上海市闵行区2016年高三数学一模(含答案)

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上海市闵行区届高考数学一模试卷(文科)(解析版)

２01６年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科）一、填空题（本大题满分５６分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得４分,否则一律得零分．１．若复数z满足（ｉ为虚数单位），则｜z| ．A=.2.若全集U＝Ｒ，函数的值域为集合A，则∁Ｕ3.方程4x﹣2x﹣６=0的解为．4.函数的最小正周期t＝．5．不等式的解集是．６.已知圆锥的底面半径为３,体积是12π,则圆锥侧面积等于．7.已知△ABC中，，,其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．８.在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9.若Ｓ是等差数列{a n}的前ｎ项和，且，则=．ｎ１０．若函数f(x）=2|ｘ﹣1|且ｆ(x）在［m,＋∞）上单调递增,则实数m的最小值等于．1１.若点P、Q均在椭圆（a>1)上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为.12．已知函数,若实数ａ、b、c互不相等,且满足f(ａ）=f(b）＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是.13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a,b，c,d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.1４１59…,若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为.1４.数列{a n｝的前n项和为Sｎ，若对任意n∈Ｎ*,都有,则数列{a２n﹣１}的前n项和为.二、选择题(本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分.１５．若a,ｂ∈Ｒ,且ａb>０，则“a=b”是“等号成立”的（)A．充要条件ﻩB.充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件ﻩD.既非充分又非必要条件1６.设f（x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+ｘ5,则其反函数的解析式为（）A.ﻩB．ﻩＣ．Ｄ.17．△ABＣ的内角A，Ｂ，C的对边分别为a，ｂ,c，满足，则角Ａ的范围是() A.B.ﻩC.ﻩD．1８．函数f（x）的定义域为[﹣1，1],图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[﹣１，2]，图象如图2所示．A=｛x|f（g(x））＝0}，Ｂ={x|ｇ(f(x)）＝0},则Ａ∩B中元素的个数为()A.1ﻩB.2ﻩC.3ﻩD.４三、解答题(本大题满分74分)本大题共有５题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1９．如图,三棱柱ＡＢC ﹣A 1Ｂ1C 1中,侧棱ＡA １⊥底面ＡＢC ，AA １=ＡＢ＝2，BC=1，，D 为棱ＡＡ１中点，证明异面直线B 1Ｃ1与ＣＤ所成角为,并求三棱柱A ＢC ﹣A 1B 1C 1的体积.2０．如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点,．（1)若,，求si ｎ2β的值;(2）证明:ｃos(α﹣β)＝ｃo ｓαc ｏｓβ+sin αsin β.21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路ｌ1、ｌ2，海岸边界M ＰN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切)，如图所示．若曲线段MP Ｎ是函数图象的一段,点M到l 1、l 2的距离分别为8千米和1千米,点N 到l ２的距离为10千米,点P 到l 2的距离为２千米.以ｌ1、l 2分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系ｘＯy. (１）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域;(2)求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度(结果精确到１米)．２２．已知椭圆Γ的中心在坐标原点,且经过点,它的一个焦点与抛物线E:ｙ2=4x 的焦点重合，斜率为ｋ的直线l 交抛物线Ｅ于Ａ、B 两点,交椭圆Γ于Ｃ、Ｄ两点．（１）求椭圆Γ的方程；（２）直线ｌ经过点F(1,0)，设点Ｐ（﹣1,k ）,且△PAB 的面积为,求ｋ的值;(３)若直线l 过点M(0，﹣1),设直线OC,ＯＤ的斜率分别为ｋ１,k ２,且成等差数列，求直线l 的方程．2３．已知数列｛ａn }的各项均为整数,其前n 项和为S ｎ.规定：若数列{a n }满足前r 项依次成公差为１的等差数列,从第ｒ﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{ａn }为“r 关联数列”. (１)若数列{a n }为“6关联数列”，求数列｛a n }的通项公式；（2)在（1)的条件下,求出Ｓn ,并证明:对任意n ∈N *，a n S n ≥a 6S 6;（３）若数列｛a n }为“６关联数列”，当n ≥6时，在a n 与a n+1之间插入n 个数,使这n+2个数组成一个公差为d ｎ的等差数列，求d n ,并探究在数列{ｄn }中是否存在三项d m ,d ｋ，d p （其中m ，ｋ,ｐ成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项;若不存在，说明理由.2016年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分５6分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若复数z满足(i为虚数单位),则|z| 2 ．【考点】复数求模．【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数．【分析】根据复数的四则运算先化简复数,然后计算复数的长度即可【解答】解:∵，∴﹣z=i+1，∴z=﹣1﹣i，∴|z｜==2,故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,比较基础.2．若全集U=R,函数的值域为集合A，则∁U A=（﹣∞,0).【考点】补集及其运算.【专题】计算题.【分析】求出函数的值域确定出A,根据全集U＝R,找出A的补集即可.【解答】解：函数y＝x≥0，得到A=[0,+∞),∵全集U＝Ｒ，∴∁U A=（﹣∞，0).故答案为：(﹣∞,0)【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3.方程４x﹣２x﹣6=0的解为log2３.【考点】指数式与对数式的互化;二次函数的性质.【专题】计算题.【分析】由４ｘ﹣2x﹣６=0,得(2x)2﹣２ｘ﹣6＝０,由此能求出方程４x﹣2ｘ﹣6=０的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=０,得(2x)2﹣2x﹣6=0,解得2ｘ=３，或2x=﹣2(舍去）,∴ｘ=ｌｏｇ3．２故答案为：lｏg2３.【点评】本题考查指数方程的解法,解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化.4.函数的最小正周期t＝π .【考点】二阶行列式的定义；三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；转化思想;综合法；三角函数的求值;矩阵和变换.【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解.【解答】解：函数=ｃoｓ（π﹣ｘ)ｃosｘ﹣ｓin（π+x)ｓinx=﹣cos2x+siｎ2x=﹣cｏs2x，∴函数的最小正周期ｔ＝＝π.故答案为:π.【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．不等式的解集是(0,２) ．【考点】其他不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项、通分，化为等价的不等式，即可求出分式不等式的解集．【解答】解：∵>，∴﹣＞0，通分得＞0,即＜0;等价于２x(x﹣２)<0，解得0＜x＜2.故答案为：(0，2)．【点评】本题考查了分式不等式的解法与应用问题，解题时通常化为等价的不等式进行解答，是基础题．6.已知圆锥的底面半径为3,体积是12π,则圆锥侧面积等于15π.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高,以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积.【解答】解:设圆锥的高为ｈ，底面半径为ｒ，∵圆锥的底面半径为3,体积是1２π，∴，即h＝4,∴圆锥的母线长l＝,∴圆锥的侧面积S=πrｌ＝3×5π＝1５π，故答案为：15π.【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算,要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式.7.已知△ABC中,，，其中是基本单位向量,则△ＡBＣ的面积为．【考点】三角形的面积公式.