16.2.1二次根式的乘除精品PPT课件
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二次根式的乘除优秀PPT课件
程。
实例三
通过综合应用上述法则和方法， 演示复杂二次根式的除法运算过
程，并给出相应的化简结果。
04
复杂表达式中二次根式乘除处理策略
识别并提取复杂表达式中关键信息
观察表达式结构，识 别根号内外各项
留意可能出现的特殊 形式，如完全平方数 、共轭根式等
判断各项是否可开方 及开方后的形式
逐步化简复杂表达式至基本形式
由于计算机内部表示数字的方式（如浮点数表示 法）引起的误差。
截断误差
由于算法设计或计算机精度限制，对无限序列进 行有限项截断所产生的误差。
舍入误差
在数值计算过程中，由于四舍五入或其他舍入方 式而产生的误差。
减小误差方法探讨
选择高精度算法
采用更精确的算法，如高精度运算库，以减少计算过程中的误差 。
增加有效数字位数
同类二次根式除法法则
法则一
两个同类二次根式相除， 把系数相除，根式部分不 变。
法则二
化简根式后再相除，确保 被除数和除数都是最简二 次根式。
法则三
当被除数和除数含有相同 的根号部分时，可以直接 相除并化简。
不同类二次根式除法转换方法
转换方法一
通过有理化分母，将不同类二次 根式转换为同类二次根式进行除
通过增加计算中使用的有效数字位数，降低舍入误差的影响。
误差传播分析
对算法进行误差传播分析，了解误差在计算过程中的传播情况，从 而优化算法设计。
计算技巧总结和分享
简化计算过程
通过合并同类项、提取公因式等方法 简化计算过程，减少计算量，降低误 差产生的可能性。
利用对称性
对于具有对称性的二次根式，可以利 用对称性简化计算过程，提高计算效 率。
法运算。
实例三
通过综合应用上述法则和方法， 演示复杂二次根式的除法运算过
程，并给出相应的化简结果。
04
复杂表达式中二次根式乘除处理策略
识别并提取复杂表达式中关键信息
观察表达式结构，识 别根号内外各项
留意可能出现的特殊 形式，如完全平方数 、共轭根式等
判断各项是否可开方 及开方后的形式
逐步化简复杂表达式至基本形式
由于计算机内部表示数字的方式（如浮点数表示 法）引起的误差。
截断误差
由于算法设计或计算机精度限制，对无限序列进 行有限项截断所产生的误差。
舍入误差
在数值计算过程中，由于四舍五入或其他舍入方 式而产生的误差。
减小误差方法探讨
选择高精度算法
采用更精确的算法，如高精度运算库，以减少计算过程中的误差 。
增加有效数字位数
同类二次根式除法法则
法则一
两个同类二次根式相除， 把系数相除，根式部分不 变。
法则二
化简根式后再相除，确保 被除数和除数都是最简二 次根式。
法则三
当被除数和除数含有相同 的根号部分时，可以直接 相除并化简。
不同类二次根式除法转换方法
转换方法一
通过有理化分母，将不同类二次 根式转换为同类二次根式进行除
通过增加计算中使用的有效数字位数，降低舍入误差的影响。
误差传播分析
对算法进行误差传播分析，了解误差在计算过程中的传播情况，从 而优化算法设计。
计算技巧总结和分享
简化计算过程
通过合并同类项、提取公因式等方法 简化计算过程，减少计算量，降低误 差产生的可能性。
利用对称性
对于具有对称性的二次根式，可以利 用对称性简化计算过程，提高计算效 率。
法运算。
新人教版数学八年级下册《16.2 二次根式的乘除(第2课时)》课件
例2 计算: （1） 3 42 ;
56
（2）2
11 1 22
1.
6
解:（1） 3 42 3 42 3 7;
56 5 6 5
（2）2 1 1 1
22
1 （2 1）（ 3
6
22
1）（2 2） 6
3 1 4 26
36 2
12.
提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成 假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件： (1)被开方数不含分母或分母中不含__二__次__根__式____； (2)被开方数中不含___开__得__尽__方___的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式， 然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)， 若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简 二次根式.
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看
到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
素养目标
3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二 次根式化为最简二次根式. 2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简 单运算.
