变分法的计算(短时间内掌握变分法与范数)
变分法.doc讲解
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分法
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
ห้องสมุดไป่ตู้
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
件，有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
变分法
y B(x1,y1)
A(x0 , y0)
o C
y
x D
图1.2 曲边梯形的面积
y(x0) y0,
y(x1) y1,及
x1 x0
1[y(x)]2dx l
来确定。
引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函 数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不 变条件
y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。
As
x1 ydx
x0
（1.2）
AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度
l
x1 x0
1[ y(x)]2 dx const
（1.3）
这是带约束条件的泛函极值由间接
变分法，泛函As的极值曲线为
(x c2 )2 ( y c1 )2 r 2
x1 x0
F
y
d dx
(
F y
)
ydx
端点固定条件 y(x0 ) y(x1) 0 由基本引理式(1.18)
x1 x0
F
y
d dx
( Fy )
ydx
F d (F ) 0 y dx y
(1 20)
, yn )dx
fi (x, y1, y2 , , yn ) 0
（i 1, 2, , k）
y1, y2 , , yn , 1(x), 2 (x), , k (x)
新泛函欧拉方程组
F y j
d dx
F yj
变分法推导
L q j q j 0 q j
V (11b) 0 q j
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2
t1
d L j dt q j 1
k
L q j q j dt 0 q j
若再考虑时间，则有3个坐标，
2) 一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的 一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，… …qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到 一个点，该点表示一质点在t时的位置
M (q j+δqj,t ) A
,
δq j M(qj ,t)
B
(k+1)维空间
④ 质点系的真实运动：
q=q(t) t
t+dt
变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的
形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数
δq 式中： 是一个微小系数， dq q=q(t) p dt (t ) 是t的任意连续函数。 o 则： t t+dt 对于自变量的某一指定值，函数 q=q(t) 由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称 为该函数的变分。 q 实际上代表了虚位移。 从图中可看出， p
2
mi r i 2
2
(4)
将此结果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
i mi r T 2 i 1
n k
n
2
d T T mi ai ri j q j i 1 j 1 dt q
q j
(9)
F r m a r 0
ri ri (q1, q2 ,, qk , t )
变分法
������
分部积分： ∫ ������������ ′ ������������ = ������������ − ∫ ������′ ������������������
������2 ������������ ������������ ������������ = ∫ [ ������(������) + ������′(������)]������������ ������������ ������������′ ������1 ������������ ������2 ������������ ������ ������������ ������������ ������2 = ∫ [ ������(������) − ( )������(������)]������������ + ������(������)|������1 ′ ′ ������������ ������������ ������������ ⏟ ������1 ������������
������ ������
√(������������)2
+
(������������(������))2
= ∫ √1 + ������′(������)2 ������������
������
变分法基本方程： Lagrange 量
������ = ∫ ������(������ (������ ), ������ ′ (������ ), ������ )������������
