指数函数

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指数函数知识点总结

指数函数知识点总结指数函数是数学中非常重要的一个概念，广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。

它具有许多独特的特性和性质，对于我们理解和应用数学具有重要的意义。

本文将对指数函数的定义、性质及其应用进行总结。

一、指数函数的定义和性质指数函数定义为以自然数e为底数的幂函数，即f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。

其中，底数a是正数且不等于1的任何实数。

指数函数的图像呈现出递增或递减的特点，取决于底数a的大小。

1. 当底数a大于1时，指数函数呈现递增的特性。

以a=2为例，f(x)=2^x的图像在坐标系中逐渐上升，呈现出指数增长的趋势。

指数函数在此情况下，也被称为增长函数。

2. 当底数a小于1且大于0时，指数函数呈现递减的特性。

以a=0.5为例，f(x)=0.5^x的图像在坐标系中逐渐下降，呈现出指数衰减的趋势。

指数函数在此情况下，也被称为衰减函数。

3. 当底数a等于1时，指数函数的值始终为1，即f(x)=1^x=1。

在此情况下，指数函数的图像为一条水平线，没有任何变化。

指数函数具有很多独特的性质，其中一些重要的性质如下：1. 指数函数的定义域为实数集。

任何实数都可以作为指数函数的自变量。

2. 指数函数的值域为正实数集。

由于底数a为正数，指数函数的幂结果始终大于0。

3. 当指数函数的底数a大于1时，映射为一对一。

即不同的指数x 对应不同的函数值f(x)。

4. 指数函数的图像都通过点(0,1)。

这是因为任何数的零次幂都等于1。

5. 指数函数具有对称轴的性质。

即f(x)=a^x的图像关于y轴对称。

二、指数函数的应用指数函数在自然科学、工程技术和经济学等领域应用广泛，主要体现在以下几个方面：1. 人口增长模型：指数函数可以用来描述人口的增长趋势。

如果一个国家的人口增长率呈现出指数增长，即人口每年以固定比例增加，那么可以使用指数函数来建立人口增长模型，预测未来的人口数量。

2. 金融利率计算：指数函数在金融学中有广泛的应用。

指数函数的概念

⑵ y 3 解：（2）由5x-1≥0得
5 x1
1 x 5 所以，所求函数定义域为
1 x | x 5
由
5x 1 0 得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
⑶
y 2x 1
由
解：（3）所求函数定义域为R
2 0
x
可得
2 1 1
x
所以，所求函数值域为{y|y>1}
6 5 4
x 1
所以，所求函数值域为 {y|y>0且y≠1}
-6
fx =
0.4 x-1
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
-2
说明：对于值域的求解，可以令考察指数函数y= 并结合图象直观地得到: 函数值域为 {y|y>0且y≠1}
1 t x 1
0.4
t
(t 0)
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
1 x 1 , x 1 2 2 x 1 , x 1
3.2
3.2 3.2 3.2 3.2 333 3
3
3
-0.2
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：函数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.

指数函数

指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 何两个幂函数最多有三个公共点．.定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<0 n<O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的；（4）（在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。

