《随机过程概论》第6章 窄带随机信号分析 课件
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窄带随机信号
sin 0t cos 0t
E E
X (t)
Xˆ (t)
0 0
自相关函数 RAC ( ) E AC (t)AC (t )
③
RAS ( ) E AS (t)AS (t )
AC (t), AS (t)的统计特性
RAC (t1,t2 ) E AC (t1)AC (t2 )
各态
各态
历经
历经
X (t)平稳 Xˆ (t)平稳，X (t)和Xˆ (t)联合平稳 X%(t)平稳
频域法计算RXˆ ( )
P148 4-37
RXˆ ( ) E Xˆ (t)Xˆ (t ) RX ( ) h ( ) h ( ) RX ( )
GXˆ () GX () H () 2 GX () j sgn() 2 GX ()
随机信号X (t)的希尔伯特变换 Xˆ (t) H X (t) X (t) * 1
t
解析形式 X%(t) X (t) jXˆ (t)
Xˆ (t)的自相关函数 RXˆ ( ) Xˆ X (t), Xˆ (t) 的互相关函数RXXˆ ( ), RXˆX ( )
X%(t) 的自相关函数 RX%( ) X%
希尔伯特变换前后自相关函数相等。
X (t), Xˆ (t)的自相关函数 RXXˆ ( ), RXˆX ( )
RXXˆ ( ) E X (t)Xˆ (t ) RX ( ) h ( ) H RX ( ) RˆX ( )
GXXˆ () j sgn() GX ()
X(t)自相关函数的希尔伯特变换
RX ( ) RAC ( ) cos0 RAC AS ( ) sin 0
AC (t)，AS (t)均实平稳
总 期望 E AC (t) E AS (t) 0
讨论主题-窄带随机信号
即：
ˆ(t ) sin 2π f t xc (t ) = ξ (t ) cos 2π f 0 t + ξ 0 ˆ xs (t ) = ξ (t ) sin 2π f 0 t − ξ (t ) cos 2π f 0 t
由此可得：
ξ (t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t + xs (t ) sin 2π f 0 t ˆ ξ (t ) = xc (t ) sin 2π f 0 t − xs (t ) cos 2π f 0 t
c
τ = t1 − t 2
) = E{x s (t1 ) x s (t 2 )} =
s
= Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ = Rx (τ )
s
τ = t1 − t 2
因为 S ξ ( f ) 没有直流分量， 因此 E{ξ (t )} = 0
同理可以求得：
Rx x (t1 , t 2 ) = − Rξ (τ ) sin 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
c s c s
Rx x (t1 , t 2 ) = Rξ (τ ) sin 2π f 0τ + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
+∞
2009－2010 年度秋季学期讨论课 孙应飞
=
1 ⋅ j[ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 ) − 2 − sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − sgn( f + f 0 ) Sξ ( f + f 0 )]
j[ Sξ ( f − f 0 ) − S ξ ( f + f 0 )], = 0,
ˆ(t ) sin 2π f t xc (t ) = ξ (t ) cos 2π f 0 t + ξ 0 ˆ xs (t ) = ξ (t ) sin 2π f 0 t − ξ (t ) cos 2π f 0 t
由此可得：
ξ (t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t + xs (t ) sin 2π f 0 t ˆ ξ (t ) = xc (t ) sin 2π f 0 t − xs (t ) cos 2π f 0 t
c
τ = t1 − t 2
) = E{x s (t1 ) x s (t 2 )} =
s
= Rξ (τ ) cos 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) sin 2π f 0τ = Rx (τ )
s
τ = t1 − t 2
因为 S ξ ( f ) 没有直流分量， 因此 E{ξ (t )} = 0
同理可以求得：
Rx x (t1 , t 2 ) = − Rξ (τ ) sin 2π f 0τ − Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
c s c s
Rx x (t1 , t 2 ) = Rξ (τ ) sin 2π f 0τ + Rξξˆ (τ ) cos 2π f 0τ = Rx x (τ )
+∞
2009－2010 年度秋季学期讨论课 孙应飞
=
