等差数列的三种常考题型及解答方法
等差数列题型及解题方法
等差数列题型及解题方法摘要:1.等差数列的定义及性质2.等差数列的通项公式与应用3.等差数列的求和公式与应用4.等差数列的性质在解题中的应用5.典型例题解析正文:等差数列是高中数学中的重要内容,它在各类考试中都有所体现。
掌握等差数列的性质和解题方法,对于提高数学成绩具有重要意义。
本文将介绍等差数列的定义、性质、通项公式、求和公式及其在解题中的应用,并通过典型例题进行解析。
一、等差数列的定义及性质1.定义:等差数列是指一个数列,其中任意两个相邻的项之差相等。
这个相等的差称为公差。
2.性质:(1)任意两项之间的公差相等;(2)任意三项之和等于中间项的倍数;(3)首项与末项之和等于第二项的倍数;(4)任意一项与它后面一项的比值相等。
二、等差数列的通项公式与应用等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d,其中an表示第n项,a1表示首项,d表示公差。
应用:已知等差数列的前n项和Sn,可求任意一项的公式为:an = Sn / n - (a1 + an)/2。
三、等差数列的求和公式与应用等差数列的前n项和公式为:Sn = n/2 * (a1 + an)。
应用:已知等差数列的首项、末项和项数,可求前n项和的公式为:Sn = (a1 + an) * n / 2。
四、等差数列的性质在解题中的应用1.利用等差数列的性质直接求解问题;2.利用等差数列的性质转化为其他数列问题;3.利用等差数列的性质求解最值问题;4.利用等差数列的性质求解恒成立问题。
五、典型例题解析1.已知等差数列的前5项分别为3,5,7,9,11,求公差和首项。
解:由等差数列的性质可知,5项之间的公差为2。
首项为3,故可求得公差d=2,首项a1=3。
2.已知等差数列的前n项和为10n,求通项公式。
解:由等差数列的前n项和公式Sn = n/2 * (a1 + an)可得,a1 + an = 20。
又由通项公式an = a1 + (n-1)d,代入a1 + an = 20,解得d=2,a1=19。
五年级等差数列题型及解题方法
五年级等差数列题型及解题方法一、等差数列的基本概念1. 定义等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。
例如数列1,3,5,7,9,·s,公差d = 2。
2. 通项公式a_n=a_1+(n 1)d,其中a_n表示第n项的数值,a_1表示首项,n表示项数,d表示公差。
例如:已知一个等差数列a_1=3,d = 2,求第5项a_5。
解析:根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d,将a_1=3,n = 5,d = 2代入公式,得到a_5=3+(5 1)×2=3 + 8=11。
3. 求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}或S_n=na_1+(n(n 1))/(2)d例如:求等差数列1,3,5,·s,99的和。
解析:方法一:首先求项数n,根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d,这里a_1=1,d = 2,a_n=99。
由99 = 1+(n 1)×2,99=1 + 2n-2,2n=100,解得n = 50。
再根据求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2},将n = 50,a_1=1,a_n=99代入,得到S_50=(50×(1 + 99))/(2)=2500。
方法二:直接用S_n=na_1+(n(n 1))/(2)d,n = 50,a_1=1,d = 2,则S_50=50×1+(50×(50 1))/(2)×2=50+50×49=2500。
二、常见题型及解题方法1. 求项数题目:在等差数列3,7,11,·s,43中,项数是多少?解析:已知a_1=3,d = 4,a_n=43。
根据通项公式a_n=a_1+(n 1)d,则43=3+(n 1)×4。
首先展开式子得到43=3 + 4n-4,即43 = 4n-1。
数列知识点总结及题型归纳---含答案
数列一、等差数列题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
例:等差数列12-=n a n ,=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-;说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列。
例:1.已知等差数列{}n a 中,12497116a a a a ,则,==+等于( ) A .15 B .30 C .31 D .642.{}n a 是首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B )668 (C )669 (D )6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ,则n a 为 n b 为 (填“递增数列”或“递减数列”)题型三、等差中项的概念:定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ,A ,b 成等差数列⇔2a bA +=即:212+++=n n n a a a (m n m n n a a a +-+=2) 例:1.设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++= ( )A .120B .105C .90D .752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( ) A .1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质:(1)在等差数列{}n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列{}n a 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列{}n a 中,对任意m ,n N +∈,()n m a a n m d =+-,n ma a d n m-=-()m n ≠;(4)在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; 题型五、等差数列的前n 和的求和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da )(2n 2112-+=。
数列题解析常见的数学题型及解题技巧
数列题解析常见的数学题型及解题技巧数列题解析:常见的数学题型及解题技巧数学中,数列是一种按照一定规律排列的数字序列。
数列题是中学数学常见的题型之一,考察学生对数列的理解和解题能力。
本文将介绍数列题的常见题型,并提供解题技巧。
一、等差数列1. 等差数列概念等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
通常用字母a表示首项,d表示公差。
等差数列的通项公式为:an = a + (n-1)d。
2. 等差数列题型及解题技巧(1) 求前n项和:可以利用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算。
(2) 求项数:已知等差数列的首项和公差,求第n项可以利用通项公式an = a + (n-1)d。
(3) 求公差:已知等差数列的首项和任意两项,可以利用公式d = an - a(n-1)来计算。
二、等比数列1. 等比数列概念等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
通常用字母a表示首项,q表示公比。
等比数列的通项公式为:an = a * q^(n-1)。
2. 等比数列题型及解题技巧(1) 求前n项和:可以利用等比数列的求和公式Sn = (a(1-q^n))/(1-q)来计算。
(2) 求项数:已知等比数列的首项和公比,可以利用通项公式an = a * q^(n-1)进行转化求解。
(3) 求公比:已知等比数列的首项和任意两项,可以通过求项数的方式来计算公比。
三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前一项递推而来的数列。
递推数列题型比较灵活,常见的有斐波那契数列、阶乘数列等。
解决递推数列题目的关键是找到递推关系式,将问题转化为数列的求解问题。
四、复合数列复合数列是指数列中同时具有等差和等比特征的数列。
可以通过将复合数列拆分成等差数列和等比数列两部分来解决问题。
解决复合数列题目的关键是根据题目给出的条件,分别求解等差数列和等比数列的部分,然后将结果综合起来。
五、其他常见数列题型除了上述三种常见的数列题型外,还有一些其他常见的数列题型,如费马数列、幂次数列等。
高中数学解题技巧之等差数列求解
高中数学解题技巧之等差数列求解在高中数学中,等差数列是一个非常重要的概念,也是解题中经常遇到的一种题型。
掌握等差数列的求解技巧,对于解题能力的提升至关重要。
本文将介绍几种常见的等差数列求解方法,并通过具体的例子来说明每种方法的应用场景和解题思路。
一、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是解题中最常用的方法之一。
对于一个等差数列,如果已知首项为a1,公差为d,第n项为an,那么可以使用以下通项公式来求解:an = a1 + (n - 1) * d其中,an表示第n项的值,a1表示首项的值,d表示公差。
例如,已知等差数列的首项为3,公差为2,求第10项的值。
解题思路:根据通项公式,可以直接代入a1=3,d=2,n=10,得到:a10 = 3 + (10 - 1) * 2= 3 + 9 * 2= 3 + 18= 21所以,第10项的值为21。
二、等差数列的前n项和公式除了求解某一项的值,有时候我们还需要求解等差数列的前n项和。
对于一个等差数列,如果已知首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,那么可以使用以下前n 项和公式来求解:Sn = n/2 * (a1 + an)其中,Sn表示前n项的和,n表示项数。
例如,已知等差数列的首项为1,公差为3,求前10项的和。
解题思路:根据前n项和公式,可以直接代入a1=1,d=3,n=10,得到:S10 = 10/2 * (1 + a10)= 5 * (1 + 21)= 5 * 22= 110所以,前10项的和为110。
三、等差数列的差值求解在解题过程中,有时候我们需要求解等差数列中两项之间的差值。
对于一个等差数列,如果已知第m项为am,第n项为an,那么可以使用以下差值公式来求解:an - am = (n - m) * d其中,an表示第n项的值,am表示第m项的值,d表示公差。
例如,已知等差数列的第3项为10,第8项为28,求公差。
解题思路:根据差值公式,可以直接代入am=10,an=28,m=3,n=8,得到:28 - 10 = (8 - 3) * d18 = 5 * dd = 18 / 5d = 3.6所以,公差为3.6。
等差数列大题解法技巧汇总,附典型例题及答案
等差数列大题解法技巧汇总,附典型例题及答案等差数列大题求解技巧和题型汇总
数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。
求Sn实质上是求{Sn}的通项公式,应注意对其含义的理解。
常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和,但是常见的就记忆上图中的方法就可以了。
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位,数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要有一定的技巧,也就是一些特殊数列,要单独记忆。
求解过程要注意,通法和巧法的使用,第一选择用巧法,实在不行都可以用通法转化成a1和d,再去求解。
主要公式的应用,书记公式,套用,求解
对于递推公式的套用转化,需要强化练习,孰能生巧
方法二更简单些,一定要掌握
先化简,再裂项相消,就简单了
错位相减法要注意,Sn等于的最后两项都要写出来,乘以公比,错位书写,相减,末项前面是减号,中间部分用数列求和公式,再化简,随后把Sn前面的系数除掉。
等差数列的三种常考题型及解答方法
等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为(A )2- (B ) 3- (C ) 2 (D )32. 已知数列的等差数列,若,则数列的公差等于A .1B .3C .5D .63. 在等差数列{a n }中,a 1=13,a 3=12若a n =2,则n 等于A .23B .24C .25D .264. {a n }是首项a 1=1,公差为d=3的等差数列,如果a n =2008,则序号n 等于( )A 、667B 、668C 、669D 、6705. 在等差数列{a n }中,若等于 A .7 B .8 C .9 D .10二、 性质:1)若m+n=p+q ,则q p n m a a a a +=+2)若m+n=2p ,p n m a a a 2=+运用6. 数列为等差数列,且,则.7. 在等差数列{}中,已知则等于A.40B.42C.43D.458.已知等差数列中,,则________。
9. (2008•海南)已知{a n}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=_____________10.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=_______________11.已知等差数列中,和是方程的两根,则——————————————12.在等差数列中,若,则等于 A.30 B.40 C.60 D.80 13. 已知数列{a n}是等差数列,且a4+a7+a10=17,a8+a9+a10=21,若a k=13,则k=14.已知等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差________。
