1.1集合及其表示方法(学生版)
人教B版必修第一册1.1.1集合及其表示方法课件(35张)
2．(1)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，则实数 a 的值为________． (2)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 2∈A，则实数 a 的值为________． (3)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，则实数 a 的取值范围为________．
【解析】(1)若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1，即 a＝±1. 当 a＝1 时，集合 A 有重复元素，不符合集合中元素的互异性，所以 a≠1； 当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合集合中元素的互异性， 所以 a＝－1. 答案：－1 (2)若 2∈A，则 a＝2 或 a2＝2，即 a＝2 或 a＝ 2 或 a＝－ 2 . 答案：2 或 2 或－ 2 (3)若 A 中有两个元素 a 和 a2，则由 a≠a2 解得 a≠0 且 a≠1. 答案：a≠0 且 a≠1
教材认知 掌握必备知识
一、集合与元素 1．集合：把一些能够_确__定__的__、_不__同__的__对象汇集在一起，这些对象组成一个集 合(简称为集). 2．元素：组成集合的每个_对__象__． 3．表示方法：集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常 用英文小写字母a，b，c，…表示．
3．区间及其表示 (1)一般区间的表示． 设 a，b∈R，且 a<b，规定如下：
[a,b] (a,b)[a,b)
(a,b]
(2)特殊区间的表示．
【批注】1.用数轴表示区间时要特别注意端点是实心点还是空心点； 2．无穷大是一个符号，不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则，出现 此符号的一端时，该端必须是小括号．
[诊断]
1．下列说法：
①集合{x∈Z|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}；
人教版,数学,高一,必修一,集合的含义与表示
练 习
1. 下面的各组对象能否构成集合？ （1）小于2004的数； （2）和2004非常接近的数.
2.再看下列对象: （1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国四大名著； （5）抛物线y=x2上的点．
2、元素与集合的关系
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A， 记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A.
作业
活页：提能演练一
第2课时 集合的表示
回顾复习
1．集合与元素的定义; 2．集合元素的特征性质： 确定性，互异性，无序性； 3．元素与集合的关系
4. 数集及有关符号；
集合的表示
“我国的直辖市”组成的集合表示为 {北京，天津，上海，重庆} 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.
1.1.1 集合的含义与表示
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起。
康托尔（G.Cantor,1845～1918）.德 国数学家，集合论创始人，他于1895
年谈到“集合”一词.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
通知 8月27日上午8时，高一年级的学生 在体育馆集合进行军训动员. 校长室
例1：已知A由： 2,(a 1) a
2
, a 3a 3
2
三元素构成且 1 A ，求实数a的值
变.已知集合A含有三个元素1、0、x， 若 x 2 A ，求实数x的值。
专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲(学生版)
专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．4．常用的数集及其记法5．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【题型1 集合的基本概念】【例1】（2021秋•雨花区期末）下列对象不能组成集合的是（）A．不超过20的质数B．π的近似值C．方程x2＝1的实数根D．函数y＝x2，x∈R的最小值【变式1-1】（2021秋•鲤城区校级期中）以下各组对象不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2﹣7＝0的实数解D．周长为10cm的三角形【变式1-2】（2021春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【变式1-3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是（）A．2B．3C．4D．5【题型2 判断元素与集合的关系】【例2】（2021秋•河北区期末）下列关系中正确的个数是（）①12∈Q ；②√2∉R ；③0∈N *；④π∈Z ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【变式2-1】（2021秋•桂林期末）下列关系中，正确的是（ ）A ．﹣2∈{0，1}B ．32∈ZC ．π∈RD ．5∈∅【变式2-2】（2021秋•岳阳期末）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）A ．﹣1∈NB ．0∉N *C ．√3∈QD ．25∉R 【变式2-3】（2021秋•绿园区校级月考）设集合A ＝{2，3，5}，B ＝{2，3，6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x 的值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【题型3 利用集合中元素的特异性求参数】【例3】（2022•渭滨区校级模拟）设集合A ＝{2，1﹣a ，a 2﹣a +2}，若4∈A ，则a ＝（ ）A ．﹣3或﹣1或2B ．﹣3或﹣1C ．﹣3或2D ．﹣1或2【变式3-1】（2021秋•兴宁区校级月考）若a ∈{1，a 2﹣2a +2}，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．1 或2【变式3-2】（2021秋•大安市校级月考）已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6﹣a ∈A ，那么a 为（ ）A ．2B ．2或4C ．4D ．0【变式3-3】（2021春•西湖区期中）已知A 是由0，m ，m 2﹣3m +2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为（ ）A ．2B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【题型4 用列举法表示集合】【例4】（2021秋•合肥期末）集合{x ∈N |x ﹣2＜2}用列举法表示是（ ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2，3，4}D ．{0，1，2，3}【变式4-1】（2021秋•昌吉州期末）集合A ={x ∈N ∗|63−x ∈N ∗}用列举法可以表示为（ ）A ．{3，6}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}【变式4-2】（2021秋•重庆月考）集合{x ∈N |x ﹣4＜1}用列举法表示为（ ）A ．{0，1，2，3，4}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，5}【变式4-3】（2021秋•番禺区校级期中）将集合{（x ，y ）|{x +y =52x −y =1}表示成列举法，正确的是（ ） A ．{2，3} B ．{（2，3）} C ．{x ＝2，y ＝3} D ．（2，3）【题型5 用描述法表示集合】【例5】（2021秋•金山区校级期中）用描述法表示所有偶数组成的集合 ．【变式5-1】（2021秋•浦东新区校级月考）用描述法表示被5整除的整数组成的集合 ．【变式5-2】（2021秋•长宁区校级月考）用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合 ．【变式5-3】（2020秋•徐汇区校级月考）平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的集合可以用描述法表示为 ．【题型6 集合中的新定义问题】【例6】（2021秋•长寿区期末）设集合P ＝{3，4，5}，Q ＝{6，7}，定义P ⊗Q ＝{（a ，b ）|a ∈P ，b ∈Q }，则P ⊗Q 中元素的个数为（ ）A．3B．4C．5D．6【变式6-1】（2021秋•秦淮区校级月考）设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（）A．4B．5C．19D．20【变式6-2】（2021秋•黄陵县校级期末）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（）A．﹣8B．﹣16C．8D．16【变式6-3】（2021秋•黄陵县校级月考）定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{2，0}，B＝{0，8}，则集合A⊗B的所有元素之和为（）A．16B．18C．20D．22。
1.1集合的概念与表示方法课件(人教版)
{ X
| 1<X<5 , X∈z }
{ X∈z
| 1<X<5
}
二、描述法：一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具
有共同特征 P(x)的元素 x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．
例：
不等式x—1>0的整数解
{x|x > 1，n∈Z}
起来表示集合。
偶数集（合）：
｛0, 2, 4, 6, 8, 10
｝
集合的表示方法
一、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号
“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
例题：
元素之间逗号隔开
（1）大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A
A＝{2,3,4,5}
（2）方程 x2－9＝0 的实数根组成的集合 B
③将小于 10 的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的
顺序排列分别得到不同的两个集合．
练习2
若集合A={1,2m,-4}，且2 = 4，则m的值为（ D
）
A．4
B．-2
C．-2或2
D．2
常见数集
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或 N＋
Z
Q
R
练习3
3、下列关系中正确的个数为（ B
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案含解析第一册