指数函数运算公式8个

指数函数运算公式8个
指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是底数，x是幂。

指数函数具有以下8个运算公式：
1.乘法公式：
a^x*a^y=a^(x+y)
这个公式说明了相同底数的指数函数相乘时，底数不变，指数相加。

2.除法公式：
(a^x)/(a^y)=a^(x-y)
这个公式说明了相同底数的指数函数相除时，底数不变，指数相减。

3.平方公式：
(a^x)^y=a^(x*y)
这个公式说明了指数函数的指数也可以是指数。

4.根式公式：
(a^x)^(1/y)=a^(x/y)
这个公式说明了指数函数可以求根号。

5.幂公式：
(a^x)^y=a^(x*y)
这个公式说明了对一个指数函数求幂时，可以将指数间的乘法提到指数外面。

6.对数公式：
loga (a^x) = x
这个公式说明了对一个指数函数求底数为a的对数时，可以得到其指数。

7.指数和对数互补公式：
a^loga (x) = x
这个公式说明了对一个以底数为x的对数函数求以底数为a的指数时，结果是x。

8.复合函数公式：
g(f(x))=(a^x)^y
=a^(x*y)
这个公式说明了一个指数函数作为复合函数时，可以把两个指数相乘。

这些指数函数运算公式是指数函数的基本性质，通过这些公式可以对
指数函数进行各种运算和简化。

对于求解指数函数的实际问题，这些公式
具有重要的应用价值。

【高中数学】指数函数

高中数学学科
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解析：选 A 由 0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c；
因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b.综上，a＞b＞c.
1 4．(2019·南宁调研)函数 f(x)＝ 2 xx2 的单调递增区间是( )
高中数学学科
指数函数
一、基础知识
1．指数函数的概念函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数．形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
高中数学学科
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值．
1 [解] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝ 3 －x2－4x＋3 ，
令 g(x)＝－x2－4x＋3，由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
1 而 y＝ 3 t 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
研究.
二、常用结论
指数函数图象的特点－1，1
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)， a ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
1 (2)函数 y＝ax 与 y＝ a x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称． (3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 a>1 时，指数函数的图象“上升”；当 0<a<1 时，指数函数的图象“下降”．

指数函数

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。
当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在x等于0的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。作为实数变量x的函数，的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。
性质：
（1）指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
（2）பைடு நூலகம்数函数的值域为R+。
（3）函数图形都是上凹的。
（4）a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a∧x+b ,则函数定过点(0,1+b))
（8）指数函数无界。
（9）指数函数是非奇非偶函数
（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。

指数函数公式

指数函数公式
指数函数是数学中的一种重要函数，也是很多科学研究和应用中常用的函数形式。

它的定义是：当x>0时，指数函数f(x)=ax（a>0，且a≠1），是一种特殊函数，其中a叫作指数，x叫作底数，而f(x)叫作指数函数的值。

指数函数是一种特殊的函数，它的特点是它的函数图像是一条竖直线，而且它的斜率可以由x的值来确定，其图像也可以由其参数a 来确定。

指数函数的图像在x=0处有一个垂直下降，它以不断增大的速度向上升，且不会越界，绝对值也会不断增大。

指数函数具有很多特点，它是一种单调函数，即指数函数的增减性质在整个定义域中是唯一的，它具有切线不变性，即曲线上任意点的切线斜率是定值。

指数函数的参数a可以是任意大于零的常数，当a增大时，曲线上函数值单调增加的速度就越快，相反，当a减小时，曲线上函数值单调增加的速度就越慢。

指数函数在各个领域都有着广泛的应用，在物理学中，它可以用来描述物体离原点距离随时间变化的情况；在经济学中，它可以用来描述商品价格随时间变化的情况；在数学中，它可以用来描述函数的变化趋势，以及函数的性质等等。

总的来说，指数函数是一种十分重要的函数，它不仅在数学中有着
重要的地位，而且在物理学、经济学等领域也有着重要的应用。

它的参数a的变化可以改变曲线的性质，使它能够更好地描述实际情况，从而对很多实际问题有着十分重要的作用。

知识讲解_指数函数及其性质_基础

指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域（0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。

（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。

当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。

当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。

（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值．【答案】2【解析】由2(33)xy a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =为大于1的常数)【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+，∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43). (3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =(4)0,1)y a a =>≠【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义，需满足10xa -≥，即1xa ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，3] 【解析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a=的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323xx y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增， u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)xxf x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x xf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数；当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。

(完整版)指数函数公式汇总

(完整版)指数函数公式汇总
指数函数在高等数学中广泛应用，是求解微积分、概率、统计学等领域的基本工具之一。

本文将对指数函数的基本概念、性质和常见公式进行汇总，供读者参考。

基本概念
指数函数是形如$f(x)=a^x$的函数，其中$a$为底数，$x$为自变量，$a>0$且$a\neq 1$。

指数函数具有以下两个基本性质：
- 增长性：当$x_1<x_2$时，有$a^{x_1}<a^{x_2}$；
- 连续性：指数函数在定义域内连续。

常用公式
- $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$
- $a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}$
- $(a^m)^n=a^{mn}$
- $(ab)^n=a^nb^n$
- $(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$
- $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
- $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
指数函数的图像
指数函数的图像随着底数$a$的变化而变化。