【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算,求出向量的模长，判断三角形是直角三角形，求出面积即可．【解答】解：根据题意，得:=（4，3）,=（﹣3，4）,∴=﹣=（﹣7,1），∴2=4２＋32=25,2＝（﹣３)２+4２=25,2＝(﹣７）２+12=50;∴｜|2＝|｜2+｜|2,△ABC是直角三角形，它的面积为Ｓ=×5×5=.故答案为:．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算,进行解答,是基础题.8．在20１7年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理６门学科中选择３门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选科方案有10 种．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；方程思想;综合法；排列组合．【分析】分类讨论:选择两门理科学科,一门文科学科;选择三门理科学科，即可得出结论.【解答】解:选择两门理科学科,一门文科学科,有Ｃ32Ｃ3１=9种；选择三门理科学科,有1种，故共有10种.故答案为:１0．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础.9.若Ｓn是等差数列｛a}的前n项和,且,则=５．ｎ【考点】等差数列的前n项和.【专题】方程思想；极限思想；定义法;等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由已知可得的表达式，求极限可得.【解答】解:设等差数列｛a n}的公差为ｄ,则由可得=＋５,解得d=10，故＝＝＝５+，∴=（５＋)＝5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的求和公式,涉及极限的运算,属基础题.1０．若函数f（x）=2|x﹣１|且ｆ（x)在［m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于1．【考点】分段函数的应用；指数函数单调性的应用．【专题】函数的性质及应用.【分析】先将函数解析式化为分段函数的形式,进而求出函数的单调递增区间，结合已知可得答案. 【解答】解：函数f（x）=２|ｘ﹣１|=，则函数ｆ（ｘ)的单调递增区间为[1，+∞），若函数ｆ(x)=2|x﹣1｜且f（x）在［m，+∞）上单调递增,则[m,+∞）⊆[1,＋∞)，即m≥1,即实数m的最小值等于1，故答案为:1.【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,指数函数的图象和性质,复合函数的单调性，单调性的性质,难度中档．11．若点Ｐ、Q均在椭圆（a＞1)上运动,F1、F是椭圆Γ的左、右焦点,则２的最大值为2a.【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的平行四边形法则可得：=2，代入再利用向量的三角形法则、椭圆的性质即可得出．【解答】解：∵=2，∴==２≤２ａ,∴的最大值为２a,故答案为:２a.【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量的平行四边形法则与三角形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．1２.已知函数，若实数a、b、ｃ互不相等,且满足f(a)=f(ｂ）=f(ｃ)，则ａ+ｂ＋c的取值范围是（8，10) .【考点】分段函数的应用．【专题】计算题;函数思想;数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f(ｘ)的函数图象，由三角函数的对称性可知a＋b＝4，由交点个数可得４<ｃ＜６. 【解答】解:作出f（x）的函数图象如图:∵ｆ(a)=ｆ（ｂ)=f（c),不妨设a<b<ｃ,根据余弦函数的对称性可得a＋ｂ=4．且４＜c<6．∴a+b+c＝4＋ｃ．∴8＜a+b+c<10.故答案为（8,１0）．【点评】本题考查了分段函数的函数图象,三角函数的对称性,零点的个数判断,属于基础题．1３．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（ａ,b,c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【考点】归纳推理．【专题】计算题；方程思想;综合法;推理和证明．【分析】利用“调日法”进行计算,即可得出结论．【解答】解:第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π<；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即<π＜,故答案为:【点评】本题考查“调日法”,考查学生的计算能力，比较基础．14．数列{aｎ}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，则数列{a2ｎ﹣1}的前ｎ项和为﹣﹣3+2n .【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列.【分析】，由ａ1=﹣a1++1﹣3,解得a1＝．当n＝2ｋ﹣１≥３，k∈N*时，a2ｋ﹣１＝S2k﹣1﹣S2k﹣３，变形为﹣2＝,利用等比数列的通项公式可得a2k﹣1,再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解:∵，∴a1＝﹣ａ1++1﹣3,解得a1＝．当n=2ｋ﹣1≥３,ｋ∈N ＊时,a 2k ﹣1=Ｓ2k ﹣1﹣S 2ｋ﹣3=﹣a 2k ﹣1++(2k ﹣1)﹣3﹣化为:2ａ2ｋ﹣1=a ２k ﹣3﹣+2．变形为﹣2=，∴数列{﹣2}是等比数列,公比为,首项为﹣２. ∴﹣2＝,∴a 2ｋ﹣1=﹣+2．∴数列｛ａ2n ﹣1}的前n 项和=﹣＋2n=﹣﹣3+2ｎ.故答案为：﹣﹣3＋2ｎ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、选择题(本大题满分20分）本大题共有４题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分. １5.若a,b ∈R ，且ａｂ＞0,则“ａ=b ”是“等号成立”的( ）A.充要条件ﻩB ．充分不必要条件C.必要不充分条件 D .既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】定义法；不等式的解法及应用;简易逻辑.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本的性质进行判断即可．【解答】解:∵a ｂ>０，∴＞0,当a ＝b,则+＝1+1＝2，此时等号成立，＋≥２=2，当且仅当＝，即ａ=b 时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据基本不等式的性质是解决本题的关键.1６．设f(x)=2+5x＋10ｘ2+10x３＋5x4+x5，则其反函数的解析式为( ）A.ﻩB.ﻩC．Ｄ.【考点】反函数.【专题】定义法；函数的性质及应用;二项式定理.【分析】根据二项式定理：（1＋x）５=1+５x+10x2+１０x3+5x４+x5,原函数可写成y=1+(１+x）5,再求其反函数即可.【解答】解：因为ｙ＝f（x）=２+５x+1０x2+１0x３+５x４+x5=１+［1+５x+１0x2+１0x３+5x4＋x５]＝１+（1+ｘ）５，即ｙ=1+（1+ｘ)5，所以,１+x=,因此,x＝﹣1＋，再交换ｘ,y得，y=﹣1+,所以,f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）=﹣１+，x∈Ｒ，故答案为:C.【点评】本题主要考查了反函数及其解法,涉及二项式定理的应用，根式的运算和函数定义域与值域的确定,属于中档题．17.△AＢC的内角A,B，C的对边分别为a,b，ｃ,满足，则角A的范围是() A．Ｂ.ﻩC．ﻩＤ．【考点】余弦定理.【专题】计算题;数形结合;分析法；解三角形.【分析】由已知可得（a﹣b+c)（a+ｂ﹣ｃ)≤ｂｃ,整理可得：ｂ２＋c2﹣a２≥ｂｃ,利用余弦定理可得c ｏsA=≥＝，利用余弦函数的图象和性质即可得解A的范围.【解答】解：∵,又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得ａ+ｃ﹣b>０,a+b﹣c＞0,且b,c＞0,∴（a﹣ｂ+c)(a+b﹣c）≤ｂc，整理可得：b２+c2﹣a２≥ｂc,∴ｃosＡ=≥=,∵A∈（０,）.故选：Ｂ.【点评】本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和数形结合能力，属于中档题．１8．函数ｆ（x)的定义域为［﹣1,１],图象如图1所示;函数g(x）的定义域为［﹣1，2],图象如图2所示．A={x|f(g（x）)=０},B={x|g（ｆ（x))＝０}，则A∩B中元素的个数为（)Ａ.1ﻩB．２ﻩC．３ﻩＤ．4【考点】函数的图象;交集及其运算.【专题】数形结合;定义法；函数的性质及应用;集合.【分析】结合图象，分别求出集合A,B，再根据交集的定义求出A∩B,问题得以解决.【解答】解：由图象可知,若f（g（x）)=0，则g(x）＝０或g（ｘ）=１,由图2知，g(x)=0时，x＝0,或x＝２,g(x）=1时，x＝１或ｘ=﹣1故A={﹣1，０,1,2｝,若g（f（ｘ））=0，由图1知，f（x）=0，或f（ｘ)=2(舍去），当f(ｘ）=0时，x=﹣１或0或１，故B=｛﹣1,0，１}, 所以Ａ∩B={﹣１，0，1}，则A ∩B 中元素的个数为3个. 故选：Ｃ.【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．1９.如图,三棱柱AB Ｃ﹣Ａ1B １C 1中,侧棱ＡA 1⊥底面ABC ，ＡA 1=ＡＢ=2，BC=１,,D 为棱AA 1中点，证明异面直线B 1Ｃ1与CD 所成角为,并求三棱柱ABC ﹣A 1Ｂ1C １的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离．