2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题(2)
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（２）１．时至父亲节，某大学校园“文苑”专栏登出了一位同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示父子同时离家后的时间，那么下面与上述诗意大致相吻合的图象是（）２．如图2，小明和小亮玩一种“机器人迈步游戏”，某一个机器人在图中的1号位置上，按顺时针方向，第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步又跳到了1号位置上，第四次跳四步……一直进行下去，那么如果第2006次跳2006步，所跳到的位置号是()A．2 B．4 C．5 D．6３．某市进行青年歌手大奖赛预赛，评委给每位选手打分时，最高分不超过10分，所有评委的评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分后的平均分即为选手的最后得分．李华的最后得分为9.68分，若只去掉一个最低分，李华的得分为9.72分，若只去掉一个最高分，李华的得分为9.66分，那么可以算出这次比赛的评委有()A．9名B．10名C．11名D．12名４．卡车司机小张开车在高速公路上以100km/h的速度行驶，听到车后有另一汽车的喇叭声，他即刻从反射镜中看到他车后约40米处有一辆轿车疾驰而来，他让开快车道，轿车很快赶上并超越了小张的卡车．若从小张的反射镜中看到轿车到轿车和卡车并行时经过了7秒钟，设轿车的速度为x km/h，那么，它应当满足方程．５．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些；这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为（填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是．６．在一张长26cm，宽19cm的绘图纸上按1∶100的比例尺绘制出某一池塘的图形（不规则）．现将这张图纸复印数张，称得总质量为20g，再将称过质量的这些图纸沿池塘边缘剪掉多余部分后，称得质量为13g．那么根据这些数据，我们可以算出池塘的实际面积为（假设复印纸与图纸材料相同，结果精确到0.1）．７．某水库正常情况下，每天流入一定量的河水，可供城市用水80天，今年因天气干旱流入量减少20%，每天按原供水量只能用60天，如果仍计划用80天，每天供水量需要减少＿＿＿（填百分比）；当库存水量剩一半时，由于雨季到来流入量比正常时增加了20%，若仍按天旱时的供水量供水还可供水＿＿＿＿＿＿天．８．实践探究：八年级（7）班为了从张帆、杨君两位同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，请数学、语文、政治、历史、英语科目的五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示： 表1 演讲答辩得分表（单位：分）表2规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定： 民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分 综合得分=演讲答辩得分×（1a -）+民主测评得分 (0.50.8)a a ⨯≤≤（1）当0.6a =时，张帆的综合得分是多少？（2）a 在什么范围内，张帆的综合得分高？a 在什么范围内，杨君的综合得分高？。
2017年温州市摇篮杯数学竞赛 高一数学试卷
浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2017.4本试题卷分填空题和解答题两部分。
全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟第1卷填空题（共80分）一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分）1.设集合，满足，则实数的取值范围是___________.2.设点是的外心，则为______________。
3.函数的值域为_________________。
4.已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值是________5.已知函数满足,且方程有5个不同的实根,则______________。
6.已知当时，函数取最大值，则函数图像的对称轴为_____________。
7. 的值等于___________。
8.设表示不超过的最大整数，为实数，且.则_______。
9.已知平面向量，满足，且，则的最小值为_____________。
10.设函数的两个零点分别为，且在区间上恰好有两个整数，则实数的取值范围_____。
第2卷（解答题，共120分）二、解答题（本大题共5个小题，前三个小题每题20分，后两个小题每题30分，共120分）11.已知实数满足关系式（1）令，求得表达式；（2）在（1）的条件下，若时，，求和的值。
12.已知，函数的最大值是。
（1）求得值及函数的单调减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围。
13.定义在实数集上的函数满足：，且。
（1）求；（2）若方程在区间上有个根，求得最小值。
14.已知非零向量，。
（1）若，且为单位向量，求的最大值；（2）若对任意单位向量，均有，求的取值范围。
15.已知函数，记。
（1）求的最小值，并求实数的值；（2）在（1）的条件下，请问函数在上是否都有定义，并求出它在有定义部分的值域。
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =，则集合B 不可能．．．是（ ）A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于（ ）A 、3aB 、334a a -C 、334a a +D 、2-3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 的值等于（ ） A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则100a 等于（ ） A 、114B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下：最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（ ） A 、x y b a =∙B 、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ，不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立D 、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A 、2()f x x = B 、()1sin f x x =+ C 、()ln 26f x x x =+- D、())f x x =8、已知点O 是ABC ∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （ ）A 、点O 在ABC ∆外；B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
高中数学联赛一试试题及答案(word版)
2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ）A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ）A. 8152B. 8159C. 8160D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(解答)