以下是$a=2$和$a=\frac{1}{2}$时的图像示意：
应用实例
指数函数广泛应用于各个领域，以下是一些实例：
1. 货币增长模型；
2. 股票投资回报预测；
3. 放射现象研究；
4. 生长模型研究。

总结
本文简要介绍了指数函数的基本概念和性质，并列举了常见的公式和应用实例，希望读者通过本文的阅读和学习，对指数函数有更深入的理解。

指数函数

【思考探究】
【探究2】已知 f ( x) 是定义在 1,1上的奇函
2x 数.当 x (0,1) 时，f ( x) x . 4 1
（1）求 f ( x) 的解析式. （2）判断 f ( x) 的单调性，并证明.
【作业布置】
必做题：《作业》P97 3—14，16 选做题： P97 20
2 1
【典例分析】
2x x y a 2 a 1(a 0且【典例1】已知函数 . a 1)
当 x 0 时，求 y 的范围.
【典例分析】
2 f ( x ) x bx c 满足【典例2】已知函数 x x , 则 f (b ) 与 f (c )
yc
x
y b
x
yd
x
ya
x
【尝试练习】
x 2 y 2 y x 1.函数与的图象的公共点个数
为 3 个
1 ( , ) 1 x2 x2 2.函数 y ( ）的单调增区间是 2 . 2 1 [ ,1] 1 3.函数 y x （1 x 2）的值域为 3 .
指数函数
一、定义
一般地，形如 y a (a 0且a 1) 的函数叫作指数函数，其中x是自变量，函数定义域是 R 。
x
二、图象与性质
函数
y a x (a 0且a 1)
0<a<1 a>1
图象
图象特征定义域值域单调性
（0,1）与x轴无交点，过定点 . 当 x 轴逐渐增大时，当 x 轴逐渐增大时，图象逐渐下降 . 图象逐渐上升.
的大小关系为（ x x A. f (b ) f (c ) x x C. f (b ) f (c )

指数函数-高考数学复习

考向4 指数型函数的综合应用
2
1 -2-3
f(x)=(3)
的图象经过点(3,1),
例 5(多选题)(2024·重庆云阳模拟)若函数
则( AC )
A.a=1
B.f(x)在(-∞,1)内单调递减
1
C.f(x)的最大值为 81
D.f(x)的最小值为81
解析对于 A,由题意
1 9a-6-3
f(3)=( )
解析若a>1,则f(x)在[-1,0]上单调递增,所以f(x)max=f(0)=a=2,即a=2;
若0<a<1,则f(x)在[-1,0]上单调递减,所以f(x)min=f(-1)=a-1=2,
即
1
a= .综上,a=2
2
或
1
a= .
2
考向2 比较幂值的大小
例3(1)(2024·江西赣州模拟)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),
则a,b,c的大小关系为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.c<b<a
解析依题意,21.99>21.98=40.99>20=1>ln 2,而函数f(x)=ex在R上单调递增,
因此f(21.99)>f(40.99)>f(ln 2),即c<a<b,故选C.
(2)(2024·辽宁大连模拟)已知
e +1
1-()
1-()
当-1<f(x)<0 时,[f(x)]=-1;当 0≤f(x)<1 时,[f(x)]=0,
因此[f(x)]的值域为{-1,0},故选 B.

指数函数

2x+b
.
例 2：函数y = a + 1 a > 0, 且 a ≠ 1, b ∈ R 的图象恒过定点(1,2),求 b 的值。 8.指数函数的单调性例：讨论函数y =
2 1 x −2x
3
的单调性。
习题 1、比较下列各组数的大小：
（1）若（2）若（3）若（4）若（5）若
，比较，比较，比较
x
当k=0或k 1时, 直线y=k与函数 y | 3 1 | 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
x
当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y | 3 1 | 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
函数性质 a 1 0 a 1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数函数的值域为 R+ a0 1 增函数减函数
x 0, a x 1
x 0, a x 1
x 0, a x 1
x 0, a x 1
函数值开函数值开始增长较始减小极图象上升图象上升慢，到了快，到了趋势是越趋势是越某一值后某一值后来越陡来越缓增长速度减小速度极快；较慢；注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上， f (x) a x (a 0且a 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ；（2）若 x 0 ，则 f (x) 1 ； f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x R ；（3）对于指数函数 f (x) a x (a 0且a 1) ，总有 f (1) a ；
∞) 上是增函数， ∴函数 y (a2 2a 5) x 在 (∞，
∴ 3 x 1 x ，解得 x