15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为16.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于______________17.等差数列{a n}中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为77,偶数项之和为66,a1=1,求其项数和中间项.18.(2005•黑龙江)如果数列{a n}是等差数列,则()A、a1+a8>a4+a5B、a1+a8=a4+a5C、a1+a8<a4+a5D、a1a8=a4a519.(2005•黑龙江)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则()A、a1a8>a4a5B、a1a8<a4a5C、a1+a8>a4+a5D、a1a8=a4a5三、灵活求解20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|等于______________21.首项为-30的等差数列,从第7项开始为正,则公差d的取值范围是()A 、5≤d <6B 、d <6C 、5<d ≤6D 、d >522. 已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg2x y -成等差数列,则点P 的轨迹图形是什么?23. 已知数列{}n a 的首项135a =,121n n n a a a +=+,*n N ∈,求{}n a 的通项公式。
等差数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)
等差数列及其前n 项和一、知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a ,b 的等差中项,且A =a +b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d .(2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)d 2=n (a 1+a n )2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 小结:1.已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列,且公差为p .2.在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d =0,则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d =0,则前n 项和不是二次函数.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2且S 5=30,则S 8等于( )A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎨⎧a 1+5d =2,5a 1+10d =30, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=263,d =-43,∴S 8=8a 1+8×72d =32. 答案 B3.在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8=________. 解析 由等差数列的性质,得a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=450,∴a 5=90,∴a 2+a 8=2a 5=180.答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A.-12B.-10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则3(3a 1+3d )=2a 1+d +4a 1+6d ,即d =-32a 1.又a 1=2,∴d =-3,∴a 5=a 1+4d =2+4×(-3)=-10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中,a 2=1,前5项和S 5=-15,则数列{a n }的公差为( )A.-3B.-52C.-2D.-4 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,因为⎩⎨⎧a 2=1,S 5=-15,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =1,5a 1+5×42d =-15, 解得d =-4.答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8>0,且S 9<0,则S 1,S 2,…,S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中,∵a 3+a 8>0,S 9<0,∴a 5+a 6=a 3+a 8>0,S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5<0, ∴a 5<0,a 6>0,∴S 1,S 2,…,S 9中最小的是S 5.答案 S 5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8 (2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 11=22,a 4=-12,若a m =30,则m =( )A.9B.10C.11D.15 解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1+3d )+(a 1+4d )=24,6a 1+6×52d =48,所以d =4.法二 等差数列{a n }中,S 6=(a 1+a 6)×62=48,则a 1+a 6=16=a 2+a 5,又a 4+a 5=24,所以a 4-a 2=2d =24-16=8,则d =4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11=11a 1+11×(11-1)2d =22,a 4=a 1+3d =-12,解得⎩⎨⎧a1=-33,d =7,∴a m =a 1+(m -1)d =7m -40=30,∴m =10.答案 (1)C (2)B【训练1】 (1)等差数列log 3(2x ),log 3(3x ),log 3(4x +2),…的第四项等于()A.3B.4C.log 318D.log 324(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 3=6,S 4=12,则S 6=________. 解析 (1)∵log 3(2x ),log 3(3x ),log 3(4x +2)成等差数列, ∴log 3(2x )+log 3(4x +2)=2log 3(3x ),∴log 3[2x (4x +2)]=log 3(3x )2,则2x (4x +2)=9x 2,解之得x =4,x =0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38,log 312,log 318,∴公差d =log 312-log 38=log 332,∴数列的第四项为log 318+log 332=log 327=3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由S 3=6,S 4=12,可得⎩⎨⎧S 3=3a 1+3d =6,S 4=4a 1+6d =12,解得⎩⎨⎧a 1=0,d =2,所以S 6=6a 1+15d =30.法二 由{a n }为等差数列,故可设前n 项和S n =An 2+Bn , 由S 3=6,S 4=12可得⎩⎨⎧S 3=9A +3B =6,S 4=16A +4B =12,解得⎩⎨⎧A =1,B =-1,即S n =n 2-n ,则S 6=36-6=30. 答案 (1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0,得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2, 又1S 1=1a 1=2, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n=2n ,∴S n =12n . 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-12n (n -1). 当n =1时,a 1=12不适合上式.故a n =⎩⎪⎨⎪⎧12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ,由题设可得⎩⎨⎧a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6,解得⎩⎨⎧q =-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n .(2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n 2n +13. 由于S n +2+S n +1=-43+(-1)n 2n +3-2n +23. =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤-23+(-1)n ·2n +13=2S n , 故S n +1,S n ,S n +2成等差数列.考点三 等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质【例3-1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中,a 1+3a 8+a 15=120,则a 2+a 14的值为( )A.6B.12C.24D.48 解析 ∵在等差数列{a n }中,a 1+3a 8+a 15=120,由等差数列的性质,a 1+3a 8+a 15=5a 8=120,∴a 8=24,∴a 2+a 14=2a 8=48.答案 D角度2 等差数列和的性质【例3-2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )A.63B.45C.36D.27 解析 由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列, 即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,所以a 7+a 8+a 9=45.答案 B规律方法 1.项的性质:在等差数列{a n }中,若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .2.和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则(1)S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);(2)S 2n -1=(2n -1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 015,S 2 0152 015-S 2 0092 009=6,则S 2 019=________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5=3,a 8=8,则a 12的值是( )A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7b 7等于( ) A.3727B.1914C.3929D.43 解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ,则S 2 0152 015-S 2 0092 009=6d =6,∴d =1.故S 2 0192 019=S 11+2 018d =-2 015+2 018=3,∴S 2 019=3×2 019=6 057.(2)由a 3+a 4+a 5=3及等差数列的性质,∴3a 4=3,则a 4=1.又a 4+a 12=2a 8,得1+a 12=2×8.∴a 12=16-1=15.(3)a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=a 1+a 132×13b 1+b 132×13=S 13T 13=3×13-22×13+1=3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1≠0,常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数n 都成立.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设a 1>0,λ=100,当n 为何值时,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大? 解 (1)令n =1,得λa 21=2S 1=2a 1,a 1(λa 1-2)=0,因为a 1≠0,所以a 1=2λ,当n ≥2时,2a n =2λ+S n ,2a n -1=2λ+S n -1,两式相减得2a n -2a n -1=a n (n ≥2).所以a n =2a n -1(n ≥2),从而数列{a n }为等比数列,a n =a 1·2n -1=2n λ.(2)当a 1>0,λ=100时,由(1)知,a n =2n 100,则b n =lg 1a n =lg 1002n =lg 100-lg 2n =2-n lg 2, 所以数列{b n }是单调递减的等差数列,公差为-lg 2,所以b 1>b 2>…>b 6=lg 10026=lg 10064>lg 1=0,当n ≥7时,b n ≤b 7=lg 10027<lg 1=0,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大. 