华理概率论习题1答案

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华南理工大学大一公共课概率与统计试卷及解答1

诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试《概率论与数理统计》A 卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。

注意： (1.67)0.9525(1.96)0.975(1.45)0.926Φ=Φ=Φ=()()()0.9750.950.9515 2.132,16 1.746,15 1.753t t t ===()()220.9750.025220.950.05220.9750.025(4)11.143(4)0.484(5)11.071(5) 1.145512.83350.831χχχχχχ======一、（12分）设有n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。

如果这n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r 个人的概率与r 无关。

(甲到乙是顺时针) 解：()1221(2)!2(1)1)()!(1)(2)!!12)()(1)!1r n C n r n n r P A n n n C n r r P A n n ------==---==--二、（10分）甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。

现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？解：设1A ，2A ，3A 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。

（1）所求事件的概率为112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.030.350.020.40.010.0185=⨯+⨯+⨯=（2）222()(|)0.350.02(|) = 0.38 ()0.0185P A P B A P A B P B ⨯=≈三、 (10分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解由条件知)2.0,5(~B X ，即5,,1,0,8.02.05}{5 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P kk⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=====3,2;2,0;1,5;0,10)(X X X X X g Y )(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}{)()(5万元=⨯-⨯+⨯==+=+=⨯-=⨯+=⨯+=⨯====∑=X P X P X P X P X P X P k X P k g X Eg EY k四、(15分) 设随机变量和的联合分布在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求 (1) 关于X 的边缘密度 (2) X 和Y 的协方差(3) 随机变量的方差.解三角形区域为;随机变量和的联合密度为X Y ()()()0,1,1,0,1,1U X Y =+(){},:01,01,1G x y x y x y =≤≤≤≤+≥X Y以表示的概率密度,则当或时, ;当时,有因此同理可得, .现在求和的协方差于是五、（12）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域(){}22,12D x y xy =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =.（1）()()()2,,0,x y Gf x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩当当()1f x X 0x ≤1x ≥()10f x =01x <<()()111,22xf x f x y dy dy x ∞-∞-===⎰⎰1122300212, 232EX x dx EX x dx ====⎰⎰()221412918DX EX EX =-=-=21,318EY DY ==X Y 11152212xGEXY xydxdy xdx ydy -===⎰⎰⎰⎰()541cov ,12936X Y EXY EX EY =-⋅=-=-()()11212cov ,18183618DU D X Y DX DY X Y =+=++=+-=X Y {,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰（2）.六、（10分）某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知),方差2400σ=.为了估计μ,随机地取n 只这种器件,在时刻0t =投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得寿命为12,,,n X X X ,以11ni i X X n ==∑作为μ的估计,为了使{}10.95P X μ-<≥,问n 至少为多少?解、由于12,,,n X X X 独立同分布,且2,400i i EX DX μσ===.由林德伯格-列维定理得{}1P X P μ⎫⎛-<=<≈Φ-Φ ⎝⎭⎝⎭21210.9520σ⎛⎛=Φ-=Φ-≥ ⎝⎭⎝⎭即0.975Φ≥⎝⎭,1.96≥,故2400 1.961536.64n ≥⨯=. 因此n 至少为1537.七、（10分）(1) 设某机器生产的零件长度（单位：cm ），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. 求的置信度为0.95的置信区间.(2) 某涤纶厂的生产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常生产的条件下，服从正态分布N(1.405 , 0.0482)，某日随机地抽取5根纤维，测得纤度为1.32 ，1.55 ，1.36 ，1.40 ，1.44问一天涤纶纤度总体X 的均方差是否正常（α=0.05）?2221122888211()8r r red ee e----=--=-=-⎰22818x y EZ E e dxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰222288001184r r rerdrd e r drπθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰2228882r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰⎰2~(,)X N μσ10x =20.16s =μ解：（1）的置信度为下的置信区间为()()11221,1X n X nαα--⎛⎫--+-⎪⎝⎭()0.97510,0.4,16,0.05,15 2.132x s n tα=====所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）(2)()()()()()()()()()()()22222001022221220.97512220.0252222222220.975012:0.048:.1~512.83350.83111.32 1.405 1.55 1.405 1.44 1.4050.04813.68313.683512.833niiH HX nnnn Hααασσσσχμχσχχχχχχχχ=--==≠=-====⎡⎤=-+-++-⎣⎦==>==∑，因为，所以拒绝，即这一天涤纶纤度ξ的均方差可以认为不正常。