指数函数高考知识点总结

指数函数高考知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中经常涉及到的知识点之一。

指数函数是指以常数 e（自然对数的底数）为底数的函数，其形式可以写作 f(x) = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的实数，x 是变量。

一、指数函数的定义和性质指数函数的定义是 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

它的定义域是实数集，值域是正实数集。

指数函数的图像随着底数的不同而变化，底数 a 大于 1 时，图像呈现上升趋势；底数是 (0, 1) 之间的小数时，图像呈现下降趋势。

指数函数具有以下性质：1. 指数函数的导数等于其本身乘以常数 ln(a)（自然对数的底）。

2. 指数函数的导数在正实数上是严格递增的。

3. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是增函数且过点 (0, 1)；当底数 a 是 (0, 1) 之间的小数时，指数函数是减函数且过点 (0, 1)。

4. 指数函数是奇函数，即 f(-x) = 1 / a^x，其图像关于 y 轴对称。

5. 指数函数的图像在横轴上的渐近线为 y = 0，即当 x 趋近负无穷时，函数值趋近于 0。

二、指数函数的特殊情况1. 当底数 a 等于 e（自然对数的底数）时，指数函数称为自然指数函数，记作 f(x) = e^x。

自然指数函数具有特殊的性质，其导数和原函数等于它本身，即 f'(x) = e^x，∫ e^x dx = e^x + C。

2. 当指数 x 为 0 时，任何底数的指数函数的值都等于 1，即 a^0 = 1。

三、指数函数的应用指数函数广泛应用于各个领域，以下列举几个常见的应用：1. 经济增长模型：指数函数可以描述经济增长模型中的指数增长。

在经济学中，常用指数函数来预测人口增长、物价上涨以及国内生产总值的增长等。

2. 物质衰变模型：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程。

放射性衰变的速率与剩余物质的量成正比，因此可以用指数函数来描述物质衰变的速度。

指数函数的特性总结

指数函数的特性总结指数函数是数学中一种常见的函数形式，它具有许多独特的特性。

本文将对指数函数的特性进行总结，包括其定义、图像、增减性、对称性、极限、反函数以及实际应用等方面。

一、定义：指数函数可以表示为f(x) = a^x的形式，其中a为底数，x为自变量，f(x)为函数值。

底数a通常为正实数且不等于1，这样才满足指数函数的定义。

二、图像特性：1. 当0 < a < 1时，指数函数f(x) = a^x的图像在x轴的正半轴逐渐逼近于x轴，趋于无限接近于0，且f(0) = 1；2. 当a > 1时，指数函数f(x) = a^x的图像在x轴的负半轴逐渐逼近于x轴，趋于无限接近于0，且f(0) = 1；3. 当a = 1时，指数函数变为常数函数f(x) = 1，其图像为一条水平直线y = 1。

三、增减性：指数函数的增减性取决于底数a的大小：1. 当0 < a < 1时，指数函数f(x) = a^x在定义域内是递减函数；2. 当a > 1时，指数函数f(x) = a^x在定义域内是递增函数。

四、对称性：指数函数具有以下对称性特点：1. 关于y轴对称：如果f(x) = a^x是指数函数的图像上的一点(P)，那么点(-x, 1/a^x)也在该指数函数的图像上；2. 关于原点对称：如果f(x) = a^x是指数函数的图像上的一点(P)，那么点(-x, 1/a^x)也在该指数函数的图像上；3. 关于x轴对称：指数函数f(x) = a^x的图像和f(x) = (1/a)^x的图像关于x轴对称。

五、极限：当x趋向于正无穷大时，指数函数的极限表现如下：1. 当0 < a < 1时，指数函数f(x) = a^x的极限为0；2. 当a > 1时，指数函数f(x) = a^x的极限为正无穷大。