规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法:(1)函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn (a ≠0),通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,进而求S n 的最值.①当a 1>0,d <0时,满足⎩⎨⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m +1=0时,S m +1也为最大值);②当a 1<0,d >0时,满足⎩⎨⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m +1=0时,S m +1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 3,a 5,a 15成等比数列,若a 5=5,S n 为数列{a n }的前n项和,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( ) A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎨⎧(a 1+2d )(a 1+14d )=25,a 1+4d =5,由d ≠0,解得a 1=-3,d =2,∴S n n =na 1+n (n -1)2d n =-3+n -1=n -4,则n -4≥0,得n ≥4,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4. (2)因为等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,S n =na 1+n (n -1)2d =20n -n (n -1)2×2 =-n 2+21n =-⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2122+⎝ ⎛⎭⎪⎫2122, 又因为n ∈N *,所以n =10或n =11时,S n 取得最大值,最大值为110. 答案 (1)B (2)110三、课后练习1.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,且2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1(n ≥2且n ∈N *),则a 18=( )A.259B.269C.3D.289 解析 令b n =na n ,则2b n =b n -1+b n +1(n ≥2),所以{b n }为等差数列,因为b 1=1,b 2=4,所以公差d =3,则b n =3n -2,所以b 18=52,则18a 18=52,所以a 18=269.答案 B2.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n (n ∈N *),若S n T n =2n -1n +1,则a 12b 6=( )A.154B.158C.237D.3 解析 由题意不妨设S n =n (2n -1),T n =n (n +1), 所以a 12=S 12-S 11=12×23-11×21=45,b 6=T 6-T 5=6×(6+1)-5×(5+1)=42-30=12,所以a 12b 6=4512=154. 答案 A3.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0得n ≥5,∴n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0, ∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130. 答案 1304.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1+a 13=26,S 9=81.(1)求{a n }的通项公式;(2)令b n =1a n +1a n +2,T n =b 1+b 2+…+b n ,若30T n -m ≤0对一切n ∈N *成立,求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中,a 1+a 13=26,S 9=81, ∴⎩⎨⎧2a 7=26,9a 5=81,解得⎩⎨⎧a 7=13,a 5=9,∴d =a 7-a 57-5=13-92=2, ∴a n =a 5+(n -5)d =9+2(n -5)=2n -1.(2)∵b n =1a n +1a n +2=1(2n +1)(2n +3) =12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3, ∴T n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+15-17+…+12n +1-12n +3 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-12n +3, ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-12n +3随着n 的增大而增大,知{T n }单调递增. 又12n +3>0,∴T n <16,∴m ≥5, ∴实数m 的最小值为5.。
数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。
下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等差数列的首项为a,公差为d,第n项的值为an,则有公式:an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a,公差为d,前n项和为Sn,则有公式:Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a,第m项与第n项的和为s,则公差d的值可以通过以下公式计算得出:d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a,公差为d,第n项的值为an,可以通过以下公式求解项数n:n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时,关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点,列出方程,再解方程求解。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。
下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。
1. 求第n项的值设等比数列的首项为a,公比为q,第n项的值为an,则有公式:an = a * q^(n-1)2. 求前n项和(当公比q不等于1时)设等比数列的首项为a,公比为q,前n项和为Sn,则有公式:Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和(当公比q等于1时)当公比q等于1时,等比数列的前n项和为n * a。
4. 求公比已知等比数列的首项为a,第m项与第n项的比为r,则公比q的值可以通过以下公式计算得出:q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a,公比为q,第n项的值为an,可以通过以下公式求解项数n:n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时,关键是要找到规律。
可以通过观察数列的特点,列出方程,再解方程求解。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1,后续项为前两项之和的数列。
等差数列的通项及性质7大题型 (解析版)
等差数列的通项及性质7大题型【考点预测】一.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母表示,定义表达式为d (常数).1--=n n a a d *()2,∈≥n N n (2)等差中项 若三个数,,成等差数列,则叫做与的等差中项,且有a A b A a b =2+a bA .(3)等差数列的通项公式如果等差数列的首项为,公差为,那么它的通项公式是.{}n a 1a d 1(1)=+-n a a n d 二.等差数列通项的常用性质已知为等差数列,为公差,为该数列的前项和.{}n a d n S n (1)通项公式的推广:.*())(,=+-∈n m a a n m d n m N (2)在等差数列中,当时,.{}n a +=+m n p q *(),,,+=+∈m n p q a a a a m n p q N 特别地,若,则.2+=m n t *()2,,+=∈m n t a a a m n t N (3),…仍是等差数列,公差为.2++,,k k mk ma a a *(),∈md k m N (4)若,是等差数列,则也是等差数列.{}n a {}nb {}+n n pa qb 【题型目录】题型一:等差数列通项公式运用题型二:等差中项问题题型三:等差数列通项的性质题型四:整体看成等差数列问题题型五:等差数列通项公共项问题题型六:几个连续实数成等差数列问题题型七:等差数列通项新文化试题【典型例题】题型一:等差数列通项公式运用【例1】(2022·全国·高二课时练习)在等差数列中,若,,则( ){}n a823a =1132a =66a =A .195B .196C .197D .198【例2】(2022·江西省万载中学高一阶段练习(文))在数列中,,,若n 11a =13n n a a +-=2020n a =,则( )n =A .671B .672C .673D .674【答案】D【分析】分析得到数列是以1为首项,3为公差的等差数列,利用等差数列通项即得解.{}n a【详解】∵,,11a =13n n a a +-=∴13n n a a +-=∴数列是以1为首项,3为公差的等差数列,{}n a∴,解得.()()111312020n a a n d n =+-=+-=674n =故选:D.【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列,若,,则( ){}n a2911a a +=41014a a +=n a =A .B .C .D .2n 21n +n 21n -【答案】C【分析】设公差为d ,利用基本量代换列方程组解出首项和公差,即可写出通项公式.【详解】在等差数列中,设公差为d ,依题意,即{}n a 294101114a a a a +=⎧⎨+=⎩11291121214a d a d +=⎧⎨+=⎩解得公差,,所以.1d =11a =n a n =故选:.C 【例4】(2022·全国·高二课时练习)数列的首项为,为等差数列,且{}n a 3{}nb ()1n n n b a a n N *+=-∈,若,,,则等于( )32b =-1012b =8a A .B .C .D .03811【例5】(2022全国高二课时练习)在等差数列中,若a 1=84,a 2=80,则使an 0,且an +1n ≥<0的n 为( )A .21B .22C .23D .24【答案】B【分析】用基本量表示,列出不等式组,求解即可1,a d 1,n n a a +8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩【详解】公差d =a 2-a 1=-4,∴an =a 1+(n -1)d =84+(n -1)(-4)=88-4n ,令10,0,n n a a +≥⎧⎨<⎩即8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩⇒,又∵n ∈N *,2122n <≤∴n =22.故选:B【例6】(2022·全国·高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构,,,,AA BB CC DD''''是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA .已知成公差为0.1的等差数列,且直线11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====123,,k k k OA的斜率为0.725,则( )3k =A .0.75B .0.8C .0.85D .0.9【答案】D【解析】设,则,11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意,有,且,31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以,故,30.530.30.7254k +-=30.9k =故选:D【例7】(2022·全国·高二课时练习)若数列为等差数列,,,则( ){}n ap a q=()q a p p q =≠p q a +=A .B .0C .D .p q +()p q -+2p q+【答案】B【分析】根据等差数列通项公式的变形形式求解:.()n m a a n m d =+-【详解】设数列的公差为.∵,∴,即.∵,∴{}n ad ()p q a a p q d=+-()q p p q d=+-()q p p q d-=-p q ≠,∴.1d =-()0p q p a a p q p d q p +=++-=-=⎡⎤⎣⎦故选:B .【例8】(2022·全国·高二课时练习)已知数列均为等差数列,若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===,则( )44a b =A .B .C .D .19212327【答案】B【分析】设,得出,令,可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列,求得公差,即可求得的值.4c 【详解】由题意,设,,n n a an b b cn d =+=+则,()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令,可得构成一个等差数列,n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ,,113a b =227a b =3313a b =,,所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得:,即.421c =4421a b =故选:B【例9】(2022全国高二课时练习)(1)在等差数列{an }中,已知a 3+a 8=10,则3a 5+a 7=________.