2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.3三角函数的计算同步练习新版北师大
九年级数学 第一章 直角三角形的边角关系 1.3 三角函数的计算教学
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得 ∠B≈26.6°.
12/10/2021
第十五页，共三十一页。
拓广探索 比一比，你能得出什么结论？
角 度
(jiǎodù)
增 大
sin15°32 ' = 0.2678
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
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解析 (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长；
(2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系(guān xì)即 可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
(1)求改直后的公路(gōnglù)AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确 到0.1)?
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(1)求改直后的公路(gōnglù)AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米(qiān mǐ)，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD ＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
第二十六页，共三十一页。
5.sin70°，cos70°，tan70°的大小(dàxiǎo)关系是( D) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
三角函数的计算-九年级数学下册课件(北师大版)
1
shift
6
=
cos-1
0
.
8
30.60473007
cosB=0.8607
6
tanC=56.78
shift
7
=
tan-1
5
6
.
88.99102049
7
还可以利用
0
8
=
键，进一步得到以“度、分、秒”显示的结果
课堂基础练
例1 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)tan47°；
(3)sin25°18′；
随堂测试
6．利用计算器求下列各角(精确到1′)．
(1)sinA＝0.75，求∠A的度数；
(2)cosB＝0.888 9，求∠B的度数；
(3)tanC＝45.43，求∠C的度数；
(4)tanD＝0.974 2，求∠D的度数．
【详解】解：（1）∵sinA=0.75，
∴∠A≈48.59°≈48°35′24″≈48°35′；
例2 根据下列条件求锐角A的度数：(结果精确到1′)
(1)sin A＝0.732 1；(2)cos A＝0.218 7；(3)tan A＝3.527.
解：(1)先按SHIFT sin 0.7321＝键，显示：47.062 734 57，
再按°’”键，即可显示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.
(5) 若cosα = 0.3145，则 α ≈
71.7°
(精确到 0.1°).
随堂测试
5．求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：
（1）sinθ=0.1426；
（2）cosθ=0.7845．
解：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系230°,45°,60°角的三角函数值教学课件(新版)北师大版
【解析】如图所示,BC=7m，
B
∠A=30°
BC 7 1， sinA=
AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯的长度为14 m.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. c
求证:sin2A+cos2A=1.
A
b
【证明】在Rt△ABC中，a2 b2 c2，
∵E,F分别是AB,DC的中点，
∴EF= 1 ( AD BC ) 1 (8 16)=12.
2
2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °角的三角函数值及推导方 式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
c 直角三角形三边的关系.
A
D
B
C
【解析】（1）∵∠B＝60°，
∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∴∠DCA=∠BCA.
∴∠ACB=30°. cos∠ACB=cos 30°= 3. 2
（2）∵AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BCA
b
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
45°
B
a ┌
C
30°
45° ┌ 60° ┌
真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在 我的眼前，任我去探寻。
——牛顿
C．1 2
D． 2 2
【解析】选B.