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（解答）本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1．已知集合{,,()},,,M a b a b a R b R =-+∈∈，集合{1,0,1}P =-，映射:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则以,a b 为坐标的点组成的集合S 有元素（ C ）个 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【分析】显然M P =，∴111001,,,,,001111a a a a a a b b b b b b ==-====-⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨===-==-=⎩⎩⎩⎩⎩⎩有6组解，S 有6个元素，选C 。
2．设D 为△ABC 的边A B 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足,25A P A DBC =+，则APD ABCS S =△△ （ C ）A. 35B.25C.15 D.310【分析】如图25D P B E B C == ∴25A D BC AD D P A P +=+=四边形DPEB 为平行四边形，1sin 1215sin 2APD ABCAD D P ABCS S AB BC AD P⨯⨯∠==⨯⨯∠△△，选C 。
3．在点O 处测得远处质点P 作匀速直线运动，开始位置在A 点，一分钟后到达B 点，再过一分钟到达C 点，测得0090,30AO B BO C ∠=∠=，则tan O A B ∠= （ B ）A ．32B ．2C 3D ．23【分析】如图延长OB 到D ，使得BD=OB ，则四边形OADC 为平行四边形E P DCBA∴090ODC AOB ∠=∠=，又030BOC ∠=，则1222O B O D D C O A ===，tan 2O B O AB O A∠==B 。
4．已知当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图象的一条对称轴为 （ A ） A ．3x π=-B ．3x π=C ．6x π=-D ．6x π=【分析】∵当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，∴122+=解得：a =∴sin cos 2sin()6y a x x x π=-=-，∴3x π=-是它的一条对称轴，选A 。
高一数学竞赛题
高一数学竞赛试题一、 选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共50分） 1．已知集合{}{}23,log 4,,x M N x y ==，且{}2MN =，函数:f M N →满足：对任意的(),x M x f x ∈+都有为奇数，满足条件的函数的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．42．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是A. 1B. 2C. 3D. 43、已知函数f(x)=2x+a,221()(3),[()]1,4g x x g f x x x =+=++若则实数a= A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、已知(3)(1)()log (1)a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩ 是∞∞（-,+)上的增函数，那么实数a 的取值范围是A 、 1+∞（，）B 、 ∞(-,3)C 、 3[32，） D 、（1，3） 5、若函数234y x x =--的定义域为[0，m],值域为[—25,4],4-则m 的取值范围是333,3]222A B C D ∞、（0，4） 、[,4] 、(,+) 、[6、函数212y log (32)x x =-+的递增区间为3,)2A ∞∞∞、（-,1) B 、(-,3) C 、(- D 、3+2∞（，）7、若方程2210(0,1ax x x a --=∈在）内恰有一解，则实数的取值范围是A 、∞（-,-1)B 、1+∞（，）C 、（—1，1）D 、[0,1] 8、已知0<a<b<1,则,,,a b a b a a b b 中的大小关系正确的是 A 、a b a b a a b b >>> B 、a b a b b b a a >>>C 、a a b b a b b a <<<D 、b b a a a b b a <<<9、已知0<a<1,则方程|||log |x a a x =的实根个数是A 、1B 、2C 、3D 、410、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠，某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款 A 、413.7元 B 、513.7元 C 、546.6元 D 、548.7元 二、填空题（每小题5分，共25分）11已知二次函数2()23f x x x =-+ [1,2]x ∈-则当时()f x 的值域为___________ 12、已知函数log [,2]a y x x a a =∈当的最大值是最小值的3倍，则a 的值为___________。
历年温州市摇篮杯数学竞赛
温州市摇篮杯数学竞赛训练题2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1、设Ａ到Ｂ的映射f ：x →y=(x －1)2,若集合{}2,1,0=A ，则集合B 不可能．．．是（ ） A 、{}1,0 B 、{}2,1,0 C 、{}2,1,0- D 、{}1,1,0-2、若命题Ｐ：4)21(1<-x ；Ｑ：04log )1(<-x ，则命题⌝Ｐ是⌝Ｑ成立的（ ）条件Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设a =-)2sin(π，则)22tan(-π的值为（ ）A 、21a a- B 、21aa-- C 、a a 21- D 、a a 21--4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（ ）A 、1:1 B 、4:π C 、π:4 D 、π:25、设正整数集N *，已知集合{}*∈==Nm m x x A ,3|，{}*∈-==N m m x x B ,13|，{}*∈-==N m m x x C ,23|，若,,B b A a ∈∈C c ∈，则下列结论中可能成立的是（ ）A 、c b a ++=2006B 、abc =2006C 、bc a +=2006D 、)(2006c b a += 6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。
若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J ，Q ，K ；则在“十四进制”中的三位数JQK 化成“二进制”数时应为（ ）位数。