概率论第一章习题参考解答

概论论与数理统计习题参考解答习题一8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.08121)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解: 设A ={能打开门},基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n , 有利于A 的基本事件数为2=A n , 因此, 0833.0121)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,基本事件总数nN C m =, 有利于事件A k 的基本事件数kn N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n ,因此, n k C C C m m A P nNkn N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则 P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有 P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C n设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3, 则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯==B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有 P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ). 解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有 P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10, 而由903095106)|()()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有1049036902412)()()(==+=+=B A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有C B A C B A BC A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|()()(72072839024)|()()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=C B A P C B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格, A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(3=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0)|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=⨯+⨯=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P25. 一个机床有1/3的时间加工零件A , 其余时间加工零件B , 加工零件A 时, 停机的概率是0.3, 加工零件B 时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.解: 设C 为加工零件A 的事件, 则C 为加工零件B 的事件, C 与C 构成完备事件组. 设D 为停机事件, 则根据题意有 P (C )=1/3, P (C )=2/3, P (D |C )=0.3, P (D |C )=0.4, 根据全概率公司有367.04.0323.031)|()()|()()(=⨯+⨯=+=C D P C P C D P C P D P 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. 由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ), 得P (A )=1/3, P (A )=2/3. 设B 为零件为废品, 则由题意知P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==⨯+⨯⨯==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大. 29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。

概率论课后1-8章习题解答

第一章习题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B解:(1)()()A B A B AB AB B B == , (2) ()()A B A B ()AB AB B A A B B ==Ω= .4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

新编概率论与数理统计 (夏宁茂秦衍倪中新着) 华东理工大学出版社课后答案

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= P( A1 ) + P( A2 | A2 ) P( A2 )
课
P ( B) = P( A1 ) + P( A2 A2 )
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后答
案网
= P( A1 ) + P( A2 | A1 ) P( A1 ) + P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 )
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1.22 解: 设 Ai =“第 i 次拨通”,B=“不超过三次拨通”,则
案网
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1.14 解: 总方法数为 43 . 3 (1)球的最大个数为 1,即每个杯子里至多只有一个球,则方法数为 C4 3!(先从 4 个杯
om
1.17 解: 利用 P ( A U B) = P( A) + P( B) − P( AB) ,得 P ( AB) = P( A) + P( B) − P( A U B) = p + q − r , P ( AB ) = P ( A ∪ B) − P( B) = r − q , P ( AB) = P( A ∪ B) − P( A) = r − p , P ( AB ) = 1 − P( A U B ) = 1 − r . 1.18 答:
1.27 解: (1)由于 A、B、C 两两独立,则满足 P ( AB) = P( A) P ( B) = x 2 ,
P ( BC ) = P ( B ) P(C ) = x 2 , P ( AC ) = P( A) P(C ) = x 2 , 又 ABC = ∅ 则 P( ABC ) = 0 , P ( A − B − C ) = P( A) − P( AB) − P( AC ) + P( ABC ) = x − 2 x 2 ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 0.5 ,故 x 的最大值为 0.5. (2) P ( A U B U C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( BC ) − P ( AC ) + P ( ABC ) 9 ⇒ = 3P ( A) − 3[ P( A)]2 ⇒ P( A) = 0.25, 16 而另外的一个解 P ( A) = 0.75 > 0.5 舍去. 1.28 解: 设 Ai =“第 i 个零件合格”,则

概率论与数理统计答案(华东师大魏宗舒版)

概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，，，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

华理概率论习题答案(精品).doc

华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第五册)学院______________ 专业_______________ 班级 ________________学号____________ 姓名_____________ 任课教师 ____________第十九次作业一.填空题：1.在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望“的估计值//=_x = l .257 —,标准差cr的估计值$= s”_[ = 0.037_。

二.计算题：1.设总体X服从泊松分布P(2), (X】，X»…,X”)为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计量/。

