多项式的根
多项式求根公式
多项式求根公式
根据代数基本定理，任何一个 n 次多项式都有 n 个根（包括重根和复数根）。
但是，用特定的公式来求一般的 n 次多项式的根是不可行的，因为除了一次和二次多项式之外，三次及以上的多项式通常没有显式求根公式。
不过，根据维尔斯特拉斯定理，如果一个多项式的系数都是实数的话，它的根可能是实数、复数或复共轭根。
而对于一次多项式 ax+b=0，求根公式为 x = -b/a。
对于二次多项式 ax^2+bx+c=0，求根公式为 x = (-b±√(b^2-
4ac))/2a。
对于三次及以上的多项式，通常需要借助数值方法（如牛顿迭代法、二分法、迭代法等）来求解根。
所以，在一般情况下，我们使用数值方法来求解多项式的根。
求多项式有理根的步骤通用2篇
求多项式有理根的步骤通用2篇求多项式有理根的步骤 1多项式函数及其根给出多项式f∈R[x1,.,xn]以及一个R-代数A。
对(a1，...，an)∈An，我们把f中的xj都换成aj，得出一个A中的元素，记作f(a1...an)。
如此，f 可看作一个由An到A的函数。
若然f(a1...an)=0，则(a1...an)称作f的根或零点。
例如f=x^2+1。
若然考虑x是实数、复数、或矩阵，则f会无根、有两个根、及有无限个根！例如f=__y。
若然考虑x是实数或复数，则f的零点集是所有(x,x)的集合，是一个代数曲线。
事实上所有代数曲线由此而来。
另外，若所有系数为实数多项式P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。
若P（x）有n个重叠的'根，则P‘(x)有n-1个重叠根。
即若P(x)=(__a)^nQ(x)，则有a是P’(x)的重叠根且有n-1个。
有理根定理应用为了确定一个多项式是否有任何有理根，使用该定理，如果是这样就可以找出它们。
由于定理给出了完全减少的有理根的分子和分母作为某些数的除数的约束，所以可以检查除数的所有可能的组合，或者找出合理的根，或者确定没有一个。
如果找到一个或多个，则可以将它们从多项式中分解出来，导致较低程度的多项式，其根也是原始多项式的根。
求多项式有理根的步骤 2多项式函数及其根给出多项式f∈R[x1,...,xn]以及一个R-代数A。
对(a1，...，an)∈An，我们把f中的xj都换成aj，得出一个A中的元素，记作f(a1...an)。
如此，f可看作一个由An到A的函数。
若然f(a1...an)=0，则(a1...an)称作f的根或零点。
例如f=x^2 1。
若然考虑x是实数、复数、或矩阵，则f会无根、有两个根、及有无限个根！例如f=__y。
若然考虑x是实数或复数，则f的零点集是所有(x,x)的集合，是一个代数曲线。
事实上所有代数曲线由此而来。
另外，若所有系数为实数多项式P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。
多项式的因式分解与求根法
多项式的因式分解与求根法多项式是数学中常见的一种代数表达式，它由一系列的项组成，每个项由一个系数和一个变量的幂次组成。
多项式的因式分解与求根法是解决多项式相关问题的重要方法，它们在代数学、数学分析以及工程应用中都有广泛的应用。
一、因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积因子都是不可再分解的。
因式分解的目的是简化多项式的形式，便于进一步的运算和推导。
对于一元多项式，我们可以利用多项式的根来进行因式分解。
一元多项式的根是使得多项式等于零的解，也就是使得多项式的值为零的变量值。
根据代数基本定理，一个n次多项式最多有n个不同的根。
以二次多项式为例，假设有一个二次多项式f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
我们可以使用求根公式来求解这个二次多项式的根。
求根公式为：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}根据求根公式，我们可以求得二次多项式的根。
