简支梁受力分析力矩剪力计算

解：（1）求支座反力。
图 10.1.9 简 支 梁
MB (F) 0,
即 P 750 RA 1000 m q 0.5 250 0
可得
RA 250 N
Fy 0, 即 RA P q 0.5 RB 0
可得
RB 2750 N
（2）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象）。
Ⅰ-Ⅰ
图 1 0 . 1 . 1 0 剪板机电
解： 轧辊可简化为如图 10.1.10（c）所示形式。轧制力均匀分布于长度为 0.8m 的范围内，故轧制力的载 荷集度为
q 10 4 kN / m 12.5 10 3 kN / m 0.8
由于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的，所以容易求出两段的约束反力为
FA
FB
10 4 2
5 10 3 kN
以截面 C 左侧为研究对象，求得该截面上的剪力为
Fsc
Fa
10 4
2
5 10 3 kN
在跨度中点截面左侧的外力为 FA 和一部分均布载荷。以中点截面左侧为研究对象，求得弯矩
为
M
FA
0.83 q 0.4 0.4 2
3150kN.m
四、剪力图和弯矩图
（三）、梁的基本形式
按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定 端支座。这三种支座的约束情况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般 可把梁简化为以下三种基本形式。
1 、简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图 10.1.5（a）。
解：1）求支座反力。
由MA 0及MB 0得
FAy
FBy
ql 2
2）列剪力方程和弯矩方程。 取 A 为坐标轴原点，并在截面 x 处切开取左段为研究对象，如图 10.1.12（b）所示，则
FS
FAy
qx
ql 2
qx
(0 x l)
(10.1.1)
图 10.1.12 简支梁受均布
M
FAy x
对于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。正负号 由“外力矩左顺右逆，产生的弯矩为正”确定。
利用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。 例 10.1.1 简支梁受集中力 p 1kN ，力偶 m 1kN m ，均布载荷 q 4kN / m ，如图 10.1.9 所示，试求Ⅰ-Ⅰ 和Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。
二、梁的计算简图及基本形式
梁上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学 简化。
(一)、梁的简化
为了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。
（二）、荷载分类
作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：
1 、集中荷载 当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为 集中荷载或集中力。如车刀所受的切削力便可视为集中力 P，如图 10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或 千牛（kN）。
Q1 RA 250 N
M1 RA 200 250 0.2 50 N m
Ⅱ-Ⅱ
Q2 q 0.4 RB 4 0.4 2.75 1.5kN
M 2 RB 400 q 0.4 200 2750 400 103 4 103 0.4 0.2 780 N m
例 10.1.2 图 10.1.10（a）是薄板轧机的示意图。下轧辊尺寸表示在图 10.1.10（b）中轧制力约为104 kN , 并假定均匀分布在轧辊的 CD 的范围内。试求轧辊中央截面上的弯矩及截面 C 的剪力。
AC 段
Q1
RA
Pb l
，
0 xa
BC 段
M1
RA x
Pbx l
x
，
0 xa
Q2
RB
Pa l
，
a xl
M2
RB (l
x)
Pa(l l
x)
，
a xl
（4）绘制剪力图和弯矩图 由 AC 段和 BC 段剪力方程可知，两段的剪力分别为一正一负的常数， 故剪力图是分别位于 x 轴上方和下方的两条平行线（图 10.1.11(b)）。
由两段的弯矩方程可知，弯矩图为两条斜直线，由边界条件可得出斜直线上两点的坐标值：
AC 段
x1 0 ，
M1 0 ； x1 a ，
M1
Pab l
BC 段
x2 a ，
M2
Pab l；
x2
l
，M2
0
于是便得到如图 10.1.11(c)所示的横梁的弯矩图。
（5）确定剪力和弯矩的最大值 由图 10.1.11c，结合剪力方程，可以看出，当 a b 时，BC 段各截 面的剪力值最大；当 a b 时，AC 段各截面的剪力值最大。小车行驶时，力 P 作用点的坐标发生变化，最 大剪力值也随之发生变化。小车接近支座 B 点或 A 点时，剪力达到最大值 PQ max P 。
平衡方程求出支座反力 RA、RB。然后用截面法沿 m-m 截面假想地把梁截开，并以左边部分为研究对象（图 10.1.6(b)）。
因为原来梁处于平衡状态，故左段梁在外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。截面 m-m 上必有一个与
截面相切的内力 Q 来代替右边部分对左边部分沿截面切线方向移动趋势所起的约束作用；又因为 RA 与 P1
由 ΣFy = 0
得 RA P1 Q 0
Q RA P1
由 ΣMC = 0
得 M RAx P1(x a) 0
M RAx p1(x a)
式中，C 为横截面的形心。 若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在 m-m 截面上也必然有剪力 Q 和弯矩 M ，并
且它们分别与 Q 和 M 数值相等、方向相反。
在一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的。如果取梁的轴线为 x 轴，以坐标 x 表示 横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为 x 的函数，即
Q Q(x)
ห้องสมุดไป่ตู้
M M (x)
上述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
为了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设计计算中常把各截面上的 剪力和弯矩用图形表示。即取一平行于梁轴线的横坐标 x 来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截 面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与 x 的函数曲线。这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。
2 22
22 8
l , ql2 既曲线顶点为（ 2 8 ），开口向下，可按下列对应值确定几点。
x 0l
l 3l l
4
24
M0
0
3ql 2 ql 2 3ql 2
32 8 32