令L = 0 ⋅ ������ + √1 + (������ ′ )2 ， ������������(������) = ������������ ������������′ (������)，则 0= 所以 ������ ′ √1 + (������ ′ )2 解得 ������ = ������������ + ������ 证明： 1 2 ������ = ������ℎ′ (������) − ������������ℎ(������) 2 ������������ ������ ������������ = ������ℎ ������������ ������ℎ′ ������ ������ (������ℎ′ ) = −������������ = ������ ������������ ������������ ������ 恰好还原成牛顿第二定律 ◆ 约束条件下的极值——拉格朗日乘子法 函数的拉格朗日乘子法 ������ ������(������, ������) ������(������, ������) = ������������������������������ ������ 1 2������ ′ ( ) ������������ 2 √1 + (������ ′ )2
现代控制理论7.2 变分法
目录(1/1)
目 录
� � � � � � � � 7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结
变分法(1/1)
7.2 变分法
� 本节在讨论变分法之前,先简单讨论多元函数的极值问题,然 后引出泛函的极值问题。 � 内容为 � 多元函数的极值问题 � 泛函 � 欧拉方程 � 横截条件 � 欧拉方程和横截条件的向量形式
泛函(3/14)—定义7-2
� 定义7-2 对于某一类函数集合中的每一个函数y(x), 都存在一 个确定的数J与之对应,那么就称J为依赖于函数y(x)的泛函, 记 为 J=J[y(x)] 或简记为J。 � 相应地,自变量函数y(x)称为宗量。 □
� 从上述定义可知 ,泛函规定了数 J与函数 y(x) 的对应关系,可理 解为“函数的函数”。 � 需要强调的是 , 上述定义中的宗量y(x)是某一特定函数的 整体,而不是对应于某一自变量x的函数值y(x)。 � 为强调泛函的宗量是函数的整体 , 有时将泛函表示为 J=J[y(·)]。
>0
x = x*
是x*为该多元函数极值问题的解的一个充分条件。
有等式约束条件的多元函数极值(1/5)
2. 有等式约束条件的多元函数极值
� 有等式约束条件的多元函数极值问题可描述为
min f ( x )
x
s.t. g ( x ) = 0
式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微; � g(x)=0即为等式约束条件。
� 根据库恩-塔哈克定理,极小值的必要条件如下:
2.2 变分法
tf
（2-5-19）
Ja的一阶变分为
tf
La T La T La T [ J a {[ ] x [ ]x ] } dt t0 x x tf L f L f f T ( x, x , t ) } dt {[( )T T ] x [( )T T ] x t0 x x x x
t0 t0
tf t f t f
t
(2-6-9)’
分解积分限可得
J
t f t f tf
x , t )dt L( x x , x
x , t ) L( x , x , t )}dt {L( x x , x
t0
tf
则由（2-6-3）式一阶Taylor展开有 ˆ ˆ ˆ (t 0 ), x ˆ (t f )]x (t f ) 0 F [ x (t 0 ), x (t f )]x (t 0 ) F[ x x (t 0 ) x (t f ) （2-6-5）
由（2-6-1）式有
L x
L T ( ) x x
tf t0
0
（2-6-1）
件，又称为正交条件。
L T 即当 t = t0 和 t = tf 时， ( ) x 0 。该条件即为横截条 x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
t0
①
tf
t0
②
tf
t0
③
tf
t0
④
tf
• 对应于终点时刻固定的4种情况，要保证满足正交条件
1. 终点时刻固定
终点时刻固定可以分为4种情况：
①起点和终点位置都固定； ②起点和终点位置都变动； ③起点位置变动、终点位置固定； ④终点位置变动、起点位置固定。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
变分法
18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae
x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2
e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值
H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx
e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2
1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j
ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j
j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k
1 2
1
2
代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将 代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2
9
理论力学7 变分法
t2
19
