3.1.4空间向量的直角坐标运算 自制 2014年
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
3.1.4空间向量的直角坐标运算 【 2014年】
3.1.4空间向量的直角坐标运算（课前预习案）班级：___ 姓名：______一、新知导学1、空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，(,,)123b b b b =，则a b += ， a b -= ，a λ= ， ab ⋅= ，//a b ⇔ a b ⊥⇔ ． （2）若(,,)111A x y z ，222(,,)B x y z ，则AB = ．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的______的坐标减去_________的坐标 2、模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则||a a a =⋅= ，||b b b =⋅= ．3、夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+4、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==，或,A B d =;,,i j k ⎤⎣，求下列向量的坐标：）346a i j k =+- （）2323b i j k =--+若(2,1,3),(5,3,2)a b =-=-，则a +b =____________,32a b -=___________, a b ⋅=_____，(2)(3)a b a b +⋅-=______________1）(0,0,4),(0,0,7) （2）（（3，4，0），（0，0，6） （2）（-2，1，，-5，7）已知(1,1,1),(1,0,1)a b =--=-，则______,a =,a b <>=____________3.1.4 空间向量的直角坐标运算（课堂探究案）一、空间向量的直角坐标 向量(,,a a a a =二、向量的坐标运算 已知(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)a b c ===，,2p a b q a b c =-=+-，求： ,p q ，p q ⋅。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)
数学课件：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
运算
1.了解空间向量坐标的定义. 2.掌握空间向量的坐标运算. 3.会利用向量的坐标关系,判定两个向量共线或垂直. 4.会计算向量的长度及两向量的夹角.
1.空间向量的坐标表示
(1)单位正交基底.
建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向
量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则������������ = ������������ − ������������ = (������2, ������2, ������2) − (������1, ������1, ������1) = (������2 − ������1, ������2 − ������1, ������2 − ������1).
题型一
题型二
题型三
解:∵A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), ∴ ������������ = (−2,1,6) − (0,2,3) = (−2, −1,3), ������������ = (1, −1,5) − (0,2,3) = (1, −3,2).
∴|������������| = (-2)2 + (-1)2 + 32 = 14,
∴h∥g. 答案:B
123456
3.已知a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且(c-a)·2b=-2,则x的值为( ) A.3 B.4 C.2 D.1 解析:∵(c-a)·2b=(0,0,1-x)·(2,4,2)=-2,
∴2(1-x)=-2,x=2. 答案:C
123456
=
������2 ������2
3.1.4空间向量运算的坐标表示
13
练习 2: 0, ⑴已知 A( 2, 3),B( 2,1, 6), C (1, 1, 5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a = ( x , 2,1) , b = ( 3, x , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角, 钝角,则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2
记为 a = ( a1 , a2 , a3 ) .
4
在空间直角坐标系O 对空间任一点A, 在空间直角坐标系 – x y z 中,对空间任一点 对应一个向量 O A ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z, 于是存在唯一的有序实数组 如图). 使 OA = xi + y j + zk (如图 如图 我们说,点 的坐标为 的坐标为(x,y,z),记作 记作A(x,y,z),其中 叫 我们说 点A的坐标为 记作 ,其中x叫 叫做点A的纵坐标,z叫做点 叫做点A的竖坐标. 做点A的横坐标,y叫做点 做点 的横坐标 叫做点 的纵坐标 叫做点 的竖坐标 显然, 的坐标,就是点A在此空间直角 显然 向量 OA 的坐标,就是点 在此空间直角 z 坐标系中的坐标(x,y,z). 坐标系中的坐标
λa
= (λ a1 , λ a2 , λ a3 )(λ ∈ R) a b = a1b1 + a2 b2 + a3 b3
a1 = λb1,a2 = λb2,a3 = λb3(λ∈R)
6
a // b
a ⊥ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.(a, b都不是零向量)
练习1:已知 练习1:已知 a 1:
7
如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 如果知道有向线段的起点和终点的坐标 那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 那么有向线段表示的向量坐标怎样求 结论: 结论:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) =(
高二数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量i 、j 、k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做______________；单位向量i 、j 、k 都叫做____________． (2)空间向量的坐标：已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的________．上式可简记作a ＝____________. 23. 123123(1)a ∥b (b ≠0)⇔________⇔⎩⎪⎨⎪⎧当b 与三个坐标平面都不平行时，a ∥b ⇔__________________(2)a ⊥b ⇔________________⇔________________________. 4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝________________，|b |＝________________. cos 〈a ，b 〉＝___________________________________________. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝________________________， |AB →|＝________________________________________.探究点一 空间向量的坐标表示及运算问题1 如何确定向量的坐标？ 问题2 向量的坐标和点的坐标有什么联系？