1．1 集合1．1。
1集合及其表示方法内容标准学科素养1。
通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。
授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。
2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。
3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。
高中数学—01—集合的概念与表示、集合间的关系—学生版
集合的概念与表示、集合间的关系知识梳理一、集合及其表示方法（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
（3）表示方法：1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
格式：{x| x 满足性质p}。
如：集合}1|),{(2+=x y y x（4）分类：1）有限集：含有有限个元素的集合。
2）无限集：含有无限个元素的集合。
3）空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。
注意：{0}和φ是不同的。
{0}是含有一个元素0的集合，φ是不含任何元素的集合。
（5）性质：1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
2）互异性：集合中的元素没有重复。
3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。
（6）常用数集及记法：1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{}Λ,3,2,1*=N 3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,5）实数集：全体实数的集合记作R（7）元素对于集合的隶属关系1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉二、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。
1.1集合的概念与表示法-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(4)不等式4x 5 3的解集 解：(1)A {3, 3}
(2)B {2, 3, 5, 7}
y x3
(3)C
{( x,
y
)
|
y
2 x
6
} {(1, 4)}
(4)D={x∈R|x<2}={x|x<2}
思考： 以下集合有什么区别？ {(x,y)|y= x2+3x+2} {y|y= x2+3x+2} {x|y= x2+3x+2} 描述法表示集合应注意集合的代表元素
所以无法用列举法表示.
(2)整数集Z可以分为奇数集和偶数集,对于每一个x∈Z,如果x是一 个奇数,那么x是除以2余1的数,它可以表示为x=2k+1(k∈Z)的形式,
即x=2k+1是所有奇数的一个共同特征
但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,
即:x是实数,且x<10, 把解集表示为{x∈R|x<10}
可以写为B={x|10<x<20,x∈Z}
例3 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元 素，求实数k的值组成的集合.
解：因为A中只有一个元素
所以方程kx2-8x+16=0只有一个解 ①当k=0时，方程即为-8，方程kx2-8x+16=0只有一个解即为判别式△=0
元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律, 在不会产生误解的情况下也可以列举出几个元素作为代表, 其他元素用省略号表示.
对于无限集,一般采用描述法.
2、试选用适当的方法表示下列集合
(1)方程x2 9 0的所有实数组成的集合；
(2)由小于8的所有素数组成的集合；
1.1集合的概念7题型分类(学生版) 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识人教版必修一
1.1集合的概念7题型分类知识点1 元素与集合的概念1.元素与集合的概念(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.①确定性给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．②互异性一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.知识点2 元素与集合的关系1.元素与集合的关系 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立.知识点3 常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集Q R记法N N*或N＋Z知识点4 集合的表示方法1列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.注：列举法表示的集合的结构：2.描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.注：描述法表示的集合的结构：（一）1、集合概念的理解(1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明.(2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.(3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.2、判断一组对象是否为集合的三依据(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．题型1：判断对象是否能构成集合1-1．（2024高一上·贵州铜仁·阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；x+>的x的取值．⑤满足不等式101-2．（2024高一下·云南·阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数-学年度第二学期全体高一学生B．北大附中云南实验学校20202021C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个B．3个C．4个D．5个（二）1、集合中的元素的性质及应用元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A".(1)a∈A与aÏA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aÏA这两种情况中必有一种且只有一种成立.(2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准.(3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为{}a aÎ.2、元素与集合关系的判断（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．3、根据元素与集合的关系求参数由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤③3-ÎN ；④3Q -Î．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型3：根据元素与集合的关系求参数3-1．（2024高一上·上海虹口·期中）集合()(){}2140,A x x x ax x R =-++=Î中所有元素之和为3，则实数a =．3-2．（2024高一上·四川泸州·期末）已知{}(1,2)(,)230x y x ay Î+-=，则a 的值为 ．3-3．（2024·河南·模拟预测）已知{}210A xx ax =-+<∣，若2A Î，且3A Ï，则a 的取值范围是（ ）A ．5,2æö+¥ç÷èøB ．510,23æùçúèûC ．510,23öé÷êëøD ．03,1æù-¥çúèû题型4：利用集合元素的互异性求参数4-1．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合{}21,3M m m =--，若3M -Î，则实数m =（ ）A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或14-2．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合{}22,2,1A a a a =-+-，若4A Î，则a 的值为（ ）．A ．1-，2B ．3-C ．1-，3-，2D ．3-，24-3．（2024高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合A 中的元素1，4，a ，且实数a 满足2a A Î，求实数a 的值.4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A Î，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34-5．（2024高一上·山东聊城·期中）若{}21,3,a aÎ，则a 的可能取值有（ ）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，34-6．（2024高一上·四川自贡·期末）若{}22,a a a Î-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-（三）用列举法表示集合1.列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4;(2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ;(3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N 可以表示为10,1,2,3....2.使用列举法表示集合时需注意(1)元素之间用“,”而不用“、"隔开;(2)元素不重复，满足元素的互异性;(3)元素无顺序，满足元素的无序性;(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号.注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集.（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然.题型5：用列举法表示集合5-1．（2024高一·全国·专题练习）方程组13x y x y +=ìí-=î的解集是（ ）A ．{}2,1-B ．{}2,1x y ==-C ．(){},2,1x y -D ．(){}2,1-5-2．（2024高一上·北京海淀·期中）已知集合12{|N 7A x x=Î-，Z}x Î，用列举法表示集合A = ．5-3．（2024高一上·四川·阶段练习）设集合6ZN 2A x x ìü=ÎÎíý+îþ，则用列举法表示集合A 为 .5-4．（2024高一·全国·课后作业）集合{}41x N x Î-<用列举法表示为（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5（四）用描述法表示集合1.