A 、13 B 、12 C 、11 D 、107、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，若)()(x g x xf ≤对于一切R x ∈都成立，则函数)(x g 可以是（ ）A 、x x g sin )(= B 、x x g =)( C 、2)(x x g = D 、x x g =)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n 项11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1和为n S ,则2006200520042S S S +-等于（ ）A 、502501B 、520502C 、502503D 、以上都不对 二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛(4)答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（4）一、选择题1．岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边．有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍．已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍．那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有（）A．1 072辆次、294辆次B．1 174辆次、193辆次C．973辆次、394辆次D．1 173辆次、254辆次2．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（）A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．16分钟3．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8 000，13 200 B．9 000，10 000C．10 000，13 200 D．13 200，15 400二、填空题4．小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级．5．“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助；九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助．则该学校一共有名学生．6．如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm．7．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图4，AOB∠= ，45cm90OB=，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方OA=，15cm向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC=cm．三、解答题8．（本题15分）2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的．也许你会为它骄傲，为它自豪．可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢？如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用．（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图5（2）和图5（3）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）；（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好些？说说你的看法和理由．也为建设节约型社会做出一点贡献！9．（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风（圣帕）于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？卷参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．B2．C （提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为604146015-=，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了．）3．C （提示：由题设可知A 、B 、C 三市派往D 市的运输车的辆数分别是x 、x 、（182x -）辆，派往E 市的运输车的辆数为10x -，10x -，210x -，则总运费200300400(182)800(10)700(10)500(210)W x x x x x x =++-+-+-+-80017 200x =-+．依题意有01001828x x ⎧⎨-⎩≤≤，≤≤，解之，得59x ≤≤，当5x =时，13 200W =最大元，当9x =时，10 000W =最小元．故选C ．）二、填空题（每小题6分，共30分）4．60（提示：设往下走时，人走一步电梯往下走x 级，则有903030903x x +=-，解得1x =，所以电梯的级数为303060+=（级）．）5．224（提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为13 44060224÷=（人）．）6．52（提示：设Rt ABC △的较长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，依题意有3a b -=，1113124ab -=．又由勾股定理得22222()23112121c a b a b ab =+=-+=+=，所以11cm c =，故徽标的外围周长4(112)52(cm)=⨯+=．）7．25（提示：因为BC AC =，所以可设BC x =，则45OC OA AC x =-=-，在Rt BOC △中，根据勾股定理可得：222(45)15x x -+=，解得25x =．即机器人行走的路程为25cm ）．三、解答题（每小题15分，共60分）8．（1）图1和图2即为所作图．（2）图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少．但焊接处和图2中第二种方案一样长．9．解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图3，过点A 作AD BC ⊥于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt ABD △中，因为30240B AB ∠== ，． 11由题可知，距台风中心在(124)25200-⨯=（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到“圣帕”影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作200AE AF ==；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图4） 由勾股定理得，2222200120160DE AE AD =-=-=（千米）．所以2160320EF =⨯=（千米）．又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市3202016÷=（小时）．（3）该城市受台风影响最大风力7.2级．。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案 一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分 （2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分 第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分 由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）． 设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。
浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)新人教A