1 ⋅ j[ Sξ ( f − f 0 ) + S ξ ( f + f 0 ) − 2 − sgn( f − f 0 ) S ξ ( f − f 0 ) − sgn( f + f 0 ) Sξ ( f + f 0 )]
j[ Sξ ( f − f 0 ) − S ξ ( f + f 0 )], = 0,
第6章 窄带随机过程
xˆ
2
(
t
)dt
x
2
(t
)dt
lim 1 T xˆ 2 (t)dt lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
T 2T T
上 海 大 学 通 信 学 院
上 海 大 学 通 信 学 院
3
2016/10/28
上
海 三、窄带随机过程的性质
大
学
通 问题：若已知Z(t)的功率谱密度 GZ ( ) 或统计特性RZ ( ) 信 （讨论平稳窄带过程），则其B(t)和 (t ) 或X(t) 和Y (t)
性质4．
RX
(
)
1
0 GZ ()cos[( 0 ) ]d
性质5． RX ( ) RY ( )
性质6．
RXY
(
)
1
0 GZ ()sin[( 0 ) ]d
性质7． RY X ( ) RXY ( ), RXY ( ) RXY ( )
上
海
大 学
性质8． RXY (0) E[X(t)Y(t)] 0, RY X (0) 0
(
f
)，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。
1
2016/10/28
上
海 大
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余
学 的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S ( f )，即可。
通
信 学
若只取正频域频谱
S ( f )，则
S
(
f
)
S (
f
)，即S ( f ) 不满
院 足共轭对称性，且 S ( f ) 时域复信号。
s( t )
h( t )
六.窄带随机过程
(2)
ˆ x(t ) 的希尔伯特变换为 x(t )
ˆ H [ x(t )] x(t )
两次希尔伯特变换相当于连续两次 900 相移，结果 正好是 1800反相
9 2013-7-21
1.2 希尔伯特变换性质(3)
(3)
y(t ) v(t ) * x(t ) 的希尔伯特变换为
ˆ ˆ ˆ y (t ) v (t ) * x (t ) v (t ) * x (t )
1 x (t ) d
反变换
ˆ x( ) ˆ x(t ) H [ x(t )] d t ˆ 1 x(t ) d
1
1
ˆ 1 x(t ) d
5
2013-7-21
CZ1Z2 E (Z1 mZ1 )* (Z2 mZ2 )
15 2013-7-21
1.3 复随机过程
若X与Y分别是实随机变量，定义
Z (t ) X (t ) jY (t )
为复随机变量 均值： 方差:
mZ (t ) mX (t ) jmY (t )
DZ (t ) DX (t ) DY (t )
H ( )
一个典型的确定性窄带信号可表示为 窄带系统
白噪声
X (t )
Y (t )
x 系统示意图 或宽带噪声 ( t ) a ( t ) cos[ 0 t ( t )]
x(t ) y(t ) a(t ) ——幅度调制或包络调制信号
窄带噪声
0
窄带系统传递函数
(t ) ——相位调制信号
1.1 希尔伯特变换
《随机信号分析基础》课件第6章
RY RYˆ RYˆY RˆY RYYˆ RˆY
代入上式中， 并化简为
RAc t,t RAc RY cos0 RˆY sin0
(6-38)
同理有
RAs t,t RAs RY cos0 RˆY sin0
（6-39）
因此
当τ=0时有
RAc RAs
即
RAcAs t,t+ =RAcAs = RY sin0 +RˆY cos0（6-44）
上式表明， Ac(t)和As(t)是联合广义平稳的。
F cos
0t
1 2
F
e j0te j
e j0te j
π 0 e j 0 ej
F H cos 0t jπ sgn 0 e j 0 ej
jπ 0
jπ
0
e
e j j ,
,
>0 <0
所以
H［cos(ω0t+φ)］=F－1［F［H［cos(ω0t+φ)］］］ =sin(ω0t+φ)
图6-2 希尔伯特滤波器的传输函数
例6.1 随机信号X(t)=acos(ω0t+Θ)， 其中a, ω0为常量， Θ 是服从(0, 2π)均匀分布的随机变量， 把此信号作为希尔伯特滤 波器的输入， 求输出信号Y(t)的平稳性及总平均功率。
解 由例3.2知， 随机信号X(t)为广义平稳信号， 且有
mX 0,
(6-9)
H［·］表示希尔伯特正变换相当于做两次π/2的相移， 即π的相移， 使信号
反相。
性质2
H cos0t sin 0t
（6-10）
H sin 0t cos0t
(6-11)
例6.2 试求cos(ω0t+φ)的希尔伯特变换。 解 cos(ω0t+φ)
窄带随机过程ppt课件
5
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
令 0
RZ (0) RX (0) RY (0)
即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同
∵ 前面假设窄带平稳随机过程的均值为零， ∴