描述法的一般形式是(){}x I p x Î,其中“x ”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程2 320x x -+=的实数根为{}2320x x x Î-+=R .如果从上下文的关系来看,x I Î是明确的，那么x I Î也可省略，只写其元素x .例如集合}5{A x x =Î>R 也可表示为}5{A x x =>.2.描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.3.使用描述法时应注意以下几点(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等;(2)说明该集合中元素的共同属性;(3)不能出现未被说明的字母;(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确.注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开.(2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.题型6：用描述法表示集合6-1．（2024高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．6-2．（2024高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．6-3．（2024高一·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合:（1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；（五）集合表示法的综合应用(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想．一、单选题1．（2024高一·全国·课后作业）方程组2210x yx y+=ìí-+=î的解集可以表示为（）A ．{1,1}x y ==B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{1,1}2．（2024高二下·河南焦作·阶段练习）已知集合{}21,,3M m m =+，且4M Î，则m 取值构成的集合为（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4-C ．{}1,1,4-D ．Æ3．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知{}22,25,12A a a a =-+其3A -Î，则由a 的值构成的集合是（ ）A ．ÆB ．31,2ìü--íýîþC ．{}-1D ．32ìü-íýîþ4．（2024高一上·北京·阶段练习）已知集合2{2,4,10}A a a a =-+，若3A -Î，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．-3C ．-3或-1D ．无解5．（2024高一上·浙江·课后作业）下面四个命题正确的个数是（ ）.①集合*N 中最小的数是1；②若*N a -Î，则*N a Î；③若**N ,N a b ÎÎ，则a b +的最小值是2；④296+=x x 的解集是{}3,3.A ．0B ．1C ．2D ．36．（2024高一·全国·单元测试）若关于x 的方程()22140ax a x +++=的解集为单元素集合，则（ ）A ．0a =B ．1a =C ．0a =或1a =D ．0a ¹且1a ¹7．（2024高一上·湖北·期末）已知集合{}{}{}1,0,1,2,,,A B C x x ab a A b B =-===-ÎÎ，则C 集合中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2024高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合M=6*,5a N a ìÎí-î且}a Z Î，则M 等于（ ）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}9．（2024高一上·广东茂名·期中）若22{1,1,1}a a Î++，则a =（ ）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－110．（2024高一·全国·假期作业）方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为A ．()0,1B ．(){}0,1C ．{}0,1D ．{}2x x =11．（2024高三上·安徽芜湖·期末）集合{}50A x x *=Î-<N 中的元素个数是（ ）A ．0B ．4C ．5D ．612．（2024高一·全国·课后作业）设有下列关系：R ；②4Q Î；③0N Î；④{}00,1Î．其中正确的个数为．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）已知集合{}()(){}3,4,30,M N xx x a a ==-+=ÎR ∣， 若M N =， 则a = （ ）A ．3B ．4C ．3-D ．4-14．（2024高三下·河南新乡·开学考试）已知集合{}4,,2A x y =，{}22,,1B x y =--，若A B =，则实数x 的取值集合为（ ）A ．{1,0,2}-B ．{2,2}-C ．{}1,0,2-D ．{2,1,2}-15．（2024高一·全国·课后作业）已知集合{}2|1A x x =<，且a A Î，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．116．（2024高一上·广东江门·期中）已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（ ）A ．0MÎB ．1MÏC ．1M-ÎD ．0MÏ17．（2024高一上·海南·期中）下列表示正确的是（ ）A ．*3N -ÎB ．0NÎC ．2Z7ÎD ．πQÎ18．（2024·辽宁·模拟预测）设集合{},0M a =，{}2,N a b =，若M N =，则a b +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-19．（2024高一上·云南西双版纳·期末）若不等式3-2x<0的解集为M ,则下列结论正确的是 ( )A ．0∈M ,2∈MB ．0∉M ,2∈MC ．0∈M ,2∉MD ．0∉M ,2∉M20．（2024·贵州黔东南·三模）已知集合{}{}2|1,(,)|0,S y y x T x y x y ==-=+=下列关系正确的是（ ）A ．2S-ÎB ．()2,2T-ÏC ．1S-ÏD ．()1,1T-Î21．（2024高一上·浙江·课后作业）下列四组对象中能构成集合的是（ ）A ．宜春市第一中学高一学习好的学生B ．在数轴上与原点非常近的点C ．很小的实数D ．倒数等于本身的数22．（陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数23．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）A ．{}2020x x =B ．(){}220200y y -=C ．{}2020x =D ．{}202024．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x 的方程2230x mx m -+-=的解集只有一个元素，则m 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在25．（2024高一·全国·课后作业）由a 2，2a -，3组成的一个集合A ，若A 中元素个数不是2，则实数a 的取值可以是（ ）A ．1-B ．1C D ．226．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）A 30+=的解集是1,12ìü-íýîþB ．方程260x x --=的解集为{(-2，3)}C ．集合M ={y |y =x 2+1，x ∈R }与集合P ={(x ，y )|y =x 2+1，x ∈R }表示同一个集合D ．方程组2030x y x y +=ìí-+=î的解集是{(x ，y )|x =-1且y =2}27．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{}B x A x A =Î-Ï，则B =（ ）A ．{1,2}B ．{2,1}--C ．{0,3}D ．{3}28．（2024高一·全国·课后作业）下列语句中，正确的个数是（ ）（1）0ÎN ；（2）πÎQ ；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程20x =的解能构成集合.A ．2B ．3C ．4D ．529．（2024·湖南岳阳·一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B Ä==-ÎÎ，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B Ä中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．430．（2024高三·山西·阶段练习）设A 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,a b A Î，都有,,,aa b a b ab A b+-Î(除数0b ¹)，则称A 是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）A ．NB ．ZC ．QD ．{}|0,R x x x ¹Î31．（2024·全国）已知集合(){}22,3Z Z A x y xy x y =+£ÎÎ，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．432．（2024高一·全国·课前预习）已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝（ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}33．（2024高一下·广西·阶段练习）若集合2{|320}A x R ax x =Î-+=中只有一个元素，则(a = )A ．92B ．98C ．0D ．0或9834．（2024高一·全国·专题练习）由实数x ，x -，||x ，（ ）A ．2B ．3C ．4D ．535．（2024高一·全国·课后作业）集合{}2|0,A x x px q x R =++=Î{}2=，则p q +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．236．（2024高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣D ．{2,3}M =，{(2,3)}N =37．（2024高一上·北京海淀·阶段练习）若{}21,,0,,b a a a b a ìü=+íýîþ，则a 2020+b 2020的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．1或﹣138．（2024高一上·重庆北碚·期末）定义|,,,m A B x x m A n B n ìü==ÎÎíýîþÄ若{}{}1,2,4,2,4,8A B ==则A BÄ中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．