2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．从n 名男生和2名女生中，任选2人参加英语口语比赛，若2人中至少有1名男生的概率为1415，则n 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B【解析】2222141415n C n C +-=⇒=.2．将向量(3,4)a =r 按向量(1,2)b =r 平移得到向量c r ，则||c =r( ▲ )A．．．5 D．【答案】C【解析】由向量平移的不变性可知(3,4)c =r ，||5c ∴=r.3．对任意0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,下列不等式正确的是( ▲ )A ．()tan cos tan θθ>B ．()tan tan tan θθ>C ．()cos tan cos θθ<D ．()cos tan cos θθ> 【答案】C【解析】取=3πθ，由1cos323ππ=<知A 错误；取tan 2θ=，由tan 202<<知B 错误；取=4πθ，由tan144ππ=>知D 错误；由tan 02πθθθ⎛⎫><<⎪⎝⎭知C 正确. 4．在ABC ∆中，(1,2),(34),(2,)A B C k ，，若B ∠为锐角，则实数k 的取值范围是( ▲ ) A ．5k > B ．5k <C ．35k <<D ．335k k <<<或【答案】D【解析】B ∠Q 为锐角，0AB BC ∴⋅<u u u r u u u r且A 、B 、C 三点不共线，解得335k k <<<或.5．已知函数()f x 满足(1)2f =，1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ⋅⋅⋅⋅L 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．6- 【答案】C【解析】1()111()(2),(4)(),1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x ++-+==-∴+=+--Q ()f x ∴的周期4T = 由已知条件，可求得(2)3f =-，1(3)2f =-，1(4)3f =， (1)(2)(3)(4)1f f f f ∴⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅=L ．【另解】由1()(1)1()f x f x f x ++=-(*)x N ∈，联想到两角和的正切公式，设(1)2tan f θ==，则有(2)tan 4f πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(3)tan 2f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 3(4)tan 4f πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1(5)tan f a πθ=+=，…则(1)(2)(3)(4)1f f f f ⋅⋅⋅=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ⋅⋅⋅⋅=L ．6．已知a R ∈，则函数1()421(0)xx f x a x +=+⋅+≥的最小值是 ( ▲ )A ．22a +B ．21a - C ．222(1)1(1)a a a a +≤-⎧⎨->-⎩ D ．21(1)22(1)a a a a ⎧-≤-⎨+>-⎩ 【答案】D【解析】122()421(2)1xx x f x a a a +=+⋅+=+-+，0x ≥Q ，21x ∴≥，∴当1a ≤-时，2min ()1f x a =-，当1a >-时，min ()22f x a =+.7．已知A 为ABC ∆的最小内角，若向量(cos ,1),2sin(),16a A b A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭r r ，则a b ⋅r r 的取值范围是 ( ▲ ) A ．15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．15,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】22sin()cos 1cos cos 16a b A A A A A π⋅=++=++r r1cos 23sin 21sin(2)2262A A A π+=++=++， 55(0,]2(,][2,]36662A A a b ππππ∈∴+∈∴⋅∈r r Q .8．已知函数3()f x x x =+，2()sin (2cos )g x x x =⋅-，则()()f x g x 、的图像的交点个数为 ( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个【答案】A【解析】323()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+ 22(sin )(sin sin 1)0x x x x x x ⇒-+++=223(sin )[(sin )1]0sin 24x x x x x x x ⇒-+++=⇒=0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.【另解】323()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =⇒+=-=+，构造函数3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调递增，从而sin x x =，0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.9．定义1231nkn k xx x x x ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏ ，则891891(1cos 2)sin 2k k k k ==-︒︒∏∏的值为 ( ▲ )A ．1-B ．1C ．89-D ．89【答案】B【解析】898989189111(1cos 2)1cos 2tan 1sin 2sin 2k k k k k k k k k ====-︒-︒==︒=︒︒∏∏∏∏.10．若函数()f x 在定义域内满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，有以下命题：①函数()f x 可以为一次函数； ②函数()f x 的最小正周期一定为6；③若函数()f x 为奇函数且(1)0f =，则在区间[5,5]-上至少有11个零点； ④若R ωϕ∈、且0ω≠，则当且仅当2()3k k Z πωπ=+∈时，函数()cos()f x x ωϕ=+满足已知条件. 其中错误．．的是 ( ▲ ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】由(2)(1)()f x f x f x +=+-，可得(3)(2)(1)()f x f x f x f x +=+-+=-， (6)()f x f x ∴+=，()f x ∴的周期6T =.而一次函数没有周期，从而①错误；若()0f x ≡，则()f x 的周期为任意非零实数，从而②错误；对于③，(0)0,(1)0(2)0(3)0(4)0(5)0f f f f f f ==⇒=⇒=⇒=⇒=， 又()f x 为奇函数，所以()f x 在区间[5,5]-上至少有11个解，从而③正确； 对于④，当2()3k k Z πωπ=-∈时，函数也符合已知条件，从而④错误.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共11．如图执行右面的程序框图，那么输出的s 【答案】99100【解析】111112233499100s =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 1111199122399100100=-+-+⋅⋅⋅+-=12．