多项式函数与多项式的根.ppt
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故 ux 有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾， 故 u x 0, 即 f x g x
问题3、设 a1, a2 , , an 是F中n个不同的数，
b1,b2, ,bn 是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项
式 f x，使
f ai bi, i 1, 2, ,n
利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式 f x, 使
除多项式 f x, 所得的余式是 f c 。 证：由带余除法：设 f x x cqx r, 则 r f c。
第一章 多项式
问题1、有没有确定带余除法：
f x xcqxr
中 qx 和 r 的简单方法？
设 f x a0xn a1xn1 an1x an q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
例1.7.3：求一个次数小于3的多项式 f x,
使 f 2 7, f 1 2, f 2 1。
解一（待定系数法）：设所求的多项式
f x ax2 bx c,
第一章 多项式
由已知条件得线性方程组：
4a 2b c 7
abc 2
4a 2b c 1
解之得
a
7 6
b
3 2
c
2 3
证明：设 f x x cqx r, 若 f c 0, 即 r 0,
故x c 是 f x 的一个因式。
若f x 有一个因式 x c, 即 x c f x,
故r 0, 此即 f c 0 。
由此定理可知，要判断一个数c是不是 f x 的根，
可以直接代入多项式函数，看f x 是否等于零；也可
有重根？
由于多项式 f x 有无重因式与系数域无关，而
f x有无重根与系数域有关，故 f x 有重根
f x 有重因式，但反之不对。
第一章 多项式
定理1.7.3（根的个数定理）：数域F上 nn 0
次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。 证明（用归纳法）： 当 n 0 时结论显然成立，
b2 a2 cb1
an1 bn1 cbn2
bn1 an1 cbn2
an r cbn1
r an cbn1
因此，利用 f x 与qx 之间的系数关系可以方便
qx 和r，这就是下面的综合除法：
a0
a1
a2
an1
an
c
cb0 cb1
b0 a0 b1
b2
cbn2 cbn1
bn1
r
第一章 多项式
数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不
超过n。
定理1.7.4：设 f x, g xF x, 它们的次数都不
超过n，若在F中有n+1个不同的数使 f x 与 g x 的值相等，则 f x g x 。
证明： 令 ux f x g x,
若 u x 0, 又ux n,
第一ຫໍສະໝຸດ Baidu 多项式
由于F中有n+1个不同的数，使 f x与 g x 的值相等，
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
第一章 多项式
三、多项式的根
定义3：若 x c 是 f x 的一个k重因式，即有 x ck f x, 但 x c k1 f x, 则 x c 是 f x
的一个k重根。
问题2、 若多项式 f x 有重根，能否推出 f x 有重因式，反之，若 f x 有重因式，能否说 f x
假设当 f x是 n 1次多项式时结论成立， 则当 f x是n次多项式时，
设c F是 f x 的一个根，则有 f x x cqx
qx是n-1次多项式，由归纳知 qx 至多只有
n 1个根，故 f x 至多只有n个根。
第一章 多项式
证二：对零次多项式结论显然成立，
若 f x 是一次数>0的多项式，把 f x 分解成 不可约多项式的乘积，这时 f x 在数域F中根的个
f ai bi , i 1, 2, ,n
第一章 多项式
作函数
f
x
n i1
bi x a1 ai a1
x ai1 x ai1 ai ai1 ai ai1
则 f ai bi , i 1, 2, ,n
这个公式也称为Lagrange插值公式。
x an ai an
§1.7 多项式函数与多项式的根
一、多项式函数
1. 定义：设 f x a0 a1x anxn F x, 对
c F, 数 f c a0 a1c ancn F 称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xF x, 对
x c q x r b0xn b1 cb0 xn1 bn1 cbn2 x r cbn1.
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
第一章 多项式
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
c F, 作映射f：
c f cF
映射f确定了数域F上的一个函数 f x, f x 被称
为F上的多项式函数。
第一章 多项式
当F=R时，f x 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 ux f x gx,vx f xgx, 则uc f c gc,vc f cgc.