解：矩估计法，因为X ~ P(2),所以总体平均值EX = 2 ,一 1 n_ 1 n而样本平均值x所以2 = x=-yx,；n ,=i n ,=i极大似然法，设(X],X2,…,X”)的一组观测值为(“2,…,X”)，似然函数L(2) = FT P(x = X,.) = FT —取对数，得In 厶(2) = -nA. + (x; In 2 - In x;!),i=l令气◎_” + ]£廿0,解得：i = l£x.=-；da2幺n幺故＜9的极大似然估计量为：i = x o^)=fl/(x,) = ^flx,^ i=l i=l2. 设总体歹服从几何分布P(X =x) = p(l-pY-1 (x = l,2,…),(X”X2,…,X”)为 X 的样本。

(1) 求未知参数p 的矩法估计；(2)求未知参数p 的极大似然估计。

解： ⑴由于g 〜Ge(p),因此砖=丄，由矩法原则可知E^ = X,故p-X. PX(2) 设样本(X 1,X 2,---,X n )的一组观测值为01，勺,…,x”),由于总体为离散型, 因此似然函数 L(p) = Y[P(X i =x .) = p n (l-p^X!~n ,Z = 1取对数，得In L(p) = nlnp + (工二%, -njln(l-p),上式两端关于p 求导，令di"厶(卩)=工+工日兀—”=0, dp p 1-p 解上式，得丄+ ― p =~^ O p 1- p X3. 设总体总体X 的密度函数为/Xx) JP + D 汽其中<9>-1是0, 其他未知参数，(X],X2,…，X”)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求 9的估计量。

概率论与数理统计习题解答华南理工大学出版社

习题解答
第一章
1-7 已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任意抽
取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找到为止，求需要测试7次的概率。
解
p
C31P62 P74 P170

1 8
1-10 房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一个月
份的概率是多少?
解
p

P142 12 4
1-13 将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率:（1）
P( AC BC ) P( AC) P(BC ) P( ABC) P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P(C)[P( A) P(B) P( A)P(B)] P(C)P( A B) A B与C相互独立。
7、解：(1)
A={点数之和为偶数} B={点数之和等于8}
rA 18 B {(2,6) , (6,2) , (3,5) ，(5,3) ，(4,4)} P(B A) P( AB) P(B) 5 / 36 5
P( A) P( A) 18 / 36 18
8、解：设Ai={第i人破译出密码} i=1,2,3
100
100
0.9524
P(C) P(A1)P(A2)P(A3) 0.95243 0.8639
22、解： Ai={产品来自第i箱}
B={产品是合格品} C={产品经检验为合格品}
3
(1) P(B) P(B Ai )P( Ai ) i 1 20 1 12 1 17 1 20 5 3 12 4 3 17 5 3 0.775
P(C) P(C B)P(B) P(C B )P(B )

概率论第123次答案

4. 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，求此 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率。
解： P
C51C
22C42C
C1 1
22
C52
C140
13 21
。
5. 在区间（0，1）中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于 1 的概率。 2
解：样本空间为 ( x, y) 0 x 1, 0 y 1 ，
A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲、乙两种产品均畅销” C. “甲种产品畅销” D. “甲种产品滞销，或乙种产品畅销”
三．计算题： 1．写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合：
（1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）；
设事件 A 表示：平均得分在 80 分以上。（2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；设事件 A 表示：第一颗掷得 5 点；设事件 B 表示：三颗骰子点数之和不超过 8 点。（3）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数；设事件 A 表示：至多只要投 50 次。解：
1
表示{ 1}。
A. 事件 A B. 事件 B C C. 事件 B C D. 事件 D C
3．设 A 、 B 是两个事件，且 A ， B ，则 A B A B 表示（ D ）。
A. 必然事件
B. 不可能事件
C. A 与 B 不能同时发生
D. A 与 B 中恰有一个发生
4．以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 A 表示（ D ）。
D. P A B 1
4．设 A 、 B 是任意两个互不相容的事件，且 P( A)P(B) 0 ，则必有（ D ）