【分析】在△ＡBC 中使用正弦定理得出∠A ＣB=90°，即ＡC ⊥ＢC ，又AA 1⊥平面ＡB Ｃ得A Ａ1⊥ＢC ，故ＢC ⊥平面ACC 1A 1,于是ＢC ⊥CD,由BC ∥Ｂ1C 1得出Ｂ1C 1⊥ＣＤ,利用棱柱的体积公式求出棱柱的体积．【解答】证明:在△ABC 中,由正弦定理得,即,∴s ｉn ∠A ＣB=1,即,∴ＢC ⊥AC ．∵AA １⊥平面A ＢC ，B Ｃ⊂平面ABC ，∴BC ⊥AA 1，又A Ｃ⊂平面ＡCC １A １,ＡＡ１⊂平面AC Ｃ1A 1,AA 1∩A Ｃ=A, ∴ＢC ⊥平面平面ACC 1Ａ1，ＣD ⊂平面ＡCC 1Ａ1， ∴BC ⊥C Ｄ，∵ＢC ∥B 1C 1，∴B1C１⊥CＤ，∴异面直线Ｂ１Ｃ１与CD所成角为.∵AB＝2，BC=1,∠AＣＢ=，∴AＣ=.∴三棱柱AＢＣ﹣A1B1C1的体积Ｖ=S△AＢＣ•AA1=＝.【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱柱的结构特征,棱柱的体积计算,属于中档题.２0.如图,点A、Ｂ分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若,，求sｉn２β的值;(２)证明：cｏｓ(α﹣β)=cosαcosβ+ｓｉnαsinβ．【考点】两角和与差的余弦函数;任意角的三角函数的定义.【专题】转化思想；综合法;三角函数的求值.【分析】(1）由条件利用二倍角公式，诱导公式,求得sin2β的值．(2）由条件利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义,证得公式成立．【解答】解:（1）由,可得cｏs(2α﹣2β）＝２cos2（α﹣β)﹣1＝﹣,∵,∴cos(﹣2β）=﹣，∴sｉｎ2β=.（２）由题意可得，||=|｜=１，且与的夹角为α﹣β，=(cosα,sinα),＝(cosβ，sｉnβ), =cosαcｏsβ＋sinαsinβ=1×１×cos（α﹣β)，∴ｃos(α﹣β)=ｃosαcosβ+ｓiｎαsinβ成立．【点评】本题主要考查二倍角公式，诱导公式的应用，两个向量的数量积的运算,属于中档题．21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l１、ｌ2,海岸边界MＰＮ近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AＢ，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切)，如图所示.若曲线段MPN是函数图象的一段,点Ｍ到l1、l ２的距离分别为8千米和1千米,点N到l2的距离为10千米，点P到l２的距离为2千米．以l1、l２分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOｙ．（1)求曲线段ＭPN的函数关系式，并指出其定义域；（２）求直线AB的方程,并求出公路AB的长度（结果精确到1米）.【考点】根据实际问题选择函数类型;函数解析式的求解及常用方法.【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】(1）由题意得Ｍ(1，8),则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为,可得其定义域；(2）根据直线和曲线相切,利用判别式△=0进行求解即可.【解答】解：（1）由题意得M（1,8),则a=8,故曲线段MPＮ的函数关系式为，又得，所以定义域为［1，10］．（2)由(1）知Ｐ（２,4),设直线方程为y﹣4=ｋ(ｘ﹣２）,联立方程，得ｋｘ2+2(2﹣k)x﹣8=0，由判别式△=0得4(2﹣k）2+3２k＝4(k＋2）２=0，得ｋ=﹣２,即直线AＢ的方程为y=﹣2x+8，当x=0时，y=8,当y=０时，ｘ＝4,即Ａ（０,８），B(4,0)，则AＢ==4≈8９44米．【点评】本题考查函数的应用问题，利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键.22．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点,它的一个焦点与抛物线E：ｙ2=４ｘ的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆Γ于Ｃ、Ｄ两点.(1）求椭圆Γ的方程；(2)直线ｌ经过点F（１,０）,设点P（﹣1，ｋ），且△PAＢ的面积为，求k的值;(3)若直线ｌ过点Ｍ(0,﹣1),设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列,求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想;综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（１）设椭圆方程为=1（a>ｂ＞0)，由椭圆Γ的中心在坐标原点,且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝４ｘ的焦点重合,列出方程组求出ａ,b,由此能求出椭圆Γ的方程. （２）设直线l:y=k（x﹣1）,由，得ｋ2ｘ2﹣2（k2+２）ｘ+k2=０,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出k的值.（3）设直线ｌ：y=kx﹣1，代入椭圆，得（4k2＋3)x2﹣8kx﹣8=０，由此利用M（0，﹣1)在椭圆内部,得l与椭圆恒有两个交点，根据韦达定理、等差数列的性质,结合已知条件能求出直线ｌ的方程. 【解答】解:(1）设椭圆方程为＝1（ａ＞b＞0），由题设,解得a2＝4,ｂ2＝3，∴椭圆Γ的方程为．（2）设直线l：y=k（x﹣1），由,得k2ｘ2﹣2(k２+２)x+k２=0,l与抛物线E有两个交点,k≠0,△=16（k2+1）>0，则|AＢ|=•=,P(﹣1,k）到ｌ的距离d=,又,∴•＝４，即４k2=3ｋ2+3，解得k＝.(3）设直线ｌ：ｙ＝kx﹣1，由,得(4ｋ２＋3)x2﹣８ｋx﹣８＝0,Ｍ（0,﹣１)在椭圆内部，∴l与椭圆恒有两个交点,设C（x１,y1)，Ｄ（ｘ２,ｙ２),则,,由成等差数列,得==＝====，解得ｋ＝,∴直线ｌ的方程为y＝.【点评】本题考查椭圆方程、直线斜率、直线方程的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，等差数列等知识点的合理运用．23.已知数列｛a n}的各项均为整数,其前n项和为Sｎ.规定：若数列{aｎ}满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第ｒ﹣１项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列{aｎ}为“r关联数列”．(1)若数列{a n｝为“6关联数列”，求数列{ａn}的通项公式;（2)在（１）的条件下,求出Ｓn，并证明：对任意n∈N＊，ａn S n≥a6Ｓ6;(3）若数列{ａｎ}为“6关联数列”,当n≥６时,在a n与a n+１之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n,并探究在数列{dｎ}中是否存在三项d m,d k，dｐ（其中ｍ,k,p成等差数列)成等比数列？若存在,求出这样的三项；若不存在,说明理由.【考点】数列的应用；等比数列的通项公式.【专题】综合题;转化思想；综合法；等差数列与等比数列.【分析】（１)若数列｛a n}为“6关联数列”,｛a n}前6项为等差数列，从第５项起为等比数列，可得a６＝a1＋5,a5=a1+4,且=2,解得ａ１,即可求数列｛a n}的通项公式．(2）由(1)得,可见数列｛a nＳn｝的最小项为a6S６＝﹣６，即可证明：对任意n∈N*，ａnＳn≥ａ6S6．(3)由(1）知,当ｎ≥6时,,由此能求出.假设在数列{dｎ}中存在d m,ｄk，d p(其中m,ｋ，p成等差数列),则(d k)2=d mｄｐ，推导出k=m=p,这与题设矛盾.故在数列{ｄｎ}中不存在三项dｍ,d k,ｄp(其中ｍ，k，p成等差数列)成等比数列．【解答】解:（１）∵数列{a n｝为“6关联数列”,∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a６=ａ1+5，a5=a1+4，且==2，解得a1＝﹣3，∴．（２）由（１)得，｛a n｝:﹣3,﹣2，﹣1,0，１,２，22,23，２４，2５，…,{Ｓｎ｝：﹣３,﹣5，﹣6,﹣6，﹣５，﹣3,１,9,２5，…｛aｎS n}:9，10,6,0,﹣5,﹣6，4，7２，40０，…,可见数列｛ａn Sｎ}的最小项为a6S6=﹣6,---- 证明:a ｎS ｎ=，列举法知当n ≤5时，(ａn Ｓｎ)ｍin =a 5S ５＝﹣5;当ｎ≥6时,a ｎS n =２•(２n ﹣5）2﹣7•2ｎ﹣5,n ≥６,设t=2n ﹣５,则ａn S n ＝2t 2﹣7t=2(t ﹣）2﹣7t=2(ｔ﹣）2﹣≥2•2２﹣7•2=﹣6.(3）由(1)知，当n ≥6时，， ∵a n+１=a n +（n+2﹣1）d ｎ,2ｎ﹣４=２n ﹣5+(n+１）d n ,∴．假设在数列｛d n }中存在ｄm ,ｄｋ，d p (其中m,k ，p 成等差数列)，则（d k )2=d m d p ,∴（)2=,，（*）∵m,p ，k 成等差数列，∴m+p ＝2k,(*)式可化简为（k+1)2=(m+1）(p+1），即k ２=mp ，∴k=ｍ=p ，这与题设矛盾.∴在数列｛d n ｝中不存在三项d m ,d ｋ，d p (其中m ，ｋ，p 成等差数列)成等比数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明,考查满足条件的三项是否存在的判断与求法，是中档题,解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.。