2 Z
2 X
2 Y
24
性质性质4证明:
Z (t) X (t) cos0t Y (t) sin 0t Z (t) X (t) sin 0t Y (t) cos0t
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
令 0
RZ (0) RX (0) RY (0)
即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同
∵ 前面假设窄带平稳随机过程的均值为零， ∴
2 Z
2 X
2 Y
24
性质性质4证明:
Z (t) X (t) cos0t Y (t) sin 0t Z (t) X (t) sin 0t Y (t) cos0t
第6章 窄带随机信号
,
r2
=
a2 2σ 2
1
fAt (a t ) ≈
1 2πσ
exp
而所有样本函数的总体---窄带随机信号 X (t) ，则可写成：
6-1
《随机信号分析基础》第六章：窄带随机信号分析
第2页 共9页
X (t ) = A(t ) cos ⎡⎣ω0t + Φ (t )⎤⎦ 上式就是窄带随机信号常用的数学模型。由于 ak (t ) ，ϕk ( t ) 相对 cosω0t 来说是慢变化的时
上式中， cosω0t ， sinω0t 都是确定函数。其中
Ac(t) = A(t) cos Φ(t) 同相分量(In-phase Component)
As(t) = A(t) sin Φ(t) 正交分量(Quadrature Component,书上称为几何“垂直”分量)
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t )
G
X
(ω) Δω
x k (t)
a k (t)
−ω 0 0
0 ω0 ω
t cos[ω 0t + ϕk (t)]
(a)窄带随机信号的功率谱密度
(b)窄带随机信号的样本函数波形
图 6.1 窄带随机信号
6.1.2 窄带随机信号的数学模型与表示
1.窄带随机信号的数学模型
随机信号 X(t) 的样本函数可写成：
xk (t ) = ak (t ) cos ⎡⎣ω0t + ϕk ( t )⎤⎦ ξk ∈ Ω (k = 1, 2, )
说明 X (t)与同相分量 Ac(t) 、正交分量 As (t) 具有相同的方差，即平均功率相等。
⑸ Ac (t) 、 As (t) 的概率分布
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
第六章窄带随机过程
第六章窄带随机过程第⼋讲窄带随机过程8.1 希尔伯特变换和解析过程8.1.1 希尔伯特变换⼀．希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ?∞∞--==)(1)]([)(?⽤'ττ+=t 代⼊上式，进⾏变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞-+-=也可得'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ?∞∞----==)(?1)](?[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t x∞-∞∞-+=--=)(?1)(?1)(⼆．希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即tt x t xπ1*)()(?=于是，可以将)(?t x看成是将)(t x 通过⼀个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即)(<≥-=ωπωπω?上式表明，希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(?t x的傅⽴叶变换)(?ωX 为)()sgn()sgn()()(?ωωωωωX j j X X-=-?= 2. )(?t x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](?[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(?)(?*)()(?t x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(?t x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ?-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(?21lim )(21lim )(?)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
6.窄带与正弦波加窄带随机过程
如用示波器观察一个实现的波形，它是一个频率近似为fc， 包络和相位随机缓变的正弦波。
窄带
f
－fc
S( f )
S( f )
O (a) 缓慢 变化的包 络[a (t)]
f
fc
f
随机
O t
频率 近似为 fc (b)
图2-6 窄带过程的频谱和波形示意
•窄带随机过程ξ(t)可用下式表示:
ξ(t)=aξ(t) cos［ωct+φξ(t)］, aξ(t)≥0 (3.5 - 1)