华南理工大学概率论-04-05含答案

，n=5, -------------------8分
所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分
解答与评分标准
一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）
二．1．0.85、2.n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4
(1) 4个球全在一个盒子里;
(2)恰有一个盒子有2个球.
四．(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为
(1)求常数A; (2)求P(ξ<1)；(3)求ξ的数学期望.
五．(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是
η＝1
η=2
η＝4
η＝5
ξ＝0
0.05
0.12
0.15
0.07
ξ＝1
0.03
0.10
概率论试题（2004-2005学年第一学期）（含答案）
一．单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设事件A和B的概率为则可能为（）
(A) 0; (B) 1; (C) 0.6;(D) 1/6
2.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）
(A) ; (B) ;(C) ;(D)以上都不对
3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
4．某一随机变量的分布函数为，则F(0)的值为（）
(A) 0.1; (B) 0.5;(C) 0.25; (D)以上都不对
5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（）

华东理工大学概率论答案

华东理工大学概率论答案【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】选择题：1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。

1y?1y?11y?1) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(333332. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)1c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)2二. 填空：已知?～n(0,1),??? 三. 计算题, 则?的概率密度为??(y)?3y22?e?y62。

1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。

?p{?y???解: f?(y)?p{??y}??0?2y}y?0?f?(y)?f?(?y)??y?0?0y?0y?0?1p(y)?p?(?y)?故p?(y)??2y??0????1y?0?＝?4yy?0??00?y?4其他2. 设随机变量x求y?sin(?2x)的概率分布。

x?4k?1x?2k k?1,2,? x?4k?3??1x??解：由于sin()??02?1?故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。

随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1k?1??124k?1?112??； 8115?124p{y?0}??p{x?2k}??k?1?1111???； 2k143k?12?122??p{y?1}??p{x?4k?3}??k?1k?1?124k?3?118??， 2115于是随机变量y的分布律为：3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?ln?ln?的分布。

lnx，y?x?e(lnx)2?f(x) ，由于f(x)?e(lnx)21?2lnx? 。

xlny当x?(0,1)时，??1x?f(y)?ef(x)?0 ，lny?1?e??1??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny?0?其中当y?(??,1]时，,y?(1,??),.其它y??(y)=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。

华南理工大学概率论例题

概率论例题例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。

而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。

试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。

解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }=!k e k λλ-Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，kP{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=!k e k λλ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布P{Y = r }=∑+∞===0},{k r y k x P =∑+∞====0}/{}{k k x r y P k x P =∑+∞=--rk r k r r k kq p C e k λλ!=∑+∞=--+--r k r k rq r r k k k k p e )(!)1()1(!1)(λλλ =∑+∞=---r k r k rrq r k r p e )()!(1!1)(λλ=rqr e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律∑+∞==0}{r r y P = 1 ？例2. 设ξ服从N( 0, 1 ), 求2ηξ=的分布密度。