2016年上海市闵行区中考数学一模试卷含答案解析

2016年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A．=B．=C．=D．=2．将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2+33．已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A．B．C．D．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=05．在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2B．20000m2C．4000000m2D．40000m26．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．8．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是．9．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是厘米．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC=．12．已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为．13．过△ABC的重心作DE∥BC，分别交AB于点D，AC于点E，如果=，=，那么=．14．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为．16．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于厘米．17．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．18．将一副三角尺如图摆放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．点D为边AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，那么的值为．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19．如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．20．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．21．如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=，=．（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量分别在，方向上的分向量．22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M处（A、D、M、E四点在同一条直线上）．已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°=cos53°=0.602，cos37°=sin53°=0.799，tan37°=c ot53°=0.754，cot37°=tan53°=1.327）．23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB•BD=BM•AB；（2）求证：AE⊥BE．24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P 的坐标．25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．2016年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A．=B．=C．=D．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵=，∴DE∥BC，选项A不符合题意；∵=，∴DE∥BC，选项B不符合题意；∵=，∴DE∥BC，选项C不符合题意；=，DE∥BC不一定成立，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边2．将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的规律，点（0，﹣1）平移后的对应点的坐标为（1，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向右平移一个单位，向下平移2个单位得到对应点的坐标为（1，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】利用平方关系得到cosα=，然后把sinα=代入计算即可．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，∴cosα===．故选D．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：sin2A+cos2A=1．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．【解答】解：∵抛物线经过原点，∴c=0，∵抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧∴a＞0，∵对称轴在y轴左侧，∴对称轴为x=＜0，又因为a＞0，∴b＞0．故选A．【点评】解决此类题目，可现根据条件画出函数图象的草图再做解答．5．在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2B．20000m2C．4000000m2D．40000m2【考点】比例线段．【专题】常规题型．【分析】先根据面积的比等于比例尺的平方求出实际面积，然后再进行单位转化．【解答】解：设实际面积是x，则=（）2，解得x=200 000 000cm2，∵1m2=10000cm2，∴200 000 000cm2=20000m2．故选B．【点评】本题主要考查了比例线段中的比例尺，利用面积的比等于比例尺的平方是解题的关键，本题单位换算容易出错，需要特别注意．6．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】直线与圆的位置关系．【专题】分类讨论．【分析】根据题意作出图形，直接写出答案即可．【解答】解：如图，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．8．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是2：3．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3，∴两个相似三角形相似比是2：3，故答案为：2：3．【点评】本题考查的是相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．9．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是﹣1厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，∴BP=AB=﹣1厘米．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=12．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据垂直的定义得到∠BDE=∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠F=∠B，推出△ADF∽△BDE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵FD⊥AB，∴∠BDE=∠ADF=90°，∵∠ACB=90°，∠CEF=∠BED，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△BDE，∴，即，解得：DF=12，故答案为：12．【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC=4．【考点】解直角三角形．【分析】根据∠C=90°，得出cosA=，再根据AC=2，求出AB，最后根据勾股定理即可求出BC．【解答】解：∵∠C=90°，∴cosA==，∵AC=2，∴AB=6，∴BC===4．故答案为：4．【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点锐角三角函数、勾股定理，关键是根据题意求出AB．12．已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为1：0.75．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=4米，则AB==3米，则坡比===1：0.75．故答案为：1：0.75．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．13．过△ABC的重心作DE∥BC，分别交AB于点D，AC于点E，如果=，=，那么=﹣．【考点】*平面向量；三角形的重心．【分析】由过△ABC的重心作DE∥BC，可得=，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵过△ABC的重心作DE∥BC，∴=，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形法则的应用．14．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根及两根之和公式来解决此题．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，∵x1+x2=﹣3+1=﹣=﹣2．则对称轴x=﹣=×（﹣）=×（﹣2）=﹣1．【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．（利用二次函数的对称性解答更直接）15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为12＜r＜13．【考点】点与圆的位置关系．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，【解答】解：如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞12，点B在圆A外，则r＜13，因而圆A半径r的取值范围为12＜r＜13．故答案为12＜r＜13．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．16．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于5或1厘米．【考点】圆与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】设⊙O2的半径为r，根据内切的判定方法得到r﹣3=2或3﹣r=2，然后解方程即可．【解答】解：设⊙O2的半径为r，∵⊙O1与⊙O2内切，∴r﹣3=2或3﹣r=2，∴r=5或r=1．故答案为5或1．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r：两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．【考点】二次函数的应用．【分析】根据二次函数的解析式求得抛物线与x轴的交点坐标的横坐标，即为所求的结果．【解答】解：当y=0时，即﹣x2+4x+=0，解得x1=，x2=﹣（舍去）．答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，注意抛物线的解析式的三种形式在解决抛物线的问题中的作用．18．将一副三角尺如图摆放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．点D为边AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，那么的值为．【考点】旋转的性质．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义求解．【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，∵∠EDF=90°，∴∠CPD=60°，∴∠MPD=∠NC D，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM=∠CDN=α，∴△PDM∽△CDN，∴=，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，∴=tan30°=．故答案是：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19．如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOB与三角形AOC 相似，由相似得比例，求出OC的长，即可确定出C坐标；由B与C坐标设出抛物线的二根式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式即可．【解答】解：∵∠AOC=∠ACB=90°，∴∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠ABC=90°，∴∠ACO=∠ABC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴△ACO∽△CBO，∴=，即OC2=OB•OA，∵OA=1，OC=2，∴OB=4，则B（4，0），∵A（﹣1，0），C（0，2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将C（0，2）代入得：2=﹣4a，即a=﹣，则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质以及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．20．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，再根据圆周角定理得出∠DOE=60°，由直角三角形的性质可知OD=2OE，由此可得出r的长，在Rt△OED中根据勾股定理求出DE的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，∵∠BAD=30°，∴∠DOE=60°，∵CD⊥AB，∴CD=2DE，∠ODE=30°，∴OD=2OE，即r=2（r﹣2），解得r=4；∴OE=4﹣2=2，∴DE===2，∴CD=2DE=4．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．21．如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=，=．（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量分别在，方向上的分向量．【考点】*平面向量．【分析】（1）由点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，直接利用三角形中位线的性质，即可求得==﹣，==，再利用三角形法则求解即可求得答案；（2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，∴==﹣，==，∴=+=﹣+；（2）如图：与即为所求．【点评】此题考查了平行向量的知识．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M处（A、D、M、E四点在同一条直线上）．已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°=cos53°=0.602，cos37°=sin53°=0.799，tan37°=cot53°=0.754，cot37°=tan53°=1.327）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，可知∠E=37°，在△DEF中，已知DF的长度即可求得DE的长度，然后证得D是AE的中点，从而求得AE的长度，根据猫头鹰从C点观察M点的俯角为53°，可知∠AMC=53°，进而求得DM，即可求得AM，在△AMC中，根据余切函数求得AC，即可求得BC．【解答】解∵DF=3，∠E=37°，cot37°=，∴DE=3•cot37°，∵DF=3米，AB=6米，AC∥DF，∴D是AE的中点，∴AE=2DE=6•cot37°，∵cot53°=，∴DM=3•cot53°，∴AM=AD+DM=3（cot37°+cot53°），∵cot37°=，∴AC=AM•cot37°，∴BC=AC﹣6≈2.28（米）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB•BD=BM•AB；（2）求证：AE⊥BE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，由已知条件得到∠EBM=∠C，等量代换得到∠EBM=∠ABC，求得∠ABE=∠DBM，推出△BEA∽△BDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；（2）连接AD，由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠EBM=∠C，∴∠EBM=∠ABC，∴∠ABE=∠DBM，∵∠BAE=∠BDF，∴△BEA∽△BDM，∴，∴EB•BD=BM•AB；（2）连接AD，∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∵，∠ABD=∠EBM，∴△ABD∽△EBM，∴∠ADB=∠EMB=90°，∴∠AEB=∠BMD=90°，∴AE⊥BE．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P 的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．【解答】解：（1）将B、C点代入函数解析式，得，解得，这个二次函数y=x2+bx+c的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）四边形POP′C为菱形，得OC与PP′互相垂直平分，得y P=﹣，即x2﹣2x﹣3=﹣，解得x1=，x2=（舍），P（，﹣）；（3）∠PBC＜90°，①如图1，当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得m1=0（舍），m2=1，即P（1，﹣4）；AO=1，OC=3，CB==3，CP==，此时==3，△AOC∽△PCB；②如图2，当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），CH=﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+2m，PH=m，PD=3﹣m，BD=﹣（m2﹣2m﹣3）．△CHP∽△PDB，=，即=，解得m=，m=（不符合题意，舍），此时，==≠=3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键．25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1））根据题意可先求出CD=6，根据BF⊥DE和F为线段BH中点的条件，由等腰三角形三线合一的性质得到△BHD为等腰三角形，从而求出BD=HD=3，再求CH=3﹣6；（2）设BE=x，CM=y，要求y关于x的函数解析式，先利用AB∥CH，得到成比例线段=，得到=，再根据△BCH∽△DCE，得到==，则可以用含x的式子表示CH=，代入=中，整理化简可得y=（根据点E在线段BC上，则可得到0＜x＜3）（3）①如下图2，当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD，根据平行线等分线段定理得到==，根据题意易证△BCH∽△DCE，根据其相似比得BF=BH=DE，再根据△BFE∽△DCE的相似比=得到=，解方程即可得x=21﹣6（根据x=21+6＞3，舍去）②当E在射线BC上时（图3），GF∥BE，设GF与CD交点为K，先根据①中条件可求出GK=2，DK=4，设KF=a，则可得==，分别用含a的式子表示KH=，HC=，再利用tan∠KDF=tan∠CBH作为等量关系列方程=可解得a=（a=＜0故舍去）易求出CE=a=从而求出BE=CE+3=，再综合①②可知x的值为21﹣6或．【解答】解：（1）∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°∴∠DCB=90°∵AB=BC=3，tan∠BDC=∴CD=6∵BF⊥DE∴当F为线段BH中点时，△BHD为等腰三角形，∴BD=HD==3CH=DH﹣DC=3﹣6（2）∵AB∥CH，∴=又∵AC==3，∴=在△BCH与△DCE中，∠BCH=∠DCE=90°，∠HBC=∠EDC=90°﹣∠DHB，∴△BCH∽△DCE，∴==，则CH=，∴=，化简整理得：y=（0＜x＜3）；（3）①（图2）当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD，==此时==∵△BCH∽△DCE∴===∴BF=BH=DE∴△BFE∽△DCE∴=∴=∴DE2=36x=（3﹣x）2+62，解得x=21﹣6（x=21+6＞3，故舍去）②当E在射线BC上时（图3），GF⊥DC即GF∥BE，设GF与CD交点为K，由①可知===，则GK=×3=2，DK=4设KF=a，则==，∴KH=，HC=，∵∠BCD=∠DKF=90°∴∠KDF=∠CBH∴tan∠KDF=tan∠CBH∴=解得a=（a=＜0故舍去）∵==∴CE=a=，BE=CE+3=综上可知：x的值为21﹣6或【点评】本题主要考查了平行线等分线段定理的应用和相似三角形的相似比作为等量关系列方程解方程的方法．（1）中根据条件判断出△BHD为等腰三角形是解题的关键；（2）中则主要是利用了相似三角形和平行线等分线段定理中的成比例线段作为等量关系，得到x与y之间的等量关系，整理即可得到y关于x的函数关系式；（3）中主要是根据线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD 除外）垂直时的两种情况分类讨论，GF⊥BC和GF⊥DC时分别都有对应的相似三角形，根据相似三角形中的成比例线段作为等量关系列方程解方程即可．。