如果根为实数，那么这个根就是多项式的因子。
如果根为复数，那么这个根的共轭复数也是多项式的因子。
通过这种方式，我们可以将二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。
对于高次多项式，我们可以使用因式定理和综合除法来进行因式分解。
因式定理指出，如果一个多项式f(x)有一个因子x-a，那么f(a)=0。
利用这个定理，我们可以通过试除法来找到多项式的因子，然后进行综合除法来进行因式分解。
例如，对于三次多项式f(x)=x^3-3x^2+3x-1，我们可以使用试除法来找到一个因子x-1。
将多项式除以x-1得到商式为x^2-2x+1。
然后我们可以继续使用试除法找到x^2-2x+1的因子，发现它可以因式分解为(x-1)(x-1)。
因此，原多项式可以因式分解为(x-1)(x-1)(x-1)。
二、求根法求根法是通过求解多项式的根来解决相关问题的方法。
求根法的应用非常广泛，例如在工程应用中，我们经常需要求解方程的根来确定系统的稳定性和性能。
7.3 多 项 式 的 根
域上多项式重根的判定
定理 7.3.4 若α是非常数多项式ƒ（х）的k重根， 则它至少是ƒ′(х)的k-1重根。 证明： 由题设，ƒ(х)=(x-α)k g(х),х-α不整 除g(х)，于是， ƒ’(х)=k(х-α)k-1g(х)+(х-α)k g’(х) 从而 （х-α）k-1∣ƒ′（х） 故α 至少是ƒ′(х )的k-1重根。
讨论：
(1)若k是F的特征p的倍数，则在F中等于0， 这样 ƒ’(х)=k(х-α)k-1g(х)+(х-α)k g’(х) 右边第一项k(х-α)k-1g(х)为0，从而 (х -α )k∣ƒ′(х )， α 至少是ƒ’(х )的k重根。
(2)若k不是F的特征p的倍数， 则ƒ’(х)=k(х-α)k-1g(х)+(х-α)k g’(х) 右边第一项k(х-α)k-1g(х)非0，且由х-α 不整除g(х),此项只能为(х -α )k-1整除， 不能为(х -α )k整除，但ƒ’(х)右边第二项 (х-α)k g’(х)为(х -α )k 整除，可见 ƒ′(х )只能为(х -α )k-1不能为(х -α )k整 除，从而可以断定α 恰是ƒ′(х )的k-1重 根。
证明：由х-α是一次式,知余式是常元素c∈F。 设商式为q(х),于是ƒ(х)= q(х) (х-α)+c 以α代х得 ƒ(α)= q(α) (α-α)+c 故得c = ƒ(α )。
推论1.х-α∣ƒ(х) iff α是ƒ(х)的根。
证明： х -α ∣ƒ(х ) iff
以х -α 除ƒ(х )所得的余式为0 iff
定理 7.3.1 设非0多项式ƒ(х)的次数为n，则ƒ(х)最多有n 个根，此处k重根作为k个根计算。 证明：把ƒ(х)的质因式分解式写成下面的形式： ƒ(х)=c(х-α1)k1…(х-αr)krp1(х)…ps(х) (1) 其中α1…，αr都不同，而p1(х)，…，ps(х)都是高于 一次的质式。（1）中r和s都可能等于0。比较两边的次
多项式的根与代数基本定理
多项式的根与代数基本定理在高中阶段学习数学时，我们都会接触到多项式及其根的概念。
多项式是数学中非常重要，应用广泛且深入的一个概念。
代数基本定理则是多项式的根与复数之间极为紧密的关系之一。
本文将会探究代数基本定理以及多项式的根。
一、多项式的根多项式指的是这样一个函数：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0$$其中，$a_n$ 不为 $0$，$n$ 为非负整数，$a_0, a_1, ..., a_n$ 为常数，$x$ 是变量。
这里的 $x$ 是变量，而 $a_0, a_1, ..., a_n$ 为常数，因此，当给$x$ 赋一个特定的数时，$f(x)$ 就会成为一个数。
我们将这个数称作多项式在 $x$ 处的取值，而 $x$ 称作多项式的根（或零点、解）。
例如，多项式 $f(x) = x^2 - 1$，它的根是 $x = 1$ 和 $x = -1$。
