
2
15 7 4
四. 课堂小结
该部分知识在初中阶段了解即可, 但实用性非常大, 同学们应该掌握其推导过程, 记住公式, 并且能够灵 活运用。同时应该在推导过程中体会数学的美与魅 力。
S p( p a)(p b)(p c)
而公式里的p为半周长（周长的一半）:
p abc 2
中国古代数学家------秦九韶
秦九韶（1208年－1261年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省 安岳县）。南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞， 后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术 （一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求 积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献， 表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法-正负开方术。
海伦-秦九韶公式
回答下面几个问题:
问题1：求三角形面积的方法有哪些？
S 1 底高 2
问题2 ：如果知道三角形的三边，是否可以求出三角形的 面积？
教师总结：如果三角形的三边为特殊的数，如一组勾 股数（3,4,5），则由勾股定理的逆定理可知，该三角形 为直角三角形，所以可以求出三角形的面积。
问题3：如果三角形的三边不能够组成勾股数，那么是否 也可以求三角形的面积？
让我们先来认识一下俩位伟大的科学家
海伦（Heron of Alexandria，公元62年左右，生平不详），古希腊数学 家、力学家、机械学家。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物 理学等课程。海伦在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实 际应用。他比较著名的著作之一是海伦公式。 海伦公式: 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面 积S可由以下公式求得:
17 (17 6)(17 5)(17 4)
22
2
2
15 7 4
四. 课堂小结
该部分知识在初中阶段了解即可, 但实用性非常大, 同学们应该掌握其推导过程, 记住公式, 并且能够灵 活运用。同时应该在推导过程中体会数学的美与魅 力。
S p( p a)(p b)(p c)
而公式里的p为半周长（周长的一半）:
p abc 2
中国古代数学家------秦九韶
秦九韶（1208年－1261年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省 安岳县）。南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞， 后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术 （一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求 积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献， 表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法-正负开方术。
海伦-秦九韶公式
回答下面几个问题:
问题1：求三角形面积的方法有哪些？
S 1 底高 2
问题2 ：如果知道三角形的三边，是否可以求出三角形的 面积？
教师总结：如果三角形的三边为特殊的数，如一组勾 股数（3,4,5），则由勾股定理的逆定理可知，该三角形 为直角三角形，所以可以求出三角形的面积。
问题3：如果三角形的三边不能够组成勾股数，那么是否 也可以求三角形的面积？
让我们先来认识一下俩位伟大的科学家
海伦（Heron of Alexandria，公元62年左右，生平不详），古希腊数学 家、力学家、机械学家。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物 理学等课程。海伦在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实 际应用。他比较著名的著作之一是海伦公式。 海伦公式: 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面 积S可由以下公式求得:
海伦-秦九韶公式
海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式：△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c)这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。
有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。
诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。
在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。
虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。
与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。
到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。
海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。
他注重实际应用。
最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。
这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶算法课堂教学PPT