闵行区2016年高三数学文科一模试卷(含答案)(新)

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 12，则UA = .3．方程44．函数f = .56．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .7．已知中，43AB i j =+，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △8．在门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史9．若n S 是等差数列n a 的前项和，且3232，则2n n n →∞ .10．若函数1()2x f x -=，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 .11．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .12．已知函数cos 04()25 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩，，，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c（*,,,a b c d ∈N ）,则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 . 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意n ∈*N ，都有1(1)32nn n n S a n =-++-，则数列{2n a - 15．若,a . (A) (C) 16．设(f .(A)(C)17．△A 的范围是（(A)⎛⎝18．函数]，图像如图2所示.{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A B 中元素的个数为（）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4图2图1三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π2，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．到2l 的距离为10千米，点P 到2l 的距离为2千米.以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度（结果精确到1米）.CABDA 1B 1C 122．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合，斜率为k 的直线l 交抛物线E 于A B 、两点，交椭圆Γ于C D、两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 经过点()1,0F ，设点(1,)P k -，且PAB △的面积为k 的值；（3）21k 成236分，第(3)r 项{}n a 为“（1（2（3）2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求n d ，并探究在数列{n d }中是否存在三项m d ，k d ，p d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案和评分标准一、（第1题至第14题）1．2； 2．)0,(-∞； 3．2log 3x =； 4．π； 5．)2,0(； 6．15π； 7．252； 8．10； 9．5； 10．1； 11．2a ； 12．理(8. 二、（第三、（第[证明]或由AB =即BC ⊥又BC ∴BC ∴⊥三棱柱12分20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．[解]（1）方法一: ()2cos 3αβ-=，1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=91- …3分3=4απ，即91)223cos(-=-βπ， (6)分912sin =∴β． …………………………………8分方法二: ()2cos 3αβ-=，3=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， ……………3分322cos sin =-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β ……………………………6分 912sin =∴β． …………………………………8分（2）设直线，由24,y x⎨=⎩得l与抛物线E有两个交点，0k≠，216(1)0k∆=+>，则224(1)kABk+== (6)分(1,)P k-到l的距离d=，又PABS=△2214(1)2kk+∴⋅=8分22433k k =+，故k = ………………………10分（3）(理科)()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -，则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121()x y y x y x ym y x x x x --=-=--12分直线211121:()y y QD y y x x x x --=++，设0x =得121211212121()x y y x y x yn y x x x x -+=+=++ (14)分22222112x y x y -2211x y ，2222x y 223223 (⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩==2223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ，即24511=++a a ，解得31-=a (2)分54,42,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）． ……………………4分（2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717,5,6222227,627,7n n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩） (6)分{}:3,n a -{}n n a S ，证明：6n a ，8分当6n ≥},m ，2n n a S t =10分（3）（理科）{11r r a -∴=，12rr a a -=2121112111,12,12,222,13256,13n n n n n n n n n a S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪∴==⎨⎨≥⎪⎪-≥⎩⎩……………………………12分①当12k m <≤时，由221211212222k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=-21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =⎧∴⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩． ②当12m k >>时，由1111256256k m ---=-得m k =，不存在 (14)分③当12,12k m ≤>时，由21112125622m k k --=-，102221112m k k -=-+ 当1k =时，10*292,m m N -=∉；当2k =时，10*274,m m N -=∉；当3k =当5k =当7k =当9k =当11k =16分18分n d ，422n n -=假设在数列{}n d 中存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列，则：()2k m p d d d =，即：2555222111k m p k m p ---⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭，()()()21010222111k m p m p k -+-=+⋅++（*） …15分因为,,m k p 成等差数列，所以2m p k +=，（*）式可以化简为)1)(1()1(2++=+p m k ，即：2k mp =，故k m p ==，这与题设矛盾．高三年级质量调研考试文科数学试卷第11页共11页所以在数列{}n d 中不存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列． (18)分（或：因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则必为非零常数列，而521n n d n -=+显然不是非零的常数，所以不存在．）。

2016上海闵行区一模数学卷及答案(word版).