3．（眉山·中考）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，
九年级数学下册 直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.3三角函数的有关计算_2
14．解：作 AE⊥CD于 E，则 AE=BD＝ 24m，在 Rt △ AED中，tan ∠ DAE＝ DE ，∴ DE=AEtan AE
60°≈ 24×1.732 ≈ 41.57(m) ，∴ AB＝DE≈ 41.57 m ．在 Rt △ AEC中， tan ∠ CAE＝ CE , ∴ CE AE
＝AEtan 40°≈ 24×0.8391 ≈20.14(m) ，∴ CD＝ CE＋DE≈ 20.14 ＋ 41.57 ＝ 61.71(m) ，∴甲建
A． 3 4
B． 4 3
C． 3 5
D． 4 5
7．B ，
则 cos A 等于（
）
3
22
A．
3
B． 1 3
C． 2 2
2
D．
4
8．如图，已知正方形 ABCD 的边长 为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB
的延长线上的点 D 处，那么 tan BAD 等于（ ）
你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵
你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵
5.60 °
6.B
7． B 8． C[提示：设较小的锐角为
a，若 3， 4 为两条直角边，则
tan a= 3 ＝ 0.75 ．若斜边 4
为 4，先求另一直角边为
旗 杆 PA 的 高 度 与 拉 绳 PB 的 长 度 相 等 ． 小 明 将 PB 拉 到 PB′ 的 位 置 ， 测 得
∠ PB′ C=α （ B′ C 为 水 平 线 ）， 测 角 仪 B′ D 的 高 度 为 1 米 ， 则 旗 杆 PA 的 高
度为（
）
2018新版北师大版数学九年级下册教案(全)
第一章直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1锐角三角函数教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、4、1、题。
1）（2）3）2、3、（1（2a、如图，在△ACB中，∠C=90°，1）tanA=；tanB=；2）若AC=4，BC=3，则tanA=；tanB=；3）若AC=8，AB=10，则tanA=；tanB=；b、如图，在△ACB中，tanA=。
（不是直角三角形）（3）tanA的值越大，梯子越陡4、讲解例题例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。
这是上述结论的直接应用。
例2 如图，在△ACB 中，∠C=90°，AC=6，43tan B ，求BC 、AB 的长。
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。
随堂练习5、书本P4随堂练习 小结正切函数的定义。
作业书本P4习题1.11、2、4。
第2课时 §1.1.2锐角三角函数教学目标5、 经历探索直角三角形中边角关系的过程6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正弦、余弦函数的定义✧ 6、 7、 c 、 1） 2） 若3） 若d 、 8、 9、 sinA 10、 例3 例4如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，1312cos =A ，求AB 的长及sinB 。
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。
随堂练习11、 书本P 随堂练习 小结正弦、余弦函数的定义。
作业书本P6习题1、2、3、4、5第3课时ABC§1.230°、45°、60°角的三角函数值教学目标9、 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义 10、 能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算11、 能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小 教学重点和难点重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算 难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值 教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题12、 算。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系3三角函数的有关计算 习题课件
2.145 267 182
2.145 3
(4)sin 19°+cos 49°的按键顺序是 __________________ __ ， 显示结果是______________，所以sin 19si°n+1co9s +49c°os 4 9
≈=________.
0.981 627 183
0.981 6
(打“√”或“×”) (1)若没有特别说明，求角度的计算结果精确到1″.( ) (2)知道一个锐角的三角函数值，就能用计算器求出这√个角的 度数.( ) (3)根据角的三角函数值用计算器求得的角度都不是准确 值 (4.)(如果)√tan A=3,那么∠A=71°56′51″.( )
×
×
知识点 1 已知三角函数值用科学计算器求相应锐角的度数 【例1】根据下列条件用计算器求锐角A的大小： (1)sin A=0.635 4. (2)cos A=0.102 1. (3)tan A=12.329.
EM 8 . OE 17
61.9°
【总结提升】根据直角三角形的边角关系运用计算器解决实际 问题 1.在直角三角形中,只要知道除直角外的两个条件(必须有一个 是边),就可借助计算器把其余的边角求出来. 2.直角三角形的边角关系,在实际问题中有着广泛的应用.解决这 类问题的关键在于发现或构造出直角三角形,然后根据条件选用 适当的三角函数解题.
【想一想错在哪？】在等腰△ABC中，AD是底边BC的中线， ∠B=39°，AD=5，求底边BC的长.(保留两位小数)
提示：在由 tanB 变A形D 时出错.
BD
3 三角函数的有关计算 第2课时
1.能够用计算器由三角函数值求角度.(重点) 2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.(难点)
九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系章末小结
解:作 BE⊥l 于点 E,DF⊥l 于点 F.
∵α+∠DAF=180°-∠BAD=90°,∠ADF+∠DAF=90°, ∴∠ADF=α=36°.