秦九韶算法的数学证明
秦九韶算法的证明
秦九韶算法的正确性可以通过数 学证明来证实，证明的关键在于 利用多项式的递推关系和数学归
纳法。
递推关系的证明
证明秦九韶算法中的递推关系是正 确的，可以通过数学归纳法来证明。
算法复杂度的分析
秦九韶算法的时间复杂度为O(n)， 空间复杂度为O(1)，比直接法更高 效。
将多项式表示为 “v[0]+v[1]*x+v[2]*x^2+...+v[n]*x ^n”的形式，通过n次乘法和加法运 算得到多项式的值。
利用多项式的递推关系，通过迭代计 算多项式的值，可以减少计算量。
多项式系数与根的关系
多项式的根
多项式等于0的解称为多项式的根 。
系数与根的关系
多项式的系数与多项式的根之间 存在一定的关系，可以通过求解 方程组得到多项式的根。
详细描述
Java语言具有面向对象的特性，能够培养学生的面向对象编程思维。使用Java实 现秦九韶算法可以让学生体验到严谨的编程规范和代码组织方式，同时也能加深 对算法的理解和应用。
使用C实现秦九韶算法
总结词
底层操作，高效执行
详细描述
C语言具有底层操作的特性，能够让学生更加深入地了解计算机底层的工作原理。使用C实现秦九韶算法可以让学 生更加深入地理解算法的实现细节，同时也能提高他们的编程能力和执行效率。
03
秦九韶算法的编程实现
使用Python实现秦九韶算法
总结词
简洁明了，易于理解
详细描述
Python语言具有简洁的语法和易读性，适合初学者学习。使用Python实现秦九 韶算法可以让学生快速理解算法的基本思想，并通过简单的代码实现加深对算 法的理解。
杰出数学家秦九韶(查有梁等著)PPT模板
第二章秦九韶成才 之道
一、成才之道三规律 二、善于学习，兼收并蓄 三、环境育才，重在经历 四、精通数学，创造业绩
06 第三章秦九韶的数学创新
第三章秦 九韶的数 学创新
一、秦九韶在《九章算术》基础上创新 二、秦九韶的“广义数学观” 三、秦九韶对数学的新贡献
07 第四章秦九韶的思想方法
第四章秦九韶的思想方法
七、“问答术草图”的思维模式 八、数学与文学的高度整合 九、数学原理一旦发现，必须公 开
08
第五章“三斜求积公式”———与海伦 公式等价
第五章“三斜求积公式”—— —与海伦公式等价
一、“出入相补原理”与西方演 绎推理
二、秦九韶“三斜求积公式”与 海伦公式
三、“数以实为体”思想的进步 意义及其他
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第八章“大衍求一术”———一次同余 式组解法
第八章“大衍求一术”— ——一次同余式组解法
一、什么是“大衍 求一术”
二、“求一术”与 《易经》
三、“求一术”的 国际比较
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第九章秦九韶的“缀术推星”———逼 近法
第九章秦九韶的“缀术 推星”———逼近法
一、待定系数法 二、“缀术”之谜 三、“缀术推星”
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六、不断虚 心学习，方 能有所创新
四、“内算” 与“外算” 的统一性
五、应用 “数学建模”
的综合方法
一、数学应 用的普遍性
二、数学与 哲学的一致
性
三、继承与 发展的必要
性
第四章秦九韶的思 想方法
第六章正负开方术———高次方程数值 解法
数学文化之海伦—秦九韶公式
数学文化之海伦—秦九
韶公式
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
海伦—秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的着作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程
①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD = x，那么DC = a-x,
由于AD是△ABD、△ACD的公共边，
则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，
对被开方数分解因式，并整理得到
②由海伦公式推导秦九韶公式
推导过程:
p
a
p-
-
-.
)
p
)(
b
)(
(c
p。
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》359PPT课件 一等奖名师
课题：海伦和秦九韶 学科：数学 年级：高二 教师：付孟颖 学校：拉萨中学
海伦和秦九韶
拉萨中学数学组 付孟颖
海伦是谁？
古希腊数学家，一位优秀的测绘工程师 著有《测地术》《测量仪器》《度量术》 海伦公式的特点是 形式优美，便于记忆
秦九韶是谁？
我国南宋著名数学家
著有《数书九章》
海伦例题
已知三角形的三边分别为3，5，6，利用海伦公式求三角形的面积。
解：
练习
已知三角形的三边为a,b,c, 设 证： （1）r为三角形的内切圆的半径，则
，求
（2）把边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc,则
小结：
1、海伦公式 2、秦九韶公式
作业：
必修五P20 A组13 B组 1
2022年整理课件 【课件】海伦和秦九韶2
人教版普通高中课程标准实验教科书必修5
第一章 解三角形
12 应用举例—海伦和秦九韶
慈利县第一中学 朱田晟骜
第一页，共二十三页。
一、问题引领，师生探究
问题 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目： “问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里， 中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲 知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边 分别为 13 里，14 里，15 里，则该沙田的面积 为多少？
S
1 [小2大2
大2 (
小2
中2
)2 ]
4
2
其中，大、中小分别表示三角形条边长，即a，b，c.