解因为η只取非负值，所以当0y ≤时，2()()()0F y P y P y ηηξ=<=<=当0y >时2()()()()F y P y P y P y y ηηξξ=<=<=-<<2222()22t t yyyyyt dt dt dt ξππ--===220222u u yyedu du uuππ--==⎰⎰所以20,0()20,0u y du y F y uy ηπ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰ 122,0()20,0y y y y y ηϕπ--⎧>⎪=⎨⎪≤⎩例3. 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N 个人的血,可以用两种方法进行.(i) 将每个人的血分别去验,这就需验N 次.(ii)按k 个人一组进行分组,把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k 个人的血都呈阴性反应,这样,k 个人的血就只需验一次.若呈阳性,则再对这k 个人的血液分别进行化验.这样, k 个人的血总共要化验是1k +次.假设每个人化验呈阳性的概率为p ,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p 较小时,选取适当的k ,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k 取什么值时最适宜.解各人的血呈阴性反应的概率为1q p =-.因而k 个人的混合血呈阴性反应的概率为k q ,k 个人的混合血呈阳性反应的概率为1-k q .设以k 个人为一组时,组内每人化验的次数为X ,则X 是一个随机变量,其分布律为 11(), ()1.k k k P X q P X q k k+====-X 的数学期望为111()(1)(1)1.k k k E X q q q k k k=++-=-+ N 个人平均需化验的次数为 1(1)k N q k-+. 由此可知，只要选择k 使 111k q k-+<, 则N 个人平均需化验的次数N <.当p 固定时,我们选取k 使得11k L q k=-+小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.例如,0.1p =,则0.9q =,当4k =时, 11k L q k=-+取到最小值. 此时得到最好的分组方法.若1000N =,此时以4k =分组,则按第二方案平均只需化验411000(10.9 )594()4-+=次.这样平均来说,可以减少40%的工作量.例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立. 其规律为到站时间8：10 9：10 8：30 9：30 8：509：50 概率61 63 62 一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望. 解设旅客的候车时间为X （以分计）. X 的分布律为X 10 30 50 70 90 p k 63 62 1166⨯ 1366⨯ 1266⨯在上表中，例如13{70}()()(),66P X P AB P A P B ====⨯其中A 为事件“第一班车在8：10到站”，B 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为32132()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636E X =⨯⨯⨯⨯⨯（分）.例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X （以年计），规定：1X ≤，一台付款1500元； 12X <≤ ,一台付款2000元；23X <≤,一台付款2500元；3X >，一台付款3000元.设寿命X 服从指数分布，概率密度为101, 0 ()100 , 0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤试求该商店对上述家电收费（Y 元）的数学期望. 解先求出寿命X 落在各个时间区间的概率，即有1/100.101{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=⎰≤ 20.20.31011{12}d 0.086110x P X e x e e ---<==-=⎰≤,3/100.20.321{23}d 0.077910x P X e x e e ---<==-=⎰≤, 0.31031{3}d 0.0740810x P X e x e ∞-->===⎰. 一台收费X 1500 2000 2500 3000 p k0.09520.08610.07790.7408得()2732.15E X =,即平均一台收费2732.15元. □例6 ()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布设,X Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为()X F x 和()Y F y .现在来求()max ,M X Y =及()min ,N X Y =的分布函数.由于()max ,M X Y =不大于z 等价与X 和Y 不大于z ，故有{}{},P M z P X z Y z =≤≤≤.又由于X 和Y 相互独立，得到()max ,M X Y =的分布函数为(){}{}{}{}max ,F z P M z P X z Y z P X z P Y z ===≤≤≤≤≤即有()()()max X Y F z F z F z =.类似地，可得到()min ,N X Y =的分布函数为(){}{}{}{}{}min 11,1F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z ==->=->>=->⋅>≤.即 ()()()min 111X Y F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 (1,2)k X k = 服从同一指数分布,其概率密度为1, 0 ()0.0 , 0xe xf x x θθθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩，≤，若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.解 (1,2)k X k =的分布函数为1,0,()0,0.x e x F x x θ-⎧⎪->=⎨⎪⎩≤由第三章§5(5.8)式12min(,)N X X =的分布函数为22min 1, 0()1[1()] 0, 0xe x F x F x x θ-⎧⎪->=--=⎨⎪⎩≤因而N 的概率密度为2min , 0()20, 0xe xf x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩≤ 于是N 的数学期望为2/min 02()()d d 2x xE N xf x x e x θθθ∞∞--∞===⎰⎰.例8.一民航机场的送客车载有20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。

华东理工大学概率论答案-1

华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第一册）学院 ____________专业 ____________班级 ____________ 学号 ____________姓名 ____________任课教师____________第一次作业一．填空题：1．设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各事件： B A =1131x 422x x ⎧⎫≤≤<<⎨⎬⎩⎭或者，B A =S ，B A =B ，AB =A 。

2．设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）事件ABC 表示A 、B 、C 都发生； (2) 事件ABC 表示A 、B 、C 都不发生；（3）事件ABC 表示A 、B 、C 不都发生；（4）事件A B C 表示A 、B 、C 中至少有一件事件发生；（5）事件AB AC BC 或AB AC BC 表示A 、B 、C 中最多有一事件发生。

二．选择题：1．设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,4,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，则事件=-BC A ( A )。

A.}10,9,8,6,1{B. }5,2{C. }10,9,8,6,2{D. }10,9,8,6,5,2,1{2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件=A “恰有一弹击中飞机”, 事件B = “至少有一弹击中飞机”，事件C =“两弹都击中飞机”, 事件=D “两弹都没击中飞机”，又设随机变量ξ为击中飞机的次数，则下列事件中( C )不表示}1{=ξ。