(2)已知等差数列{an }中,a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9=________.【答案】 20 27【分析】(1)利用等差数列的性质求解即可,(2)利用等差数列的性质求解,或设等差数列{an }的公差为d ,利用已知条件求出公差,再利用等差数的性质求解【详解】(1)3a 5+a 7=2a 5+(a 5+a 7)=2a 5+2a 6=2(a 3+a 8)=20.(2)法一 由性质可知,数列a 1+a 4+a 7,a 2+a 5+a 8,a 3+a 6+a 9是等差数列,所以2(a 2+a 5+a 8)=(a 1+a 4+a 7)+(a 3+a 6+a 9),则a 3+a 6+a 9=2×33-39=27.法二 设等差数列{an }的公差为d ,则(a 2+a 5+a 8)-(a 1+a 4+a 7)=(a 2-a 1)+(a 5-a 4)+(a 8-a 7)=3d =-6,解得d =-2,所以a 3+a 6+a 9=a 2+d +a 5+d +a 8+d =27.故答案为:(1)20 (2)27【例10】(2022全国高二专题练习)在等差数列中,,且{}n a 138a a +=2429a a a =⋅(1)求数列的首项、公差;{}n a(2)设,若,求正整数m 的值.()()1218n n n a a b -+=13m m m b b b +++=【题型专练】1.(2021·全国·高二单元测试)已知等差数列满足,则中一定为零的项是( ){}n a3243a =a {}n aA .B .C .D .6a 7a 8a 9a 【答案】A【分析】先设等差数列的公差,根据题中条件,得出首项与公差之间关系,即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为,由得,∴,{}n ad 3243a =a 15a d =-6150a a d =+=故选:A .2.(2021·全国·高二专题练习)已知等差数列中,,,则等于( ){}n a3822a a +=67a =4a A .B .1523C .D .729【答案】B【分析】求出等差数列的公差的值,由此可求得的值.{}n ad 4a【详解】设等差数列的公差为,则,解得,{}n ad ()()3866632222a a a d a d a d +=-++=-=8d =-因此,.()46272823a a d =-=-⨯-=故选:B.3.(2021·江苏·高二专题练习)在等差数列中,已知,,,则( ){}n a113a =45163a a +=33k a =k =A .B .5049C .D .48474.(2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习)在数列中,,n 12a =1221n n a a +-=,则的值为( )101a A .52B .51C .50D .495.(2022·全国·高二课时练习)已知数列是首项为3,公差为n a d d ∈N 的等差数列,若2023是该数列的一项,则公差d 可能是( )A .2B .3C .5D .6P 条弦的长度组成一个等差数列,最短弦长为,最长弦长为,且公差,则1a n a 2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦n的取值可能是( )A .B .C .D .56781123A .公差d =-4B .a 2=7C .数列{an }为递增数列D .a 3+a 4+a 5=84【答案】BC【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算,对选项一一判断即可.【详解】解析:∵a 1+a 2+a 3=21,∴3a 2=21,∴a 2=7.∵a 1=3,∴d =4.∴数列{an }为递增数列,a 4=a 2+2d =15.∴a 3+a 4+a 5=3a 4=45.故选:BC8.(2022·全国·高二单元测试)已知数列为等差数列,,,则公差d 为______.{}n a36a =918a =【答案】2【分析】由等差数列性质得,即可求得公差d936a a d =+【详解】数列为等差数列,则,可解得.{}n a9361866d a a d =+⇒=+2d =故答案为:29.(2022·全国·高二课时练习)等差数列2,4,6,…的第18项为______.【答案】36【分析】由条件确定数列的公差,再确定其通项公式,由此求其第18项.【详解】设数列的第项为,n n a 由已知数列为等差数列,且,,{}n a12a =24a =所以数列的公差,{}n a2d =所以,2(1)22n a n n =+-⨯=所以,1836a =故答案为:36.10.(2022·全国·高二单元测试)设是公差为-2的等差数列,如果{}n a1479750a a a a ++++= ,那么______.36999a a a a ++++= 【答案】-82【分析】根据等差数列通项公式化简求解.【详解】∵是公差为-2的等差数列,{}n a ∴()()()()36999147972222a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++ .147973325013282a a a a d =+++++⨯=-=- 故答案为:-8211.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列为递增数列,若,{}n a 22110101a a +=5611a a +=,则数列的公差d 的值为______.{}n a【答案】112.(2022·全国·高二课时练习)若,且两数列a , , ,b 和a ,,,a b ¹12123,b 都是等差数列,则________.3121y y x x -=-【答案】##32 1.513.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列的前三项分别为,,n 1a -21a +7a +,则此数列的通项公式为______.n a =【答案】43n -【分析】根据等差数列前三项可求出,即可得出首项和公差,求出通项公式.a 【详解】由题意,得,所以,()17221a a a -++=+2a =所以的前三项分别为1,5,9,公差为4,故.{}n a()11443n a n n =+-⨯=-故答案为:.43n -14.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列满足,则____________.{}n a2438a a =-5a =【答案】4【分析】利用表示,整理可得.1,a d 2438a a =-5a 【详解】设等差数列的公差为,则由得:,{}n ad 2438a a =-()11338a d a d +=+-整理可得:,即.()1128248a d a d +=+=5144a a d =+=故答案为:.415.(2020·全国·高二课时练习)已知等差数列{an },且a 3+a 5=10,a 2a 6=21,则an =____________.【答案】或.1n a n =+9n a n =-+【分析】设等差数列的公差为,根据题意列出方程组,求得的值,即可求解.{}n a d d 【详解】设等差数列的公差为,{}n ad 因为,可得,354210a a a +==45a =又由,2644(2)(2)(52)(52)21a a a d a d d d =-+=-+=解得,所以或,21d =1d =1d =-所以数列的通项公式为或.{}n a1n a n =+9n a n =-+故答案为:或.1n a n =+9n a n =-+16.(2021·全国·高二专题练习)若a ,x 1,x 2,x 3,b 与a ,y 1,y 2,y 3,y 4,y 5,b 均为等差数列,则3131x x y y --=________.17.(2022·全国·高二课时练习)存在条件:①,;②,;③,23d =-37a =713.在这三个条件中任选一个,回答下列问题,已知等差数列满足______.求数列2414a a +={}n a 的通项公式.{}n a【答案】163n a n=-【分析】不管选择哪个条件,都是求首项和公差,再求通项公式.【详解】若选择①,,1213a a d =-=数列的通项公式,{}n a()()()111313163n a a n d n n=+-=+-⨯-=-即;163n a n =-若选择②,,解得:,,112765ad a d +=⎧⎨+=-⎩113a =3d =-数列的通项公式;{}n a163n a n =-若选择条件③,解得:,,1122202414a d a d +=⎧⎨+=⎩113a =3d =-数列 的通项公式.{}n a 163n a n=-题型二:等差中项问题【例1】(2022·全国·高二课时练习)已知则a ,b 的等差中项为()a =b =A B C D 间的角是多少度( )A .30°B .60°C .90°D .45°【答案】B【分析】设三内角由小到大依次为,,A B C,利用等差数列定义结合三角形三内角和定理列式计算作答.【详解】设三角形三内角由小到大依次为,依题意,,而,,,A B C 2A+C =B 180A B C ++=则有,解得,3180B =60B =所以中间的角是.60故选:B【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知和的等差中项是4,和的等差中项是5,则和m 2n 2m n m n 的等差中项是( )A .8B .6C .D .34.5【例4】(2022·全国·高三专题练习(理))数列{an }满足,且,是函数122n n n a a a ++=+4a 4040a 的两个零点,则的值为( )2()83f x x x =-+2022a A .4B .-4C .4040D .-4040【答案】A【分析】由题设可得+=8,根据已知条件易知{an }是等差数列,应用等差中项的性质求4a 4040a .2022a 【详解】由,是的两个零点,即,是x 2-8x +3=0的两个根,4a 4040a 2()83f x x x =-+4a 4040a ∴+=8,又,即数列{an }是等差数列,4a 4040a 122n n n a a a ++=+∴+=8,故=4.4a 4040a 20222a =2022a 故选:A.【题型专练】1.(2022·全国·高三专题练习)下列选项中,为“数列{}n a是等差数列”的一个充分不必要条件的是( )A .B .()1122n n n a a a n +-=+≥()2112n n n a a a n +-=⋅≥C .数列的通项公式为D .{}n a23n a n =-()2112n n n n a a a a n ++--=-≥A .2BCD .13.(2022·上海市复旦实验中学高二期末)若b 是2,8的等差中项,则______;b =【答案】0【分析】根据等差中项的性质即可求解.【详解】解:因为8,a ,2,b ,c 是等差数列,所以8222222a a b c b +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩解得514a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以.0a b c ++=故答案为:.0题型三:等差数列通项的性质【例1】(2022·广东肇庆·高二阶段练习)已知数列是等差数列,且满足,则{}n a2104a a +=26log a =( )A .B .C .D .0123【答案】B【分析】利用等差中项的性质求出的值,进而可求得结果.6a 【详解】由等差中项的性质可得,可得,因此,.621024a a a =+=62a =26log 1a =故选:B.【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列满足,则( ){}n a5796a a a ++=7a =A .B .C D .322-【答案】B【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得,故.579736a a a a ++==72a =故选:B.【例3】(2022·四川省成都市新都一中高一期中(理))已知数列满足,且{}n a ()*122n n n a a a n ++=+∈N ,则( )38132πa a a ++=()79cos a a +=A .B .C .D 12-12【例4】(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列中,,,则n a1234a a a ++=131415等于( )789a a a ++A .6B .7C .8D .9(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(2)数列为等差数列的充要条件是对任意,都有.{}n a*N n ∈122n n n a a a ++=+(3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.{}n a(4)已知数列的通项公式是(其中p ,q 为常数),则数列一定是等差数列.{}n a n a pn q =+{}n aA .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【分析】利用等差数列定义判断(1);利用等差中项的定义结合充要条件的意义判断(2);利用等差数列定义结合充要条件的意义判断(3);利用等差数列定义判断(4)作答.