因为当 $x$ 等于 $1$ 或 $-1$ 时，$f(x)$ 的值都等于 $0$。
二、代数基本定理代数基本定理是一个非常重要的定理，它建立了多项式的根与复数之间极为紧密的关系。
代数基本定理的陈述如下：每一个复系数多项式 $f(x)$ 都可以表示为：$$f(x) = a(x - z_1)(x - z_2)...(x - z_n)$$其中，$a$ 是一个常数，$z_1, z_2, ..., z_n$ 是 $n$ 个复数（可能重复），且 $n$ 等于多项式 $f(x)$ 的次数。
换句话说，对于任意一个复系数多项式 $f(x)$，它的根总是可以写成 $z_1, z_2, ..., z_n$ 这 $n$ 个复数的形式。
例如，多项式 $f(x) = x^2 - 1$ 可以表示为 $(x - 1)(x + 1)$，其中根为 $z_1 = 1, z_2 = -1$。
代数基本定理的证明比较复杂，这里不进行详细讲解。
感兴趣的读者可以参考相关教材或资料。
解多项式方程的有理根的方法总结
解多项式方程的有理根的方法总结多项式方程是数学中经常遇到的问题，解多项式方程的有理根是其中的一种常见需求。
在本文中，我们将总结一些解多项式方程有理根的方法，并介绍它们的应用。
一、有理根定理有理根定理是解多项式方程的一个重要方法，它可以帮助我们确定方程是否有有理根。
有理根定理的表述如下：对于一个关于x的多项式方程A(x)=0，如果有有理根r，那么r的形式一定是p/q，其中p是方程A(x)中常数项的约数，q是A(x)中最高次项的系数的约数。
有理根定理的应用步骤如下：1. 找出方程A(x)中常数项的约数p和最高次项的系数的约数q；2. 将所有可能的p/q代入方程A(x)中，并计算A(p/q)的值；3. 如果A(p/q)=0，那么p/q就是方程A(x)的有理根。
二、综合除法法综合除法法也是解多项式方程的常用方法之一，它适用于一些特殊的多项式方程。
综合除法法的基本思想是将多项式方程进行转化，将原方程转化为另一个方程，该方程的有理根可以更容易地求解。
综合除法法的应用步骤如下：1. 将多项式方程按照降幂排列；2. 观察方程的特点，确定方程中是否有可以提取的公因式；3. 对提取出来的公因式进行综合除法，得到一个新的方程；4. 解新方程，得到有理根；5. 将有理根代入原方程，验证其是否为方程的根。
三、因式分解法因式分解法也是解多项式方程的一种有效方法。
这种方法适用于一些多项式方程可以进行因式分解的情况。
通过将方程进行因式分解，我们可以得到方程的根。
因式分解法的应用步骤如下：1. 对多项式方程进行观察，寻找可以进行因式分解的形式；2. 根据观察到的形式，进行因式分解；3. 将每个因式设置为0，解出每个因式的根；4. 将得到的根代入方程，验证其是否为方程的根。
四、综合运用在实际求解多项式方程的过程中，我们可以综合运用以上介绍的方法。
通过观察方程的特点，我们可以选择最适合的方法进行求解。
有时候，我们也需要多次尝试不同的方法来解决问题。
关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法
关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【标题】关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【引言】在代数学中，多项式函数是一种极其重要的数学对象。
而多项式函数的有理根（或称为有理零点）则是代数方程的根的一种特殊情况，值得我们深入研究和探索。
本文将围绕着整系数多项式的有理根展开论述，介绍其中几个重要定理及其求解方法，以期帮助读者更加全面、深刻地理解这一主题。
【正文】1. 整系数多项式及有理根的基本概念整系数多项式指的是系数全为整数的多项式。
对于一个整系数多项式p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_n \neq 0，整数根（或称整数零点）是指满足 p(x) = 0 的整数解。