根据题意得 BE=24 mm,DF=48 mm. 在 Rt△ABE 中,sin α=������������������������,
∴AB=sin���3������6���°≈40 mm.
章末小结与提升
锐角三角函数
∠������的对边 ������
直
sin������ = 斜边 = ������
角 三
定义
∠������的邻边 ������ cos������ = 斜边 = ������
角 形
∠������的对边 ������ tan������ = ∠������的邻边 = ������
C.3 2 3
D.
3+1 2
2.在△ABC 中,∠A,∠B 为锐角,且有|tan B- 3|+( 2sin A- 3 )2=0,则
△ABC 的形状是 等边三角形 .
3.计算:2tan2453°ta-ns6in02°30° − sin260°-2sin60° + 1.
解:原式=22×
1-
1 2
3×
2
解:( 1 )在△ABC 中,∵∠ACB=90°, ∴sin A=������������������������ = 45, 又∵BC=8,∴AB=10, ∵D 是 AB 的中点,∴CD=12AB=5. ( 2 )在 Rt△ABC 中,∵AB=10,BC=8,
∴AC= ������������2-������������2=6, ∵D 是 AB 的中点, ∴BD=5,S△BDC=12S△ABC,即12CD·BE=12 ·12AC·BC,∴BE=254,
九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.3 三角函数的计算课件 (新版)北师大版.pptx
回顾与思考 直角三角的边角关系 直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=90°.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
B
n A cos B a , cos A sin B b ,
例如,求sin160,cos420, tan850和sin720 38′25″的按 键盘顺序如下:
6
sin160 cos420 tan850
sin720 38′25″
sin
cos tan sin 7 D.M.S
按键的顺序
显示结果
1
6=
0.275 637 355
4
2
=
0.743 144 825
8
5
=
sin A 1 ∠A= 2
300 sin A 3 ∠A=
2
600 sin A 2 ∠A= 450
2
cos A 1 ∠A= 2
600 cos A 2 ∠A=
2
450 cos A 3 ∠A= 300 2
tan A 3 ∠A= 3
300 tan A 3 ∠A= 600 tan A 1 ∠A= 450
4
想一想 数学源于生活的需求
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=ABsin160 .
你知道sin160等于多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的?
5
做一做 用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键:
sin cos tan
13
11.430 052 3
2 D.M.S 3 2 5 D.M.S
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.3《三角函数的计算》课件
1.用计算器求下列各式的值： (1)tan320;(2)sin24.530; (3)sin62011′;(4)tan39039′39″.
102..6如24图9,2物0华.9大09厦7离30小.8伟84家4640m0,.小82伟91
从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶
部仰角是450,而大厦底部的俯角是370
当缆车继续从点B到达点D时,它又
走过了200m.缆车由点B到点D的行驶
路线与水平面的夹角为∠β=420,由
E
此你不能计算什么?
如图, 水平宽度BE或上升高度DE
BE 148.63m DE 133.83m
老师提示:用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位. 本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位.
求(结该果大精厦确的到的0高.1度m).大厦高约105.2m
结束寄语
• 一个人就好象一个分数,他的实 际才干就好比分子,而他对自己 的估计就好比分母,分母越大, 则分数的值就越小.
BAC
1000,
BC
46.6,
AC
38.76SABC
D
381.65.
A
7 如图,根据图中已
知数据,求AD. AD 13.85
250 550┌
B 20 C
D
随堂练习
真知在实践中诞生
8 如图,根据图中已知数据,
A
求△ABC其余各边的长,各角 a
的度数和△ABC的面积.
B
α┍ D
β
C
BD a cos, AD a sin , DC a sin , AC a sin ,
A
又 tan 450 AD , AC
AC AD 2 6 2 2. tan 450
北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 三角函数的计算
5．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角 A 的度数．(结果精确到 0.01°)
(1)cos A＝0.7651; (2)sin A＝0.9343； 解：(1)∠A≈40.08° (2)∠A≈69.12°
(3)tan A＝35.26; (4)tan A＝0.707.