解：（1） 3 =
5
3= 5
3 5 = 15 = 5 5 52
15 ； 5
（2）3 2 =3
27
2= 32 3
2= 3
6； 3
（3）
8 2a
=
23 2a
2a = 4 a = 2 a ．
16.2《二次根式的乘除(1)》ppt课件
（2）3 52 10
= 3×2 5 10
= 6 5 2 2
= 6 5 2 2 = 6 _5__ 2
= _3_0__2__
（3） 3 x • 1 • xy 3
=3
1 xy 3
= x 2 y
= x 2 y
= _x ___y __
11
整理PPT课件
一个长方形的长和宽分别是 1 0 和 2 2 .
并利用它们进行计算和化简；
3
整理PPT课件
知识点1：二次根式的乘法法则
认真阅读课本第6至7页的内容，完成下面练习并 体验知识点的形成过程.
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发 现什么规律？
（1） 4 9＝_2__×3___＝6___，
4 9＝ 3＝6 ___6；
（2） 16 25＝_4__×5__＝_2_0_，
= 4•b•c• a• c
9
整理P=PT4课b件c a c
知识点2：二次根式的乘法运算
例3 计算： （1） 14 7
（3） 3 x • 1 • xy 3
（2）3 52 10
解：（1） 14 7 = 14 7
= 7 2 2
= 7 2 2
= _7 __2___
10
整理PPT课件
知识点2：二次根式的乘法运算
例1 计算：
（1） 3 5 （2） 1 27
3
解：（1） 3 5 ＝ 15
（2） 1
3
27 ＝ 1 27 ＝
3
9 ＝ _3__
5
整理PPT课件
知识点1：二次根式的乘法法则
计算
（1） 2 5
（2） 3 12
解：原式= 1 0
解：原式= 3 12
沪科版数学八年级下册课件16.2.1二次根式的乘除(3)
3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简 的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根 号。
(1)2 24 (3 15 1 2) 6
(2)3 12 1 x2
3 ( 3 xy 4
18 xy3 )
注意运算顺序哟!
化简 a b ，甲，乙两同学的解法分别为： a b
甲，
a a
b
b
（（aa
1.二次根式的两个基本性质:
a 2=a (a≥ 0)
a (a≥ 0)
a 2 =∣a∣ =
-a (a＜0) 2.二次根式的乘法：
a • b ab (a≥ 0,b ≥0)
3. 二次根式的除法
a =
a (a
≥ 0，b
>
0)
b
b
a a (a ≥0，b 0) bb
（1）若 a是二次根式，则a，b应满足 b
解： 2 3 = 4 × 3 = 4 3 = 12
3 2 = 9 × 2 = 9 2 = 18
∵12＜18
∴ 12＜ 18
∴2 3＜ 3 2
你还有其它 的比较方法吗？
例3 已知a=6,b=3,c=5,求下列各式的值.
ab (1)
b c2
(2) 2 ab abc
(1)原式 ab cb
(2)原式 2 ab c • ab
例1.计算: (1) 75 ( 6 • 12)
(2) 2 • 5 50
解：(1)原式 75 6 2 75 5 3 • 2 5 6
6 2 6 2 • 2 12
(2)原式
10
50
10 50
10 50
1 5 55
为什么要把 跟号外的因 数移到根号
例2 比较 2 3 和 3 2 的大小。 内呢？
16.2.1二次根式的乘除课件
3
(3) 9 1 ( 4) 9 3 1
2
4
24
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 ６ =
(2) 5 7 35 =
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
计算：(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 33 32 32 3 解法二：
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
（1） 8 （ 2 ）＝ 4
（ 5 ）＝（21）02 5
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
（34）3
2＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
人教版八年级数学下册第十六章16.2二次根的乘除课件(3课时,共61张PPT)
求证： a b a b a 0,b 0.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
16.2二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册
解： ( 思考】乘法法则是如何得出的?二次根式的除法该怎样算呢2 除法有没有类似的法则?
学习 目标 3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二 次根式化为最简二次根式。
2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简 单运算.
1. 掌 握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
探究新知 知识点1
二次根式的除法
探究新知
归纳总结 二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·√b .....√n=√ab...n(a≥0,b≥0....n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号 外的因数(式),被开方数的积作为被开方数，即
化简：
(1)√ 16×81;(2)√4a²b³(a≥0,b≥0).
解：(1)√ 16×81
(2)√4a²b³
(2 ) 中4 ²ab³ 含有 像 4 a²,b²,, 这
= √16×√81
=√4O√a²O√b³
样开的尽方的因 数或因式，把它
=4×9
=36;
=2OaO√b²Ob
们开方后移到根 号外.