剪力图与弯矩图分别如图 10.1.12（c）、(d)所示。由图可知，剪力最大值 在两支座 A、B 内侧的
横截面上，
FS max
剪力和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图 10.1.7 所示。凡使梁段产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图 10.1.8 所示。
图 10.1.7 剪 力 的 符
综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：
图 10.1.8 弯 矩 的
对于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左 上右下，产生的剪力为正”确定。
利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力 图和弯矩图往往是梁的强度和刚度计算中的重要步骤。
剪力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为几段， 分段列出剪力和弯矩方程。取横坐标 x 表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。
2 、外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。 如图 10.1.5（b）
3 、悬臂梁 一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图 10.1.5（c）
图 10.1.4 载 荷 类
图 10.1.5 梁 的 类
以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。
下面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤
例 10.1.3 如图 10.1.11（a）所示起重机横梁长 l ，起吊重量为 P。不计梁的自重，试绘制图示 位置横梁的剪力图和弯矩图，并指出最大剪力和最大弯矩所在的截面位置。
图 1 0 . 1 . 1 1 简支梁受集中力
解 （1）绘制横梁的计算简图 根据横梁两端 A、B 轮的实际支承情况，将其简化为简支梁（图 10.1.11 （a）。起吊重量为 P 可简化为作用于沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面 C 处的集中力。
（2）计算 A、B 两端的支座的约束反力 根据静力平衡方程得
RA
Pb l
，
RB
Pa l
（3）建立剪力方程和弯矩方程 由于截面 C 有集中力 p 作用，梁 AC 端和 BC 段上任意截面左段研 究对象的平衡方程不同，故应分别建立两段的剪力方程和弯矩方程。设 AC 段和 BC 段的任一截面位置分别 用 x 表示 （图 10.1.11（a）），并以左段为研究对象计算剪力和弯矩，则方程为
2 、集中力偶 当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶， 称为集中力偶。如图 10.1.4（b）所示。它的单位为牛·米
（N·m）或千牛·米（kN·m）。 3 、均布载荷 沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 表示， 均布集度 q 为常数。如图 10.1.4（c）所示。其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。
ql 2
。弯矩的最大值在梁的中点， M max
ql2 8
。
例 10.1.5 如图 10.1.13（a）所示简支梁，在 C 点处受大小为 Me 的集中力偶作用。试作其剪力图和弯矩 图。
解：1）求支反力。
MB 0, FAyl Me 0,
qx2 2
qlx 2
qx2 2
(0 x l)
(10.1.2)
3）画剪力图。 式（10.1.1）表明，剪力 FS 是 x 的一次函数，所以剪力图是一条斜直线
x 0,
FS
ql 2
x l,
FS
ql 2
4）画弯矩图。 式（10.1.2）表明，弯矩 M 是 x 的二次函数，弯矩图是一条抛物线。由方程
M (x) qlx qx2 q (lx x2 ) q (x l )2 ql 2
第十章
弯曲梁的设计
第一节
一、弯曲的概念
梁平面弯曲的概念和弯曲内力
工程实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图 10.1.1，图 10.1.2 所示，这类 杆件受力的共同特点是外力（横向力）与杆轴线相垂直，变形时杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯 曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。
因此绘其剪力图时从a点零开始向下突变开始画x轴平行线至b点向上突变16在画x轴平行线最后连d点向下突变10而回到2绘弯矩图从a点零开始画斜率为c点有力偶作用故弯矩图有突变根据顺上逆下故向上突变4在画斜率为点转折作斜率为10的上斜线d点而回到零图101151018外伸梁受力如图10116a所示已知约束反力kn14试绘出梁的剪力图和弯矩图并求距4m处截面的剪力和弯矩
对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横截面 m-m 上必有一个位于载荷平面 的内力偶，其力矩为 M，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯曲时，横
截面上一般存在两个内力因素，其中 Q 称为剪力，M 称为弯矩。 剪力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。
图 10.1.1 火 车 轮 轴
图 10.1.2 起 重 机 大 梁
工程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图 10.1.3 所示。
图 10.1.3 梁的纵向对称
如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平 面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲 问题。
由图 10.1.11c，结合弯矩方程，可以分析得出，集中力 F 作用的 C 点所在截面处有最大弯矩。当小车
ab l
位于梁的中点时，即
2 处，因乘积 ab 最大，所以最大弯矩值也最大，为
M max
Pl 4
例 10.1.4 弯矩图。
如图 10.1.12（a）所示简支梁，在全梁上受集度 q 的均布载荷。试作此梁的剪力图和
三、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算 作用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡 条件求得。在外载荷的作用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截 面上内力的方法是截面法。
图 10.1.6 截面法求梁的内
如图 10.1.6 所示的简支梁，受集中力 P1 和 P2 作用。为了求出距 A 端支座为 x 处横截面 m-m 上的内力，首先按静力学中的