而有理根则是指满足 p(x) = 0 的有理数解，可以表示为 p(x) = (x -\frac{p}{q})q_nq^{n-1}...q_1 = 0，其中 p 和 q 都是整数，且 q \neq 0。
2. 整系数多项式有理根的判别式对于整系数多项式 p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x +a_0，假设存在有理根 x = \frac{p}{q}，其中 p 和 q 互质。
那么根据有理根定理，p 必须是 a_0 的因子，而 q 必须是 a_n 的因子。
基于这个结论，我们可以提出整系数多项式有理根的判别式：设整系数多项式 p(x) 的首项系数为 a_n，常数项为 a_0，其所有有理根为\frac{p_i}{q_i} (i = 1,2,...,m)。
那么有理根的判别式可以表示为如下形式：- 对于 p(x) 的每一个有理根 \frac{p_i}{q_i}，其 p_i 为 a_0 的因子，q_i 为 a_n 的因子；- 对于 p(x) 的每一个整数根 x_i，其必为 a_0 的因子。
3. 整系数多项式有理根的求解方法接下来，我们将介绍一些求解整系数多项式有理根的方法，以帮助读者解决类似的问题。
多项式方程的根的数量与性质
定义：复数根是指多项式方 程的解为复数的根
判别方法：通过计算判别式 的值，若判别式大于0，则
方程有2个复数根
应用：在解决实际问题时， 复数根的求解有助于找到符
合条Байду номын сангаас的解集
重根
定义：当一个多项式方程有两个 或多个相同的根时，这些根被称 为重根
计算方法：通过因式分解或求根 公式来找到重根
添加标题
添加标题
在数学领域的应用
添加项标题
代数方程求解：利用多项式方程的根的性质，可以求解一元或多 元代数方程。
添加项标题
函数分析：通过研究多项式方程的根的性质，可以对函数进行更 深入的分析。
添加项标题
几何图形研究：多项式方程的根的性质在几何图形的研究中也有 广泛应用，例如研究图形的对称性、稳定性等。
添加项标题
迭代法
迭代法的定义：通过不断逼近方程的解，逐步修正解的近似值的方法。
迭代法的步骤：选择一个初始解，根据方程的特性，通过迭代公式不断逼 近方程的解。
迭代法的收敛性：迭代法是否能够收敛到方程的解，取决于初始解的选择 和迭代公式的收敛性。
迭代法的应用：在多项式方程的根的计算中，迭代法是一种常用的方法， 可以求解一元或多元多项式方程的根。
添加标题
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原因：重根的出现是因为多项式 方程的次数大于1
性质：重根也具有与单根相同的 性质，例如可以通过代入法求解
共轭根
定义：共轭根是指多项式方程的 两个根，它们的乘积等于常数项 与最高次项系数的比值。
性质：共轭根总是成对出现，且 互为共轭。
判别方法：通过计算两个根的乘 积，若等于常数项与最高次项系 数的比值，则这两个根为共轭根。
注意事项：在因式分解过程中需要注意符号和系 数的处理，避免出现计算错误和符号错误
多项式函数与根的性质与运算
多项式函数与根的性质与运算知识点：多项式函数的定义知识点：多项式函数的图像特点知识点：多项式函数的导数知识点：多项式函数的极值知识点：多项式函数的零点知识点：多项式函数的根的性质知识点：多项式函数的根的分布知识点：多项式函数的根的运算知识点：多项式函数的因式分解知识点：多项式函数的系数与根的关系知识点：多项式函数的定理知识点：多项式函数的应用知识点：一元二次函数的定义知识点：一元二次函数的图像特点知识点：一元二次函数的导数知识点：一元二次函数的极值知识点：一元二次函数的零点知识点：一元二次函数的根的性质知识点：一元二次函数的根的分布知识点：一元二次函数的根的运算知识点：一元二次函数的因式分解知识点：一元二次函数的系数与根的关系知识点：一元二次函数的定理知识点：一元二次函数的应用知识点：一元三次函数的定义知识点：一元三次函数的图像特点知识点：一元三次函数的导数知识点：一元三次函数的极值知识点：一元三次函数的零点知识点：一元三次函数的根的性质知识点：一元三次函数的根的分布知识点：一元三次函数的根的运算知识点：一元三次函