【详解】对于(1),若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数,则这个数列是等差数列,(1)不正确;对于(2),因对任意,都有数列*N n ∈121212n n n n n n n a a a a a a a +++++⇔=+-=-⇔{}n a为等差数列,(2)正确;对于(3),因常数列是等差数列,而常数列的通项不是n 的一次函数,则通项公式为n 的一次函数是数列为等差数列的充分不必要条件,(3)不正确;{}n a对于(4),数列的通项公式是(其中p ,q 为常数),则,,即数列{}n an a pn q =+N n *∀∈1n n a a p +-=一定是等差数列,(4)正确,{}n a 所以所给4个命题正确的个数为2.故选:B【题型专练】1.(2021·江西·高三阶段练习(文))设是等差数列,且,,则( ){}n a122a a +=344a a +=56a a +=A .B .C .D .12-0624【答案】C【分析】根据等差数列性质可知,,成等差数列,由此可构造方程求得结果.12a a +34a a +56a a +【详解】解:是等差数列,,,成等差数列,{}n a12a a ∴+34a a +56a a +,.()()()3412562a a a a a a ∴+=+++56826a a ∴+=-=故选:C.2.(2022·重庆·高三阶段练习)已知数列为等差数列,,则( ){}n a286a a +=357a a a ++=A .9B .12C .15D .16【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】解:在等差数列中,所以,{}n a28526a a a +==53a =所以;357539a a a a ++==故选:A3.(2022·河南平顶山·高二期末(文))已知数列是等差数列,且满足,则{}n a891075a a a ++=( )612a a +=A .B .C .D .42485058【答案】C【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得,则,因此,.89109375a a a a ++==925a =6129250a a a +==故选:C.4.(2023·全国·高三专题练习)已知数列为等差数列,若,则的值为( ){}n a15915a a a ++=28a a +A .4B .6C .8D .10【答案】D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得:,所以,1595315a a a a ++==55a =故285210a a a +==故选:D5.(2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末(理))已知等差数列中,、是{}n a2a 8a 的两根,则( )221610x x --=()2375a a a +-=A .B .C .D .248601246.(2022·全国·高二课时练习)在等差数列中,若,则______.{}n a34567450a a a a a ++++=19a a +=【答案】180【分析】利用等差中项的性质即可求值.【详解】由,故,37169452a a a a a a a =+=+=+3456755450a a a a a a ++++==所以,则.590a =19a a +=180故答案为:1807.(2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试)在等差数列中,若{}n a357911100a a a a a ++++=,则________.212a a +=8.(2021·河北衡水·高三阶段练习)已知等差数列中,分别是方程n 12021,a a 2410x x --=的两个根,则__________.1011a =1项,则这个等差数列的公差为___________.【答案】1【分析】根据题意,利用等差数列等差中项的性质即可求得和,进而求得公差.3a 29a10.(2021·全国·高二课时练习)已知等差数列{an }中,a 1+a 3+a 8=54π,那么cos(a 3+a 5)=________.11.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列,满足,,求数列n 23418a a a ++=23466=a a a n 的通项公式.【答案】或521=-+n a n 59=--n a n 【分析】根据是等差数列且满足求出,代入,中得到{}n a23418a a a ++=3a 23418a a a ++=23466=a a a 的方程组,并解出,从而解出,结合通项公式解出.24,a a 24,a a 1a d ,n a 【详解】是等差数列,且, ,{}n a23418a a a ++=33=18∴a 3=6a ∴解得或2342341866a a a a a a ++=⎧⎨=⎩ 242412,.11,a a a a +=⎧⎨=⎩2411,1a a =⎧⎨=⎩241,11.a a =⎧⎨=⎩当时,,.2411,1a a =⎧⎨=⎩1=16a =5-d ()()()111615521∴=+-=+--=-+n a a n d n n当时,,.241,11a a =⎧⎨=⎩1=4-a =5d ()()1141559∴=+-=-+-=-n a a n d n n 综上:或521=-+n a n 59=--n a n 题型四:整体看成等差数列问题【例1】(2022·全国·高三专题练习)已知数列,为等差数列,且公差分别为,{}n a{}n b12d =21d =,则数列的公差为( ){}23n n a b -A .B .C .D .7531【答案】D【分析】利用即可整理求得公差.112323n n n n a b a b ++--+【详解】,为等差数列,为等差,设其公差为,{}n a {}n b {}23n n a b ∴-d 则.()()111112232323231n n n n n n n n d a b a b a a b b d d ++++=--+=---=-=故选:D.【例2】(2022·全国·高二课时练习)定义:在数列中,若对任意的都满足{}n a n +∈N 211n n n n a a da a +++-=(d 为常数),则称数列为等差比数列.已知等差比数列中,,,则{}n a {}n a 121a a ==33a =20222020a a =( )A .B .C .D .2420221⨯-2420211⨯-2420201⨯-242020⨯【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知数列,均为等差数列,若,,则{}n a{}n b110a b +=221a b +=( )n n a b +=A .B .C .D .2n -1n +n1n -【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式可求出结果.【详解】设等差数列,的公差分别为,{}n a{}n b12,d d 则,1221212211()()101d d a a b b a b a b +=-+-=+-+=-=所以1112(1)(1)n n a b a n d b n d +=+-++-.1112(1)()1a b n d d n =++-+=-故选:D【例4】(2022·全国·高二课时练习)已知数列均为等差数列,若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===,则( )44a b =A .B .C .D .19212327【答案】B【分析】设,得出,令,可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列,求得公差,即可求得的值.4c 【详解】由题意,设,,n n a an b b cn d =+=+则,()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令,可得构成一个等差数列,n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ,,113a b =227a b =3313a b =,,所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得:,即.421c =4421a b =故选:B【例5】(2022·全国·高二课时练习多选题)已知等差数列,若,,则( )11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭114a =41a =A .数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =B .数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =-C .1011a =-D .1011a =1.(2021·江苏·高二单元测试多选题)在数列中,若(,,{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n N ∈p 为常数),则称为等方差数列,下列对等方差数列的判断正确的有( ){}n aA .若是等差数列,则是等方差数列{}n a {}2n a B .数列是等方差数列(){}1n-C .若数列既是等方差数列,又是等差数列,则数列一定是常数列{}n a{}n aD .若数列是等方差数列,则数列(,为常数)也是等方差数列{}n a{}kn a*k N ∈k 【答案】BCD【分析】利用等方差数列的定义判断.【详解】A.设等差数列的通项公式,则{}n an a kn b =+,不一定是常数,()()()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a d kn k b d-----=+-=+=-+所以不是等方差数列,故错误;{}2naB. 因为,所以数列是等方差数列,故正确;()()()112222110n nn n a a---=---=(){}1n-C.因为数列是等方差数列,则,又数列是等差数列,则{}n a 221n n a a p --={}n a ,()()()221111n n n n n n n n a a a a a d a a pa -----=+-=+=2.(2022·全国·高二课时练习)已知是等差数列,且,,则______.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21a =41a =10a =为等差数列,则______.13a =4.(2022·全国·高二课时练习)数列中,,,若数列是等差数列,则{}n a 32a =71a =11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭8a =__________.【例1】(2022·全国·高二课时练习)在1,2,3,…,2021这2021个自然数中,将能被2除余1,且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列,构成数列,则等于( ){}n a50a A .289B .295C .301D .307【答案】B【分析】根据题意,得到能被2除余1满足,被3除余1的数满足,进而求得数列21n -32n -{}n a的通项公式,即可求解.65n a n =-【详解】由题意,在1,2,3,…,2021这2021个自然数中,能被2除余1满足,21n -被3除余1的数满足,32n -所以在1,2,3,…,2021这2021个自然数中,能被2除余1,且被3除余1的数,按从小到大的次序排成一列,可得构成的数列是首项为,公差为的等差数列,{}n a16则数列的通项公式,{}n a65n a n =-所以.506505295a =⨯-=故选:B.【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知两个等差数列5,8,11,…,302与3,7,11,…,399,则它们所有公共项的个数为( )A .23B .24C .25D .261.(2022·全国·高二课时练习)“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a,则此数列的项数为( )A .134B .135C .136D .137【答案】B【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式,由题意解出不等式即可判断项数.{}n a【详解】由题意知,被3除余1且被5除余1的数即为被15除余1的数,故.1514,n a n n N *=-∈由,得,15142019n a n =-≤135.5n ≤又因为,所以此数列的项数为135.n *∈N 故选:B2.(2022全国高二单元测试)在数学发展史上,已知各除数及其对应的余数,求适合条件的被除数,这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲,在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广,得到了一个普遍的解法,提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题:在的整数中,把被除余数为,被(]1,2021415除余数也为的数,按照由小到大的顺序排列,得到数列,则数列的项数为( )1{}n a{}n aA .B .C .D .1011009998【答案】A【分析】将数列中的项由小到大列举出来,可知数列{}n a{}n a为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得,然后解不等式,即可得解.n a 12021n a <≤【详解】由题意可知,数列中的项由小到大排列依次为、、、、,{}n a21416181L 可知数列是以为首项,以为公差的等差数列,则,{}n a2120()21201201n a n n =+-=+由可得,解得,12021n a <≤12012021n <+≤0101n <≤,则,n N *∈ {}1,2,3,,101n ∈ 因此,数列的项数为.{}n a101故选:A.题型六:几个连续实数成等差数列问题【例1】(2022·江苏·高二课时练习)若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列,则三边的长分别为( )A .5,8,11B .9,12,15C .10,13,16D .15,18,21【答案】B【分析】设出三边长,根据直角三角形的勾股定理,解得答案.