二、余式定理和综合除法 定理1.7.1（余式定理）：用一次多项式x-c去
解二（利用Lagrange公式）：
第一章 多项式
利用Lagrange插值公式可得：
r 53
第一章 多项式
利用综合除法求 qx 与r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 x b 要变为 x b
例1.7.2：把 f x x5 x3 2x2 8x 5 表成 x 2
的方幂和。
第一章 多项式
定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。
问题3、设 a1, a2 , , an 是F中n个不同的数，
b1,b2, ,bn 是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项
式 f x，使
f ai bi, i 1, 2, ,n
利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式 f x, 使
除多项式 f x, 所得的余式是 f c 。 证：由带余除法：设 f x x cqx r, 则 r f c。
第一章 多项式
问题1、有没有确定带余除法：
f x xcqxr
中 qx 和 r 的简单方法？
设 f x a0xn a1xn1 an1x an q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
例1.7.3：求一个次数小于3的多项式 f x,
使 f 2 7, f 1 2, f 2 1。
解一（待定系数法）：设所求的多项式
f x ax2 bx c,
第一章 多项式
由已知条件得线性方程组：
4a 2b c 7
abc 2
4a 2b c 1
解之得
a
7 6
b
3 2
c
2 3
证明：设 f x x cqx r, 若 f c 0, 即 r 0,
故x c 是 f x 的一个因式。
若f x 有一个因式 x c, 即 x c f x,
故r 0, 此即 f c 0 。
由此定理可知，要判断一个数c是不是 f x 的根，
可以直接代入多项式函数，看f x 是否等于零；也可
有重根？
由于多项式 f x 有无重因式与系数域无关，而
f x有无重根与系数域有关，故 f x 有重根
f x 有重因式，但反之不对。
第一章 多项式
定理1.7.3（根的个数定理）：数域F上 nn 0
次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。 证明（用归纳法）： 当 n 0 时结论显然成立，
b2 a2 cb1
an1 bn1 cbn2
bn1 an1 cbn2
an r cbn1
r an cbn1
因此，利用 f x 与qx 之间的系数关系可以方便
qx 和r，这就是下面的综合除法：
a0
a1
a2
an1
an
c
cb0 cb1
b0 a0 b1
b2
cbn2 cbn1
bn1
r
第一章 多项式
数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不
超过n。
定理1.7.4：设 f x, g xF x, 它们的次数都不
超过n，若在F中有n+1个不同的数使 f x 与 g x 的值相等，则 f x g x 。
证明： 令 ux f x g x,
若 u x 0, 又ux n,
第一ຫໍສະໝຸດ Baidu 多项式
由于F中有n+1个不同的数，使 f x与 g x 的值相等，
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
第一章 多项式
三、多项式的根
定义3：若 x c 是 f x 的一个k重因式，即有 x ck f x, 但 x c k1 f x, 则 x c 是 f x
的一个k重根。
问题2、 若多项式 f x 有重根，能否推出 f x 有重因式，反之，若 f x 有重因式，能否说 f x
假设当 f x是 n 1次多项式时结论成立， 则当 f x是n次多项式时，
设c F是 f x 的一个根，则有 f x x cqx
qx是n-1次多项式，由归纳知 qx 至多只有
n 1个根，故 f x 至多只有n个根。
第一章 多项式
证二：对零次多项式结论显然成立，
若 f x 是一次数>0的多项式，把 f x 分解成 不可约多项式的乘积，这时 f x 在数域F中根的个
f ai bi , i 1, 2, ,n
第一章 多项式
作函数
f
x
n i1
bi x a1 ai a1
x ai1 x ai1 ai ai1 ai ai1
则 f ai bi , i 1, 2, ,n
这个公式也称为Lagrange插值公式。
x an ai an
§1.7 多项式函数与多项式的根
一、多项式函数
1. 定义：设 f x a0 a1x anxn F x, 对
c F, 数 f c a0 a1c ancn F 称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xF x, 对
x c q x r b0xn b1 cb0 xn1 bn1 cbn2 x r cbn1.
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
第一章 多项式
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
c F, 作映射f：
c f cF
映射f确定了数域F上的一个函数 f x, f x 被称
为F上的多项式函数。
第一章 多项式
当F=R时，f x 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 ux f x gx,vx f xgx, 则uc f c gc,vc f cgc.
二、余式定理和综合除法 定理1.7.1（余式定理）：用一次多项式x-c去
解二（利用Lagrange公式）：
第一章 多项式
利用Lagrange插值公式可得：
r 53
第一章 多项式
利用综合除法求 qx 与r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 x b 要变为 x b
例1.7.2：把 f x x5 x3 2x2 8x 5 表成 x 2
的方幂和。
第一章 多项式
定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。