巩固练习
计算：
(1)
(2)
●
解： (1) (2)
提示：像(2)中除式是分数或分(1)
(2)
(3)
●
解：(1)
探究新知
考点② 利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的 二次根式
计算： (1) 解：(1)
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
巩固练习 计算，看谁算的既对又快.
重
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数);
人教版八年级数学下：16.2二次根式的乘除课件(共15张PPT)(课件精选)
想一想：
化简：（1） 1 2 -1
（2） 2 2 3
13
小结 课件在线
1.二次根式的除法利用公式:
a aa 0,b 0
bb
2.最简二次根式:
a b
a a 0,b 0
b
(1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
3.在二次根式的运算中，对最后结果的要求。
14
比一比，看谁最棒
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
(3) 2 ＝ 2 33
4 9
2 3
4 4 99
16 49
4 7
16 49
16 49
2＝ 2
55
规律:
a a
b
b
a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
被开方数 6
课件在线
二次根式的除法公式的应用：
例4： 计算1 24 ，
3
2 3 1
2 18
（3） 8 2a
课件在线 10
课件在线
做一做：教材第10页练习第1、2、3题.
11
课件在线
应用新知 例： 设长方形的面积为S，相邻两边长分别 为a，b.已知S= 2 3，b= 10,求a.
解：因为S= ab, 所以
a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
12
课件在线
课件在线
（1）4 3 a 3 8 3 ( 2) a2 b 5 x3 y a b 2 0
a
xy
(3 ) 18 2 x3 3 3 x y (4) 3ab 6 b
3a
15
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化简：（1） 1 2 -1
（2） 2 2 3
13
小结 课件在线
1.二次根式的除法利用公式:
a aa 0,b 0
bb
2.最简二次根式:
a b
a a 0,b 0
b
(1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
3.在二次根式的运算中，对最后结果的要求。
14
比一比，看谁最棒
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
(3) 2 ＝ 2 33
4 9
2 3
4 4 99
16 49
4 7
16 49
16 49
2＝ 2
55
规律:
a a
b
b
a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
被开方数 6
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二次根式的除法公式的应用：
例4： 计算1 24 ，
3
2 3 1
2 18
（3） 8 2a
课件在线 10
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做一做：教材第10页练习第1、2、3题.
11
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应用新知 例： 设长方形的面积为S，相邻两边长分别 为a，b.已知S= 2 3，b= 10,求a.
解：因为S= ab, 所以
a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
12
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（1）4 3 a 3 8 3 ( 2) a2 b 5 x3 y a b 2 0
a
xy
(3 ) 18 2 x3 3 3 x y (4) 3ab 6 b
3a
15
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16.2.1二次根式的乘除(2) (共17张PPT)
ab a • b (a 0,b 0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术 平方根. 思考：
二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
(3) 2＝ 2 33
4 9
2 3
16 49
4 7
2＝ 2 55
化简 (1) 3
100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解： 1 3 3 3
100 100 10
（2） 1 3 ＝ 16
19 ＝ 16
19
16＝
19 4
注意： 如果被
开方数是 带分数，
3 25x 25x 5 x
9y2 9y2
32 2
(2) 50 10
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
2 3
16 49
4 7
(3) 2 ＝ 2 33
2 5
＝
2 5
我发现： 4 4
99
16 16 49 49
4 4 99
16 16 49 49
规律: a a a 0, b 0
bb
两个二次根式相除，等于把被开方数相 除，作为商的被开方数。
（1） － 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－3 2 1）
48
24
第16章 二次根式
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
积的算术平方根等于积中各因式的算术 平方根. 思考：
二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
(3) 2＝ 2 33
4 9
2 3
16 49
4 7
2＝ 2 55
化简 (1) 3
100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
解： 1 3 3 3
100 100 10
（2） 1 3 ＝ 16
19 ＝ 16
19
16＝
19 4
注意： 如果被
开方数是 带分数，