函数()|sin |cos sin |cos |f x x x x x =⋅+⋅是 ▲ ． 【答案】[1,1]-【解析】由函数()|sin |cos sin |cos f x x x x =⋅+⋅当x 的终边落在第一象限时,有f (x )=sin2x ∈(0,1]； 当x 的终边落在第二象限时,有f (x )=0；当x 的终边落在第三象限时,有f (x )=-sin2x ∈[-1,0)； 当x 的终边落在第四象限时,有f (x )=0；(11题图)3 2 18 8 3 0 7 6 8 0(13题图)当x 的终边落在两个坐标轴上时,有f (x )=0. 综上所述, f (x )的值域是[1,1]-.13．美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的NBA 篮球明星， 下图是他在职业生涯前8场首发得分的茎叶统计图， 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ ． 【答案】25，2234【解析】平均值3828232027262810258x +++++++==，方差2222221(3825)(2825)(2325)(2025)(2725)8s ⎡=-+-+-+-+-⎣ 222223(2625)(2825)(1025)4⎤+-+-+-=⎦. 14．方程444sin 5sin x x+=的解集为 ▲ ．【答案】|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】令4sin [0,1]t x =∈，则2540(1)(4)0t t t t -+=⇒--=，1t ∴=，4sin 1x ∴=，()2x k k Z ππ∴=+∈，∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【另解】444sin 5sin x x +≥Q ，取等条件是2sin 1x =，()2x k k Z ππ∴=+∈， ∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.15．设集合[](){}22124log 24x A x B x x x ⎧⎫=<<=-=⎨⎬⎩⎭和，其中符号[]x 表示不大于x的最大整数，则A B =I ▲ ．【答案】{ 【解析】∵1244x <<，22x ∴-<<，[]x ∴的值可取2,1,0,1--. 当[x ]=2-，则22x =，∴x=； 当[x ]=1-，则23x =，无解；当[x ]=0，则24x =，无解. 当[x ]=1，则25x =，无解；综上{A B =I .16．函数()f x =的最小值为 ▲ ．【答案】1【解析】先求定义域(,){0}-∞+∞U U ，易得()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，从而只需考虑()f x在){0}+∞U 上的最小值，注意到两个根号内的函数在)+∞上都递增，故()f x在)+∞上递增，故min min{(0),1y f f ==．当0x =时取到最小值．17．对于一切实数x ，不等式222cos 2cos 2xxx x θθ⋅-⋅≥-恒成立，则θ的取值范围是 ▲ ． 【答案】2422,33k k k Z πππθπ+≤≤+∈ 【解析】222cos 2cos 2x xx x θθ⋅-⋅≥-恒成立22(cos 1)(2cos 1)xx θθ⇔+≥+恒成立，当cos 1θ=-时，显然符合题意；当cos 1θ≠-时，若0x =，显然成立；当cos 1θ≠-时，若0x ≠，则原命题222cos 1cos 1x x θθ+⇔≥+恒成立，而220x x >，且当x →-∞时，220x x →，2cos 10cos 1θθ+∴≤+，11cos 2θ∴-<≤-，从而11cos 2θ-≤≤-，解得2422,33k k k Z πππθπ+≤≤+∈. 三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分16分）已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为θsin 和3cos ,(,)44ππθθ∈. （Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求sin 1cos 1cos sin θθθθ++-的值. 解：（Ⅰ）sin θQ ，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有：220(1)sin cos (2)21sin cos (3)8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩L L L ， ---------------------4分 由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=---------------------8分（Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-Q ---------------------12分且sin cos )04πθθθ-=->， sin cos 2θθ∴-=，sin 1cos 1sin cos281cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅==+-+-.--------------------16分19．（本题满分17分）设实数19a >，函数()f x =（Ⅰ）当1a =时，判断()f x 的单调性；（Ⅱ）求实数a 的范围，使得对于区间55⎡-⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.（Ⅰ）当1a =时，()f x =，令t ==， 则关于x 的函数t 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，---------------------3分又定义域为(1,1)-，(0,1]t ∴∈，而1y t t=+在(0,1]上单调递减，由复合函数的单调性可知，()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,1)上单调递增；---------------------7分（Ⅱ）令t =1,[,1]3x t ⎡∈∴∈⎢⎣⎦Q ，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1[,1]3上，恒有min max 2y y >.----------10分（1）当1193a <≤时，a y t t =+在1[3上单调递减，在上单调递增，min max 1max{3,1}13y y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >得77a -<<+1193a <≤；.----------12分（2）当113a <<时，a y t t =+在1[3上单调递减，在上单调递增，min max 11max{3,1}333y y a a a ∴==++=+，由min max 2y y >a <<，从而113a <<；.----------14分 （3）当1a ≥时，a y t t =+在1[,1]3上单调递减， min max 11,3,3y a y a ∴=+=+由min max 2y y >得53a <，从而513a ≤<；.----------16分综上，1593a <<..----------17分20．（本题满分18分）函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对于任意的,x y R ∈，(1)()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -+=+--； ②()f x 在区间[0,1]上单调递增. 求（Ⅰ）)0(f ；（Ⅱ）不等式2(1)10f x +-≥的解集.