修正的Hamilton原理：对理想、完整、广义有势体系， 从 t1 ； q1 ( t1 ) ， … , q s ( t 1 ) ； p 1 ( t 1 ) ， … , p s ( t 1 ) 到 t2 ；q1 ( t2 ) ，… , qs ( t2 ) ； p1 ( t2 ) ，… , ps ( t2 ), 真实运动使作用量I 取稳定值。 令： f (q, q ; p, p , t) = q a pa H (q, p, t ), 则I 取稳定值的充要条件是: d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a qa dt q
d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a pa dt p
20
上面的2组方程就是： a = H / qa , a = 1 ,2 ,… , s . p
a H / pa , a = 1 ,2 ,… , s . 0=q
这2组方程正是正则方程。 ∴ 修正的Hamilton原理 Hamilton正则方程
17
轨道的变化 导致宏观量S 的变化，其数值远大于 ， 由此导致偏离经典轨道的所有轨道对几率的贡献为0。 对经典轨道 S = 0，因此， cos(DS / ) 经典轨道附近很小邻域内 的轨道对几率的贡献是 互相加强的。 由此得到经典粒子 q(t)- q(c)(t) 是沿经典轨道运动的结论。 这与Hamilton原理得到的结论完全相同。 对微观粒子，虽然偏离经典轨道时S ≠ 0， 但微观量S 的大小一般可以与 相比， 从而导致偏离经典的轨道对几率仍然有明显的贡献。
21
§2、正则变换 1、全微分 2、正则变换与生成函数
22
1、全微分 s个变量 q1 , q2 , … , qs组成 s 维空间， f1 (q) , f2 (q) , … , fs (q)为q的函数， A 以下4种说法互为必要充分条件： （1） fa dqa = 0;
第十七章变分法
(3) 变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法， 其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题
由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用 的是里茨 （Ritz）法． 由于里茨法中的试探函数的 选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算 机的展，又迅速发展了一种有限元法；
(4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，
图17.1
我们知道，此时质点的速度是 因此从 A滑到B所需的时间为
即为
（17.1.1）
式中 代表对 求一阶导数． 我们称上述的
为
的泛函，而称
为可取的函数类，为泛函
的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数
的那种含义）．
一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合，
如果对于C的任一元素
第十七章 变分法
从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形 状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条 件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了 一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似 解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已 经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定， 定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解 其实也是某种程度的近似．
泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式， 即（17.1.2）
若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点
的任意曲线进行的，其中
泛函中 为 由于两端固定，所以要求
．由(17.1.8)，有
，即
（17.2.3）
式(17.2.3)的积分号下既有 ，又有 应用分部积分法可使积分号下出现
(17.1.4)
第十一章 变分法
4
E x x 1 v x x y y z z yz yz zx zx xy xy 1 1 2 2 E E 2 1 2 2 2 2 2 2 y y v x y z yz zx xy 1 1 2 2 1 1 2 2 E x y z 其中 z z 1 1 2 2 2 2 2 E x y z E 1 2 yz yz dxdydz V 2 1 2 1 1 2 2 2 yz zx xy E 2 zx zx 2 1 在所有的形变分量都等于零的 E 情况下，形变势能才等于零， xy xy 2 1 相应于任何形变，形变势能都
将几何方程代入，形变势能还可用位移分量来表示
u v w u v w E V 2(1 ) 1 2 x y z x y z 2 2 2 1w v 1u w 1v u d xd yd z 2 y z 2 z x 2 x y
2 2 2 2
8
§11-2
一 变分及其性质
位移变分方程
高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的增量。那么 什么是变分呢？变分是函数的增量，通常用δ 表示。变分具有 以下的性质：
δ (u w) δ u δ w u δ δ u x x δ
变分法1章
y y1=y1(x) y2=y2(x)
y
y2=y2(x) y1=y1(x)
o (a)
x
0 (b)
x
图1.3
曲线的接近度
dy和δy的区别
dy : δy：