例1 设正四棱锥S —P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP 1→、P 2P 3→的坐标．跟踪1 (1)已知向量a ，b ，c 分别平行于x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？ (2)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标． 探究点二 垂直与平行问题问题1 已知a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，a 、b 共线的充要条件为a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，对吗？问题2 a 与b 垂直的充要条件是什么？例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．跟踪2 将本例中“若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直”改为“若向量ka ＋b 与a ＋kb 互相平行”其他条件不变，求k 的值．探究点三 向量的夹角与长度计算例3 已知在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)，求顶点B 、C 的坐标，向量AC →及∠A 的余弦值．跟踪3 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求EF 与C 1G 所成的角的余弦值； (2)求FH 的长． 【达标检测】1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，则5a 与3b 的数量积等于 ( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1 3．若ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (－3,7，－5)，则顶点D 的坐标为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫72，4，－1B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(－1,13，－3)4．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AB →在AC →上的投影为______． 【课堂小结】1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．2．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决.3.1.4 空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1) B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是 ( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2)D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532 C.532D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－66．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________. 9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值．11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE →与SC →的夹角．三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．。
课时作业3：3.1.4空间向量的直角坐标运算
3.1.4空间向量的直角坐标运算一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D2．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则( )A ．λ＝28B. λ＝－28 C ．λ＝14 D ．λ＝－14【解析】 由题意可得AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝(－2)×(－1)＋(－6)×6＋(－2)(λ－3)＝0.∴λ＝－14.【答案】 D3．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别是( )A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10【解析】 ∵a ∥b ，∴2－4＝－3x ＝5y ， ∴x ＝6，y ＝－10.故选A.【答案】 A4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( )A.55B.555C.355D.115 【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝ (1＋t )2＋(2t －1)2＋02＝ 5(t －15)2＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |min ＝355. 【答案】 C5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°(O 为坐标原点)，则λ的值为( )A ．±66B.66 C ．－66 D ．±6【解析】 ∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2.∴cos 120°＝2λ1＋2λ2·2＝－12， ∴λ＝－66，故选C. 【答案】 C二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， ∴AB →，AC →＝60°.【答案】 60°7．(2013·南通高二检测)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________.【解析】 ∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．又∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29，∴λ＝3或－2.又∵λ＞0，∴λ＝3.【答案】 38．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →， P A →⊥AC →，则P 点的坐标为______．【解析】 P A →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，由P A →⊥AB →，得x －1＋z ＝0，由P A →⊥AC →，得－2x －z ＝0.解得x ＝－1，z ＝2.【答案】 (－1,0,2)三、解答题9．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．10．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1,3,1)，求：(1)(a －2b )·(2a ＋b )；(2)以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．【解】 (1)a －2b＝(3，－2，－3)－2(－1,3,1)＝(5，－8，－5)，2a ＋b ＝2(3，－2，－3)＋(－1,3,1)＝(5，－1，－5)．∴(a －2b )·(2a ＋b )＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.(2)∵cos a ，b ＝a ·b |a ||b |＝－1222×11＝－6211， ∴sin a ，b ＝1－cos 2(a ，b )＝1－72121＝711. ∴S ▱＝|a |·|b |sina ，b ＝22×11×711＝7 2. ∴以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为7 2.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，问当点N 位于AB 何处时，MN ⊥MC 1?【解】 以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，则M (0,0，a 2)，C 1(a ，a ，a )，N (x,0,0)． MC 1→＝(a ，a ，a 2)，MN →＝(x,0，－a 2)， MN →·MC 1→＝xa －a 24＝0，得x ＝a 4. 所以点N 的坐标为(a 4，0,0)，即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时，MN ⊥MC 1.。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图 建立直角坐标系，则 DO的坐标是 ______;