解：（Ⅰ）令0,1x y ==，则(0)2(0)(1)f f f =，所以(0)0f =或1(1)2f =，----------2分令0,0x y ==，则22(1)[(0)][(1)]f f f =+，令12x y ==，则21(1)2[()]2f f =，-------------------------------------------------------4分若1(1)2f =，则1(0)2f =±，11()22f =±，因为()f x 在[0,1]上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<，矛盾！因此(0)0f =，-----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）2(1)[(1)]f f =，(1)1f =.令0y =，则(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f x f f x +=+-=-，所以()f x 的图像关于直线1x =对称.---------------------------------------------8分再证()f x 的图像关于原点对称.令12x =，32y =，所以1311(0)()()()()2222f f f f f =+-，因为1()(0)02f f >=，所以131()()()222f f f -=-=-，令2y =，有(1)()(2)(1)(1)f x f x f f x f -=+--， 对上式令12x =，则11()()(1)22f f f -=-，所以(1)1f -=-.----------------------10分又因为(2)(0)0f f ==，所以对任意的x R ∈，恒有(1)(1)f x f x -=--， 所以()f x 的图像关于原点对称. ----------------------12分所以对于任意x R ∈，()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-， 从而()f x 的最小正周期为4.----------------------14分这样可以大致描述()f x 的图像（如右）令12,33x y ==，212()2()()333f f f =， 因为2()(0)03f f >=，所以11()32f =，所以51()32f =.----------------------16分由2(1)10f x +-≥，可得1(1)2f x +≥. 根据图像，可知1541433k x k +≤+≤+，k Z ∈， 所以不等式的解集是22{|44,}33x k x k k Z -≤≤+∈.----------------------18分。
2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题与答案
第7题图第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有12022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题个正确答案．） 1．设集合N ==+∈A x x n n 21,}{，N ==+∈B x x n n 41,}{，则=B A（ ▲ ）A ．N =+∈x x n n 41,}{B ．N =+∈x x n n 42,}{C ．N =+∈x x n n 43,}{D ．∅2．已知复数=-+z 22i 13（其中i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则下列说法错误．．的是（ ▲ ） A ．=z z 2B ．=z z ()2C ．=z 13D ．=-z ()133．C 地发生地震时，相距d km 的A B ,两地都能感受到，已知C 地位于A 地的正东方向上，C 地位于B 地的东偏南30方向上，且C 地距离A B ,两地分别为100km 和200km ，则d 的值是（ ▲ ） A ．-100523B ．1003C ．1007D ．+1005234．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i 个盒子中取出的卡片的号码为=x i i (1,2,3)，则++x x x 123为奇数的概率是（ ▲ ）A ．10529B ．10553C ．10557D ．215．设=⨯a 2021202020222，=⨯b 2022202120232，=⨯c 2023202220242，则（ ▲ ） A ．<<a b c B ．<<a c b C ．<<c a b D ．<<c b a6．已知p x y +>:0，q x x y y +++++>:lg(1)lg(1)022，则p 是q 的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知矩形ABCD 中，AB =2,AD =4．E ,F 分别在边AD ,BC 上,且AE =1,BF =3．如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成EFB A 11，在翻折过程中，二面角--CD E B 1的大小为θ，则θtan 的最大值是（ ▲ ）A ．532B ．533C ．432D ．4338．已知点P 是边长为1的正五边形ABCDE 内(含边界)一点，则PA PB PC PD PE ++++的最大值是（ ▲ ） A ．2cos 361B ．2sin 361C ．2cos 365D ．2sin 365二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷无答案
2021年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷一.填空题：本大题共10小题，每题8分，共80分.1.集合{}9,7,5,3,1=A ,{}8,6,4,2=B ，假设}{B b A a b a C ∈∈+=,，那么集合C 的所有元素之和为________.2.在ABC ∆中，2,31sin ==AB A ,那么CB CA ⋅的最小值为________. 3.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()1(-=-⋅+x f x f ，又当50<≤x 时，)7(log )(2x x f -=，那么)2018(f 的值为________.4.假设13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，那么=x ________.5.函数),2))((()(),()(),()(*11N n n x f f x f x f x f R a a x x f n n ∈≥==∈+=-，假设x x f -)(2018没有零点，那么a 的取值范围是________.6.假设对任意[]1,1-∈x ，恒有),,(22R c b a c b ax x ∈≤++成立，那么当c 获得最小值时，函数)(32)(R x c x b x a x x f ∈-+-+-=的最小值为________.7.用[]x 表示不大于x 的最大整数，方程[][][]x x x x 3015106=++的最小正解为________.8.函数)1sin(sin )(++=x x x f 的值域为________.9.平面向量2==，且2=⋅OB OA ，假设[]1,0∈t ，那么t AB t 1(--+-的最小值为________. 10.函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是整数，假设)(x f 在)1,0(上有两个不相等的零点，那么b 的最大值为________.二.解答题：本大题共5小题，共120分.11.函数bxx x f a --=11log )(是奇函数)1,0(≠>a a 〔1〕求b 的值及函数)(x f 的定义域；〔2〕是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为[]n m ,，值域为[]m n a a log 1,log 1++？