九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程教案新版新人教版

第二十一章一元二次方程

21.1 一元二次方程

【知识与技能】

1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.

2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.

【过程与方法】

经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.

【情感态度】

进一步培养学生的观察、类比、归纳能力,体验数学的严密性和深刻性.

【教学重点】

一元二次方程的概念及其一般表现形式.

【教学难点】

从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.

一、情境导入,初步认识

(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m,设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比,等于下部与全部（全身）的高度比,即下部高度的平方等于上部与全部的积,如果设此雕像的下部高为xm,则其上部高为（2-x）m,由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是,你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？

【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣,进而增强求知欲望.

二、思考探究,获取新知

由上述问题,我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数,且x的最高次数为2,这类方程在现实生活中有广泛的应用.

探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)

【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论,教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm,则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?

【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,

由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.

探究2见教材2~3页问题2.

【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:

(1)这次排球赛共安排场;

(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队与其它个队各赛一场,这样共应有

场比赛；

(3)由此可列出的方程为 ,化简得 .教师提出问题,引导学生思考方程的建模过程,同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）

【讨论结果】设应邀请x个队参赛,通过分析可得到1

2

·x·（x-1）=28,化简,得x2-x=56,

即x2-x-56=0.

观察思考观察前面所构建的三个方程,它们有什么共同点？可让学生先独立思考,然后相互交流,得出这些方程的特征：

（1）方程各项都是整式；

（2）方程中只含有一个未知数；

（3）未知数的最高次数是2.

【归纳结论】

1.一元二次方程：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项.

想一想

1.二次项的系数a为什么不能为0?

2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时,a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.

【教学说明】本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程,教学时应让学生进行充分的探索和交流.注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.

探究3 从探究2中我们可以看出,由于参赛球队的支数x只能是正整数,因此可列表如下：

可以发现,当x=8时,x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解,一元二次方程的解也叫

做一元二次方程的根.

思考

1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？

2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8,它还有其它的根吗？

【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；

2.由于x=-7时,x2-x-56=49-（-7）-56=0,故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上,一元二次方程如果有实数根,则必然有两个实数根,通常记为x1=m,x2=n.

三、典例精析,掌握新知

例1 已知关于x的方程(m+2)x|m|+3x+m=0是一元二次方程,求此一元二次方程.

分析:观察方程特征,依定义建立关于m的方程,再考虑其二次项系数不能为0,可得到结论.

解：由题意有

2

20

m

m

=

+≠

⎧⎪

⎨

⎪⎩

,∴m=2.

因此原一元二次方程为4x2+3x+2=0.

例2将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.

解：去括号,得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为

3x2-8x-10=0.

其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.

【教学说明】以上两例均可让学生独立思考,自主完成.教师巡视,了解学生的掌握情况,最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考,加深对本节知识的理解和掌握.

四、运用新知,深化理解

1.下列各式中,是一元二次方程的是（）

A.3x2+1x=0

B.ax2+bx+c=0

C.(x-3)(x-2)=x2

D.(3x-1)(3x+1)=3

2.关于x的方程（k-1）x|k|+1-2x=3是一元二次方程,则k= .

3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4,则m的值为 .

4.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式,指出其二次项系数、一次项系数及常数项：

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;