【详解】由题意直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列,设可三边长为 ,则,,3,6x x x ++222(3)(6)x x x ++=+解得 ,(舍去),9x =3x =-故三边长为9,12,15 ,故选:B.【例2】(2022·全国·高二课时练习)已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,则这四个数依次为( )A .-2,4,10,16B .16,10,4,-2C .2,5,8,11D .11,8,5,2【答案】AB【分析】根据等差数列的性质,列出方程求解即可【详解】设这四个数分别为,,,,3a d -a d -a d +3a d +则解得或()()3328,40,a d a d a d a d a d a d -+-++++=⎧⎨-+=⎩7,3a d =⎧⎨=⎩7,3,a d =⎧⎨=-⎩所以这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.故选:AB【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知5个数组成一个单调递减的等差数列,且它们的和为5,平方和为165,则这个等差数列的第1项为___________.【答案】9【分析】根据等差数列的性质,直接求解即可【详解】设这个等差数列中的五个数分别为,,x ,2x d -x d -,.由题意,得x d +2x d +()()()()22222225,22165,x d x d x x d x d x d x d x x d x d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-+++++=⎪⎩解得或因为这个数列单调递减,所以,1,4x d =⎧⎨=⎩1,4.x d =⎧⎨=-⎩0d <即所以第1项为.1,4.x d =⎧⎨=-⎩()21249x d -=-⨯-=故答案为:9【题型专练】1.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列{}n a前三项的和为-3,前三项的积为8.求等差数列的通项公式.{}n a【答案】或35n a n =-+37n a n =-【分析】结合等差数列的通项公式得到,求出首项与公差即可求出结果.()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩【详解】设等差数列的公差为d ,则,.{}n a21a a d =+312a a d =+由题意得,解得或()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩123a d =⎧⎨=-⎩143a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得或.()23135n a n n =--=-+()43137n a n n =-+-=-故或.35n a n =-+37n a n =-2.(2022·全国·高二单元测试)(1)三个数成等差数列,其和为,前两项之积为后一项的96倍,求这三个数.(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为,首末两项的积为,求这四个数.28-【答案】(1),,;(2),,,.4322-024【分析】(1)设这三个数依次为,,,根据已知条件列方程组,求得和a d -a a d +a d 的值即可得这三个数;(2)设这四个数依次为,,, (公差为),根据已知条件列方程组,求得3a d -a d -a d +3a d +20d >和的值即可得这四个数.a d 【详解】(1)设这三个数依次为,,,a d -a a d +由题意可得:,解得:,()()96a d a a d a a d a d -+++=⎧⎨-=+⎩31a d =⎧⎨=-⎩所以这三个数依次为,,.432(2)设这四个数依次为,,, (公差为),3a d -a d -a d +3a d +20d >由题意可得,解得或(舍),()()2338a d a d a d a d -++=⎧⎨-+=-⎩11a d =⎧⎨=⎩11a d =⎧⎨=-⎩故所求的四个数依次为,,,.2-024题型七:等差数列通项新文化试题【例1】(2022·全国·高二课时练习)中国古代有一道数学题:“今有七人差等均钱,甲、乙均七十七文,戊、己、庚均七十五文,问戊、己各若干?”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱,所分得的钱数构成等差数列,甲、乙两人共分得77文,戊、己、庚三人共分得75文,则戊、己两人各分得多少文钱?则下列说法正确的是( )A .戊分得34文,己分得31文B .戊分得31文,己分得34文C .戊分得28文,己分得25文D .戊分得25文,己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为,,,,,,3a d -2a d -a d -a a d +2a d +,再根据题意列方程组可解得结果.3a d +【详解】依题意,设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为,,,,,3a d -2a d -a d -a a d +,,2a d +3a d +则,解得,32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩313a d =⎧⎨=-⎩所以戊分得(文),己分得(文),28a d +=225a d +=故选:C.【例2】(2022全国高二课时练习)中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).4646节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长/寸135.0125.56115.146105.23695.32685.41675.5节气清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长/寸65.55655.64645.73635.82625.91616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为( )A .105.6寸B .48寸C .57.6寸D .67.2寸【答案】C【分析】利用等差数列的基本量计算,直接求解即可.全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就,其中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为:“今有5人分5钱,各人所得钱数依次为等差数列,其中前2人所得之和与后3人所得之和相等,问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为( )A .钱B .钱C .钱D .钱1613-2313,就是相邻两衡间距离(半径差)为1198333里,给出了计算各衡直径的一般法则,即“预知次衡径,倍而增内衡之径,二而增内衡径,得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径,须把半径差二倍加上内一衡(最小圆圈)的直径,次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步(当时300步为1里),则次三衡径为( )A.396666里200步B.357000里000步C.317333里100步D.277666里200步【题型专练】1.(2022·全国·高二课时练习)《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则()A.冬至的日影子长最长,为15.5尺B.立夏比谷雨的日影子长多1尺C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列D.清明的日影子长为8.5尺【答案】ACD【分析】根据给定条件结合等差数列知识,求出首项、公差,再逐一分析计算作答.【详解】依题意,从冬至起,日影长依次记为,则数列是等差数列,1212,,,a a a {}(N ,12)n a n n *∈≤因此,,而,解得,又,14737.5a a a ++=1742a a a +=412.5a =12 4.5a =设数列的公差为,于是得:,解得,A 正确;{}n a d 11312.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5,1a d ==-,立夏比谷雨的日影子长少1尺,B 不正确;1091a a -=-而成等差数列,即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列,C 正确;357,,a a a ,即清明的日影子长为8.5尺.81(81)8.5a a d =+-=故选:ACD2.(2022·全国·高二课时练习)《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,书中提到:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则立夏的日影子长为___________尺.【答案】6.5【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差,然后求出其中某一项.【详解】解:由题意得从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,设其公差为{}n ad ,解得14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧∴⎨=+=⎩11,15.5d a =-=101915.59 6.5a a d ∴=+=-=故立夏的日影子长为尺.6.5故答案为:6.53.(2021·全国·高二课时练习)现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.。
等差数列知识点总结与题型归纳讲义
10.1等差数列知识梳理.等差数列1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)①通项公式:a n =a 1+(n -1)d =nd +(a 1-d )⇒当d ≠0时,a n 是关于n 的一次函数.②通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(3)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项.①若m +n =2p ,则2a p =a m +a n (m ,n ,p ∈N *).②当m +n =p +q 时,a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(4)前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2――→a n =a 1+(n -1)dS n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+a 1-d2n ⇒当d ≠0时,S n 是关于n 的二次函数,且没有常数项.2.常用结论:已知{a n }为等差数列,d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…也成等差数列,公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列,则S nn 也成等差数列,其首项与{a n }首项相同,公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ,则S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n +1);S 偶-S 奇=nd ;S 奇S 偶=a na n +1.若项数为奇数2n -1,则S 2n -1=(2n -1)a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=nn -1.题型一.等差数列的基本量1.已知等差数列{a n}满足a3+a4=12,3a2=a5,则a6=11.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵a3+a4=12,3a2=a5,∴2a1+5d=12,3(a1+d)=a1+4d,联立解得a1=1,d=2,∴a6=a1+5d=11故答案为:112.(2018•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.﹣12B.﹣10C.10D.12【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d,把a1=2,代入得d=﹣3∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10.故选:B.3.(2017•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴1+3+1+4=2461+6×52=48,解得a1=﹣2,d=4,∴{a n}的公差为4.故选:C.题型二.等差数列的基本性质1.在等差数列{a n}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9等于()A.30B.24C.18D.12【解答】解:∵等差数列{a n}中,a5+a10=12,∴2a1+13d=12,∴3a7+a9=4a1+26d=2(2a1+13d)=24.故选:B.2.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9−1311的值为()A.17B.16C.15D.14【解答】解:由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24.a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23(a1+7d)=23a8=16故选:B.