假设存在，求出实数a 的取值范围；假设不存在，说明理由.12.设函数)0(cos cos sin 3)(2>+=ωωωωx x x x f 且)(x f y =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的间隔 为4π. 〔1〕求ω的值及函数)(x f 的单调增区间；〔2〕假设65)(=αf ，求)467sin(απ-的值. 13.定义在R 上的函数)(x f y =满足：对任意的R y x ∈,，均有x y f y x f y x f cos )(2)()(+-=+，且当)⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，0)(>x f 〔1〕求)0(f 的值；〔2〕解方程)2()3(x f x f =14.向量b a ,满足32,21≤≤≤≤〔1++的取值范围；〔2〕假设43≤≤，求b a ⋅的最大值15.函数b a x x f +-=)(，R b a ∈,〔1〕当a b 2=时，假设)(x f 在区间[]2,1上的最大值为2，务实数a 的取值范围； 〔2〕当1-=b 时，假设存在实数m ，使得关于x 的方程41)(=-m x xf 在[]2,2-上有6个互不一样的解，务实数a 的取值范围.。
温州市摇篮杯数学竞赛试卷
温州市摇篮杯数学竞赛试卷第一部分：选择题1. 小明有5本数学书和3本英语书，他想从这些书中选出2本数学书和1本英语书，问他有多少种选法？A) 20种B) 30种C) 40种D) 50种2. 某学校有800名学生，其中男生占60%。
如果女生人数比男生人数少160人，那么女生有多少人？A) 320人B) 360人C) 400人D) 440人3. 一个三角形的三个内角分别是60°、70°和50°，那么这个三角形的外角之和是多少？A) 70°B) 120°C) 180°D) 360°4. 一只老虎每天走一步，第一天走1米，第二天走2米，第三天走3米，以此类推。
请问第20天老虎一共走了多少米？A) 100米B) 190米C) 200米D) 210米5. 一辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度向B地行驶，另一辆汽车从B地出发，以每小时80公里的速度向A地行驶。
两辆车同时出发，中间相距480公里。
请问两辆车相遇需要多少时间？A) 4小时B) 5小时C) 6小时D) 8小时第二部分：填空题6. 若x^2 + 6x - 7 = 0，求x的值。
（填写一个整数或分数）7. 一个数的百分之40是8，这个数是多少？（填写一个整数）8. 一个长方形的长是宽的2倍，周长是36米，求长和宽的值。
（填写一个整数）9. 一个扇形的半径是4厘米，圆心角的度数是60°，求扇形的面积。
（填写一个带π的数）10. 甲乙两人同时从相距60公里的A、B两地相向而行，甲的速度是乙的2倍，若乙的速度是每小时20公里，求甲的速度。
（填写一个整数）第三部分：解答题11. 请用两个方程式表示以下的问题，并求出解：某数的四倍与三次该数的和等于91，求这个数。
12. 某商店打折出售商品，原价是200元，打7折后卖出，求打折后的价格。
13. 一瓶饮料的容量是500毫升，小明喝了一半后，还剩250毫升，问他喝了多少毫升的饮料？14. 一支铅笔和一支橡皮的总重量是10克，两支铅笔的总重量是5克，那么一支橡皮的重量是多少克？15. 一辆汽车从A地到B地的距离是360公里，如果以每小时60公里的速度行驶，需要多长时间到达？以上就是本次温州市摇篮杯数学竞赛试卷的内容，希望大家认真思考，仔细解答每一道题目。
2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及标准答案
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2００7年4月１5日）１、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =,则集合B 不可能．．．是 ﻩ（ ） A 、{}|1,x x x R >-∈ Ｂ、{}|1,x x x R <-∈ C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 ２、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于ﻩﻩ ( ）A 、3aB 、334a a -ﻩC 、334a a +D 、2-３、已知c b a ,,均为正数，且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 的值等于 ﻩ( )A 、1B 、2Ｃ、3ﻩD 、44、将正整数中所有被7整除的数删去,剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则100a 等于ﻩﻩﻩ（ ） Ａ、114ﻩB 、1１5C 、１１６D 、117５、今有一组实验数据如下:最能近似地表达这些数据规律的函数模型是 ﻩ( ） A 、x y b a =•ﻩＢ、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+ﻩﻩD 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++,若方程()f x x =无实根，则ﻩﻩ（ ) A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立 Ｂ、对一切实数x ,不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ,使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 Ｄ、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 7、某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是ﻩﻩ( ) A 、2()f x x =B 、()1sin f x x =+C 、()ln 26f x x x =+-D 、2()lg(1)f x x x =+8、已知点O 是ABC ∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （ ）A 、点O 在ABC ∆外;B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，AB R=，则集合B 不可能．．．是（ ）A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于（ ）A 、3aB 、334a a - C 、334a a + D 、221a --3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a z y x ,则abc 的值等于（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}na ，则100a 等于（ ） A 、114 B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下：x 0 1 2 3 4 y15312最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（ ）A 、xy b a =•B 、21y bxax =++C 、2()y x x a b=-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x xbx c=++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ，不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （）A 、点O 在ABC ∆外；B 、::6:3:2AOBBOC COA SS S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