539．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）下列关系中，正确的个数为（ ）R ②1Q 3Î③0N Ï④p ÎQ ⑤3-ÎZA ．5B ．4C ．3D ．240．（江西省五市九校协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，若A B =，则20232022a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．241．（2024高一上·山西运城·阶段练习）集合{}2320A x x x =-+=，用列举法表示为（ ）A ．1B ．2C ．{}1,2D ．{}242．（江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属实验学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题）已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A Î，则实数m 为（ ）A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,343．（2024高一上·上海浦东新·期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+ιQ ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =Î；（2）{|}y y x X =Î；（3）1{|,}y y x X x =Î；（4）2{|,}y y x x X =Î；与X 相同的集合有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个44．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．Æ与{}0是同一个集合C ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合D ．集合{}2560x x x ++=与集合{}2560x x ++=是同一个集合45．（2024高一上·上海黄浦·阶段练习）直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（ ）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ¹¹¹¹-B ．1{(,)|1x x y y ¹ìí¹î或2}2x y ¹ìí¹-îC ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++¹D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++¹二、多选题46．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法中不正确的是（ ）A ．0与{}0表示同一个集合B ．集合M ＝{}3,4与N ＝(){}3,4表示同一个集合C ．方程()2(1)2x x --＝0的所有解的集合可表示为{}1,1,2D ．集合{|45}x x <<不能用列举法表示47．（2024高一上·广东佛山·期中）下列关系式正确的是（ ）A ．1R2ÎB ．|3|-ÏNC．QD ．0{0}Î48．（2024高一上·广西百色·阶段练习）已知集合{}N 6A x x =Î<，则下列关系式成立的是（ ）A ．0AÎB ．1.5AÏC ．1A-ÏD ．6AÎ49．（2024高一上·江苏常州·期中）已知集合{},,A x x m m n Z ==Î，则下列说法中正确的是（ ）A ．0A Î但2(1A-ÏB．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z Î，则12x x A ±ÎC．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z Î，则12x x A ×ÎD．若111222,x m x m =+=，其中1122,,,m n m n Z Î，则12x A x Î50．（2024高一上·江苏镇江·开学考试）已知Z a Î，{(,)|3}A x y ax y =-£且，(2,1)A Î，(1,4)A -Ï，则a 取值可能为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．251．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知集合{N |A x x =Σ£，则有（ ）A ．1A -ÏB ．0A ÎC AD ．2AÎ52．（2024高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意x A Î，1A x Î，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）A ．{}1,1-B ．1,22ìüíýîþC ．{}21x x >D ．{}0x x >53．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x 的方程221x k xx x x-=--的解集中只含有一个元素，则k 的值可能是（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．3三、填空题54．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知集合{}{}21,,a a a =，则实数a = ．55．（2024高一上·江苏淮安·期中）集合{}{}23,12,1A B m m ==+，，且A B =，则实数m =.56．（2024高一上·全国·课后作业）已知R ；②1Q 3Î；③0={0}；④0N Ï；⑤πQ Î；⑥3Z -Î，其中正确的个数为 .57．（2024高一上·广东汕头·期中）在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ] ={4n + k ︱n ∈Z } ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②-2025∈[1] ； ③若a ∈[1]，b ∈[2]，则3a +b ∈[3] ；④若a ∈[1]，b ∈[3]，则a -3b ∈[0].其中正确的结论是.58．（2024高一上·全国·专题练习）集合12ZZ 3A x y y x ìü=Î=Îíý+îþ∣的元素个数为 ．59．（2023-2024学年河北成安一中高一上月考一数学试卷（带解析））已知集合{}223,2,A m m m A =++Î，则m 的值为．60．（2.1.2集合间的基本关系（分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接）含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ìüíýîþ，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为 .61．（2024高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 .①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点(00)，的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式3100x -<的所有正整数解.62．（2024高一上·吉林·期末）设,a b ÎR ，{}1,P a =，{}23,Q a b =+，若P Q =，则a b -= ．63．（2024高一上·天津东丽·期中）若集合{}23,21,4A a a a =---，且3A -Î，则实数a =.四、解答题64．（2024高一·江苏·课后作业）用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2+|y ﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y ＝3x 2+1图象上所有点组成的集合.65．（2024高一·全国·专题练习）把下列集合用适当方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）{|37}x N x Î<<；（3）{}2|9A x x ==；（4）{}|12B x N x =Σ£；（5）{}2|320C x x x =-+=.66．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合{}2410C x ax x =-+=.(1)若C 是空集，求a 的取值范围；(2)若C 中至多有一个元素，求a 的取值范围.67．（2024高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合：(1){}1,3,5,7,9；(2){}32x R x Î；(3){}3,5,7,11,13,17,19.68．（2024高一上·上海·课后作业）已知集合A ={x|x 为小于6的正整数}，B ={x|x 为小于10的素数}，集合{|C x x =为24和36的正公因数}．（1）试用列举法表示集合{|M x x A =Î且}x C Î；（2）试用列举法表示集合{|N x x B =Î且}x C Ï．69．（2024高一上·湖南岳阳·阶段练习）已知集合{}2|210A x R ax x =Î++=，其中a ∈R .（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.70．（2024高一·全国·课后作业）定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且ab∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．71．（2024高一·全国·课后作业）（1）如果集合{|}(,)A x x m m n Z ==Î，12,x x A Î，证明：12x x A Î．（2）如果集合{}B x x m ==+，整数,m n 互素，那么是否存在x ，使得x 和1x都属于B ？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．注：x 的取值不唯一．）72．（2024高一上·上海虹口·阶段练习）设关于x 的不等式21241x x k k +-³+的解集为A .(1)求A ；(2)若2A Î，求实数k 的取值范围.73．（2024高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}2|440,,A x ax x a R x R =+=ÎÎ+.（1）若A 中只有一个元素，求a 及A ；（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.74．（2024高一·全国·课后作业）已知集合}{2340A x ax x =--=.（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数的a 取值范围.。
人教版高中数学必修一课件：1.1《集合》 (共23张PPT)
一个给定集合中的元素是互不相同的．即集合 中的元素是不重复出现的。
（3）无序性：
元素完全相同的两个集合相等，而与列举顺序 无关。
【注】两个集合相等当且仅当构成
这两个集合的元素是完全一样的.