0
n
瑞利分布；大信噪比时，它
A
z－
(a)
接近于高斯分布；在一般情
况下它是莱斯分布
图 2 – 7 正弦波加窄带高斯过程的包络分布
关于信号加噪声的合成波相位分布f(φ)，
n关f (z)于信号加噪声的合成波相
位分布f(φ)，r由＝0 于比较复杂， 这 0里.5 就不再演算了。不难推想，f(φ) 0也.4 与信噪比有关。小信噪r＞比＞ 1时，
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。
进一步分析， 式（3.5 - 9）和式（3.5 - 10）应同时成立，
故有
Rc(τ)=Rs(τ) Rcs(τ)=-Rsc(τ)
窄带
f
－fc
S( f )
S( f )
O (a) 缓慢 变化的包 络[a (t)]
f
fc
f
随机
O t
频率 近似为 fc (b)
图2-6 窄带过程的频谱和波形示意
•窄带随机过程ξ(t)可用下式表示:
ξ(t)=aξ(t) cos［ωct+φξ(t)］, aξ(t)≥0 (3.5 - 1)
0
n
瑞利分布；大信噪比时，它
A
z－
(a)
接近于高斯分布；在一般情
况下它是莱斯分布
图 2 – 7 正弦波加窄带高斯过程的包络分布
关于信号加噪声的合成波相位分布f(φ)，
n关f (z)于信号加噪声的合成波相
位分布f(φ)，r由＝0 于比较复杂， 这 0里.5 就不再演算了。不难推想，f(φ) 0也.4 与信噪比有关。小信噪r＞比＞ 1时，
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。
进一步分析， 式（3.5 - 9）和式（3.5 - 10）应同时成立，
故有
Rc(τ)=Rs(τ) Rcs(τ)=-Rsc(τ)
随机信号分析课件
几何概率的基本性质：
1 0 P[ A] 1
2
P[S] 1
3
P
n k 1
Ak
n k 1
P
Ak
1.1.3 统计概率
f (n) A
nA n
事件频率的性质：
1
0
f (n) A
1
2
f (n) S
1
n
3
(n)
(n)
f f n Ai
Ai i 1
lim P X
i
xn
1/ i lim P X i
xn
1/ i
lim
i
FX
( xi
1
/
i)
FX
( xn
1
/
i)
连续型随机变量
b
a fX (x)dx P[a X b]
FX (b) FX (a)
分布函数可以唯一的确定随机变量取值的概率分布情况。
i1 i1
U P[A] P[AI
S] PAI
N
Bi
N
P[ A I
Bi ]
i1 i1
N
P[ A] P[Bi ]P[ A | Bi ] i 1
1.2.3 贝叶斯公式
P[Bi
|
A]
P[Bi I A] P[ A]
P[ A] 0
Px1 X x2 F x2 F x1
x2 f x dx
x1
• 随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。
窄带随机过程
一. 非线性变换系统信噪比的计算
1、同步检波器
s(t)+n’(t)
s(t)+n (t) d(t)
窄带中放
低通滤波器
sD(t)
cos2fct 同步振荡器
Gn'
f
1 2
N0
s(t) a(t) cos 2fct
SNRo
a2 t
f Nc
2 SNRI
一. 非线性变换系统信噪比的计算
2、包络检波器
s(t)+n(t)
2、窄带随机过程的准正弦振荡表示
任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为：
X (t) A(t) cos[0t (t)]
其中 A(t), (t) 都是慢变化的随机过程。
莱斯(Rice)表示： X (t) AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
AC (t) A(t) cos (t) 同相分量 AS (t) A(t) sin (t) 正交分量
H () 2
2
1
0
0
X (t)
A
B
带通滤波器
包络检波器
N (t )
Hale Waihona Puke H () 2 21
0
0
RY ( ) RX ( ) RNC ( ), GY ( ) GX ( ) GNC ( )
GNC () | H () |2
GN () | H () |2
N0 2
N0 2
1
1
|
| 0
0,
,
0
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
窄带随机信号性能分析
窄带随机信号性能分析一．摘要窄带信号在通信系统中有着重要的意义，信号处理技术及通信网络系统与计算机分析技术的相互融合，都要求我们对研究分析随机信号经过系统的响应有一个深入的了解。
本实验包括四部分：窄带信号及包络和相位检波分析，窄带随机信号的仿真与分析，希尔伯特变换在单边带系统中的应用，随机信号的DSB 分析。
主要涉及窄带滤波器的设计，高斯窄带信号包络的均值，均方值和方差的测定，相位概率密度函数的测定等。
通过实验了解窄带信号在信号处理领域的应用。
复杂的实际通信系统可以通过抽象与仿真来研究它的特性。
本实验通过MATLAB 中的仿真出理想信号，并对其进行分析与测量。
二．实验特点与原理1.窄带信号及包络和相位检波分析一般无线电接收机中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频率0f ，既有 10<<∆f f 这种线性系统通称为窄带线性系统。