是在x不变时，针对两条接近 的函数曲线 的微差δ y 。 δ y 是x 的函数。 δ y 在边界点一定为零。
o x
是针对一条曲线 y =y(x) ，当△x= dx 时 函数值增量的线 性主部是 dy 。 dy一般不等于零。？
d ∂F ∂2F ∂ 2 F dy ∂ 2 F dy′ + + = d x ∂ y ′ ∂ y ′∂ x ∂ y ′∂ y d x ∂ y ′∂ y ′ d x = F xy ′ + F yy ′ y ′ + F y ′y ′ y ′′
代人式(1.20)
Fy − Fxy′ − Fyy′ y′ − Fy′y′ y′′ = 0 (1 − 21)
上述欧拉方程为二阶偏微分方程 。解此方程可 求出使泛函Φ(y)达到极值的y(x) ，称间接解法. 其它欧拉方程形式为： 其它欧拉方程形式为：
泛函形式
欧拉方程
(n)
n d d2 n d Fy − Fy′ + 2 Fy′′ + L + (−1) Fy( n ) = 0 n dx dx dx
φ ( y ) = ∫ F ( x, y, y′, y′′,L , y )dx
∆φ = L[ y ( x) + δy ( x)] + ψ [ y ( x), δy ( x)] ⋅ max δy ( x)
δφ = L[ y( x ), δ y( x )]
是泛函增量的 线性主部
变分法初步
理学院邓胜华第19章变分法初步引言：从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似．常用近似解法涉及：有限差分法、模拟法、变分法等．有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解．模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值．变分法：是这些方法中最为重要和切实有效的方法，已经广泛应用于科学研究和工程计算之中。
本课主要介绍经典变分法的基本概念和理论．变分法是研究求解泛函极值(极大或极小)的方法，变分问题即是求泛函的极值问题，把定解问题转化为变分问题，再求变分问题的解。
变分法的优点:(1)变分法在物理上可以归纳定律．因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；(2)变分法易于实现数学的统一化．因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题．尤其是前面介绍的斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施－刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；(3)变分法是求解数学物理定解问题常用的近似方法。
基本思想：是把数学物理定解问题转化为变分问题。
由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；(4)变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用．19.1 变分法的基本概念变分法变分问题变分法就是求泛函极值的方法．变分问题即是求泛函的极值问题．泛函变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．为了说明泛函概念先看一个例题：考虑著名的最速降线落径问题。
变分法
§ 7.2 变分法变分法是解决泛函极值的基本方法。
1. 泛函例 指标 0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T =+⎰的值依()x t 、0(),[,]u t t t T ∈是函数的函数 泛函 ()x t 和()u t 作为泛函的“自变量”，称为泛函的宗量例7.1 最短弧长问题：设()y y x =过11(,())A x y x 和22(,())B x y x若()y x 连续可微，则 2121d x x J yx =+⎰，(7.5) 是()y x 的泛函. 2. 泛函极值 设 (())J J y x =，(){}y x Y ∈=函数集若有y Y *∈，使()min ()y YJ y J y ∈*=或()max ()y YJ y J y ∈*=，则称泛函J 有极小值或极大值。
xo y))(,(22x y x B ))(,(11x y x A ∙∙)(x y 7.1图3. 变分 ≈函数的微分 宗量变分：在()y x 处的增量()()()y x yx y x δ=- Ox()y x ()y x ()yx ()()()y x yx y x δ =-O x泛函增量：[()][()]J J yx J y x ∆=- [()()][()]J y x y x J y x δ=+-泛函变分： 若[(),()][(),()],J L y x y x r y x y x ∆δδ=+式中：[(),()]L y x y x δ是()y x δ的线性连续泛函，即[(),()][(),()]L y x k y x k L y x y x δδ⋅=⋅ [(),()]r y x y x δ是()y x δ的高阶无穷小项，则称泛函J 是可微的，而称[(),()]L y x y x δ为泛函的变分，记为[(),()]J L y x y x δδ=。
引理7.1 若泛函可微，则变分[]()()a J J y x a y x aδδ=∂=+∂.证[]0()()a J y x a y x aδ=∂+∂0lima Ja∆→=00[(),()][(),()]lim lim a a L y x a y x r y x a y x a aδδ→→=+00[(),()][(),()]lim lim ()()[(),()]a a aL y x y x r y x a y x y x a a y x L y x y x J δδδδδδ。
变分运算法则范文