(3)∠A≈88.38° (4)∠A≈35.26°
解：(1)∵四边形 BCEF
是矩形，∴CE＝BF＝3，又∵CD＝6，∴sin
D＝CCDE
＝1 2
，
∴∠D＝30°
(2)在 Rt△ABF 中，sin ∠BAF＝BAFB
＝2 3
，设 BF＝2k，则 AB＝3k，由勾股定
理得 AF＝
5
k.∵BF
＝3，即
2k
＝3，∴k
＝3 2
，∴AF
＝3
5 2
，又∵F E ＝B C＝ 1，
解：在Rt△BCD中，∵∠DBC＝90°，∠BCD＝55°，CD＝6米， ∴BD＝CD·sin ∠BCD＝6×sin 55°≈6×0.82＝4.92(米)， ∴AD＝AB－BD＝6.5－4.92＝1.58≈1.6(米). 答：梯子的顶端与墙顶的距离AD约为1.6米
9．(东营中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计
13．(2022·郑州月考)图①是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图②是其 示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝ 48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1 cm， 参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)
∴AE＝AF＋FE＝(3 5 ＋1)米 2
北师版九年级数学下册第一章1.3 三角函数的计算
线与水平线 所成的锐角称为俯角．
◎自主检测 知识点 ：用计算器求锐角的三角函数值
1. 用计算器求下列各式的值： (1)sin20°； (2)cos38°； (3)tan10°；
(4)cos27°51′； (5)sin75°31′12″； (6)3sin29 °. 解：(1)sin20° ＝0.3420； (2)cos38° ＝0.7880；
2. 如图，某段公路沿山坡每前进 100 米，路面就升 高 4 米，求这段公路的坡角．
解：sinθ＝0.04，θ＝2.29° ＝2° 17′.
◎基础训练 1. (2018·烟台)利用计算器求值时，小明将按键顺 序 的显示结果记为 a， 的显示结果记为 b，则 a，b 的大小关 系为(
B
) B．a＞b D．不能比较
◎拓展提升 6. 已知菱形 ABCD，AB＝10 cm，∠A＝40°，则 菱形 ABCD 的面积为 cm2)．
64.3
cm2(结果精确到、0．1
7. (1) 用计算器计算并验证 sin25 °＋ sin46 °与 sin71°之间的大小关系； (2)若 α、β 、α＋β 都是锐角，猜想 sinα ＋sinβ 与 sin(α＋β )的大小关系； (3)请借助下面的图形证明上述猜想．
4. 根据下列条件求锐角 α 的大小(精确到 1′)： (1)sinα ＝0.5657； (2)sinα ＝0.964； (3)cosα ＝0.257; (4)cosα ＝0.491； (5)tanα ＝0.4997; (6)tanα ＝8.665.
解：(1)34°27′；(2)74°35′；(3)75°6′； (4)60°36′； (5)26°33′； (6)83°25′.
2. 已知一个锐角的三角函数值，用计算器可以方便 地求出这个锐角的
九年级数学下同步课件：第一章 直角三角形的边角关系 (3)
栏目索引
(2)求用“度、分、秒”表示的锐角的三角函数值操作流程如下: 按 这三个键之一→度 秒
3 三角函数的计算
栏目索引
温馨提示 (1)不同的计算器的按键方式可能不同,要利用自己所使用 的计算器探索出计算三角函数值的具体操作方法,大体分两种情况:先 按三角函数键,再按数字键或先按数字键,再按三角函数键; (2)用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位,教材规定:若无特别 说明,计算结果一般精确到万分位; (3)当角度用“度、分、秒”表示时,可以先把它化成以“度”为单位 后再求值;当角度以“度”为单位时,也可以先将它化为“度、分、 秒”的形式后,再求值.