在通信、雷达等许多电子系统中，都常常用一个宽带平稳随机过程来激励一个窄带滤波器，这是在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机过程。
若用示波器观测此波形，则可看到，它接近一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢的随机变化。
我们可以证明，任何一个实窄带随机过程X(t)都可以表示为：))(cos()()(0t t t A t X ϕω+=式中，0ω 是固定值，对于窄带随机过程来说，0ω一般取窄带滤波器的中心频率或载波频率。
在实际应用中，常常需要检测出包络)(t A 和)(t ϕ的信息。
若将窄带随机过程X(t)送入包络检波器，则在检波器的输出端可得到包络)(t A ；若将窄带随机过程X(t)送入一个相位检波器，便可检测出相位信息)(t ϕ。
如图10所示：窄带滤波包络检波器限幅器低通滤波器×x(t) w(t) A(t) φ(t)2cos ωt图10 窄带信号及包络和相位检波器 图10中，在相位检波器之前加入一个理想限幅器，其作用是消除包络起伏对相位检波器的影响。
窄带随机过程
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5.1 希尔伯特变换
• 证明:
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5.1 希尔伯特变换
• 如图5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得 • 所以其希尔伯特变换的频谱为
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5.1 希尔伯特变换
•取
的傅里叶反变换可得
• 利用傅里叶变换的频移性质
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5.1 希尔伯特变换
通过一个滤波器hH1（ t） 后,
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5.1 希尔伯特变换
•则
上一页一个正交滤波器。
• 因为
于是,
• 可以将x（ t） 的希尔伯特变换看成是将x（ t） 通过一个具有冲激响
应为
的线性滤波器,即
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5.1 希尔伯特变换
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5.1 希尔伯特变换
• 其中,
• 具有单边频谱
•
被称为实信号x(t)的解析信号。所以,实信号x(t)可用一个仅含
有正频率成分的解析信号的实部来表示。
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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.2 希尔伯特变换的定义
• 通过上面的推导可以看出将信号正频域谱的2倍的傅里叶反变换取实 部,就等于原信号。
• 当τ=0时,有
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5.3 窄带随机信号
• 表示X (t) 、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。
• 其中
表示一低通滤波器。
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• 证: 由于
5.3 窄带随机信号
• 两边取傅里叶变换,并利用
可得
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5.3 窄带随机信号
• 上式各项对应的功率谱密度图形如图5.8所示,从图中可以直接得出 • 同理可得
5.1 希尔伯特变换
• 证明:
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5.1 希尔伯特变换
• 如图5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得 • 所以其希尔伯特变换的频谱为
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5.1 希尔伯特变换
•取
的傅里叶反变换可得
• 利用傅里叶变换的频移性质
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5.1 希尔伯特变换
通过一个滤波器hH1（ t） 后,
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5.1 希尔伯特变换
•则
上一页一个正交滤波器。
• 因为
于是,
• 可以将x（ t） 的希尔伯特变换看成是将x（ t） 通过一个具有冲激响
应为
的线性滤波器,即