变分运算法则范文一、概念变分运算法则是指将变分算子与特定函数作用后得到的方程或不等式。
其中，变分算子表示函数对自变量的微小变化。
在微积分中，常用Δ表示自变量的微小变化，而在变分法中，通常用δ表示。
对于函数f(x)，其变分表示为δf(x)。
二、基本公式在变分运算法则中，常用到的基本公式有欧拉-拉格朗日方程、变分乘法法则和伯恩利-朗斯方程。
下面将逐一介绍这些公式。
1.欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分运算法则中的一个重要公式，用于求解极值问题。
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续可导，且在边界点处满足自由边界条件，则其极值解必须满足欧拉-拉格朗日方程：∂f/∂y - d/dx(∂f/∂y') = 0其中，y'表示函数y=f(x)对自变量x的导数。
2.变分乘法法则变分乘法法则是变分运算法则中的另一个重要公式，用于求解变分问题。
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续可导，且在边界点处满足自由边界条件，则其变分乘法法则公式为：δ∫[a,b]F(x,y,y')dx = ∫[a,b](∂F/∂y)δy + (∂F/∂y')δy' dx其中，F(x,y,y')为被积函数，y'为函数y=f(x)对自变量x的导数。
3.伯恩利-朗斯方程伯恩利-朗斯方程是变分运算法则中的另一个重要公式，用于求解变分问题。
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续可导，且在边界点处满足自由边界条件，则其伯恩利-朗斯方程公式为：∂F/∂y - d/dx(∂F/∂y') = 0其中，F(x,y,y')为被积函数，y'为函数y=f(x)对自变量x的导数。
三、应用1.微积分在微积分中，变分运算法则可以用来求解极值问题。
通过将欧拉-拉格朗日方程应用于函数极值问题中，可以得到极值的必要条件。
这对于确定微积分中的极值和拐点十分有用。
2.变分法在变分法中，变分运算法则是基础。
变分运算法则
附录弹性力学数学基础目录附录1 张量基础附录2 复变函数数学基础附录3 变分法概要§i1 张量1附录1 张量基础张量特征笛卡儿张量下标求和定约偏导数下标记法特殊张量张量——简化缩写记号表达物理量的集合显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征——整体与描述坐标系无关分量需要通过适当的坐标系定义笛卡儿（Descartes）张量定义一般张量——曲线坐标系定义三维Descartes 坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。
位移分量u ，v ，w缩写记为u i （i =1, 2, 3）表示为u 1, u 2, u 39个独立变量的集合，两个下标来表示s ij 和e ij ——9个应力分量或应变分量s ij,k——27个独立变量的集合用三个下标表示i ——下标求和定约张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。
=A ji ij a ηζ=k k k a ζ∑=31∑∑ijj i ij a ηζkk a ζ=哑标：出现两次的下标——求和后消失=A jij i y c x =333232131332322212123132121111y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ++=++=++=自由标：非重复下标自由标个数表示张量表达式代表的方程数§i1 张量3偏导数的下标记法缩写张量对坐标x i 偏导数的表达式逗号约定逗号后面紧跟一个下标i 时，表示某物理量对x i 求偏导数。
)()(,iix ∂∂=利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为ji ji x u u ∂∂=,kij k ij x ∂∂=e e ,kij k ij x ∂∂=s s ,kj i iki x x u u ∂∂∂=,lk ij kl ij x x ∂∂∂=s s ,lk ij kl ij x x ∂∂∂=e e ,张量的偏导数集合仍然是张量证明：u i ，j 如果作坐标变换','j i u ∑∑∑∂∂==l j l k l k k i l x x u n ',')(∑=kj k k i u n ',')(∑∑∂∂=l j lklk k i x x u n ',')(''j i j i x n x =ij j in x x ''=∂∂∑∑=llj k i kl k j i n n u u '',','由此可证，u i , j 服从二阶张量的变换规律由于因此特殊的张量符号克罗内克尔（Kronecker Delta ）记号d ijji j i ij ≠==1d 显然⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001333231232221131111d d d d d d d d d d ij 克罗内克尔记号是二阶张量运算规律ijmj im i m im ii T T a a ===++=d d d d d d 3332211§i1 张量6置换符号e ijk有相等下标时的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，032113211k j i k j i e ijk -=偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列11213321132312231123-======e e e e e e二阶对称张量反对称张量jiijT T=ji ijT T-=任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。