第一章线性空间与线性变换

W x 11 22 L ss 1, 2,L , s R
记作 span(1,2,L ,s ) 或 L(1,2,L ,s ).
数学系 李继根（jgli@）
例12 对任意 A F m n ， N ( A) 是 F n 的子空间； R( A) 是 F m 的子空间。
“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。
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§1、线性空间
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向 量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。 线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多 项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉 的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
例4 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，
构成线性空间
。l
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例5 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 F 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 的A核空间或零空间，即
定义2 设 U是线性空间 V 的非空子集。如果 U 在 V 中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则 称 U 是 V 的（线性）子空间。
例9 集合 T1 {x x [x1, x2, 0]T , x1, x2 R} 是 一个向量空间。它是 R3 在 ox1 x2 平面上的投影子
空间。
例10 R3 中过原点的直线是R3 的一个子空间。
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例11 已知 V 是数域 F 上的线性空间，、 V ，
则集合 W x , F
是 V 的一个子空间。称为由向量 、 所生成的子 空间，记为 span(, ) 或 L(, )
一般地，由线性空间 V 中的向量组 1,L ,s 所
生成的线性空间
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§2、基、坐标及坐标变换
线性代数中关于向量的线性组合、线性 表示、线性相关、线性无关、基、坐标 等的定义和结论都可以推广到一般线性 空间，因此相应的许多结论在一般的线 性空间中也是成立的。尤其是坐标，将 一般线性空间的问题转化成向量空间的 问题，是一个十分有力的工具。
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一、线性空间(Linear Space)的概念
定义1 如果非空集合 V 对于加法及数乘两种运算 封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那
么就称集合 V 为数域 F 上的线性空间或向量空间：
(1)
、、 V
(2) ( ) ( )
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定理2（子空间判别法）数域 F 上的线性空间 V
的非空子集 U 是 V 的子空间的充要条件是 U 对 V 中的两种运算封闭，即 (i) 对任意的 α, β Î U ，有 α + β ? U (ii) 对任意的 k 挝F, α U ，有 kα Î U
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第一章 线性空间与线性变换
数学系 李继根（jgli@）
本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的
来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系 中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。
“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化， 并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显 现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。
R( A) { y F m | y Ax, x F n, A F mn学系 李继根（jgli@）
例7 集合 V {x x [x1, x2,1]T , x1, x2 R} 不是
一个线性空间。因为加法不封闭。
例8 线性非齐次方程组 Ax b 的解集
N ( A) { x F n | Ax , A F mn}
Ker( A)
F R or F C
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例6 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 F 上的 线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
(1) 线性空间V 中的零向量 是唯一的。
(2) 线性空间V 中的每个向量0 的负向量 是唯一的。 (3) 0 , k
(4) 当 k 时，有 k 0 或 (5) 当 时，有
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三、线性子空间(Subspace)
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例1 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 R[ x]n
例2 闭区间 [a,b] 上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例3 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
V { F n | C11 L Cnrnr , A F mn}
不构成线性空间，这里 1,L ,nr 是对应齐次方程
组 Ax 的一个基础解系， 为 Ax b 的一
个特解。
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二、线性空间的基本性质
定理1 如果 V 是数域 F 上的线性空间，则
(3) 存在零向量 V ，使得
(4) 存在负向量 V ，使得 ( )
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(5) k(l ) (kl) (6) 1 (7) k( ) k k
(8) (k l) k l
k、l F
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，也 不关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形 式。