数的因式分解知识点：一元三次函数的系数与根的关系知识点：一元三次函数的定理知识点：一元三次函数的应用知识点：一元四次函数的定义知识点：一元四次函数的图像特点知识点：一元四次函数的导数知识点：一元四次函数的极值知识点：一元四次函数的零点知识点：一元四次函数的根的性质知识点：一元四次函数的根的分布知识点：一元四次函数的根的运算知识点：一元四次函数的因式分解知识点：一元四次函数的系数与根的关系知识点：一元四次函数的定理知识点：一元四次函数的应用知识点：多项式函数与一元二次函数的关系知识点：多项式函数与一元三次函数的关系知识点：多项式函数与一元四次函数的关系知识点：多项式函数的根与系数的关系知识点：多项式函数的根与图像的关系知识点：多项式函数的根与导数的关系知识点：多项式函数的根与零点的关系知识点：多项式函数的根与极值的关系知识点：多项式函数的根与因式分解的关系知识点：多项式函数的根与定理的关系知识点：多项式函数的根与应用的关系知识点：多项式函数的求根公式知识点：多项式函数的求根公式的推导知识点：多项式函数的求根公式的应用知识点：多项式函数的求根公式的局限性知识点：多项式函数的求根方法知识点：多项式函数的求根方法的比较知识点：多项式函数的求根方法的选取知识点：多项式函数的求根方法的优劣知识点：多项式函数的求根方法的适用范围知识点：多项式函数的求根方法的注意事项知识点：多项式函数的根的判别式知识点：多项式函数的根的判别式的定义知识点：多项式函数的根的判别式的性质知识点：多项式函数的根的判别式的计算知识点：多项式函数的根的判别式的应用知识点：多项式函数的根的判别式的局限性知识点：多项式函数的根的判别式与根的关系知识点：多项式函数的根的判别式与系数的关系知识点：多项式函数的根的判别式与图像的关系知识点：多项式函数的根的判别式与导数的关系知识点：多项式函数的根的性质知识点：多项式函数的根的性质的定义知识点：多项式函数的根的性质的性质知识点：多项式函数的根的性质的计算知识点：多项式函数的根的性质的应用知识点：多项式函数的根的性质的局限性知识点：多项式函数的根的性质与根的关系知识点：多项式函数的根的性质与系数的关系知识点：多项式函数的根的性质与图像的关系知识点：多项式函数的根的性质与导数的关系知识点：多项式函数的根的运算知识点：多项式函数的根习题及方法：定义一个多项式函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6x - 1，求f(x)的导数。
高等代数第三讲 多项式的根
其中 r , s Z , 且 ( r , s ) 1,
则
r a0 ,
s an .
若
an =3,
a0 2
an 1 ; 3 a0 1 2
r s
?
r s
1;
2;
1 3
;
2 3
.
12
III Linear Space §1 线性空间的定义及性质 (1 1)( )
1
.
B 的方法 A
1
: ) B ).
19
I ) (I B) (I
A
1
由 于 1 , , s线 性 无 关 ， 故 ( 1 , , s )( A x ) 0 A x 0 成 立
17
过度距阵是可逆的.
proof
记 C ( c1 , , c n )
: det C 0 C 的列向量线性无关。
k1 则 k 1 1 k n n ( 1 , , n ) k n k1 k1 (( 1 , , n ) C ) ( 1 , , n ) C k k n n k1 k 1 1 k n n 0 C 0. k n
若 deg f n , f ( X ) 有根 a C 由零点定理 f ( X a ) f1 ( X ) 以此续行，知
定理 8：复系数多项式 上总可以唯一分解为一
n1
其中 deg f 1 n 1, .
f ( X ) 恰有 n 个复数根
f ( X )(deg f 1) 在复数域 C 次因式的乘积
3 2
7多项式函数多项式的根
(x ci1)(x ci1) (c i ci1)(c i ci1)
(x cn1) (c i cn1)
此即拉格朗日插值公式。
例3 求一次数小于3的多项式f (x),使f (1) 1, f (1) 3, f (2) 3.