图1-3-1 答案 2.6 m 解析 如图,过点C作CE⊥AB于点E,则EC=BD=10 m. 由题意可知∠ACE=65°, 在Rt△AEC中,AE=EC· tan 65°≈21.45(m), 故CD=EB=AB-AE≈2.6(m).
3 三角函数的计算
栏目索引
1.动物园中,猴山上有一段坡路,每前进100 m,路面就上升4 m,则猴山上 的这段坡路的坡角约为 解析
栏目索引
易错点 对仰角、俯角的概念理解不透彻 例 如图1-3-6所示,直升机在跨河大桥AB的上方点P处,此时飞机离地
面的高度为a m,A,B,O三点在同一条直线上,从点P测得点A的俯角为α, 点B的俯角为β,求大桥AB的长.
图1-3-6
3 三角函数的计算
栏目索引
错解
OA 在Rt△AOP中,tan∠APO= ,∠APO=∠α, OP OB OP
在Rt△BFD中,∠BDF=60°,BF=900,
BF 900 ∴DF= = =300 3 , tan BDF tan 60
AB=EF=CD+DF-CE=19 900+300 3 -900=19 000+300 3 . 故两海岛间的距离AB是(19 000+300 3 )米.
北师大版九年级数学下册《直角三角形的边角关系——锐角三角函数》教学PPT课件(4篇)
同理， cos
A=
AC ，cos AB
A1
=
A1C A1 B1
.
B1 B
∵AB=A1B1，
AC AB
>
A1C ，即cos A1 B1
A > cos
A1，
A A1
C
∴梯子的倾斜程度与cos A也有关系， cos A的值越 小，梯子越陡.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sin
A
A的对边 斜边
B1 B2 B3
A
C3 C2
C1
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
新课学习
直角三角形的边与角的关系：
（2）BA1CC11
和B2C2
AC2
有什么关系？
B1
B2 B3
A
C3 C2
C1
B1C1 = B2C2 AC1 AC2
新课学习
直角三角形的边与角的关系： （3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
B2
斜边的比值、邻边与斜边的比值将怎
样变化？
C1 C2
A1
这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与
斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变.同时，如果给
定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与
斜边的比值是唯一确定的.
讲授新课
斜边
B ∠A的对边
A
C
∠A的邻边
定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那
∴ B1C1∥ B2C2，
C1 C2
A1
∴Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
讲授新课
想一想：如图.
（2）BA11CA11 和
A1C2 B2 A1
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性 质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直 角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普 通直角三角形，即三个角中有一 个是90度；另一类是等腰直角三 角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了 解三角函数的性质， 如振幅、周期、相位 等。
正切函数图像呈间断 性变化，在特定区间 内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中 应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论 等领域都有着广泛的应用，如求解三 角形边长、判断三角形形状、计算面 积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的 直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质 是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应 边长成比例的性质，通过已知边长求 解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等， 因此可以通过已知角度求解未知角度， 或者通过角度关系求解其他相关角度。
九年级数学三角函数的应用
做一做P16 5
测量物体的高度
活动三:测量底部不可以到达的物体的高度. 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测 得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 咋 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一 办 条直线上),测得M的仰角∠MCE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点 A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,你能求出物体MN的高 度吗?说说你的理由.