3 25x 25x 5 x
9y2 9y2
32 2
(2) 50 10
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
2 3
16 49
4 7
(3) 2 ＝ 2 33
2 5
＝
2 5
我发现： 4 4
99
16 16 49 49
4 4 99
16 16 49 49
规律: a a a 0, b 0
bb
两个二次根式相除，等于把被开方数相 除，作为商的被开方数。
（1） － 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－3 2 1）
48
24
第16章 二次根式
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
八年级数学下册教学-16.2 二次根式的乘除 课件(共16张PPT).ppt
02
练一练
1．（2019·海口市丰南中学初三期末）已知： 是整数，则满足条件
的最小正整数为(
A．2
)
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
∵ 20 = 4 × 5 = 2 5 ，且 20 是整数，
∴2 5是整数，即5n是完全平方数，
∴n的最小正整数为5．
故选D．
02
练一练
2．已知 = ， = ，则 = (
PA R T
02
练一练
02
练一练
计算：
1） 14 × 7 = 14 × 7 = 2 × 72 = 7 2
2）2 10 × 3 5 = 2 × 3 × 10 × 5
= 6× 2×5×5
= 6 × 52 × 2=30 2
3） 3 ×
1
3
= 3 × 1 =
3
× 2= = 2 × =
A．2a
B．ab
C．
)
D．
【答案】D
【详解】
解： 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3 ×
3 = ⋅ ⋅ = 2 ．
故选D．
3．（2019·肇庆市端州区南国中英文学校初二期中）下列
各数中,与2 的积为有理数的是(
A．2
B．3
C．
)
【答案】D
【详解】
解：A、2×2 3=4 3为无理数，故不能；
01
二次根式的乘法法则变形
注意公式成立条件
ab = • ≥ 0，b ≥ 0
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
计算：
1） 16 × 81 =
=
16.2 二次根式的乘除 课件2024-2025学年人教版数学八年级下册
D．20
（2） 12b ∙
93
4
.
课堂引入
问题1．一个长方形的长为 6，宽为 3 ，请求长方形的面积.
追问1：像 6， 3这样表示一个数的算术平方根的数字是实数吗？
如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？运算的过程中要遵循怎样的
运算法则？
一、二次根式的乘法
问题2．像 6 × 3这样，是两个二次根式的积，怎样计算？
因式的二次根式.
化简时通常要求最终结果中的分母不含根号，而且各个二次根式都是最简二次
根式.
特别注意：（1）分母中含根号的要化简成没根号；
（2）根号中有分数的也要化简；
（3）根号中有小数的也要化简.
合作学习
2．说出二次根式的乘除法则，并用字母表示.
二次根式的乘法法则公式： × = ( ≥ 0, ≥ 0)；
(
1
1
1
+
+
+
2+1
3+ 2
4+ 3
⋯+
1
)(
2018+ 2017
2018 + 1)的值．
例题精析
(
1
2+1
+
1
1
+
3+ 2
4+ 3
+⋯+
1
)(
2018+ 2017
2018 + 1)
解：
原式= (
1
1
1
+
+
+
2+1
3+ 2
4+ 3
⋯+
《二次根式的乘除1》1精品PPT课件
1 xy ． 3
解：（1 ） 14 7= 14 7= 72 2=7 2 ；
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2 ；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y ．
3
3
应用巩固
练习3 计算： （1）3 6 2 10 ；（2） 1 2ax28x 是不大于100的整数，求整数x 的值．
请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多 少？
特殊化，从能开得尽方的
二次根式乘法运算开始思考！
？
自主探究
计算下列式子，并观察它们之间有什么联系？
4 25
=
16 9
=
4 25 16 9
1 4
=
36
1 4 36
能用字母表示你所发现的规律吗？
自主探究
二次根式乘法法则： 一般地有 a b= ab （a≥0，b≥0 ）． 二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘 的算术平方根． 反之： ab= a b （a≥0，b≥0 ）． 能试着说说上述公式成立的理由吗？
变：若（3）的条件为a≤0，b≥0呢？
应用巩固
练习1 计算下列各式：
（1） 18 2 ；
（2） 3 （- 6 ）；
（3） 3 6 8 ； （4） 9 16 ； （5） 24 ；（6） 54 ；（7） 12a3b2 ．
应用巩固
练习2 教科书第7页练习第1，2题．
巩固新知
例3 计算：
（1） 14 7 ；（2）3 5 2 10 ；（3） 3x
八年级 下册
16.2 二次根式的乘除（1）
课件说明
• 本课在学习二次根式的概念和性质的基础上，结合 算术平方根的概念，通过观察，归纳出二次根式的 乘法法则，并应用这个法则进行二次根式的计算和 化简．
《16.2 二次根式的乘除》课件(3套)
2
6
如果根号前有 系数，就把系数相 除，仍作为二次根 号前的系数。
2 11 1 5 26
236 52
23 5
6 5
（2）－4 2 37
最后结果的 分母中不含 二次根式。
42 37
4 27 3 77
4 14 3 72 4 14 3 72 4 14 37
4 14 21
4 27
377
4 14
3 ( 7)2 4 14 37
1 24
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
3
求 2a
a b
b a
1 b
的值。
解：要想原等式有意义，必须满足：
4a b 11 0
1 b 4a 3 0 3
a1 4
b 12
将 a、b 代入
2a a（ b 1） ba b
=2
1 4
1
4
12
12 1
4
1
12
1 2
1 48
48
1 12
1 1 48 12 2 48
1 12 1 2 3 3
m ≥3 m >5
m> 5
3. 已知：3 ＝1.732，如何求出
的近似值?