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
例3
B1 E1 如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y C O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 1 15 x 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
课时作业1：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
3.1.4 空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1,2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1)B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3) 答案 C解析 AB →＝OB →－OA →＝(2,1,3)．2．已知a ＝(2，－3,1)，则下列向量中与a 平行的是( )A ．(1,1,1)B ．(－2，－3,5)C ．(2，－3,5)D ．(－4,6，－2) 答案 D解析 若b ＝(－4,6，－2)，则b ＝－2(2，－3,1)＝－2a ，所以a ∥b .3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132答案 C解析 AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，又C (0,1,0)， 所以CM →＝⎝⎛⎭⎫2，12，3，故M 到C 的距离为 |CM |＝|CM →|＝ 22＋⎝⎛⎭⎫122＋32＝532. 4．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴〈AB →，AC →〉＝60°. 5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 答案 －4解析 ∵(a ＋b )·c ＝(－2,1,3＋x )·(1，－x,2)＝x ＋4＝0，∴x ＝－4.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为________．答案 49 5 解析 设正方体的棱长为2，以D 为原点建立如图所示空间坐标系，C (0,2,0)，M (2,0,1)，D 1(0,0,2)，N (2,2,1)，则CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，∴cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19， ∴sin 〈CM →，D 1N →〉＝459. 7．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值．解 ∵OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)，∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2.∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16. 又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66. 二、能力提升8．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z 的坐标为____________．答案 (－4,2，－4)解析 ∵z 与a 共线，设z ＝(2λ，－λ，2λ)．又a·z ＝4λ＋λ＋4λ＝－18，∴λ＝－2，∴z ＝(－4,2，－4)．9．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________. 答案 120°解析 (2a ＋b )·c ＝2a·c ＋b·c ＝－10，又a·c ＝4，∴b·c ＝－18，又|c |＝3，|b |＝12，∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b|·|c |＝－12， ∵〈b ，c 〉∈[0°，180°]，∴〈b ，c 〉＝120°.10．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是______．答案 2 3解析 设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)，则|PD →|＝(－1－1)2＋(3－1)2＋(3－1)2＝12＝2 3.11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴∠BAC ＝60°， ∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE →与SC →的夹角．解 建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB ＝3，SA ＝2，可以求得SO ＝22.则 B ⎝⎛⎭⎫32，32，0，A ⎝⎛⎭⎫32，－32，0， C ⎝⎛⎭⎫－32，32，0，S ⎝⎛⎭⎫0，0，22. 由于E 为SA 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫34，－34，24，所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－34，－334，24，SC →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，－22， 因为BE →·SC →＝－1，|BE →|＝2，|SC →|＝2，所以cos 〈BE →，SC →〉＝－12×2＝－12， 所以〈BE →，SC →〉＝120°.三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围． 解 由已知得a·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25 ＝3t －525. ∵a 与b 的夹角为钝角，∴a·b <0且〈a ，b 〉≠180°.由a·b <0，得3t －525<0，∴t <5215. 若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)，即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝λ·(－2)3＝λt 1＝λ·⎝⎛⎭⎫－25，解得t ＝－65. 所以t 的范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215.。
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
4. 1已知向量a 2, 4,5 , b 3, x, y , 若a / / b, 求x, y的值. a 2, 4, x , b 2, y, 2 , 若 a 2已知： 的值. 6, 且a b, 求x y
2 4 5 15 解： 1因为a / /b, 所以 , 得x 6, y . 3 x y 2 2 2 4 y 2 x 0 2 因为a b且 a 6, 所以 2 2 2 2 4 x 6, x 4, x 4, 或 所以x y 1或x y 3. y 3, y 1.