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5.1 希尔伯特变换
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5.1 希尔伯特变换
• 其中,
• 具有单边频谱
•
被称为实信号x(t)的解析信号。所以,实信号x(t)可用一个仅含
有正频率成分的解析信号的实部来表示。
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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.2 希尔伯特变换的定义
• 通过上面的推导可以看出将信号正频域谱的2倍的傅里叶反变换取实 部,就等于原信号。
• 当τ=0时,有
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5.3 窄带随机信号
• 表示X (t) 、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。
• 其中
表示一低通滤波器。
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• 证: 由于
5.3 窄带随机信号
• 两边取傅里叶变换,并利用
可得
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5.3 窄带随机信号
• 上式各项对应的功率谱密度图形如图5.8所示,从图中可以直接得出 • 同理可得
大学课程随机信号分析随机过程课件
1, x 0 t 0, P[0 x] 0, x 0
x 0:0
t 0, P[A x / t2 ] 0 x t2 : x / t2
x
t
2
:
1
2. fX (x;t) FX (x;t) / x
t 0, (x)
x 0:0 t 0, 0 x t2 : 1/ t2
x t2 : 0
第二章
随机过程
随机信号的时域分析
2.1.1、随机过程的基本概念（回顾）
— 随机相位信号 —
随机相位信号: asin(t+Φ)
U(0,2)
2 / 30
2.1.2、随机过程的分类
一、按时间和幅度(状态)是连续还是离散
• 连续型：时间和状态均连续 • 离散型：时间连续但状态离散
• 连续随机序列：状态连续但时间离散
上述范围内，Y 取值范围位于极小区间 (y,y+y) 的概率应与 X
落在 (x,x+x) 的概率相等，其中 x h(y)，即
y+y
y fY (z)dz fY(y)y fX[x h(y)]x
这样可得：
y d y g(x)
y
c
fY(y) fX[x h(y)]x/y
fY(y)
fX(x)
fX[x h(y)]|dh(y)/dy| fX(x)|dg(x)/dx|-1|xh(y)
X(t)
t1
X(t1)
一、一维概率分布
t rraannddoommpvreoccteosrs
FX (x;t1 ) P{X(t1 ) x} ：一维分布函数 FX(x;t)
fX (x;t1 )
FX (x;t1 ) x
确定函数
：一维概率密度 fX(x7;/t3)0
随机信号分析_窄带随机信号6.4
2
2
，则
2，n个自由度的 变量的均值E[V]=n,方差D[v]=2n
2
非中心
No Image
分布
当窄带过程为余弦函数与窄带高斯噪声之和时，则加法器输出的就是非中 心 函数
No Image
1，信号包络为常数的情况
( t ) n ( t ) cos t n ( t ) sin t 得 带入 N c 0 s 0
（指数分布）ຫໍສະໝຸດ No Image可得
No Image
的概率密度为
No Image
6.4.2 余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的分布
No Image
其包络的平方为
No Image
因为包络服从广义瑞利分布
No Image
可推出包络的平方服从
No Image
6.4.3
No Image
No Image
分布和非中心
No Image
分布
在许多应用中，如信号检测中，为了改进检测性能(增加信噪比)， 通常采用“视频积累技术”，即——对包络的平方进行独立采样后 再积累，如下图所示。
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
包络A(t)和它的垂直分量有这样的关系
经傅里叶逆变换可得v’的概率密度为
1 1 ' v ' ' ' v f ( v ' ) exp I ( ), v ' 0 v ' 2 2 2 n 2 1 2 ' 2 2
n 2 4
2
，则
2，n个自由度的 变量的均值E[V]=n,方差D[v]=2n
2
非中心
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分布
当窄带过程为余弦函数与窄带高斯噪声之和时，则加法器输出的就是非中 心 函数
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1，信号包络为常数的情况
( t ) n ( t ) cos t n ( t ) sin t 得 带入 N c 0 s 0
（指数分布）ຫໍສະໝຸດ No Image可得
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的概率密度为