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是在这里蹲点吧！”“你就不能配合点吗。”“你又没让我配合。”……被人遗忘的慕容凌娢终于从地上站了起来，但 感觉自己的脑细胞正急速死亡，智商再次跌入谷底。韩哲轩怎么会知道我的真名？百蝶好像也知道他去找过夏桦。 “呃……”慕容凌娢强壮镇定的笑了笑，“韩哲轩你怎么会在这里？”“百蝶不是说了吗，我就是在这里专门等你们 的。”韩哲轩极其爽快的承认了自己的行为，“我看见你们两个出来，就跟上了。刚想叫住你就看见你往后摔了……幸 好我闪的快……”这剧情跟我想的怎么不一样？按照言情小说的正常套路，我不是应该被人准确无误的接住吗？然后不 就顺理成章的……慕容凌娢居然做起了花痴的白日梦。慕容凌娢把自己的幻想和现实仔细对照了一下，又看了看面前这 个笑得漫不经心的人，悲痛的捂住了脸……童话里的故事果真都是骗人的……自己怎么能指望这种人呢？“凌娢你怎么 了？”百蝶看着一直发呆的慕容凌娢，稍许有些担忧，“不会真的摔傻了吧！”“没……没事。”慕容凌娢紧张的摇了 摇头，生怕百蝶看出什么端倪。“不过韩哲轩，你怎么会知道我的真名？”既然韩哲轩知道了自己的名字，也就是知道 了自己一开始就说了谎，真的好尴尬啊！“像我这种开挂玩家，怎么能连这种东西都不知道呢。”韩哲轩居然没有再提 起“白绫”这个化名，这让慕容凌娢很是欣慰。“是夏先生告诉你的吧！”慕容凌娢绝对不会相信这是可以猜到的东西。 “如果你乐意这样想，我不介意。”(古风一言)那时，谁绣芙蓉鸳鸯戏。而今，谁惹青丝千里外。第016章 原来不是青 楼“是夏先生告诉你的吧！我的真名。”慕容凌娢绝对不会相信这是可以猜到的东西。“如果你乐意这样想，我不介 意。”韩哲轩摊开双手，还是一副漫不经心的样子。“那看来是我想错了，你是怎么知道的？”“猜得。”“哦，原来 是这样啊……”慕容凌娢表面上笑着说，心里却在告诫自己，冷静……一定要冷静，不能着急，不能生气……这算是答 复吗？太敷衍了吧！不想告诉我就直说吗，真是烦人。韩哲轩最终也没有告诉慕容凌娢他是怎么知道她的真实姓名的， 因为这个话题很快就被百蝶机智的转移了，她可不想看着两个人如此尴尬的僵持在大街上，毕竟这样太引人注意了。 “凌娢，你不是觉得饿了吗？赶快走吧。”百蝶拉着慕容凌娢的胳膊便将她向前拖去，强行拉开了她和韩哲轩的距离。 “就是，如果为了那种小事而饿死在大街上可就划不来了。”要不是被百蝶拉着，慕容凌娢早就扑上去把韩哲轩暴打一 顿了，尤其是他那张好看但欠揍的脸，总是笑得让人很不爽。不过话说回来，那个高度对她来说可能不太好触碰。“要 不是害怕胳膊疼，我早就把你的脸打成猪头了！”就算打不成，气势
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系3三角函数的有关计算 教学课件
3 三角函数的有关计算
第2课时
1．经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进 一步体会三角函数的意义． 2．能够利用计算器进行有关三角函数值的计算． 3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际 问题．
如图,为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天 桥两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
【例题】
例1.如图,工件上有一V形槽,测得它的上口宽20 mm,深 19.2mm.求V形角(∠ACB)的大小(结果精确到1° ).
【解析】Q tan ACD AD 10 CD 19.2
0.520 8,
∴∠ACD≈27.5° .
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5° =55°.
∴V形角约为55°.
∠A= 30
sin A 3 2
∠A=
60
sin A
2 2
∠A= 45
cos A 1 2
∠A= 60 cos A 2
2
∠A=
45 cos A
3 2
∠A= 30
tan A 3 3
∠A= 30 tan A
3
∠A= 60 tan A 1
∠A= 45
角分别为α和β,已知 h=2 ，α=45°，CD=10， tan 1 . 2
（1）求路基底部AB的宽. （2）修筑这样的路基1 000米，需要多少土石方？
【解析】（1）作 CF AB 于点F，DE AB 于点E，则
DE CF 2，
D
在Rt△ADE中，∵ 45，AE DE 2.