3.1.4
空间向量的直角坐标运算
z
O
k
a
y
i j
x
思考：如上图，在空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴的 正方向上分别作出三个单位向量i, j , k , 对于空间中的任 一向量a，如何表示为这三个向量的线性组合？
1.了解空间直角坐标系的建立，理解空间向量的坐标
及点的坐标的概念，掌握空间向量运算法则，会用
C
2.已知点A 1, -2,11 , B 4, 2,3 , C 6, -1, 4 , 则ABC的形状是
直角三角形 . ____________
3.已知a 2,3,1 , b 2, 0,3 , c 0, 0, 2 则a b c
9 a 6b - 8c （ 14,3,3） ____, ________ .
坐标运算法则求向量的坐标.（重点）
2.掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两
个向量的平行和垂直.（重点、难点）
3.掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式. （重点）
课件1：3.1.4空间向量的直角坐标运算
4．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直 线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、 夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c
－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？
【提示】 不共面． 2．试用e1，e2，e3表示A→B1. 【提示】 A→B1＝4e1＋4e2＋4e3. 3．若M为A1B1的中点，能否用e1＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正 方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间 向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 单位正交基底 ．单位 向量i，j，k都叫做 坐标向量 ．
所以 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k －1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所 以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k －2＋k2－8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再 进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算 括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－
1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》 课件
知识点2
空间向量的正交分解及坐标表示
1.单位正交基底的特点: (1)位置:三个向量两两垂直且有公共起点O. (2)模长:每个向量的模都等于1. (3)记法:一般记作{e1,e2,e3},{i,j,k}等.
2.空间直角坐标系: 以单位正交基底e1,e2,e3的公共起点O为原点,以e1,e2,e3的方向 为x轴、y轴、z轴正方向的空间坐标系要注意的五点: ①记法:空间坐标系O-xyz; ②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面,它们分别为xOy 面,xOz面和yOz面;
类型二 用基底表示向量
【典例2】
(1)在四面体O-ABC中，OA＝a， D为BC的中点， OB ＝b， OC ＝c，
E为AD的中点，则 OE＝(
1 1 1 A. a－ b＋ c 2 4 4 1 1 B.a－ b＋ c 2 2 1 1 1 C. a＋ b＋ c 2 4 4 1 1 1 D. a＋ b＋ c 4 2 4
A.λ =-2,μ =-4,ν =-5
C.λ =-2,μ =10,ν =8
B.λ =2,μ =-4,ν =-5
D.λ =2,μ =10,ν =7
【解析】选D.因为点A(2,3-μ,-1+ν)关于x轴的对称点是横坐
标不变,纵坐标与竖坐标变为原来的相反数,即为(2,μ-3,1-
ν),所以有λ=2,μ-3=7,1-ν=-6,即λ=2,μ=10,ν=7.
③坐标向量:e1,e2,e3叫坐标向量; ④画法:一般使用∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°; ⑤点的坐标:p=xe1+ye2+ze3则p=(x,y,z),x,y,z分别叫横坐标、 纵坐标、竖坐标.
【微思考】
(1)在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么?