1 3
一题 多解
1 1 1 0.577 3 3 1.732
计算繁琐。
1 1 1
3
3
1.732
0.577
3 3 33 3 3
计算简便。
4.在括号内填写适当的数或式子使 等式成立。
（1） 8 （ 2 ）= 4
（2）2 5（ 5）= 10
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倍速课时学练
探究
把 a b ab
反过来，就可以 得到:
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
倍速课时学练
例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
倍速课时学练
解: (1) 12 4 3 22 3 2 3
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 (2) 4 25 10
(3) 9 1 (4) 9 1 3
4
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
倍速课时学练
一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
×× √
××
倍速课时学练
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
练习
把下列各式化简：（1）－4 2
解：
37
；
（2）
2a a＋b
；
（3） 3
2 40
.
（1）－4 2 ＝－4 2 7 ＝－4 14 ；
37
3 7 7
21
（2） 2a ＝ 2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b
a＋b a＋b
(2) x • x3 x • x3 x4 x2
(3)2 ab • 3 b (2 3) ab • b 6 b2 6b
a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
倍速课时学练
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
a＋b
（3） 2 ＝
2 ＝ 2 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5
3 40 3 2 10 6 10 10 60 60 30
倍速课时学练
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分 母都乘什么，有时还要先对分母进行化简。
课堂小结
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
计算：(1) 24 (2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
3
3
(2) 2 1 2 1 2 18 3 18 3 18 3
倍速课时学练
12 2 3
探究
把 a a 反过来，就可以得到: bb
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
(2) 27 15 9 3 3 5
92 5 9 5
(3) 4a3 22 a2 a 2a a
倍速课时学练
化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
倍速课时学练
练习
计算：
(1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
倍速课时学练
解： (1)5 12 4 27 (5 4) 12 27 20 4 3 3 9 20 (2 3 3)2 20 18 360
倍速课时学练
解： (2) 6 15 10 6 1510 233552 (2 3 5)2 302 30
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
（3 4）3 2 ＝ 6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y2 4xy
3.计算：
（1）－ 19 95
二次根式的乘除
倍速课时学练
复习回顾
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
( a )2 a（a≥0）
倍速课时学练
a2 a a (a≥0)
-a (a＜0)
1、一个长方形的长为 6cm，宽为 3cm， 这个长方形的面积是多 少？
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
倍速课时学练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
倍速课时学练
2 2 3 6 6 3 3 3 ( 3)2 3
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6 8 2 2 2 2 2 2
(3) 27 27 3x 9 x 3 x 3x 3x 3x 3x x
在二次根式的运算中，一般要求 最后结果的分母中不含根式。
倍速课时学练
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
倍速课时学练
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc ,
倍速课时学练
（1）利用公式：
；
a a (a ≥0，b 0)
（2）把除法先写成b分式的b 形式，再化简为最简二次
根式.
3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次 根式化简，再考虑如何化去分母中的根号.
课堂知识反馈
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 （ 2 ）＝ 4
（ 5 ）＝ 10
倍速课时学练
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
倍速课时学练
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
计算：(1) 2 (2) 2 3 (3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 3 3 32 32 3 解法二：
a b ab （a≥0，b≥0）
倍速课时学练
探究
(4) (9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
倍速课时学练
例题讲解
计算：
(1) 3 12 (2) x • x3
(3)2 ab • 3 b (4) 27 1
a
3
倍速课时学练
解：(1) 3 12 312 36 6
倍速课时学练
讨论
计算：
有什么发现？
倍速课时学练
(1) 4 2 (2) 4 2
93
93
(3) 16 4 (3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
= 32
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
倍速课时学练
a
a
（a≥0,b＞0）
bb
例题讲解