三、元素与集合的关系
常见数集：
1. 自然数集(非负整数集): N 2. 正整数集: N*或N+ 3. 整数集: Z 4. 有理数集: Q 5. 实数集: R
(2) 描述法：
{ x I | P( x)}
元素符号 范围 元素的特征
【例2】试分别用列举法和描述法表示下列 集合 (1)方程x2-2＝0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【思考题】用列举法表示集合:
ab 1) A { x | x ,
a, b为非零实数}
3.
方程组
x x
y9 y3
的解集用列举
法或描述法表示为
。
4、已知x2∈ {1, x, 0}, 求实数x的值.
52、) 补充 : 含有三个实数的集合可
表示为{ a, b , 1 }, 也可表示为 a
{a 2 , aabb,，00},}求, 求a 2a0120006 b b . 20120006.
6、已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0, m∈R}且A中只有一个元素，求m的值.
课堂练习 P5 练习1、2
小结
1. 集合的概念； 2. 元素与集合的关系； 3. 集合的元素特征； 4. 集合的表示方法；
ab
2) B {k N | 6 Z} 3k
思考：B { 6 Z | k N }呢？ 3k
1. 已知集合S中有三个元素 a, b, c
高一数学课件：1.1 集合的含义与表示(新人教版必修1)
6.如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)， 而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合 特征性质 A的 . 7.描述法的表示形式为 {x∈I|p(x)} .
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学点一 集合的概念 下列各组对象能否组成集合. (1)小于10的自然数：0,1,2,3,…,9; (2)满足3x-2>x+3的全体实数; (3)所有直角三角形;
所以x∈R且x≠±1且x≠0.
【评析】解决这类问题的主要依据是集合元素的性质特征—
互异性，列出两两元素的关系式求解，通常要用到分类讨论.
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集合{3,x,x2-2x}中，x应满足的条件是 【解析】 x≠3且x≠0且x≠-1根据构成集合的元素的 互异性，x应满足
.
x3 2 x 2x 3 x 2 2x x
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成
的集合.
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（1）由
2 x 3 y 14 3x 2 y 8
得
x4 y 2
方程组的解集为{(4,-2)}. （2）1 000以内被3除余2的正整数可以表示为x=3k+2,k∈N的 形式. 故所求的集合为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1 000}.
③因为N中最小元素为0,故当a∈N,b∈N时,a+b的最小值为0,故 错误.
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学点三
集合中元素的性质
已知由1,x,x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件. 【分析】1，x,x2是集合中的三个元素，则它们是互不相等的. 【解析】根据集合中元素的互异性，得
x 1 2 x 1 x x 2
1 1 1 1 a
1.1 集合的概念(学生版)
第1课时 集合的概念1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；①比较小的正整数的全体；①平面上到点O 的距离等于1的点的全体；①直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．已知集合A 由x ＜1的数构成，则有( )A ．3①AB ．1①AC ．0①AD ．－1①A3．集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( )A ．0①AB ．a ①AC ．a ①AD ．a ＝A4．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形5．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ①A ，有6－a ①A ，则a 为( ) A ．2B ．2或4C ．4D ．06．若x ①N ，则满足2x －5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．7．已知①5①R ；①13①Q ；①0①N ；①π①Q ；①－3①Z .正确的个数为________． 8．已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |可能的取值组成集合A ，则( ) A ．2①A B ．3①A C ．－1①A D ．1①A9．已知集合A 中含有三个元素1，a ，a －1，若－2①A ，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－1或－2D ．－2或－310．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ①A ，且6－a ①A ，那么a ＝________.11．由实数x ，－x ，|x |，x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有________个元素．12．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N .求a ，b 的值．13．设A 为实数集，且满足条件：若a ①A ，则11－a ①A (a ≠1)．求证：(1)若2①A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．14．已知方程ax 2－3x －4＝0的解组成的集合为A .(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．第2课时 集合的表示1．集合A ＝{x ①Z |－2<x <3}的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2C ．{1,2}D ．{(1,2)}3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )A.{}x |x 是小于18的正奇数B.{}x |x ＝4k ＋1，k ①Z ，且k <5C.{}x |x ＝4t －3，t ①N ，且t ≤5D.{}x |x ＝4s －3，s ①N *，且s ≤55．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ①R ，y ①R }是( ) A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集6．集合{x ①N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．7．将集合{(x ，y )|2x ＋3y ＝16，x ，y ①N }用列举法表示为________．8．有下面四个结论：①0与{0}表示同一个集合；①集合M ＝{3,4}与N ＝{(3,4)}表示同一个集合；①方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；①集合{x |4＜x ＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填写序号)．9．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．{1，－3}10．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ①Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ①Z ，且x 1，x 2①A ，x 3①B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2①AB ．x 2·x 3①BC ．x 1＋x 2①BD ．x 1＋x 2＋x 3①A11．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ①N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ①N *}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ①N *}，若a ①A ，b ①B ， c ①C ，则下列结论中可能成立的是( )A ．2 006＝a ＋b ＋cB ．2 006＝abcC ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c )12．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ①A ，y ①A ，x ＋y ①A }，则B 中所含元素的个数为________．13．定义集合A －B ＝{x |x ①A ，且x ①B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －23<0，则集合A －B ＝________.14．已知集合A ＝{x ①R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ①R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .15．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.16．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ①P ，b ①Q }，用列举法表示集合P ＋Q .。
1.1.1+集合及其表示方法-第2课时高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
[解析] 直线上的点是点集，不是数集，因此用描述法表示为 , }.