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6.4.2 余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的分布
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其包络的平方为
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因为包络服从广义瑞利分布
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可推出包络的平方服从
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6.4.3
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分布和非中心
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分布
在许多应用中，如信号检测中，为了改进检测性能(增加信噪比)， 通常采用“视频积累技术”，即——对包络的平方进行独立采样后 再积累，如下图所示。
No Image
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No Image
No Image
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包络A(t)和它的垂直分量有这样的关系
经傅里叶逆变换可得v’的概率密度为
1 1 ' v ' ' ' v f ( v ' ) exp I ( ), v ' 0 v ' 2 2 2 n 2 1 2 ' 2 2
n 2 4
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正交分解表达式
Ac t A t cos t Ac(t)称为窄带信号的同相分量； As t A t sin t As(t)称为窄带信号的正交分量。
A t A2 t A2 t c s As t t arctan Ac t
随机过程概论
第6章窄带随机信号分析
2018/10/11
信息与通信学院 随机过程概论哈尔滨工业大学1第6章窄带随机信号分析
在电子通信系统中，大多数的信号都要通过调制 才能发射出去。多数接收机接收并处理的信号几乎 都是窄带信号，有研究实用价值和工程价值的是窄 窄带信号 带接收系统和窄带信号。而通信系统中的信号或者 噪声往往是随机的，因此窄带随机信号是雷达、电 子通信系统中分析处理最多的信号之一。
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6.3 窄带随机信号的统计分析
②Ac(t)、As(t)的相关函数
RY t , t R Ac t , t cos 0 t cos 0 t R Ac As t , t cos 0 t sin 0 t R As Ac t , t si n 0 t cos 0 t R As t , t sin 0 t s i n 0 t RY (* 1 )
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6.3 窄带随机信号的统计分析
④Ac(t)、As(t)的一维概率分布
Y t Ac t cos0t As t sin0t
令t=t1=0，上式变为：
Y t1 Ac t1
令t=t2=π/(2ω0)，同理可得： Y t2 Ac t2 • Y(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量,所以Ac(t1)， As(t2)也是高斯随机变量，从而Ac(t)、 As(t)也是高斯随机信号。 结论④ 结论④：同相分量、正交分量同样是高斯随机信号。
0
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6.2 窄带随机信号的定义及表示
1、窄带随机信号的定义
X t
Y t
H
0
0
0
yk t
0
k t
t
PY
ak t 0
0
0
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As t
A t
t
Ac t
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6.3 窄带随机信号的统计分析
★★分析思路 已知：Y(t) 是零均值平稳高斯窄带随机信号。
• 零均值：E[Y(t)]=0 • 平稳：D[Y(t)]=σ2，RY(t,t+τ)=RY(τ) • 高斯：Y(t)~N(0, σ2) • 窄带： Y t Ac t cos0t As t sin0t
上式对于任意的t，都成立，因此可以得到：
E Ac t E As t E Y t 0
结论① 结论①：同相分量、正交分量与窄带信号具有相同的均值，都为零。
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6.3 窄带随机信号的统计分析
令t=π/(2ω0)，同理可得：
RY RAs t , t cos0 RAs Ac t , t sin0 (*3)