用现代公式表示即为：
S
1 [a2c2
a2 (
c2
b2
) ]
4
2
第七页，共二十三页。
我国古代传统数学文化
秦九韶（1208 年－1268 年），字道古，生于普州安岳（今四 川省安岳县），祖籍鲁郡（今河南范县）。 南宋官员、数学家， 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。
《数书九章》的主要内容偏重于数学的应用方面，全书九章十八卷， 分为九类，每类 9 题，共计 81 题。该书内容丰富至极，上至天文、星 象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积， 钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到 现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。
第五页，共二十三页。
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的 方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海 伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的 时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地 导出答案。
第一章 解三角形
12 应用举例—海伦和秦九韶
慈利县第一中学 朱田晟骜
第一页，共二十三页。
一、问题引领，师生探究
问题 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目： “问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里， 中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲 知为田几何.”讲的是有一个三角形沙田，三边 分别为 13 里，14 里，15 里，则该沙田的面积 为多少？
S
1 [小2大2
大2 (
小2
中2
)2 ]
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其中，大、中小分别表示三角形条边长，即a，b，c.
用现代公式表示即为：
S
1 [a2c2
a2 (
c2
b2
) ]
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第七页，共二十三页。
我国古代传统数学文化
秦九韶（1208 年－1268 年），字道古，生于普州安岳（今四 川省安岳县），祖籍鲁郡（今河南范县）。 南宋官员、数学家， 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。
《数书九章》的主要内容偏重于数学的应用方面，全书九章十八卷， 分为九类，每类 9 题，共计 81 题。该书内容丰富至极，上至天文、星 象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积， 钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到 现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。
第五页，共二十三页。
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的 方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海 伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的 时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地 导出答案。
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让我们先来认识一下俩位伟大的科学家
海伦（Heron of Alexandria，公元62年左右，生平不详），古希腊数学 家、力学家、机械学家。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物 理学等课程。海伦在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实 际应用。他比较著名的著作之一是海伦公式。 海伦公式：假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面 积S可由以下公式求得：
S p( p a)(p b)(p c)
而公式里的p为半周长（周长的一半）：
p abc 2
中国古代数学家------秦九韶
秦九韶（1208年－1261年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省 安岳县）。南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞， 后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术 （一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求 积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献， 表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法-正负开方术。
a2
b2 4
c2
2
问：上面我们推导出了秦九韶公式，既然俩位科学家都是用 三角形的三边来求三角形的面积，那么海伦公式是否可以通过 秦九韶公式得到？
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 4
c2
2
p( p a)( p b)( p c)
注：推导过程看黑板。
上面的推导过程说明海伦公式与秦九韶公式实质上是 同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式。
他曾经提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：
S
1 4
a2b2
a2
b2 4
c2
2
上面的俩位科学家都给出了用三角形的三边来求面积的公式， 那么是如何得到的？又有什么关系呢？
如图，在三角形ABC中，三条边分别为a，b，c，求三角形的面积。
A
解: 过点A作AD垂直于BC，交BC
点
点D，设BD=x ，则CD=a-x。
S p( p a)( p b)( p c)
17 (17 6)(17 5)(17 4)
22
2
2
15 7 4
四．课堂小结
该部分知识在初中阶段了解即可，但实用性非常大， 同学们应该掌握其推导过程，记住公式，并且能够 灵活运用。同时应该在推导过程中体会数学的美与 魅力。
则
则由勾股定理可知：
c
在Rt ADC 与Rt ADB中，
b
AD2 b2 x2
B D a
C AD2 c2 a x2
c2 a x2 b2 x2
化简得：x b2 a 2 c 2 , 2a
则AD
b2
b2 a2 c2 4a 2
2
SABC 1 a AD
2
1 4
a 2b2
海伦-秦九韶公式
回答下面几个问题：
问题1：求三角形面积的方法有哪些？
S 1 底高 2
问题2 ：如果知道三角形的三边，是否可以求出三角形的 面积？
教师总结：如果三角形的三边为特殊的数，如一组勾 股数（3,4,5），则由勾股定理的逆定理可知，该三角形 为直角三角形，所以可以求出三角形的面积。
问题3：如果三角形的三边不能够组成勾股数，那么是否 也可以求三角形的面积？
同时，应该注意的是我国数学家秦九韶得出结论的时 间比海伦公式早了约600多年。但由于海伦公式比秦九韶 公式更加容易记忆，所以在日常生活中，我们一般采用海 伦公式，即
S p( p a)(p b)(p c)
课堂练习
在三角形ABC中，AB=6,AC=5,BC=4,请用海伦-秦九韶公式求三角 形ABC的面积。 解：由题意可知：p= 6 5 4 17 由海伦-秦九韶公式得 2 2