9、函数()cos cos()2f x x x π=++的最小正周期是 ．10、设12,e e 是两个不共线的向量，若向量12()a e e R λλ=-∈与得分 评卷人向量12(4)b e e λ=--共线且方向相同，则λ=．11、已知,a b 满足约束条件：2122a b a b b a⎧-≥-⎪+≤⎨⎪≥⎩，则a b +的最大值等于 ．12、已知函数()()11,021,0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩，则13()5f 21()5f （填“>”或“<”）.13、现有1000个苹果，分别装到10个箱子里，要求可随意拿到任何数目的苹果但不拆箱，是否可行？若行，每个箱子放的苹果数分别是多少？若不行，请说明理由； 答：．14、记{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩设221max ,x y t xy ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，其中,x y R +∈，则t 的最小值为 ．三、解答题：本大题共3小题，共54分。
15、（本题满分16分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 为ABC∆的重心，且满足AB CG BC AG=．（1）证明：222,,a b c 成等差数列； （2）求函数223sin 23y B B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值．16、（本题满分18分）已知函数()af x x a x=+-， （1）若方程()0f x =有正根，求实数a得分 评卷人得分 评卷人的取值范围；（2）设()|()|，且()g x在区间[0,1]上是减函数，求g x xf x实数a的取值范围．17、（本题满分20分）已知斐波那契数列{}nF 满足：11F =，21F =，()21*n n n FF F n N ++=+∈，若数列{}1n n FF λ++是等比数列（λ为实常数）．（1）求出所有λ的值，并求数列{}nF 的通项公式；（2）求证:12200711172F F F +++<2007年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，共48分）题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８答案BBACCADD二、填空题（每小题8分，共48分）9、2π 10、2- 11、5312、＜ 13、行，各个箱子放的苹果数依次为1,2,4,8,16,32,64,128,256,489 14、2三、解答题（共5４分）15、（1）证明：由已知得11()()()()33CB CA CB CA AC AB AC AB -⋅+=-⋅+ 2222||||||AC BC AB ∴=+---------------------------------------------------------7分；即222,,a b c 成等差数列； -------------------------8分；（2）、由（1）得2222ba c =+，()22222112cos 222a c a cb B ac ac ++-∴==≥03B π∴<≤，----------------------------------------------------------------------12分；1333sin 2sin(2)323y B B B B π=-++=-又因为,3B yπ∴=当的最大值为332-----------------------------------------------16分。
16、解：（1）方程0a x a x +-=有正根⇔方程2xax a -+=有正根．-----------2分 24a a ∆=-①当∆=，即a =或4a =时，经检验4a =符合题意．------------------- 4分②当0∆>，即4a >或0a <时，设方程2xax a -+=的两个根为1x 、2x ，4a >时，使得1212x x x x +>⎧⎨>⎩成立，所以4a >符合题意a <时，使得12x x< 成立，所以0a <符合题意．综上，4a ≥或a <-------------------------------------------------- 9分（2）22()|()|24a a g x x a =-+-①当24a a -≥即04a ≤≤时，()g x 在区间(,]2a -∞上是减函数，又已知()g x 在区间[0,1]上是减函数，12a∴≥即2a ≥，24a ∴≤≤--------------------------------------------------12分②当24a a -<即40a a ><或时，设方程()0g x =的两根为12,x x 且12x x <，此时()g x在区间1(,]x -∞或区间2[,]2a x 上是减函数，若[0,1]⊂1(,]x -∞，则11121(1)0a x f ⎧>⎪≥⇔⎨⎪>⎩得2a >4a ∴>-------------------------------------------------15分 若[0,1]⊂2[,]2ax ，则2021a x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩021(1)0af ⎧≤⎪⇔⎨⎪≤⎩此时a 不存在综上，2a ≥--------------------------------------------------18分17、（1）解：设211()(0)n n n n F F q F F q λλ++++=+≠ 则21()n n nFq F q F λλ++=-+又因为21n n nFF F ++=+11q q λλ-=⎧∴⎨=⎩ 解得15151515q q λλ⎧⎧-+--==⎪⎪⎪⎪⎨⎨+-⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或---------------------------------------3分；111515n n n n F F ++⎧⎫⎧⎫-+--⎪⎪⎪⎪∴+⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭数列和都是等比数列111515(1515(nn n nn n F F ++⎧-++=⎪⎪∴⎨---⎪=⎪⎩两式相减得，1515[()(]5n nn F +-=-----------------------------------------8分； （2）证： 显然0nF>，211n n n n FF F F +++∴=+>，}{nF ∴为递增数列．21n n n n nF F F F F ++∴=+>+，即22n nF F +>------------------------------------------12分；22210011001759752007200520035225,2225,,22225F F F F F F F F F ∴>=⨯>>=⨯>>>>=⨯222100010008610862006200420026228,2228,,22228F F F F F F F F F ∴>=⨯>>=⨯>>>>=⨯------------------------------------------16分；21001212200710011000100011111111111111()(235825252528281111[1()][1()]15111115111112222)1128235858235858112255972602F F F ∴+++<+++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯--++=++++⨯+⨯<+++++⨯--=+<12200711172F F F ∴+++<--------------------------------------------------20分；。