初三一轮数学检测卷（2016闵行一模）一. 选择题1. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定DE ∥BC 的是（） A.AD AE DB EC =； B. AD AE AB AC =； C. DB AB EC AC =； D. AD DEDB BC=；2. 将二次函数21y x =-的图像向右平移1个单位，向下平移2个单位得到（） A. 2(1)1y x =-+； B. 2(1)1y x =++； C. 2(1)3y x =--； D. 2(1)3y x =++；3. 已知α为锐角，且5sin 13α=，那么α的余弦值为（） A.512； B. 125； C. 513； D. 1213； 4. 抛物线2y ax bx c =++的图像经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A. 0a >，0b >，0c =；B. 0a >，0b <，0c =；C. 0a <，0b >，0c =；D. 0a <，0b <，0c =；5. 在比例尺为1:10000的地图上，一块面积为22cm 的区域表示的实际面积约为（） A. 20000002cm ； B. 200002m ； C. 40000002m ； D. 400002m ；6. 如图，在矩形ABCD 中，3AB =，6BC =，点1O 为矩形对角线的交点，○2O 的半径为1，12O O AB ⊥，垂足为点P ，126O O =，如果○2O 绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，○2O 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（） A. 3次； B. 4次；C. 5次；D. 6次；二. 填空题 7. 如果35x y =，那么x y y+= ； 8. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们的相似比是；9. 已知线段AB 长为2厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），那么BP 的长是厘米；10. 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，点F 在边AC 延长线上，且FD AB ⊥，垂足为点D ，如果6AD =，10AB =，2ED =，那么FD = ；11. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1cos 3A =，2AC =，那么 BC = ；12. 已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为； 13. 过△ABC 的重心作DE ∥BC ，分别交AB 于点D ，AC 于点E ，如果AB a =，AC b =，那么DE = ；14. 方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为-3和1，那么抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴是直线；15. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，12AC =，5BC =，以点A 为圆心作○A ，要使B 、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么○A 的半径长r 的取值范围为； 16. 已知○1O 与○2O 内切，○1O 的半径长是3厘米，圆心距122O O =厘米，那么○2O 的半径长等于厘米；17. 闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图①），如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流（如图②），其上的水珠的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为2944y x x =-++，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外；18. 将一副三角尺如图摆放，其中在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，在Rt △EDF 中，90EDF ∠=︒，45E ∠=︒，点D 为边AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ，将△EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α（060α︒<<︒）后得到△E DF ''，DE '交AC 于点M ，DF '交BC 于点N ，那么PMCN的值为；三. 解答题19. 如图，已知Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，斜边上的高CO 在y 轴的正半轴上，且1OA =，2OC =，求经过A 、B 、C 三点的二次函数解析式；20. 已知，如图，在○O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，且2BE =，求弦CD 的长；21. 如图，已知四边形ABCD ，点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点，设BC a =，AD b =；（1）试用a 、b 的线性组合表示向量PQ ；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量PQ 分别在a 、b 方向上的分向量；22. 如图，一只猫头鹰蹲在树AC 上的B 处，通过墙顶F 发现一只老鼠在E 处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF 的阴影下，猫头鹰立即从B 处向上飞至树上C 处时，恰巧可以通过墙顶F 看到老鼠躲在M 处（A 、D 、M 、E 四点在同一条直线上）；已知，猫头鹰从B 点观察E 点的俯角为37°，从C 点观察M 点的俯角为53°，且3DF =米，6AB =米，求猫头鹰从B 处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37cos530.602︒=︒≈，cos37sin530.799︒=︒≈，tan37cot530.754︒=︒≈，cot37tan53 1.327︒=︒≈）23. 如图，已知在△ABC 中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，点F 在边AB 上，点E 在线段DF 的延长线上，且BAE BDF ∠=∠，点M 在线段DF 上，且EBM C ∠=∠；（1）求证：EB BD BM AB ⋅=⋅；（2）求证：AE BE ⊥；24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点， B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C -，点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一点；（1）求这个二次函数2y x bx c =++的解析式；（2）联结PO 、PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP C '，如果四边形POP C ' 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，能使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标；25. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点G ，已知3AB BC ==，1tan 2BDC ∠=，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF DE ⊥，垂足为点P ，交射线AC 于点M ，射线DC 于点H ；（1）当点F 是线段BH 中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE x =，CM y =，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值；2016闵行区中考数学一模卷一、选择题1.D2.C3.D4.A5.B6.B二、填空题7.85 8.2︰3（23）1 10.811.12.4︰3 13.2233b a - 14.1x =- 15.1213r << 16.1或5 17.92三、解答题19.【解】∵CO 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∴Rt △AOC ∽Rt △COB .∴OA OCOC OB=. ………………………………………（1分） ∵OA =1，OC =2，∴OB =4.……………………………………………………（1分） ∵点A 、B 在x 轴上，且点A 、B 分别在原点的左、右侧，点C 在y 轴的正半轴上， ∴点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，2）.（3分）设所求的二次函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，由题意，得001642a b ca b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩………………………………………………………（1分）解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩…………………………………………………………………………（3分）∴所求的二次函数解析式为213222y x x =-++. ……………………………（1分）20.【解】联结OD .………………………………………………………………………（1分）∵OA =OD ，∠BAD = 30°，∴∠BOD = 60°. ……………………………………（1分） ∵AB ⊥CD ，∴∠AED = 90°.∴∠ODE = 30°.…………………………………（1分） ∴OD =2OE . ………………………………………………………………………（1分）又∵BE =2，OB =OD ，∴OE =2，OD =4.……………………………………………（2分） ∵∠AED = 90°，∴222OE DE OD +=. …………………………………………（1分） ∴DE=.…………………………………………………………………………（1分） ∵AB ⊥CD ，AB 是直径，∴CD =2CE =2DE =43.………………………………（2分）21.【解】（1）∵点P 、R 分别是AC 和AB 的中点，BC a =，∴12RP a =.………（2分）∵点Q 、R 分别是BD 和AB 的中点，AD b =，∴12RQ b =.………（2分）∴1122PQ b a =-. …………………………………………………………（2分）（2）作图.………………（2分）结论. ………………（2分）22.【解】过F 作FH ⊥AC ，垂足为点H ，根据题意，可得∠BFH =37º，∠CFH =53º. …………………………………（2分） ∵DF = 3，AB = 6，FH ⊥AC ，∠A = 90º，∴DF =AH =BH =3.………………………………………………………………（2分）∵在Rt △BHF 中，cot ∠BFH =HFBH， ∴HF =BH ·cot ∠BFH = 3·cot37º≈3.981………………………………………（2分） ∵在Rt △CHF 中，tan ∠CFH =CHHF， ∴CH =HF ·tan ∠CFH = 3·cot37º·tan53º≈5.283……………………………（2分） ∴BC =CH －BH = 5.283－3≈2.28.………………………………………………（1分） ∴猫头鹰从B 处飞高了2.28米时，又发现了这只老鼠.……………………（1分）23.【证明】（1）∵AB =AC ，∠EBM =∠C ，∴∠EBM =∠C =∠ABD .…………………（1分）∴∠EBM －∠ABM =∠ABD －∠ABM ，即：∠EBA =∠MBD .…………………（1分）又∵∠BAE =∠BDF ，∴△ABE ∽△DBM .………………………………………（2分）∴EB ABBM BD=.………………………………………………………………………（1分） ∴EB BD BM AB ⋅=⋅.………………………………………………………………（1分）（2）联结AD .∵AB =AC ，点D 为BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =90º.………………（1分）∵EB AB BM BD =，∴EB BMAB BD =.又∵∠EBM =∠ABD ，∴△EBM ∽△ABD . …（1分） ∴∠EMB =∠ADB =90º.……………………………………………………………（1分） ∴∠BMD =90º.……………………………………………………………………（1分）又∵△ABE ∽△DBM ，∴∠AEB =∠DMB =90º.…………………………………（1分） ∴AE ⊥BE .…………………………………………………………………………（1分） 24.【解】（1）由题意，得0933b cc =++⎧⎨-=⎩…………………………………………………（1分）解得23b c =-⎧⎨=-⎩.………………………………………………………………………（2分）∴此二次函数的解析式为223y x x =--.………………………………………（1分）（2）如图，四边形POP'C 为菱形，联结PP' 交CO 于点E .∵四边形POP'C 为菱形，∴PC=PO ，且PE ⊥CO .……………………（1分） ∴OE=EC=32，即P 点的纵坐标为32-.……（1分）由23232x x --=-，得12x x =舍去）………………………………（1分）∴存在这样的点，此时P ，32-）.……………………（1分）第24题图 hmh16（3）根据题意，可得在Rt △AOC 中，AO ＝1，OC ＝3，∠AOC =90º.……………（1分）如果△PBC ∽△AOC 时，那么只可能∠BCP =90º或∠CPB =90º.……………（1分）可知10AC =，设P 点坐标是（x ，y ）（i ）当∠BCP =90º时，13PC BC =，且直线PC 和直线CB 的斜率乘积为1-，可得方程组222(3)13323112303x y y x y x x x ⎧++=⎪⎪⎪+⨯=-⎨⎪⎪=--⎪⎪⎩＜＜，解得P 点坐标是（1，－4）.……………………（1分）（ii ）当∠CPB =90º时，10CP BC =或10CP BC PC 和直线PB 的斜率乘积为1-，可得方程组222(3)32103132303x y y y x x y x x x ⎧++=⎪⎪⎪+⋅=-⎨-⎪⎪=--⎪⎪⎩＜＜或222(3)32103132303x y y yx x y x x x ++=⎪+⋅=-⎨-⎪⎪=--⎪⎪⎩＜＜，两个方程组均无解，即这两种情况不存在.…………………………………………（1分） ∴综上所述，点P 的坐标是（1，－4）.25.【解】（1）∵AB //CD ，∠ABC =90º，∴∠BCD =90º.又∵BC =3，tan ∠BDC =12，∴BD =35DC =6.…………………………（2分） ∵BF ⊥DE ，点F 是线段BH 中点，∴BD =DH =35…………………（1分） ∴CH=DH －DC = 356.………………………………………………（1分）（2）∵BF ⊥DE ，∠BCD =90º，∴∠BCH =∠HFD =90º.又∵∠DHB 是公共角，∴∠HBC =∠HDF . ………………………………（1分） ∴tan ∠HBC = tan ∠HDF ，即363x CH -=.∴32xCH -=.……………（1分）在Rt △ABC 中，AB =BC =3，∴ AC =32. ……………………………（1分）∵AB//CD，∴CH CMAB AM=.即：323x-=…………………………（1分）整理，得y=. ………………………………………………（1分）定义域为03x<<.…………………………………………………………（1分）（3）（i）当GF⊥BC时，点E在BC边上，令GF交BC于点O.∵AB//CD，∴AB BG GO BODC AB BD DC BC===+，∴CO=GO=2，BO=1.由tan∠HBC =OF ECBO DC== tan∠HDF，得36xOF-=.∵GF⊥BC，BF⊥DE，∴△EOF∽△FOB.∴OF BOOE OF=.即：231(1)()6xx-⋅-=，hmh14解得122121x x=-=+…………………（2分）（ii）当GF⊥DC时，点E在BC的延长线上，令GF交DC于点O.∵AB//CD，∴12AB BGDC GD==，∵GF//BE，∴23GO DO DG OFBC DC DB CE====，∴CO=GO=2，DO=4，2(3)3xOF-=.由tan∠EBF=HC ECBC DC== tan∠CDE，得72xOH-=.∵GF⊥DC，BF⊥DE，∴△DOF∽△FOH.∴OF HODO OF=. hmh15即：27264()23x x--⋅=，解得12x x==，（不合题意舍去）…………（2分）∴综上所述，x的值为21-.第25题图②ABDCEFGHMOO第25题图①ABDCEFGHM。