RAs t , t RAs , RAs Ac t , t RAs Ac
求解：同相分量Ac(t)与正交分量As(t)的统计特性。
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6.3 窄带随机信号的统计分析
①Ac(t)、As(t)的均值
Y t Ac t cos0t As t sin0t
E[Y(t)]=0
E Ac t As t sin0t 0 Y t E cos0t E
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第6章窄带随机信号分析 主要内容
•6.2 窄带随机信号的定义及表示 •6.3 窄带随机信号的统计分析 •6.4 窄带高斯随机信号包络和相位分布 • 6.5 随相正弦波信号加窄带高斯噪声之和 的包络和相位的分布
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6.2 窄带随机信号的定义及表示
1、窄带随机信号的定义
PY
一个实平稳随机信号Y(t)， 若它的功率谱密度 功率谱密度：
0
0
0
P ( ) 0 / 2 0 / 2 PY ( ) X 其它 0
满足
0且0 0 ，则称此随机信号为窄带平稳随机
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信号。
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6.2 窄带随机信号的定义及表示
2、窄带随机信号的表示 • ★数学模型
yk t ak t cos 0t k t , k
②Ac(t)、As(t)的相关函数
Y t Ac t cos0t As t sin0t
RY t , t RY
RY t , t E Y t Y t E Ac t cos0t As t sin0t Ac t cos0 t As t sin0 t
（*3）=（*2）
RAc =RAs , RAc As RAs Ac RAs Ac RAs Ac
结论② 结论②：同相分量、正交分量各自平稳，且联合广义平稳， 且自相关函数相等，互相关函数为奇函数。
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RY RAc cos0 RAc As sin0 (*2)
RAs t , t RAs , RAs Ac t , t RAs Ac
RY RAs cos0 RAs Ac sin0 (*3)
RAs Ac RAs Ac RAs Ac 0 0,同理，RAc As 0 0
（*3）=（*2）令τ ）令τ=0
RY 0 RAc 0 RAs 0 2
结论③ 结论③：同相分量、正交分量同窄带信号具有相同的方差。
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6.3 窄带随机信号的统计分析
⑤Ac(t)、As(t)的关系
RAs Ac 0 0, RAc As 0 0
• Ac(t)、As(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量， 同一时刻 因而它们还是统计独立的,并且是正交的。
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6.3 窄带随机信号的统计分析
③Ac(t)、As(t)的方差
RY R Ac cos 0 R Ac As sin 0 (*2)
RY RAs cos0 RAs Ac sin0 (*3)
RAc =RAs , RAc As RAs Ac RAs Ac RAs Ac
R Ac t , t cos 0 t cos 0 t R Ac As t , t cos 0 t sin 0 t R As Ac t , t sin 0 t cos 0 t R As t , t sin 0 t sin 0 t
E Ac t Ac t cos0tcos0 t E Ac t As t cos0tsin0 t E As t Ac t sin0tcos0 t E As t As t sin0tsin0 t
令t=0，上式变为：
RY RAc t , t cos0 RAc As t , t sin0 (*2)
RAc t , t RAc , RAc As t , t RAc As
RY RAc cos0 RAc As sin0 (*2)
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6.2 窄带随机信号的定义及表示
1、窄带随机信号的定义 • ★窄带信号或窄带系统
中心频率 0 远大于谱宽 ，即
0 且 0 0
• ★窄带随机信号或窄带随机系统
一个随机信号的功率谱密度，只要分布在高频载波0附 近的一个窄带范围 内，在范围以外为零，即满足
RY RAs cos0 RAs Ac sin0 (*3)
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6.3 窄带随机信号的统计分析
②Ac(t)、As(t)的相关函数 RAc t , t RAc , RAc As t , t RAc As
结论⑤ 结论⑤：同相分量、正交分量在同一时刻相互正交、互不相关 和统计独立的