（3）集合 中的元素是1和2.( )
×
[解析] 所给集合的元素是有序实数对，所以元素应当为 .
（4）集合与集合 表示同一个集合．( )
√
[解析] 由得，故集合和 表示同一个集合.
知识点二 区间及其表示
1.已知,是两个实数，且 .
1.1.1 集合及其表示方法
第2课时 集合的表示
【学习目标】 能用符号语言刻画集合,能正确使用区间符号表示某些集合.
知识点一 集合的表示法
1.列举法：把集合中的元素__________出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.
一一列举
2.描述法：一般地，如果属于集合的任意一个元素都具有性质 ，而不属于集合的元素都不具有这个性质，则性质称为集合 的一个特征性质.此时，集合可以用它的特征性质 表示为_________，这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.集合中所有在另一个集合 中的元素组成的集合，可以表示为_______________.
（4）所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合.
解：小于13的既是奇数又是素数的自然数有3，5，7，11，可用列举法表示为 ，该集合是有限集.
变式 用列举法表示下列集合,并判断是有限集还是无限集.
（1）从正方形 的四个顶点中任取三个为顶点作三角形,由这些三角形组成的集合;
解：从正方形的四个顶点中任取三个为顶点所作的三角形有, ,,,则所求集合为,,, ，该集合为有限集.
探究点二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集.
（1）二次函数 的图象上所有的点组成的集合；
1.1集合的概念第2课时集合的表示方法课件(人教版)
核心素养
1.会用列举法表示有限集．
1.数学抽象：列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况， 集合．
并会用描述法表示相关集合．
2.数学运算、直观想象：用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选 表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换．
集合．
【解】 若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
解：当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0，即 2x＋1＝0， 解得 x＝－12 .此时 A＝－12 ； 当 a≠0 时，若集合 A 中有且只有一个元素，则方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个相等的实数根， 所以Δa≠＝04，－4a＝0， 解得 a＝1，此时 A＝{－1}． 综上，当 a＝0 或 a＝1 时，集合 A 中有且只有一个元素， 所以 a 的值组成的集合 B＝{0，1}．
(2)方程组
2x＋y＝8， x－y＝1
的解组成的集合 B.
解：解方程组2xx－＋y＝y＝18，
x＝3， 得y＝2，
所以 B＝{(3，2)}．
新知探究：集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合； 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x ＝12n，n∈N*}．
1.1.1 集合的含义和表示(第2课时)表示集合的方法 学案(含答案)
1.1.1 集合的含义和表示（第2课时）表示集合的方法学案（含答案）第2课时表示集合的方法学习目标1.掌握集合的两种表示方法列举法.描述法.2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.3.能记住各类区间的含义及其符号，会用区间表示集合知识链接1质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数不包括0整除的数2函数yx22x1的图象与x轴有2个交点，函数yx22x1的图象与x轴有1个交点，函数yx2x1的图象与x轴没有交点预习导引1列举法1把集合中的元素一个一个地写出来表示集合的方法，叫作列举法2用列举法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔2描述法1把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法2用描述法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性；也可以在大括号里先写出其中元素的一般属性或形式，再写出特写的符号竖线，然后在符号后面列出这些元素要满足的其他条件3区间设a，b是两个实数，且ab，区间的含义及表示如下表名称定义符号数轴表示闭区间x|axba，b开区间x|axba，b左闭右开区间x|axba，b左开右闭区间x|axba，b无穷区间x|xa，a无穷区间x|xa，a无穷区间x|xaa，无穷区间x|xaa，题型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合1小于10的所有自然数组成的集合；2方程x2x的所有实数根组成的集合；3由120以内的所有质数组成的集合解1设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A0,1,2,3,4,5,6,7,8,92设方程x2x的所有实数根组成的集合为B，那么B0,13设由120以内的所有质数组成的集合为C，那么C2,3,5,7,11,13,17,19规律方法对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法应用列举法时要注意元素之间用“，”而不是用“.”隔开；元素不能重复跟踪演练1用列举法表示下列集合1我国现有的所有直辖市；2绝对值小于3的整数集合；3一次函数yx1与yx的图象交点组成的集合解1北京，上海，天津，重庆；22，1,0,1,2；3方程组的解是所求集合为.题型二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合1正偶数集；2被3除余2的正整数的集合；3平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合解1偶数可用式子x2n，nZ表示，但此题要求为正偶数，故限定nN，所以正偶数集可表示为x|x2n，nN2设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ，但元素为正整数，故x3n2，nN，所以被3除余2的正整数集合可表示为x|x3n2，nN3坐标轴上的点x，y的特点是横.纵坐标中至少有一个为0，即xy0，故坐标轴上的点的集合可表示为x，y|xy0规律方法用描述法表示集合时应注意“竖线”前面的xR可简记为x；“竖线”不可省略；px可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；同一个集合，描述法表示可以不唯一跟踪演练2用描述法表示下列集合1所有被5整除的数；2方程6x25x10的实数解集；3集合2，1,0,1,2解1x|x5n，nZ；2x|6x25x10；3xZ||x|2题型三列举法与描述法的综合运用例3集合Ax|kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解1当k0时，原方程为168x0.x2，此时A22当k0时，由集合A中只有一个元素，方程kx28x160有两个相等实根则6464k0，即k1.从而x1x24，集合A4综上所述，实数k的值为0或1.当k0时，A2；当k1时，A4规律方法1.1本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解2因kx28x160是否为一元二次方程而分k0和k0而展开讨论，从而做到不重不漏2解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点跟踪演练3把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合解由题意可知方程kx28x160有两个实根解得k1，且k0.k取值范围的集合为k|k1，且k0.课堂达标1集合xN|x32用列举法可表示为A0,1,2,3,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5D1,2,3,4,5答案B解析xN|x32xN|x51,2,3,42已知集合AxN|x，则A1AB0AC.AD2A答案B解析0N且0，0A.3用描述法表示方程xx3的解集为________答案x|x解析xx3，x.解集为x|x4已知xN，则方程x2x20的解集用列举法可表示为________答案1解析由x2x20，得x2或x1.又xN，x1.51全体非负实数组成的集合用区间表示为________2既是不等式x20的解又是不等式3x0的解组成的集合用区间表示为________3若有区间m1,2m3，则m的取值范围是________答案10，22,334，课堂小结1.表示集合的要求1根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则2一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合2在用描述法表示集合时应注意1弄清元素所具有的形式即代表元素是什么，是数.还是有序实数对点.还是集合或其他形式2元素具有怎样的属性当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
高中数学 1.1.1集合的含义与表示-学生版
1.1.1集合的含义与表示学习目标展示1. 元素与集合的概念2. 集合中元素的性质3. 集合的表示方法4. 数学中常用数集及其记法5. 集合的分类 衔接性知识1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 数；2k 表示所 数。
2. 如果a 为实数，则= , = ，当0a ≥= ，当0a<时，=3. 一元一次方程与不等式的解法 （1）一元二次方程(0)axb a =≠的根为 （2）一元二次不等式(0)axb a >≠，当0a>时，它的解为 ； 当0a <时，它的解为 。