3.1.4空间向量的直角坐标运算
七、 当堂训练（ 8 分钟）
15
OA与BO的夹角
5. 已知 a (3, 2,5), b (1, 3,0), c (7, 2,1) ，求 2 | a b c | (4) cos a, b (1) a b c （2）(a b) c （3）
三、学习目标：(10s)
1. 掌握向量的坐标表示、坐标运算。 2．掌握平行向量、垂直向量坐标之间的关系。 3．掌握两个向量夹角与向量长度的坐标计算 公式。 4.体会类比思想在空间向量公式推导当中的 应用。
四、自学指导:（7分钟）
认真阅读课本P89-P91，并注意以下问题：
1.空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系 的方法以及如何用坐标表示向量的加减、数乘、 数量积？ 2.空间向量平行和垂直的条件是什么？ 3.怎样表达两个向量的夹角？ 4.向量长度的坐标计算公式是什么？ （限时7分钟，7分钟后进行检测，看谁能利用本节 知识做对检测题）
3.空间向量平行和垂直的条件
若 a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 )
a // b (b 0)
当b 与三个坐标平面都不平 行时
a1 a 2 a3 b1 b2 b3
b1 a ___ 1 a b ( R) b2 a2 ___ a ___ 3 b
则 a
a a a
2 1 2 2
————————
Cos a, b
AB
2 2 2 a12 a 2 a3 b12 b2 b32 若 A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 ) 则
a b ———————— = ab
空间向量的直角坐标运算
解析：∵a∥b，∴a＝kb，即λ＋1＝6k， 0＝k(2μ－1)，2λ＝2k， 1 1 1 解得λ＝ ，k＝ ，μ＝ . 5 5 2
答案：A 返回
4．已知空间三点 A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0， 4)，设 a＝ AB ，b＝ AC .若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相 垂直，求 k 的值．
返回
[例3]
如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底
面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1， ∠BCA＝90° ，棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求 BA1 与 B1C 夹角的余弦值．
[思路点拨]
先建立空间直角坐标系，写出各向量
的坐标，再利用向量方法进行求解．
第 三 章
3.1
3.1. 4
理解教材新知
空 间 向 量 与 立 体 几 何
考点一 空间 向量 的直 角坐 标运 算 把握热 点考向 考点二 考点三 应用创新演练
返回
3．1.4
空间向量的直角坐标运算
返回
返回
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员 紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2， F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N， |F3 |＝2 000 3 N.
a· b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ． (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB ＝ OB － OA ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)， 也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的 终点的坐标减去起点的坐标． 返回
a (1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝ a· ＝ 2 a2＋a2＋a2 ， 1 3
3.1.4空间向量的直角坐标运算(2)
3．1．4 空间向量的直角坐标运算(2)一、学习目标掌握空间向量数量积的坐标运算法则，掌握空间向量的模、夹角等数量的计算． 二、知识梳理选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．已知向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°2．设A ＝(3，3，1)、B ＝(1，0，5)、C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离||＝( )A ．453B ．453 C ．253 D ．213 3．已知a (2，－1，3)，b (－4，2，x )，若a 与b 夹角是钝角，则x 取值范围是( ) A ．)310,(-∞且x ≠－6 B ．(－∞，2) C ．),310(+∞D ．)310,(--∞ 4．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QB QA ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A ．)31,43,21( B ．)43,32,21(C ．)38,34,34(D ．)37,34,34((二)填空题5．设点A (2，－1，3)是点P 关于坐标平面yoz 的对称点，则OP 的坐标是____________． 6．已知a ＝(2，－3，0)，b )3,0,(k =，若a 与b 成120°的角，则k ＝______． 7．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则a 在b 方向上的投影是______．8．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，||b ＝12，则>=<c b ,______. 9．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，当||B A 取最小值时，x 的值等于______． (三)解答题10．如图，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，3=AB ，BC ＝1，P A ＝2，求直线AC 与PB 所成角的余弦值．11．