解 f (x) (x 1)(x 2) 3(x 1)(x 2) 3(x 1)(x 1) (11)(1 2) (11)(1 2) (2 1)(2 1) x2 x 1
c a0
a1
a2
a3
an-1
an
)
cb0
cb1
cb2
cbn-2
cbn1
a0 a1 cb0 a2 +cb1 a3 +cb2 an-1+cbn-2 ancbn1
b0
b1
b2
b3
bn-1
f (c)
这种算法称为综合除法。
例1 求用x 3除f (x) x4 x2 4x 9的商式与余式。
f (c2 ) f2 (c2 ) d 2 , f2 (c1) f2 (c3) f2 (cn1) 0
f (cn1) fn1(cn1) d n1 , fn1(c1) fn1(c2 ) fn1(cn ) 0
于是，令
f1(x)=k1(x c 2 )(x c3) (x cn )(x cn1)
证明 当n 0时，f (x) c 0, c F,结论成立。 当n>0时，设c1,c2, ,cm是f (x)的m个不同
的根，则x-ci | f (x),i 1, 2, , m,而x-c1,x-c2, ,x-cm两两互素 （x-c1）(x c2 ) （x-cm）|f(x)
多项式求根
多项式求根1 Introduction多项式求根是线性代数、计算机科学、数值分析和应用数学中重要的一个问题。
它的基本思想是使用某种方法将多项式化简, 并确定满足某种条件的零点。
多项式求根的研究已经有几百年的历史，现今仍是科学研究的热点之一。
2 分解因式法分解因式法是一种利用多项式的特殊性质求解多项式根的方法。
该方法的原理是：当存在一个多项式 f(x)=0，如果其有以下形式： f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_n)其中a, r_1, r_2,..., r_n 均为常数, 则n 个根 r_1，r_2，...，r_n 也可以由这个关系式直接得出。
3 方法论多项式求根的方法分为三类:（1）代数方法。
这类方法的思路是使用算式求解多项式，以获得所需要的多项式的根。
具体的代数方法有分解因式法和幂级数法。
分解因式法是采用多项式的性质来求根，因此只能用于一元多项式。
幂级数法是现代数学中应用最广泛的求根方法，它不仅能求解一元多项式的根，还可以求解多元多项式的根。
（2）泰勒级数法。
该方法是利用多项式的泰勒级数展开，通过反复代入多项式的泰勒级数展开，多项式根的近似值得到不断改进，最终收敛到多项式的根上。
这种方法一般用在一元多项式中，也可以用于解多元多项式。
（3）数值方法。
这类方法是利用多变量函数的微分和特殊的搜索算法来求解多项式的根。
它的基本思想是通过给定的一个起始点，并通过不断的迭代，最终使函数值收敛到极小值。
这种方法可以解决一元和多元多项式的根，但在多元多项式的求根上存在困难。
4 结论多项式求根是线性代数、计算机科学、数值分析和应用数学中重要的一个问题。
常用的求根方法有分解因式法、幂级数法和泰勒级数法、数值方法和Newton-Raphson法等。
他们在求解多项式根时具有不同的特性，每种方法的应用都有自己的适用范围。
二次多项式求根公式
二次多项式求根公式在代数学中，二次多项式是指一个形如ax^2+bx+c的多项式，其中a、b和c是常数，且a不等于0。
求解二次多项式的根是代数学中的一个重要问题，它有着广泛的应用。
本文将介绍二次多项式求根公式及其应用。
一、二次多项式求根公式的推导假设有一个二次多项式f(x)=ax^2+bx+c，我们的目标是求解它的根。
根据代数学的知识，二次方程的根可以通过配方法来求解。
我们先来推导二次多项式求根公式。
1. 根据配方法，我们可以将f(x)表示为完全平方的形式：f(x)=a(x^2+px+q)，其中p和q是适当的常数。
2. 要使得(x^2+px+q)是一个完全平方的形式，我们需要满足以下条件：a. 二次项的系数为1，即p=b/a；b. 常数项为q=c/a。