4.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法例：求方程241670x -+=的根a,}nx或()}x A∈}∈是明确x A的，可以省略）例1.已知集合{|31,}M x x k k Z ==+∈，用∈与∉填空：1M ，1M -，25M ，29M -例2.用描述法和列举法表示下列集合 （1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合； （3）不等式260x -+>的自然数根；（4）方程2210x x -+=解集例3.用适当的方法表示下列集合 （1）二次函数2(1)4y x =--的函数值组成的集合；（2）函数21y x=+的的自变量的值组成的数集合；（3）一次函数y x =与24y x =-的图象的交点组成的集合。
（4）使22Z x ∈-的自然数x 组成的集合例4.已知集合2{|210,}P x kx x x R =++=∈（1）若集合P 为单元素集，求实数k 的值； （2）若集合P 为空集，求实数k 的取值范围； （3）若集合P 二元素集，求实数k 的取值范围。
精练部分A 类试题（普通班用） 1.已知集合{|2,}A x x n n N ==∈，集合2{|280}B x x x =--=，试判断0,2-与集合A 与B 的关系2.下面集合中，可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为①{2,1}xy == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}xy ⑤{(2,1)}3.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3）集合{|1}A y y ==+ （4）集合{|1}A x x ==+（5）使22N x ∈-的整数x 组成的集合4.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值5.已知集合2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？B 类试题（尖子班用）1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．好看的书B ．高尔基写的书C ．学校图书馆的藏书D ．语文书、数学书、英语书 2. 设集合{(1,2)}M =，则下列关系是成立的是（ ）A ．1M ∈B ．2M ∈C ．(1,2)M ∈ C ．(2,1)M ∈ 3. 下列命题中正确的是（ ）A ．集合2{|1,}x x x R =∈中有两个元素B ．集合{0}中没有元素C{|x x <D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合4．用描述法表示集合{1,2,3,4}为_______________5．方程 ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13}，则a ＝_______，c ＝_______.6.下面集合中，可以表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的序号为①{2,1}xy == ②{(,)|2,1}x y x y == ③{2,1} ④{(,)|2,1}xy ⑤{(2,1)}7.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 （1）不等式3120x -+>的自然数解所组成的集合（2）在面直角坐标系中，第一或第三象限的所有点组成的集合 （3）集合{|1}A y y ==+ （4）集合{|1}A x x ==+8.已知使2|2A x Z N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭的整数x 组成的集合9.已知集合2{,2,1}M a a a =--，若0M ∈，求实数a 的值10.已知集合2{|20,}P x x x k x R =++=∈，当实数k 取何值时，集合P 是（1）单元素集 （2）空集 （3）二元素集？课后习题 习题一一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列指定的对象,不能组成集合的是 ( ) A.一年中有31天的月份 B.平面上到点O 距离是1的点 C.满足方程x 2-2x-3=0的x D.某校高一(1)班性格开朗的女生【补偿训练】下列对象能组成集合的是 ( ) A.中国大的城市B.方程x 2-9=0在实数范围内的解 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.的近似值的全体2.若a 是R 中的元素,但不是Q 中的元素,则a 可以 是 ( ) A.3.14B.-5C.D.3.设a,b∈R,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a+b三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b= ( )A.1B.0C.-1D.不确定4.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是( )A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.2【补偿训练】对于含有三个元素2,4,6的集合A,若a∈A,则6-a∈A,那么a的取值是.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于自然数集N,若a∈N,b∈N,则a+b N,ab N.7.已知集合M含有三个元素1,2,x2,则x的取值范围为.8.(2015·成都高一检测)已知集合P中元素x满足:x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.若所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6-2是不是集合A中的元素.10.(2015·广州高一检测)已知集合M含有三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4.若2∈M,求x.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·兰州高一检测)由a,a,b,b,a2,b2组成集合A,则集合A中的元素最多有( )A.6个B.5个C.4个D.3个2.(2015·宿州高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为( )A.0B.1C.0或1D.小于等于1二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·乌鲁木齐高一检测)若集合P中含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,若集合P与集合Q相等,则a= .4.若∈A,且集合A中只含有一个元素a,则a的值为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知由方程kx2-8x+16=0的根组成的集合A只有一个元素,试求实数k的值.6.某研究性学习小组共有8位同学,记他们的学号分别为1,2,3,…,8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据,分派的原则为:若x号同学去,则8-x号同学也去.请你根据老师的要求回答下列问题:(1)若只有一个名额,请问应该派谁去?(2)若有两个名额,则有多少种分派方法?一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·绵阳高一检测)集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是( )A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}【补偿训练】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2015·北京高一检测)方程组的解集是( )A.{x=1,y=1}B.{1}C.{(1,1)}D.{(x,y)|(1,1)}3.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x2-x=0}B.{y|y2-y=0}C.{x|y=x2-x}D.{y|y=x2-x}4.(2015·南昌高一检测)若1∈{x,x2},则x= ( )A.1B.-1C.0或1D.0或1或-15.下列集合表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}C.M={4,5},N={5,4}D.M={1,2},N={(1,2)}二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知集合A={x|x2=a,x∈R},则实数a的取值范围是.7.(2015·汉中高一检测)若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为.8.设A={4,a},B={2,ab},若A与B相等,则a+b= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·重庆高一检测)用适当的方法描述下列集合,并指出所含元素的个数.(1)大于0且小于10的奇数构成的集合.(2)不等式x-3≥1的解集.(3)抛物线y=x2上的点构成的集合.【补偿训练】用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.10.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.【延伸探究】本题中将条件“至多有一个元素”改为“有两个元素”,其他不变,则a的取值是什么?习题四一、选择题(每小题5分,共10分)1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}2.(2015·德州高一检测)用描述法表示下图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0或-2≤y≤0}二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和为3,则实数a的值为.4.(2015·南通高一检测)A={1,2,3},B={1,2},定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合A+B中元素的最大值是.【补偿训练】已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}.定义P⊖Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P⊖Q 的所有元素之和为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.设集合B=.(1)试判断元素1和2与集合B的关系.(2)用列举法表示集合B.6.(2014·福建高考改编)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).【补偿训练】(2014·福建高考改编)已知集合=,且下列三个关系:①a≠2,②b=2,③c≠0有且只有一个正确,求100a+10b+c的值.。