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=10,S4=36,则公差d为2.【解答】解:∵a3=10,S4=36,∴a1+2d=10,4a1+4×32d=36,解得d=2.故答案为:2.题型三.等差数列的函数性质1.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:(1)数列{a n}是递增数列;(2)数列{na n}是递增数列;(3)数列{}是递减数列;(4)数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解答】解:设等差数列的首项为a1,公差d>0,则a n=a1+(n﹣1)d=dn+a1﹣d,∴数列{a n}是递增数列,故(1)正确;B=B2+(1−p,当n<K12时,数列{na n}不是递增数列,故(2)错误;=+1−,当a1﹣d≤0时,数列{}不是递减数列,故(3)错误;a n+3nd=4nd+a1﹣d,数列{a n+3nd}是递增数列,故(4)正确.∴真命题个数有2个.故选:C.2.已知数列{a n}的前n项和S n=n2(n∈N*),则{a n}的通项公式为()A.a n=2n B.a n=2n﹣1C.a n=3n﹣2D.=1,=12,≥2【解答】解:∵S n=n2,∴当n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣(n﹣1)2=2n﹣1,而当n=1时也满足,∴a n=2n﹣1.故选:B.3.在数列{a n}中,若a n=5n﹣16,则此数列前n项和的最小值为()A.﹣11B.﹣17C.﹣18D.3【解答】解:令a n=5n﹣16≤0,解得n≤3+15.则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18.故选:C.题型四.等差数列的前n项和经典结论1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S9=72,则S6=()A.27B.33C.36D.45【解答】解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S9=72,∴S3,S6﹣S3,S9﹣S6成等差数列,故2(S6﹣S3)=S3+S9﹣S6,即2(S6﹣9)=9+72﹣S6,求得S6=33,故选:B.2.等差数列{a n}中,S n是其前n项和,1=−11,1010−88=2,则S11=()A.﹣11B.11C.10D.﹣10【解答】解:=B1+oK1)2,得=1+(K1)2,由1010−88=2,得1+10−12−(1+8−12)=2,d=2,1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1,∴S11=﹣11,故选:A.3.若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n,已知=2r1,则77等于()A.1321B.214C.1327D.827【解答】解:∵=2r1,∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327,故选:C.题型五.等差数列的最值问题1.已知等差数列{a n}中,S n是它的前n项和,若S16>0,S17<0,则当S n最大时,n的值为()A.8B.9C.10D.16【解答】解:∵等差数列{a n}中,S16>0且S17<0∴a8+a9>0,a9<0,∴a8>0,∴数列的前8项和最大故选:A.2.在等差数列{a n}中,已知a1=20,前n项和为S n,且S10=S15,求当n为何值时,S n取得最大值,并求出它的最大值.【解答】解:∵等差数列{a n}中S10=S15,∴S15﹣S10=a11+a12+a13+a14+a15=5a13=0,∴a13=0,∴数列的前12项为正数,第13项为0,从第14项开始为负值,∴当n=12或13时,S n取得最大值,又公差d=13−113−1=−53,∴S12=12×20+12×112(−53)=130∴S n的最大值为1303.(2014·江西)在等差数列{a n}中,a1=7,公差为d,前n项和为S n,当且仅当n=8时S n取得最大值,则d的取值范围为(﹣1,−78).【解答】解:∵S n=7n+oK1)2,当且仅当n=8时S n取得最大值,∴7<8 9<8,即49+21<56+2863+36<56+28,解得:>−1<−78,综上:d的取值范围为(﹣1,−78).题型六.证明等差数列1.已知数列{a n}满足1=35,=2−1K1(≥2,∈∗),数列{b n}满足=1−1(∈∗).(1)求证数列{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}中的最大项和最小项.【解答】解:(1)由1=35,=2−1K1(≥2,∈∗),得a n+1=2−1(n∈N•)b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…(4分)又b1=−52,所以{b n}是以−52为首项,1为公差的等差数列…(6分)(2)因为b n=b1+(n﹣1)=n−72,所以a n=1+1=22K7+1.…(9分)1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n<1,n≥4时数列{a n}单调递减且a n>1所以数列{a n}的最大项为a4=3,最小项为a3=﹣1.…(14分)2.已知数列{a n}中,a2=1,前n项和为S n,且S n=o−1)2.(1)求a1;(2)证明数列{a n}为等差数列,并写出其通项公式;【解答】解:(1)令n=1,则a1=S1=1(1−1)2=0(2)由=o−1)2,即=B2,①得r1=(r1)r12.②②﹣①,得(n﹣1)a n+1=na n.③于是,na n+2=(n+1)a n+1.④③+④,得na n+2+na n=2na n+1,即a n+2+a n=2a n+1又a1=0,a2=1,a2﹣a1=1,所以,数列{a n}是以0为首项,1为公差的等差数列.所以,a n=n﹣1课后作业.等差数列1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=72,则a1+a5+a9=()A.36B.24C.16D.8【解答】解:由等差数列的求和公式可得,S9=92(a1+a9)=72,∴a1+a9=16,由等差数列的性质可知,a1+a9=2a5,∴a5=8,∴a1+a5+a9=24.故选:B.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S8=4a3,a7=﹣2,则a10=()A.﹣8B.﹣6C.﹣4D.﹣2【解答】解:等差数列{a n}中,前n项和为S n,且S8=4a3,a7=﹣2,则81+28=41+81+6=−2,解得a1=10,d=﹣2,∴a10=a1+9d=﹣8.故选:A.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1>0,2a5+a11=0,则下列说法错误的为()A.a8<0B.当且仅当n=7时,S n取得最大值C.S4=S9D.满足S n>0的n的最大值为12【解答】解:∵2a5+a11=0,∴2a1+8d+a1+10d=0,∴a1=﹣6d,∵a1>0,∴d<0,∴{a n}为递减数列,∴a n=a1+(n﹣1)d=﹣6d+(n﹣1)d=(n﹣7)d,由a n≥0,(n﹣7)d≥0,解得n≤7,∴数列前6项大于0,第7项等于0,从第8项都小于0,∴a8<0,当n=6或7时,S n取得最大值,故A正确,B错误;∵S4=4a1+6d=﹣24d+6d=﹣18d,S9=9a1+36d=﹣28d+36d=﹣18d,∴S4=S9,故C正确;∴S n=na1+oK1)2=2(n2﹣13n)>0,解得0<n<13,∴满足S n>0的n的最大值为12,故D正确.故选:B.4.若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=8时,{a n}的前n项和最大;当S n>0时n的最大值为15.【解答】解:∵a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0,∴a8>0,a9<0,∴n=8时,{a n}的前n项和最大;∵S15=15(1+15)2=15a8>0,S16=16(1+16)2=8(a8+a9)<0,∴当S n>0时n的最大值为15.故答案为:8;15.5.在数列{a n}中,a2=8,a5=2,且2a n+1﹣a n+2=a n(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是()A.210B.10C.50D.90【解答】解:∵2a n+1﹣a n+2=a n(n∈N*),即2a n+1=a n+2+a n(n∈N*),∴数列{a n}是等差数列,设公差为d,则a1+d=8,a1+4d=2,联立解得a1=10,d=﹣2,∴a n=10﹣2(n﹣1)=12﹣2n.令a n≥0,解得n≤6.S n=o10+12−2p2=11n﹣n2.∴|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10=2S6﹣S10=2(11×6﹣62)﹣(11×10﹣102)=50.故选:C.6.已知在正整数数列{a n}中,前n项和S n满足:S n=18(a n+2)2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=12a n﹣30,求数列{b n}的前n项和的最小值.【解答】解:(1)∵S n=18(a n+2)2,∴当n=1时,1=18(1+2)2,化为(1−2)2=0,解得a1=2.当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=18(a n+2)2−18(K1+2)2,化为(a n﹣a n﹣1﹣4)(a n+a n﹣1)=0,∵∀n∈N*,a n>0,∴a n﹣a n﹣1=4.∴数列{a n}是等差数列,首项为2,公差为4,∴a n=2+4(n﹣1)=4n﹣2.(2)b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31.由b n≤0,解得≤312,因此前15项的和最小.又数列{b n}是等差数列,∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225.∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225.。
奥数等差数列题型及解题方法
奥数等差数列题型及解题方法
差数列是数学中常见的题型之一,在奥数竞赛中也经常出现。
差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的一种数列。
解决差数列题目的关键是通过观察找到规律,并运用相应的解题方法来求解。
常见的差数列题型包括求数列的通项公式、求前n项的和以及给定数列中缺失的部分等。
下面我将介绍几种常见的差数列题型及解题方法。
首先是求差数列的通项公式。
当我们知道数列的前几项,并且观察到相邻两项之间的差值保持不变时,我们可以推断出数列的通项公式。
例如,对于差为2的数列,第一项为1,我们可以通过观察到每一项都比前一项大2,因此通项公式可以表示为an = 2n - 1。
其次是求差数列前n项的和。
如果我们已知数列的通项公式,可以将其代入求和公式来计算前n项的和。
例如,对于差为3的数列,通项公式为an = 3n + 1,我们可以使用求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2来计算前n项的和。
还有一种常见的差数列题型是给定数列中的某些项,并要求求出缺失项的值。
此时,我们可以通过比较已知项与数列通项公式的关系,找出缺失项的规律,并求得其值。
例如,对于差为5的数列,已知部分项为7、17、27,我们可以观察到每一项都比前一项大10,因此可以推断出缺失项为37。
总之,解决差数列题目的关键是观察规律并找到相应的解题方法。
通过熟练掌握差数列的通项公式、求和公式以及比较已知项与通项公式的关系,我们可以在奥数竞赛中高效解决差数列题目。
等差数列题型梳理
等差数列的基本题型题型一、证明数列}{n a 是等差数列,解答题第一问可以这样考查(1)定义法:证明当 N n 时,da a n n 1或当2 n 时,d a a n n 1(d 为常数).具体步骤:第一步,写三项:1 n a ,n a ,1 n a ;第二步,看条件,作选择n n a a 1,还是1 n n a a ;第三步,常消元.(2)等差中项法:当2 n ,1 n a ,n a ,1 n a 成等差数列 当2 n 时,0211 n n n a a a .(3)结论法(选填题):数列}{n a 是等差数列 q pn a n Bn An S n 2.题型二、等差数列}{n a 的基本量运算,这是解答题的一种主要题型,选填题也有一般利用d n a a n )1(1 和d n n na S n 2)1(1建立关于1a ,d 或n 的方程(组)进行处理.题型三、等差数列}{n a 有关的性质,选填题常考内容题型四、等差数列}{n a 求n S 的最值,可作为解答题的一问(1)函数法:利用求和公式求出d n n na S n 2)1(1,化为Bn An S n 2,看成二次函数Bx Ax y 2利用图象进行求值,特别需要注意的是函数中的x 只能取正整数,即 N x .(2)通项公式法:等差数列}{n a 中当01 a ,0 d 时,n S 有最大值:令1n n a a ,解不等式得到n 值,使n S 取最大值;当01 a ,0 d 时,n S 有最小值:令 001n n a a ,解不等式得到n 值,使n S 取最大值.题型五、利用等差数列巧设项奇数个数成等差数列可设为: ,,,,d a a d a 偶数个数成等差数列可设为: ,,,,,d a d a d a d a 33题型六、等差数列}{n a 的前n 项和n S 易求,求新数列|}{|n a 的前n 项和n T 具体步骤:第一步,区分正负项:令0 n a ,令01 n a 分别求出取正、负时的n 值;第二步,去绝对值求和,找与已知等差数列}{n a 前n 项和n S 的关系n a 先正后负,即当k n 时,0 n a ;当1 k n 时,0 n a ,此时12k n S S k n S T n k n n ,,n a 先负后正,即当k n 时,0 n a ;当1 k n 时,0 n a ,此时12k n S S k n S T k n n n ,,。