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求><11,cos CB BA 的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M ．12．已知空间几何体P －ABCD 的底面ABCD 是一个直角梯形，其中∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角．(1)若8=⋅，求该几何体的体积；(2)若AE 垂直PD 于E ，证明：BE ⊥PD ；(3)在条件(2)之下，PB 上是否存在点F ，使得EF ∥BD ，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．三、自我评价参考答案3．1．4 空间向量的直角坐标运算(2)1．C 2．C 3．A 4．C 提示：设出Q 点的坐标，对数量积的结果配方即可． 5．(－2，－1，3) 6．39- 7．722 8．120°提示：⋅+=⋅+⋅=-=⋅+8210)2(,所以18·-=b c 再利用夹角公式算得其余弦值为21-． 9．78提示：=(1－x ，2x －3，3－3x )， =||AB 222)33()32()1(x x x -+-+-1932142+-=x x ．10、如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (3，0，0)，C (3，1，0)，D (0，1，0)，P (0，0，2)=(3,1,0)，＝(3，0，－2)1473723||||===PB AC PB AC ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473．11、如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz (1)由题得B (0，1，0)，N (1，0，1)3)01()10()01(||222=-+-+-=∴．(2)由题得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)B 1(0，1，2)． ∴)2,1,0(),2,1,1(11=-=CB ∴5||,6||,31111===⋅CB BA CB BA∴1030||||,cos 111111=>=<CB BA CB BA CB BA ． (3)由题得C 1(0，0，2)，M )2,21,21(，∴)0,21,21(),2,1,1(11=--=C A ．∴011=⋅C A ．∴M C B A M C B A 1111.⊥∴⊥．12、如图，建立空间直角坐标系，则各点的坐标为：A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (a ，a ，0)，D (0，2a ，0)，P (0，0，a 332) (1)＝(0，a ，0)，)332,2,0(a a -=∴2.822=∴==⋅a a ．此时3383342)24(2131=⨯⨯+⨯⨯=V ．(2)由三角函数知识可得)23,2,0(a a E ．)23,2,()0,0,()23,2,0(a a a a a a -=-=∴．220)23,2,()332,2,0(a a a a a a a BE PD -+=-⋅-=⋅ ＝0． ∴⊥．∴BE ⊥PD ．(3)由EF ∥BD ，E 点的竖坐标为a 23，∴F 点的竖坐标为a 23．∴设F (x ，0，a 23)，由FE ∥，得x ＝4a．∴存在)23,0,4(a a F。
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3.1.4空间向量的直角坐标运算（课前预习案）
班级：___
姓名：______
一、新知导学
1、空间向量的直角坐标运算律：
（1）若123(,,)a a a a =，(,,)123b b b b =，则
a b += ， a b -= ，
a λ= ， a
b ⋅= ，
//a b ⇔ a b ⊥⇔ ． （2）若(,,)111A x y z ，222(,,)B x y z ，则AB = ．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的______的坐标减去_________的坐标 2、模长公式：
若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则||a a a =
⋅= ，||b b b =⋅= ．
3、夹角公式：2cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅==
⋅+
4、两点间的距离公式：
若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2
||(AB AB x ==，
或,A B d =
;,,i j k ⎤⎣，求下列向量的坐标：）346a i j k =+- （）2
323
b i j k =--+
若(2,1,3),(5,3,2)a b =-=-，则a +b =____________,32a b -=___________, a b ⋅=_____，(2)(3)a b a b +⋅-=______________1）(0,0,4),(0,0,7) （2）（（3，4，0），（0，0，6） （2）（-2，1，，-5，7）
已知(1,1,1),(1,0,1)a b =--=-，则______,a =,a b <>=____________3.1.4 空间向量的直角坐标运算（课堂探究案）一、空间向量的直角坐标 向量(,,a a a a =二、向量的坐标运算 已知(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)a b c ===，,2p a b q a b c =-=+-，求： ,p q ，p q ⋅。
学案 跟踪练习：已知向量(2,3,1),(2,0,3),(0,0,2)a b c =-==，
）()a b c ⋅+（2）(6)(6)a b a b +⋅- 三、向量的平行与垂直问题 已知向量(2,2,0),(2,0,2)a b =-=-，求向量n 使,n a ⊥且n b ⊥。
跟踪练习：已知向量(,2,5)a x =-和(1,,3)b y =-四、向量的夹角与长度问题 ,AB AC ； ）AC 在AB 上正投影的数量。
跟踪练习：已知,a b ，求,a b ：（1）(1,2,0),(2,0,5)a b ==； ）(3,4,5),(2,1,0)a b ==-。
当堂检测
人教B 选修2-1学案 汗水点燃希望，信念成就梦想！
组】
若(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，如果a 与b 为共线向量，则（2 C.x =6，y =－2向量a =（1，1，，b =（－1，0k a ＋b 与2a －b 垂直，则A.1
B.
5
5
D.
5。