1.1集合的含义与表示课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2. 集合中的元素具有的特性：
× （1）确定性：我们班的高个子同学 × （2）互异性：{张三，李四，张三}
（3）无序性：{黄河，长江}
2. 集合中的元素具有的特性：
× （1）确定性：我们班的高个子同学 × （2）互异性：{张三，李四，张三}
（3）无序性：{黄河，长江} {长江，黄河}
2. 集合中的元素具有的特性：
记作N．
记作N*或N+ ． 记作Z ． 记作Q．
4.常用数集及其记法：
（1）非负整数集 （自然数集）：
（2）正整数集： （3）整数集： （4）有理数集： （5）实数集：
记作N．Nature
记作N*或N+ ． 记作Z ．zheng数 记作Q． 记作R．Real
探究4：下列关系中正确的个数为（ ）
A. 1
拓展3：
已知 a∈R, x∈R, 集合 A 是方程 ax2+2x+1=0 的解集。 1) 若A中只有一个元素，求 a 的值； 2) 若A中有两个元素，求 a 的取值范围。
拓展4：
已知由实数组成的集合A满足： 若x∈A， ，则 ∈A。 1）若2∈A,试确定集合A； 2）试讨论集合A能否为单元素集合？
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素通常用小写拉丁字母表示：
1. 元素、集合的概念及其表示：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素通常用小写拉丁字母表示： a, b, c
1. 元素、集合的概念及其表示：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
探究2：
已知集合 S 中有三个元素 a, b, c 是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）
1.1.1集合(第2课时表示集合的方法)课件高一上学期数学
(2,7]
.
(2)使函数 y= -1与 y=
1
同时有意义的实数 x 的取值范围用区间表示
5-2
为
5
1, 2
3
2
,其长度是
.
≥ 1,
-1 ≥ 0,
5
解析 函数 y= -1与 y=
同时有意义的实数 x 满足
即
< 2.
5-2 > 0,
5-2
1
因此 x 同时满足 x≥1 且
5
x< ,即
值范围用区间表示为
1
,+∞
2
.
解析 由题意可知满足区间(a,3a-1)的实数 a 应满足 3a-1>a,即
故实数 a 的取值范围用区间表示为
1
,+
2
∞ .
1
a>2,
(2)使函数 y= 1-3有意义的实数 x 的取值范围用区间表示为
解析 函数 y= 1-3有意义的实数 x 的范围应满足 1-3x≥0,即
讨论,从而做到不重不漏.
3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的
系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关
注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
探究点四
区间概念的理解及应用
【例4】 (1)若集合M是一个数集,且可应用区间(a,3a-1)表示,则实数a的取
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.集合{x∈N|x-2<2}用列举法表示是( D )
A.{1,2,3}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4}
D.{0,1,2,3}
1.1 集合的概念-学生版
知识梳理1．元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．6．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．7．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．例题解析【例1】下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.【例2】已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是( )A.直角三角形B.锐角三角形C 钝角三角形 D.等腰三角形 【例3】设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.【例4】已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.【例5】下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素【例6】下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x 【例7】方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.【例8】已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝【例9】若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= .1. 把一些元素组成的总体叫作集合，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x （共同特性），适用于无限集.1．已知下列条件：①小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；④方程2x =4的所有解。
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（3）函数2
21y x x =-+的图像上所有的点
（4）
12345,,,,34567⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
例5、用列举法表示下列集合：
（1）(){
}
,|5,,x y x y x y +=∈∈N N
（2）{}
2
230,x x x x --=∈R
（3）{}2
230,x x
x x -+=∈R
例6、用符号∈或∉填空： （1）{
}
23____11x x <
（2）{
}2
*
3____1,x x n n =+∈N
（3）(){
}2
1,1____y y x
-=
（4）()(){}2
1,1____,x y y x -=
1.下列说法：
①地球周围的行星能确定一个集合；
②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合； ③我们班视力较差的同学能确定一个集合． 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
2. 集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2
＋1}，(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )
A ．2∈A ，且2∈
B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈B
C ．2∈A ，且(3,10)∈B
D ．(3,10)∈A ，且2∈B
3. 集合{y |y ＝x ，－1≤x ≤1，x ∈Z }用列举法表示是( )
A ．{－1,0,1}
B ．{0,1}
C ．{－1,0}
D ．{－1,1}
4. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为 。
5．用另一种方法表示下列集合： （1）11325,,,,32537⎧⎫⎨⎬⎩⎭
= 。
（2）{}3绝对值不大于的整数= 。
6. 集合{}
,5x x x x x Z =<∈且可用列举法表示为 。
7. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为 。
8.已知集合{}
2,,A x x a b a b ==+∈Z ，若12,x x A ∈，判断：A x x ∈⋅21是否成立．
1. 若集合A 含有两个元素0,1，则( )
A ．1∉A
B ．0∈A
C ．0∉A
D ．2∈A
2. 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
3. 已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2
∈A ，则实数x ＝________.
4. 集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
14，25，12，47，58可用特征性质描述法表示为__________．
5.（2015上海模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a+b ，a}={0，，b}，则b-a=（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
6. 已知集合A 中含有三个元素m －1,3m ，m 2－1，若－1∈A ，求实数m 的值．
7. 已知集合M 含有三个元素1,2，x 2，则x 的值为______________．
8. 若集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝____________.
9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；
10. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中元素最多只有一个，求a 的取值范围．。