AE
怎样用科学计算器求三角函数值呢?
用科学计算器求三角函数值,要用到三个键:
例 键如 顺,序求如s下in表16所°示,c:oss4i2n°,tcaons85°ta和n sin72°38′25″的按
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课时作业(四)[第一章 3 三角函数的计算]一、选择题1．用计算器求cos9°，以下按键顺序正确的是( )链接听课例1归纳总结A.cos9＝B.9cos＝C.cos90＝D.90cos＝2．如图K－4－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( )图K－4－1A.5÷tan26＝B.5÷sin26＝C.5×cos26＝D.5×tan26＝3．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是( )A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°4．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图K－4－2所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是链接听课例2归纳总结( )图K－4－2A.SHIFT sin0·25＝B.sin SHIFT0·25＝C.sin0·25＝D.SHIFT cos0·25＝5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4(a，b分别为∠A，∠B所对的边)，运用计算器计算，∠A的度数约是( )A．36° B．37° C．38° D．39°二、填空题6．比较大小：8cos31°________35.(填“>”“<”或“＝”) 7．用计算器求相应的锐角(结果精确到1′)．(1)sin A＝0.2334，则∠A≈________；(2)cos B＝0.6198，则∠B≈________；(3)tanα＝3.465，则α≈________．链接听课例2归纳总结8．一出租车从立交桥桥头直行了500 m，到达立交桥的斜坡上高为25 m处，那么这段斜坡的倾斜角约为________(结果精确到1″)．9．如图K－4－3，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为55°，又知水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树高CD约为________(结果精确到0.1 m)．图K－4－310．将45°的∠AOB按图K－4－4所示的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为________cm(结果精确到0.1 cm)．图K－4－411.一个人由山底爬到山顶，需先爬30°的山坡80 m，再爬40°的山坡300 m(如图K －4－5)，则山高为________m(结果精确到0.1 m)．图K－4－5三、解答题12．已知：如图K－4－6，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．图K－4－613．如图K－4－7，伞不论张开还是收紧，伞柄AM始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，动点D与点M重合，且点A，M，D在同一条直线上．已知部分伞架的长度如下((1)求AM的长；(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长(结果精确到1 cm)．图K－4－714．如图K－4－8，已知甲楼高15米，自甲楼楼顶B处看乙楼楼顶D的仰角为25°，看乙楼楼底C的俯角为40°，现要在两楼楼顶B，D之间拉一条横幅，求乙楼的高度CD以及横幅BD的长度．(结果均精确到1米).链接听课例3归纳总结图K－4－815．xx·闵行区一模歼－20(英文：ChengduJ－20，代号：威龙，北约代号：FireFang)是我国自主研发的一款单座、双发动机并具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的第五代战斗机．歼－20在机腹部位有一个主弹仓，机身两侧的起落架前方各有一个侧弹仓．歼－20的侧弹舱门为一片式结构，这个弹舱舱门向上开启，弹舱内滑轨的前端向外探出，使导弹头部伸出舱外，再直接点火发射．如图K－4－9是歼－20侧弹舱内部结构示意图，它的舱体横截面是等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，侧弹舱宽AE＝2.3米，舱底宽BC＝3.94米，舱顶与侧弹舱门的夹角∠A＝53°.求(1)侧弹舱门AB的长；(2)舱顶AD与对角线BD的夹角的正切值．(结果精确到0.01，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327)图K－4－9探究型问题(1)验证下列两组数值的关系：2sin30°·cos30°与sin60°；2sin22.5°·cos22.5°与sin45°.(2)用一句话概括上面的关系．(3)试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．(4)如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] A2．[解析] D 由tan B ＝AC BC，得AC ＝BC ·tan B ＝5×tan26°.