大题专练训练29：圆锥曲线(探索性问题1)-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练29—圆锥曲线（探索性问题1）

1．已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．

解：（1）3m =，椭圆2

2:19

x E y

+=，两个焦点1(F

-，2F

设(,)K

x y ，1()F K x y =

+，2()F K x y =-，

2221212(22,)(22,)881KF KF FK F K x y x y x y y ==+-=+-=-+，

11y -，

∴12KF KF 的范围是[7-，1]（4分）

（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则22211222

2299.

x y m

x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得12121212()()9()()0x x x x y y y y +-++-=，12121212()()

19

0()()

y y y y x x x x +-+=+-，即190OM l k k +=，故

1

9OM l k k =-；（8分） （3）直线l 过点(,)3

m

m ，

∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且13

k ≠

． 设(P P x ，)P y ，设直线:()(0,0)3m l y k x m m k =-+

≠≠，即:3

m l y kx km =-+，