上海市闵行区2016年高三数学一模(理科含答案)

1 上海市闵行区2015—2016学年第一学期高三一模数学试卷（理科） 2016。

1（满分150分，时间120分钟)考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z满足i i z =(i 为虚数单位)，则||z = 。

22．若全集U =R ，函数21x y =的值域为集合A ，则UA = 。

)0,(-∞3．方程4260xx--=的解为 .2log 3x = 4．函数()cos()sin sin()cos x x f x x xπ-=π+的最小正周期T = 。

π5．不等式x x>4的解集为 .)2,0( 6．若一圆锥的底面半径为3,体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .15π7．已知ABC △中,43AB i j =+，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量,则ABC △的面积为。

2528．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选科方案有种。

10 9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且861086S S =+，则2lim n n S n→∞= 。

5 10．若函数()2x af x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 . 111．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .2a12．已知函数14cos 042()log (3)1 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，,若实数a b c 、、互不相等，且满足2 )()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是。

闵行区高三数学一模试卷

闵行区高三数学一模试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。

）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，那么f(x)的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1 = 1，公差d = 2，则S_5等于（）A. 15B. 25C. 35D. 453. 函数y = ln(x)的定义域是（）A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)4. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，点P(4, 6)到圆心的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的点积为（）A. 11B. 14C. 10D. 86. 已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，若b_1 = 2，公比q = 3，则T_3等于（）A. 20B. 26C. 30D. 347. 若函数f(x) = 2^x - 1，那么f(-1)等于（）A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/88. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么三角形ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案直接填入题后的横线上。

）9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，那么f'(x) = ____________。

10. 已知圆x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0的圆心坐标为(3, 4)，则该圆的半径为__________。

11. 已知函数y = sin(x) + cos(x)，那么y' = ____________。

2016年上海市闵行区高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝．3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为．4．（4分）函数的最小正周期t＝．5．（4分）不等式的解集是．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝．10．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．14．（4分）数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，}的前n项和为．则数列{a2n﹣1二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点F（1，0），设点P（﹣1，k），且△P AB的面积为，求k 的值；（3）若直线l过点M（0，﹣1），设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列，求直线l的方程．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）若数列{a n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n，并探究在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝2．【解答】解：∵，∴﹣z＝i+1，∴z＝﹣1﹣i，∴|z|＝＝2，故答案为：2．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝（﹣∞，0）．【解答】解：函数y＝x≥0，得到A＝[0，+∞），∵全集U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为x＝log23．【解答】解：由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，解得2x＝3，或2x＝﹣2（舍去），∴x＝log23．故答案为：x＝log23．4．（4分）函数的最小正周期t＝π．【解答】解：函数＝cos（π﹣x）cos x﹣sin（π+x）sin x＝﹣cos2x+sin2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期t＝＝π．5．（4分）不等式的解集是（0，2）．【解答】解：∵＞，∴﹣＞0，通分得＞0，即＜0；等价于2x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2．故答案为：（0，2）．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，得：＝（4，3），＝（﹣3，4），∴＝﹣＝（﹣7，1），∴2＝42+32＝25，2＝（﹣3）2+42＝25，2＝（﹣7）2+12＝50；∴||2＝||2+||2，△ABC是直角三角形，它的面积为S＝×5×5＝．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有10种．【解答】①在生物、政治、历史三门选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有：＝9种选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有＝1种选法；共有选法：9+1＝10种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝5．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由可得＝+5，解得d＝10，故＝＝＝5+，∴＝（5+）＝5故答案为：510．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为2a．【解答】解：∵＝2，∴＝＝2≤2a，∴的最大值为2a，故答案为：2a．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是（8，10）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c），不妨设a＜b＜c，根据余弦函数的对称性可得a+b＝4．且4＜c＜6．∴a+b+c＝4+c．∴8＜a+b+c＜10．故答案为（8，10）．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【解答】解：第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故答案为：14．（4分）数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，则数列{a2n﹣1}的前n项和为﹣﹣3+2n．【解答】解：∵，∴a1＝﹣a1++1﹣3，解得a1＝．当n＝2k﹣1≥3，k∈N*时，a2k﹣1＝S2k﹣1﹣S2k﹣3＝﹣a2k﹣1++（2k﹣1）﹣3﹣化为：2a2k﹣1＝a2k﹣3﹣+2．变形为﹣2＝，∴数列{﹣2}是等比数列，公比为，首项为﹣2．∴﹣2＝，∴a2k﹣1＝﹣+2．∴数列{a2n}的前n项和＝﹣+2n﹣1＝﹣﹣3+2n．故答案为：﹣﹣3+2n．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵ab＞0，∴＞0，当a＝b，则+＝1+1＝2，此时等号成立，+≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选：A．16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：因为y＝f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5＝1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]＝1+（1+x）5，即y＝1+（1+x）5，所以，1+x＝，因此，x＝﹣1+，再交换x，y得，y＝﹣1+，所以，f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）＝﹣1+，x∈R，故选：C．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，且b，c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b﹣c）≤bc，整理可得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，∵A∈（0，）．故选：B．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由图象可知，若f（g（x））＝0，则g（x）＝0或g（x）＝1，由图2知，g（x）＝0时，x＝0，或x＝2，g（x）＝1时，x＝1或x＝﹣1故A＝{﹣1，0，1，2}，若g（f（x））＝0，由图1知，f（x）＝0，或f（x）＝2（舍去），当f（x）＝0时，x＝﹣1或0或1，故B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，则A∩B中元素的个数为3个．故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ACB＝1，即，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，又AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面平面ACC1A1，CD⊂平面ACC1A1，∴BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥CD，∴异面直线B1C1与CD所成角为．∵AB＝2，BC＝1，∠ACB＝，∴AC＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝S△ABC•AA1＝＝．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．【解答】解：（1）由，可得cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝﹣，∵，∴cos（﹣2β）＝﹣，∴sin2β＝．（2）由题意可得，||＝||＝1，且与的夹角为α﹣β，＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），＝cosαcosβ+sinαsinβ＝1×1×cos（α﹣β），∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ成立．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a＝8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为[1，10]．（2）由（1）知P（2，4），设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立方程，得kx2+2（2﹣k）x﹣8＝0，由判别式△＝0得4（2﹣k）2+32k＝4（k+2）2＝0，得k＝﹣2，即直线AB的方程为y＝﹣2x+8，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝4，即A（0，8），B（4，0），则AB＝＝4≈8944米．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点F（1，0），设点P（﹣1，k），且△P AB的面积为，求k 的值；（3）若直线l过点M（0，﹣1），设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），由题设，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆Γ的方程为．（2）设直线l：y＝k（x﹣1），由，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△＝16（k2+1）＞0，则|AB|＝•＝，P（﹣1，k）到l的距离d＝，又，∴•＝4，即4k2＝3k2+3，解得k＝．（3）设直线l：y＝kx﹣1，由，得（4k2+3）x2﹣8kx﹣8＝0，M（0，﹣1）在椭圆内部，∴l与椭圆恒有两个交点，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，由成等差数列，得＝＝＝＝＝＝＝，解得k＝，∴直线l的方程为y＝．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）若数列{a n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n，并探究在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}为“6关联数列”，∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6＝a1+5，a5＝a1+4，且＝＝2，解得a1＝﹣3，∴．（2）由（1）得，{a n}：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，22，23，24，25，…，{S n}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a n S n}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6＝﹣6，证明：a n S n＝，列举法知当n≤5时，（a n S n）min＝a5S5＝﹣5；当n≥6时，a n S n＝2•（2n﹣5）2﹣7•2n﹣5，n≥6，设t＝2n﹣5，则a n S n＝2t2﹣7t＝2（t﹣）2﹣7t＝2（t﹣）2﹣≥2•22﹣7•2＝﹣6．（3）由（1）知，当n≥6时，，∵a n+1＝a n+（n+2﹣1）d n，2n﹣4＝2n﹣5+（n+1）d n，∴．假设在数列{d n}中存在d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列），则（d k）2＝d m d p，∴（）2＝，，（*）∵m，p，k成等差数列，∴m+p＝2k，（*）式可化简为（k+1）2＝（m+1）（p+1），即k2＝mp，∴k＝m＝p，这与题设矛盾．∴在数列{d n}中不存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．。