故选D.3．[解析] C ∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469，∴sin28°＜tan26°＜cos27°.故选C.4．[答案] A 5．[答案] B 6．[答案] >7．[答案] (1)13°30′ (2)51°42′ (3)73°54′ 8．[答案] 2°51′58″[解析] 设斜坡的倾斜角为α，则sin α＝25500＝120.9．[答案] 9.7 m [解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则EC ＝BD ＝10 m ．在Rt △AEC 中，AE ＝EC ·tan55°≈14.28 m ，故CD ＝AB －AE ≈9.7 m.10．[答案] 2.7[解析] 过点B 作BD ⊥OA 于点D ，过点C 作CE ⊥OA 于点E . 在Rt △BOD 中，∠BDO ＝90°，∠DOB ＝45°， ∴BD ＝OD ＝2 cm ， ∴CE ＝BD ＝2 cm.在Rt △COE 中，∠CEO ＝90°，∠COE ＝37°，∴OE ＝CEtan ∠COE≈2.7 cm ，∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7 cm. 11．[答案] 232.8[解析] 如图所示，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，BF ⊥CD 于点F . 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB ＝80 m ，BC ＝300 m ，DF ＝BE ＝AB sin30°＝12×80＝40(m)， CF ＝BC sin40°≈192.84 m.∴CD ＝CF ＋DF ≈192.84＋40≈232.8(m)．12．解：(1)如图，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ， ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CH AC， ∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin48°≈6.69. ∴AB 边长的高约为6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC， ∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos48°. ∵在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin48°8－9cos48°≈3.382，∴∠B ≈73°32′.13．解：(1)当伞收紧时，动点D 与点M 重合， ∴AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm)．(2)AD ＝2×36cos52°≈2×36×0.6157≈44(cm)． 14．解：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝∠EBC ＝40°，AB ＝15米． ∵tan ∠ACB ＝AB AC， ∴AC ＝ABtan ∠ACB ＝15tan40°米，∴BE ＝AC ＝15tan40°米．在Rt △BDE 中，∠DBE ＝25°，∴DE ＝BE ·tan∠DBE ＝15tan40°×tan25°≈8.3(米)，BD ＝DEsin ∠DBE ＝15tan25°tan40°sin25°＝15cos25°tan40°≈20(米)，∴CD ＝DE ＋CE ＝DE ＋AB ≈8.3＋15≈23(米)．答：乙楼CD 的高度约为23米，横幅BD 的长度约为20米．15．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠AEB ＝90°，∠A ＝53°，AE ＝2.3米， ∴AB ＝AEcos A ≈2.30.602≈3.82(米)，故侧弹舱门AB 的长约为3.82米． (2)在Rt △ABE 中，∵∠AEB ＝90°，∠A ＝53°，AE ＝2.3米， ∴BE ＝AE ·tan A ≈2.3×1.327≈3.05(米)．由题意，可得CF ＝BE ≈3.05米，CD ＝AB ≈3.82米，EF ＝BC ＝3.94米． 在Rt △ABE 和Rt △DCF 中，∵AB ＝DC ，BE ＝CF ， ∴Rt △ABE ≌Rt △DCF ， ∴DF ＝AE ＝2.3米，∴DE ＝EF ＋DF ＝3.94＋2.3＝6.24(米)， ∴在Rt △DEB 中，tan ∠EDB ＝BE DE ≈3.056.24≈0.49.[素养提升]解：(1)∵2sin30°·cos30°＝2×12×32＝32，sin60°＝32.2sin22.5°·cos22.5°≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝22≈0.7， ∴2sin30°·cos30°＝sin60°，2sin22.5°·cos22.5°＝sin45°.(2)由(1)可知，一个锐角的正弦值与余弦值积的2倍等于该角的2倍角的正弦值． (3)答案不唯一，如2sin15°·cos15°≈2×0.26×0.97≈12，sin30°＝12，∴2sin15°·cos15°＝sin30°，故结论成立．(4)2sin α·cos α＝sin2α.欢迎您的下载，资料仅供参考！。