A. 事件AB. 事件C B -C. 事件C B -D. 事件C D -3．设A 、B 是两个事件，且∅≠A ，∅≠B ，则()()B A B A ++表示（ D ）。

A. 必然事件 B. 不可能事件 C. A 与B 不能同时发生 D. A 与B 中恰有一个发生4．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ D ）。

华工概率论与数理统计试卷及答案1

其中是未知参数。从整体X中抽取简单随机样本，
(1)求的矩估量；
(2)讨论是不是具有无偏性。
解：1、
其中：
2、
是参数的无偏估量
(3)以95%的把握估量商场销售该商品一年中能取得的最高利润是多少？
解：设ξi：第i周的销量，则：ξi～P(9)，i=1，…，50
令：μ=Eξi=9，σ2=Dξi=9
(1)
=
= = =
－
=，m=4151元
(3)设：M为最高利润，求M，.
五
六
七
八
总分
得分
评卷人
可能用到的分位点：
一、(10分)已知：求：
解：
=1-
=1-（）
=
（）
二、(15分)袋中有15个球，10个红球，5个黄球。不放回地分两次从袋中将球逐个掏出，第一次取5个球，第二次取6个球。求以下事件的概率：
(1)第二次6个球中的第5个是红球；
(2)第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球；
=
(2)P(Bk|A)=
=
五、(15分)商场销售某种商品，每周销售量（件数）服从λ=9的泊松散布，各周的销售量彼此独立，一年按50个销售周计。每销售一件该商品商场可取得10元利润。求(精准到元)：
(1)一年中商场售出该商品件数在400件到500件之间的概率；
(2)以95%的把握估量商场销售该商品一年中能取得的最低利润是多少？
(1)掏出的产品为次品的概率；
(2)当掏出的产品为次品时，它来自第1、2、3盒的概率各是多少？
解：设A：产品为次品
Bi：产品取自第i盒，i=1、2、3
则：P(B1)=1/2,P(B2)=1/6,P(B3)=1/3

华东理工大学概率论答案1516

第十五次作业一. 选择题：1. 设随机变量ξ密度函数为()p x ，则31ηξ=-的密度函数()p y η为（ A ）。

A 、11()33y p +B 、13()3y p +C 、1(3(1))3p y +D 、13()3y p -2. 设随机变量ξ和η相互独立，其分布函数分别为 )(x F ξ与)(y F η，则),max(ηξζ＝的分布函数 )(z F ζ等于（B ） A ．)}(),(max {z F z F ηξ B. )()(z F z F ηξC ．)]()([21z F z F ηξ+ D. )()()()(z F z F z F z F ηξηξ-+二. 填空：已知ξ～)1,0(N ,31ξη=, 则η的概率密度为=)(y ηϕ226e23y y -π。

三. 计算题1. 已知随机变量]2,0[~U ξ，求2ξη=的概率密度。

解: ⎩⎨⎧<≥--=⎩⎨⎧<≥≤≤-=≤=00)()(00}{}{)(2y y y F y F y y y y P y P y F ξξηξξ故()⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=000)()(21)(y y y p y p y y p ξξη＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他04041y y2. 设随机变量X求)2sin(X Y π=的概率分布。

解：由于⎪⎩⎪⎨⎧-==-=-=34120141)2sin(k x k x k x x πΛ,2,1=k故随机变量Y 的可能取值为：-1，0，1。

随机变量Y 的∑∞=-==-=1}14{}1{k k X P Y P ∑∞=-=-⨯==141415212118121k k ； ∑∞====1}2{}0{k k X P Y P ∑∞==-⨯==1223112114121k k； ∑∞=-===1}34{}1{k k X P Y P ∑∞=-=-⨯==143415812112121k k ，于是随机变量Y 的分布律为：3．设~ξ)1,0(U ，求η =ξξln 的分布。