3. 将f(x)表示为完全平方的形式：f(x)=a(x^2+px+q)=a(x^2+px+p^2/4-q+p^2/4)；这样，我们就得到了一个完全平方的形式。
4. 将f(x)进一步化简：f(x)=a(x+p/2)^2-a(q-p^2/4)；这样，我们就得到了一个更加简洁的形式。
5. 如果要使f(x)等于0，我们需要满足以下条件：a. (x+p/2)^2=-(q-p^2/4)/a；b. (x+p/2)^2=(p^2/4-q)/a；c. x+p/2=±√((p^2/4-q)/a)；d. x=-p/2±√((p^2/4-q)/a)。
至此，我们得到了二次多项式f(x)的根的求解公式：x=-p/2±√((p^2/4-q)/a)。
二、二次多项式求根公式的应用二次多项式求根公式在代数学和实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用场景。
1. 解决方程二次多项式求根公式可以用于解决形如ax^2+bx+c=0的二次方程。
通过代入a、b和c的值，我们可以求解出方程的根。
2. 经济学模型在经济学中，二次多项式经常用于建立经济模型。
通过求解模型的根，我们可以得到关于经济变量的重要信息，如平衡点、稳定性等。
多项式有重根的充要条件
多项式有重根的充要条件
f(x)是x的多项式，fm'(x)是f(x)的m阶导数。
f(a)=f'(a)=0，f''(a）≠0，f(a)有二重重根。
f(a)=f'(a)=f''(a)=..=fm'(a)=0，fm'(a)≠0，f(a)有m重重根。
方程f(x) = 0有根x = a则说明f(x)有因子(x - a)，从而可做多项式除法p(x) = f(x) / (x-a)结果仍是多项式。
若p(x) = 0仍以x = a为木，则x= a就是方程的重根。
或令f1(x)为f(x)的导数，若f1(x) = 0也以x =a为木，则也能够表明x= a就是方程f(x)=0的重根。
多项式的重根也是它的导数函数的根，且作为导数根的重数少1。
例如 f=x-y。
若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合，是一个代数曲线。
事实上所有代数曲线由此而来。
另外，若所有系数为实数多项式 p(x)存有复数根z，则z的共轨复数也就是根。
若p（x）有n个重叠的根，则p‘(x) 有n-1个重叠根。
即若 p(x)=(x-a)^nq(x)，则有 a 是p’(x)的重叠根且有n-1个。
实系数多项式方程式及其根
關於這個定理，我們可借助實係數 n 次多項式函數 y＝f (x)的 圖形直觀地來說明。
3-5 多項式方程式 19
勘根定理
在函數 y＝ f (x)的圖形上取兩點 A(a, f (a))，B(b , f (b))，由 於 f (a)．f (b)＜0，所以 A，B 兩點分別位居 x 軸兩側。拿一支筆， 筆尖由 A 點起，不可離開紙面，沿 y＝f (x)的曲線描到 B 點為止。 筆尖橫越 x 軸多少次呢？至少一次吧！換句話說， y＝ f (x)的曲 線與 x 軸至少交於一點(c, f (c))＝(c, 0)。 故方程式 f (x)＝0至少有一根 c 介於 a 與 b 之間。
此定理確實是代數學的基石，稱為代數基本定理。 由代數基本定理以及因式定理，我們可以推導出
下面的結論：
每一個複係數 n 次方程式 f (x)＝0 都恰好有 n個複數 根。
3-5 多項式方程式 09
解：
虛根成對定理
3-5 多項式方程式 10
虛根成對定理
實係數n次方程式的n個複數根中還有一個很有趣 的現象：其中的虛根一定成對出現，也就是說如果α 是此方程式的一個虛根，那麼α的共軛複數α一定也 是此方程式的一個虛根。
3-5 多項式方程式 01
實係數多項式方程式及其根
(1) 一元二次方程式根與係數的關係 (2) 一元三次方程式根與係數的關係
3-5 多項式方程式 02
解：
實係數多項式方程式及其根
3-5 多項式方程式 03
解：
實係數多項式方程式及其根
3-5 多項式方程式 04
解：
實係數多項式方程式及其根
3-5 多項式方程式 05