2016年上海市闵行区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝．3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为．4．（4分）函数的最小正周期t＝．5．（4分）不等式＞|x|的解集为．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝．10．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．14．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n ﹣3且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P （﹣1，k），△P AB的面积为，求k的值；（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）已知数列{a n}为“r关联数列”，且a1＝﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+a k﹣1+a k＝a1+a2+…+a m﹣1+a m？若存在，求出所有的k，m 值；若不存在，请说明理由．2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝2．【解答】解：∵，∴﹣z＝i+1，∴z＝﹣1﹣i，∴|z|＝＝2，故答案为：2．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝（﹣∞，0）．【解答】解：函数y＝x≥0，得到A＝[0，+∞），∵全集U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为x＝log23．【解答】解：由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，解得2x＝3，或2x＝﹣2（舍去），∴x＝log23．故答案为：x＝log23．4．（4分）函数的最小正周期t＝π．【解答】解：函数＝cos（π﹣x）cos x﹣sin（π+x）sin x＝﹣cos2x+sin2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期t＝＝π．故答案为：π．5．（4分）不等式＞|x|的解集为（0，2）．【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，得：＝（4，3），＝（﹣3，4），∴＝﹣＝（﹣7，1），∴2＝42+32＝25，2＝（﹣3）2+42＝25，2＝（﹣7）2+12＝50；∴||2＝||2+||2，△ABC是直角三角形，它的面积为S＝×5×5＝．故答案为：．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有10种．【解答】①在生物、政治、历史三门选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有：＝9种选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有＝1种选法；共有选法：9+1＝10种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝5．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，即有S n＝na1+n（n﹣1）d，即＝a1+d（n﹣1），由，可得a1+d＝a1+d+10，解得d＝10，则＝＝5+，即有＝（5+）＝5+＝5+0＝5．故答案为：5．10．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为2a．【解答】解：∵＝2，∴＝＝2≤2a，∴的最大值为2a，故答案为：2a．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是（8，23）．【解答】解：作出f（x）的函数图象，如图：令log（x﹣3）+1＝1，解得x＝4．令log（x﹣3）+1＝﹣1，解得x＝19．设a＜b＜c，则a+b＝4，4＜c＜19．∴8＜a+b+c＜23．故答案为（8，23）．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【解答】解：第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故答案为：14．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．﹣3且（a n+1﹣p）【解答】解：由，得；当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝﹣1＝．若n为偶数，则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则＝＝，∴（n为正偶数）．函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．若（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则a1＜p＜a2，即．故答案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵ab＞0，∴＞0，当a＝b，则+＝1+1＝2，此时等号成立，+≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选：A．16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：因为y＝f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5＝1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]＝1+（1+x）5，即y＝1+（1+x）5，所以，1+x＝，因此，x＝﹣1+，再交换x，y得，y＝﹣1+，所以，f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）＝﹣1+，x∈R，故选：C．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，且b，c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b﹣c）≤bc，整理可得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，∵A∈（0，）．故选：B．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由图象可知，若f（g（x））＝0，则g（x）＝0或g（x）＝1，由图2知，g（x）＝0时，x＝0，或x＝2，g（x）＝1时，x＝1或x＝﹣1故A＝{﹣1，0，1，2}，若g（f（x））＝0，由图1知，f（x）＝0，或f（x）＝2（舍去），当f（x）＝0时，x＝﹣1或0或1，故B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，则A∩B中元素的个数为3个．故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ACB＝1，即，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，又AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面平面ACC1A1，CD⊂平面ACC1A1，∴BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥CD，∴异面直线B1C1与CD所成角为．∵AB＝2，BC＝1，∠ACB＝，∴AC＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝S△ABC•AA1＝＝．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．【解答】解：（1）由，可得cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝﹣，∵，∴cos（﹣2β）＝﹣，∴sin2β＝．（2）由题意可得，||＝||＝1，且与的夹角为α﹣β，＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），＝cosαcosβ+sinαsinβ＝1×1×cos（α﹣β），∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ成立．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a＝8，故曲线段MPN的函数关系式为，（4分）又得，所以定义域为[1，10]．…（6分）（2），设由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p＝0，△＝（8﹣kp2）2+32kp2＝（kp2+8）2＝0，…（8分）∴kp2+8＝0，∴，得直线AB方程为，…（10分）得，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0…（12分）得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．（14分）22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P （﹣1，k），△P AB的面积为，求k的值；（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，由题设得，∴，∴椭圆Γ的方程是．（2）设直线l：y＝k（x﹣1），由，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△＝16（k2+1）＞0，则，P（﹣1，k）到l的距离，又，∴，∴4k2＝3k2+3，故．（3）∵C（x1，y1），D（x2，y2），点C关于y轴的对称点为Q（﹣x1，y1），则直线，设x＝0得直线，设x＝0得，∴，又，，∴，，∴．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）已知数列{a n}为“r关联数列”，且a1＝﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+a k﹣1+a k＝a1+a2+…+a m﹣1+a m？若存在，求出所有的k，m 值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}为“6关联数列”，∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6＝a1+5，a5＝a1+4，且，即，解得a1＝﹣3…（2分）∴（或）．…（4分）（2）由（1）得（或）…（6分），{S n}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a n S n}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6＝﹣6，证明：，列举法知当n≤5时，（a n S n）min＝a5S5＝﹣5；…（8分）当n≥6时，，设t＝2n﹣5，则．…（10分）（3）数列{a n}为“r关联数列”，且a1＝﹣10，∵∴…（12分）①当k＜m≤12时，由得（k+m）（k﹣m）＝21（k﹣m）k+m＝21，k，m≤12，m＞k，∴或．②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56＝2m﹣11﹣56得m＝k，不存在…（14分）③当k≤12，m＞12时，由，2m﹣10＝k2﹣21k+112当k＝1时，2m﹣10＝92，m∉N*；当k＝2时，2m﹣10＝74，m∉N*；当k＝3时，2m﹣10＝58，m∉N*；当k＝4时，2m﹣10＝44，m∉N*；当k＝5时，2m﹣10＝25，m＝15∈N*；当k＝6时，2m﹣10＝22，m∉N*；当k＝7时，2m﹣10＝14，m∉N*；当k＝8时，2m﹣10＝23，m＝13∈N*；当k＝9时，2m﹣10＝22，m＝12舍去；当k＝10时，2m﹣10＝2，m＝11舍去当k＝11时，2m﹣10＝2，m＝11舍去；当k＝12时，2m﹣10＝22，m＝12舍去…（16分）综上所述，∴存在或或或．…（18分）。