华南理工大学概率论和数理统计课后答案

1-9 设 A ={拨号不超过 3 次就能接通电话}，则
P ( A) =
1 9 1 9 8 1 + × + × × = 0.3 10 10 9 10 9 8
设 B ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过 3 次就能接通电话}，则
P( B) =
1 4 1 4 3 1 + × + × × = 0.6 5 5 4 5 4 3
三个数字不含 1 或 5，即每次只能在 2、 3、 4 中进行抽取，共有 33 = 27 种取法，故 P ( A) =
27 = 0.216 ； 125
1 C32C4 = 12
三个数字 5 出现两次，即有
P (C ) =
12 = 0.096 125
种取法，故
.
1-12 设 A ={指定的 3 本书恰好放在一起 }，10 本书的排列方法共有 10！种，而指定的 3 本书的排列方法有 3！种，剩下的 7 本书与指定的 3 本书这一整体的排列有 8！种，故
所以
P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
=
1 1 1 Cb Cb Ca +c 1 1 1 Ca + b Ca + b + c Ca + b + 2 c
=
b b+c a a + b a + b + c a + b + 2c
2-11
设 A ={这批货获得通过}， B ={样本中恰有一台次品}， A ={这批空调设备退
1-15 （1） P ( A) =
；（2） P( B) =
1 1 C22 1 C2 C 8 1-16 （1） P( A) = 2 = ；（2） P( A) = 2 4 = . C6 15 C6 15