六、反函数：指数函数的反函数为对数函数，即y = log_a(x)。

反函数的定义域为(0, +∞)，值域为R。

指数函数知识点总结

指数函数知识点总结
指数函数的特征形式f(x) = a^x中，底数a是一个正实数且不等于1，指数x是一个实数。

指数函数通常可以分为两类：指数增长函数和指数衰减函数。

当底数a大于1时，指数函数称为指数增长函数，当底数a介于0和1之间时，指数函数称为指数衰减函数。

指数函数的图像通常具有一定的特点：当底数大于1时，图像会逐渐增长；当底数介于0和1
之间时，图像会逐渐衰减。

指数函数具有一些基本性质和特点，其中最重要的性质之一是指数函数的导数与原函数具
有相同的形式。

具体来说，f'(x) = a^x * ln(a)。

这个性质对于求解指数函数的导数和解析表达式都非常有帮助。

此外，指数函数还具有复合函数的性质，它可以和其他类型的函数结
合进行运算和变换，从而产生新的函数形式。

在实际问题中，指数函数常常被用来描述一些复杂的变化规律。

比如在经济学中，指数函
数可以用来描述人口增长、物价上涨、收入增长等现象；在自然科学中，指数函数可以用
来描述放射性物质的衰变、生物种群的增长等现象；在工程领域中，指数函数可以用来描
述电路中的电流变化等现象。

因此，掌握指数函数的基本知识对于解决实际问题和应用数
学知识都非常重要。

总之，指数函数是数学中一种重要的非代数函数形式，它具有底数和指数两个参数，描述
了一种特殊的变化规律。

指数函数在数学、科学和工程领域都有很重要的应用，因此了解
指数函数的基本特点和性质对于提高数学素养和解决实际问题都是非常有帮助的。

指数函数

在函数y=a^x中可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a 不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于０函数无意义一般也不考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凸的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)（8）显然指数函数无界。

（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

（如右图）》。

幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B 之间的大小。

指数函数总结

指数函数总结指数函数是我们在数学学习过程中经常接触到的一种函数类型。

它具有独特的性质和特点，常常被用来描述增长或衰减的过程。

在本文中，我们将对指数函数进行总结，并探讨一些实际应用。

一、指数函数的特点指数函数可以表示为y = a^x的形式，其中a称为底数，x为指数，y为函数的值。

指数函数的图像呈现出独特的特点，具有以下几个方面的特征。

1. 增长或衰减速度：当底数a>1时，指数函数呈现出增长的趋势；当0 < a < 1时，指数函数呈现出衰减的趋势。

底数越大（或越小），函数的增长（或衰减）速度越快。

2. 渐进线：指数函数的图像在y轴上有一条渐进线，它的斜率决定了函数的增长或衰减速度。

当a>1时，渐进线为y=0；当0 < a < 1时，渐进线为y=∞。

3. 对称性：指数函数在y轴上具有对称性。

也就是说，当a>1时，函数在y轴的右侧和左侧呈现出对称关系；当0 < a < 1时，函数在y轴的右侧和左侧同样呈现出对称关系。

二、指数函数的实际应用指数函数在现实生活中有许多实际应用。

下面以几种典型的应用为例进行探讨。

1. 货币贬值在经济领域，货币贬值是一个常见的现象。

可以使用指数函数来描述货币贬值的趋势。

假设我们以某一时刻的货币价值为1作为基准，t时刻的货币价值可以表示为y = a^t。

其中，底数a小于1，代表着货币的贬值速度。

我们可以通过拟合指数函数来预测货币贬值的走势。

2. 病毒传播病毒的传播过程也可以用指数函数来描述。

在病毒传播初期，感染人数呈指数增长，即每个感染者会感染更多的人。

这种情况可以使用y = a^x来表示，其中底数a大于1。

然而，随着疫苗的推广和防控措施的加强，病毒传播的速度逐渐减缓，指数函数的增长趋势也会变得平缓。

3. 核衰变核物质的衰变过程也可以用指数函数来描述。

核衰变的速率是一个指数函数，即随着时间的推移，衰变物质的数量呈指数衰减。

这是因为每个核衰变事件都是独立且具有恒定概率的。