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d 若至少有一次及格则他通过考试，问他通过考试的概率 0.86 。
re 二. 选择题：
1．从数列 1,2,…,n 中随机地取三个数（1<k<n），则一个数小于 k, 一个数等于
te k，而一个数大于 k 的概率( D )
is A. k -1 B. (k -1)(n - k) C. (k -1)(n - k) D. 6(k -1)(n - k)
13
B.
C
4 52
C. 134 C 542
D.
134
52 ´ 51´ 50 ´ 49
三. 计算题： 1. 将长为 a 的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。将长为 a 的细棒折
成三段，求这三段能构成三角形的概率。
解 : 设三段分别为 x, y, a - x - y , 样本空间
W : (0 < x < a) I (0 < y < a) I (x + y £ a) 能构成三角形须满足(图中阴影部分)
ìx+ y > a - x - y
d ïïy + a - x - y > x e íïa - x - y + x > y
ì ï
x
ï
+
y
>
a 2
Þ
ïí0 ï
<
x
<
a 2
ter ïî0 < x < a,0 < y < a
=
4 273
3. 一学生宿舍有 4 名学生，问：（1）4 人生日都在星期天的概率是多少？（2）4 个人的生日都不在星期天的概率是多少？（3）4 个人的生日不都在星期天的概率是多少？
解:
(1)
4
个人的生日可从星期一到星期天中任取,故 P1
=
1 74
.
(2)
4
个人的生日可从除星期天外的任何一天中任取,故 P2
3. 设 10 件产品中有 4 件不及格，从中任取两件，在已知两件中有一件是不合格品的条件下，另一件也是不合格品的条件概率是多少？
解: 设 Ai =“第 i 件不合格”,则
UnRegistered P(A2 | A1) =
P( A1 A2 ) =
C42 C120
P( A1) (C41C61 + C42 )
ïïî 0
<
y
<
a 2
nRegis 故这三段能够成三角形的概率为1 . U4
2. 一盒子装有 15 个手机，其中有 4 个次品，其余为正品，现每次任意抽取一个进行测试，测试后不再放回，直到把全部次品找到为止，求需要测试 7 次的概率。解：设事件 A 表示需要测试 7 次，则
P( A) =
C63 A43 A131 A175
能被 3 整除”，用集合方式表示：事件 A ={2,4,6}， B ={3,6}， A ={1,3,5}，
d A U B ={2,3,4,6}。 e 2．设 A 、 B 、 C 表示三个随机事件，试将下列事件用 A 、 B 、 C 表示出来： r （1）事件 ABC 表示 A 、 B 、C 都发生； te (2) 事件 ABC 表示 A 、 B 、C 都不发生； is （3）事件 ABC 表示 A 、 B 、C 不都发生； g （4）事件 A U B U C 表示 A 、 B 、 C 中至少有一件事件发生； e （5）事件 AB U AC U BC 或 AB U AC U BC 表示 A 、B 、C 中最多有一事件发 R 生。 n 二．选择题： U 1．设 W = {1,2,3,L,10} ， A = {2,3,5} ， B = {3,4,5,7} ， C = {1,3,4,7} ，则事件
华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第一册）
学院 ____________专业 ____________班级 ____________ 学号 ____________姓名 ____________任课教师____________
第一次作业
一．填空题： 1．任意抛掷一颗骰子，设事件 A 表示“出现偶数点”，事件 B 表示“出现的点数
2. 某保险盒内装有甲、乙两根保险丝。根据以往的经验，当电流超过额定值 10%时，甲、乙保险丝被熔断的概率分别是 0.7,0.6，而两根保险丝同时被熔断的概率为 0.5。试求至少有一根保险丝被熔断的概率。解: 设 A, B 分别表示甲、乙保险丝被熔断，则
P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8 。
（1）样本空间可以表示为 W = {0，1,2,3,L,100} ；事件 A = {81,82,L,100} 。
（ 2 ）样本空间可以表示为 W = {3,4,5,L,18} ；事件 A = {7,8,L,17} ，
d B = {3,4,L,8}。 re （3）样本空间可以表示为 W = {10,11,12,L}；事件 A = {10,11,12,L,50} 。
表示{x = 1}。
A. 事件 A B. 事件 B - C C. 事件 B - C D. 事件 D - C
三．计算题：
1．写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合：（1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，
只取整数）；
设事件 A 表示：平均得分在 80 分以上。（2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；设事件 A 表示：第一颗掷得 5 点；设事件 B 表示：三颗骰子点数之和不超过 8 点。（3）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数；设事件 A 表示：至多只要投 50 次。解：
=
64 74
.
(3)该问题为(1)的对立事件,故 P3
=1-
1 74
.
第三次作业
一. 填空题：
1. 已知 P( A) = 0.7, P( A - B) = 0.3, P(B) = 0.6 ，则 P( A B ) = 0.1.
2. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 0.8 ，若第一次及格则第二次及格的概率为 0.9 ；若第一次不及格则第二次及格的概率为 0.3 ，
A - BC = ( A )。
A.{1,6,8,9,10} B. {2,5} C. {2,6,8,9,10} D. {1,2,5,6,8,9,10} 2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件 A =“恰有一弹击中飞机”, 事件
B = “至少有一弹击中飞机”，事件 C =“两弹都击中飞机”, 事件 D = “两弹都没击中飞机”，又设随机变量x 为击中飞机的次数，则下列事件中( C )不
1．把 12 本书任意地放在书架上，则其中指定的 4 本书放在一起的概率 9!4! = 1 。 12! 55
2．在 11 张卡片上分别写上 Probability 这 11 个字母，从中任意抽取 7 张，求其
排列结果为 ability 的概率 1´ 2 ´ 2 ´1´1´1´1 = 1 。
A171
415800
te 2．如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，证明：事件 A 与事件 B 也互为对立事件。 is 证: g 由于 A 与 B 互为对立事件,故 AB = Æ, A U B = W ,因此就有 A U B = W, AB = Æ ,所以 e A 与 B 也互为对立事件.
UnR 一．填空题：
第二次作业
3
2
U (1) A 与 B 互不相容；
(2) A Ì B ；
(3) P( AB) = 1 。 8
解：
(1) P( AB) = P(B - A) = P(B) = 1 ； 2
(2) P( AB) = P(B - A) = P(B) - P( A) = 1 - 1 = 1 ； 23 6
(3) P( AB) = P(B - A) = P(B) - P( AB) = 1 - 1 = 3 。 28 8
二. 选择题： 1. 为了减少比赛场次，把 20 个球队任意分成两组（每组 10 队）进行比赛, 则
最强的两个队被分在不同组内的概率为( B )。
A. 1 B. 10 C. 5 D. 1
2
19
19
10பைடு நூலகம்
2. 从一副扑克牌(52 张)中任取 4 张,4 张牌的花色各不相同的概率( C )
A. 1 13
n
n2
n(n -1)(n - 2)
n(n -1)(n - 2)
2．箱子中装有 5 个白球和 6 个黑球,一次取出 3 只球,发现都是同一种颜色的,
g 在此前提下得到的全是黑色概率为( A )
e A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
3
11
11
33
R 三. 计算题
n 1. 设 P(A) = 1 ， P(B) = 1 ，试就下列三种情况下分别求出 P(AB) 的值：
C120
= 0.2 .