与等差数列有关的常见题型及其解法
等差数列是一种常见的数列,也是一种重要的数列,是指从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列.与等差数列有关的题目一般主要考查等差数列的通项公式、性质、前n 项的和公式.本文主要谈一谈与等差数列有关的常见题型及其解法.一、求等差数列的通项公式求等差数列的通项公式问题主要考查等差数列的通项公式和性质.这类题目一般较为简单,只要结合题意,灵活运用等差数列的通项公式和性质便能顺利解题.例1.已知等差数列{a n }为递增数列,前3项的和为-3,前3项的积为8.求数列{a n }的通项公式.解:设等差数列{a n }的公差为d ,d >0,∵等差数列{a n }的前3项的和为-3,前3项的积为8,∴ìíî3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,∴ìíîa 1=2,d =-3,或ìíîa 1=-4,d =3,∵d >0,∴a 1=-4,d =3,∴a n =3n -7.要想顺利解答本题,需要结合题意,根据等差数列的通项公式列出方程组,通过解方程组求得数列的首项和公差,然后利用等差数列的通项公式求解.例2.各项均不为0的数列{a n }满足a n +1(a n +a n +2)2=a n +2⋅a n ,且a 3=2a 8=18.求数列{a n }的通项公式.解:依题意得,a n +1a n +a n +2a n +1=2a n +2a n ,两边同时除以a n a n +1a n +2,可得1a n +2+1a n =2a n +1,故数列{}1a n 是等差数列,设数列{}1a n的公差为d .因为a 3=2a 8=15,所以1a 3=5,1a 8=10,所以1a 8-1a 3=5=5d ,即d =1,所以1a n =1a 3+(n -3)d =n +2,故a n =1n +2.题目只告知数列各项之间的关系式,需要将已知关系式化简、转化,才能解题.首先将a n +1(a n +a n +2)2=a n +2a n ,两边同时除以a n a n +1a n +2,构造出等差数列,然后求出数列的首项和公差,再利用等差数列的通项公式求得原数列的通项公式.二、求等差数列的前n 项和或最值求等差数列的前n 项和问题是一类常见的问题,主要考查等差数列的前n 项和公式以及求最值的方法.例3.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =-2n +1,则数列{}S nn的前11项和为______.解:∵a n =-2n +1,∴数列{a n }是以-1为首项,-2为公差的等差数列,∴S n =n [-1+(-2n +1)]2=-n 2,∴S n n =-n 2n =-n ,∴数列{}S nn 是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴数列{}S nn 的前11项和为11×(-1)+11×102×(-1)=-66.解答等差数列的前n 项和问题的关键是,首先判定数列是等差数列,求出数列的首项、公差,然后利用等差数列的前n 项和公式求得结果.例4.等差数列{a n }中,S n 为前n 项和,且a 1=25,S 17=S 9,请问:数列前多少项的和最大?解法一:∵a 1=25,S 17=S 9,∴17a 1+17×162d =9a 1+9×82d ,解得d =-2.∵a 1=25>0,由ìíîa n =25-2(n -1)≥0,a n +1=25-2n ≤0,得ìíîïïn ≤1312,n ≥1212.∴当n =13时,S n 有最大值.解法二:∵a 1=25,S 17=S 9,∴17a 1+17×162d =9a 1+9×82d ,解得d =-2.从而S n =25n +n (n -1)2(-2)=-(n -13)2+169.故前13项之和最大.求等差数列的前n 项和的最值问题较为复杂,求解此类问题一般有两种方法.①通项变号法:当a 1>0,d <0时,若ìíîa m ≥0,a m +1≤0,则S n 的最大值为S m ;当a 1<0,d >0时,若ìíîa m ≤0,a m +1≥0,则S n 的最小值为S m .②二次函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求得二次函数最值的方法来求解.当然,与等差数列有关的问题还有很多.但无论遇到哪种问题,同学们都要仔细分析题意,灵活运用等差数列的通项公式、性质、前n 项的和公式,以及函数思想和转化思想来解题.(作者单位:江苏省南通市海安实验中学)解题宝典46。
数列题型及解题方法归纳总结
数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中的基本概念,出现在许多数学问题和实际生活中的各种场景中。
在数列问题中,通常需要找出数列中的规律、求解数列的通项公式或特定项的值等。
本文将对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是最常见的数列类型。
等差数列的特点是数列中任意两个相邻的项之间的差值都相等。
解题时常用的方法有以下几种:1. 求和公式:等差数列的前n项和公式是Sn = n/2 * (a1 + an),其中a1是首项,an是末项。
如果已知前n项和Sn,可以用Sn = n/2 * (a1 + a1+(n-1)d)来求解未知的参数a1或d。
2. 求第n项的值:对于等差数列,可以用通项公式an = a1 + (n-1)d来求解第n项的值。
其中a1是首项,d是公差。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的项之间的比值都相等。
解题时常用的方法有以下几种:1. 求和公式:等比数列的前n项和公式是Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1),其中a1是首项,q是公比。
如果已知前n项和Sn,可以用Sn = a1* (1 - q^n) / (1 - q)来求解未知的参数a1或q。
2. 求第n项的值:对于等比数列,可以用通项公式an = a1 * q^(n-1)来求解第n项的值。
其中a1是首项,q是公比。
三、等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中既有等差又有等比的特点。
解题时常用的方法有以下几种:1. 求和公式:等差-等比混合数列的前n项和公式是Sn = S1 * (1 - q^n) / (1 - q) + a1 * (1 - q) / (1 - q) - n * d,其中Sn是前n项和,S1是等比数列的首项和,a1是等差数列的首项,q是等比数列的公比,n是项数,d是公差。
2. 求等差数列和等比数列的通项公式:对于等差-等比混合数列,可以通过观察数列的规律,将其拆分为等差数列和等比数列两个部分,然后分别求解其通项公式,最后将两个序列的对应项相加即可得到整个数列的通项公式。
(完整版)等差数列知识点总结和题型分析
等差数列一.等差数列知识点: 知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示 知识点2、等差数列的判定方法:②定义法:对于数列{}n a ,若d a a n n =-+1(常数),则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项:对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项:⑥如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项即:2b a A +=或b a A +=2在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系:如果n a 是等差数列的第n 项,m a 是等差数列的第m 项,且n m ≤,公差为d ,则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ,若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+也就是: =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k kS S 23-成等差数列如下图所示:kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质:①若项数为()*2n n ∈N ,则()21n n n S n a a +=+,且S S nd -=偶奇,1n n S aS a +=奇偶.②若项数为()*21n n -∈N ,则()2121n n S n a -=-,且n S S a -=奇偶,1S nS n =-奇偶(其中n S na =奇,()1n S n a =-偶).二、题型选析:题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1,则a 101的值为 ( )A .49B .50C .51D .52 3.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( )A .92B .47C .46D .45 4、已知等差数列}{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是( )A.d >38B.d <3C. 38≤d <3D.38<d ≤36、.在数列}{n a 中,31=a ,且对任意大于1的正整数n ,点),(1-n n a a 在直03=--y x 上,则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中,a 5=3,a 6=-2,则a 4+a 5+…+a 10= . 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=则432,3,1S a a ==( )(A )12(B )10 (C )8 (D )69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足,则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列,a 3 + a 8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,4S =14,30S S 710=-,则9S = .题型二、等差数列性质1、已知{a n }为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =( )A .8B .7C .6D .53、 若等差数列{}n a 中,37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若42=S ,204=S ,则该数列的公差d=( ) A .7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中,已知31a 1=,4a a 52=+,33a n =,则n 为( )(A )48 (B )49 (C )50 (D )516.、等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5935,95S Sa a 则( ) A .1 B .-1 C .2 D .21 8、已知等差数列{a n }满足α1+α2+α3+…+α101=0则有( )A .α1+α101>0B .α2+α100<0C .α3+α99=0D .α51=51 9、如果1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A )1a 8a >45a a (B )8a 1a <45a a (C )1a +8a >4a +5a (D )1a 8a =45a a10、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )(A )13项 (B )12项 (C )11项 (D )10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中,已知12310a a a a p ++++=,98n n n a a a q --+++=,则其前n项和n S = .2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 ( )A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ,则 ( )A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中,78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ,155=n S , 则=n 。
等差数列中的基础题,要求会求等差数列首项和公差,解决起来不难
等差数列中的基础题,要求会求等差数列首项和公差,解决起来不难等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
对于一个等差数列,我们需要知道它的首项和公差。
首项是指数列中的第一项,通常用字母a表示。
公差是指相邻两项之间的差值,通常用字母d表示。
求等差数列的首项和公差的方法有很多种,下面我将介绍三种常用的方法。
方法一:用数列前几项求首项和公差。
如果已知等差数列的某几项,我们可以利用数列的性质来求出首项和公差。
首先,假设已知等差数列的第一项为a_1,第二项为a_2,那么公差d=a_2-a_1。
然后,我们可以选择另外一对已知的数列项a_i和a_j,根据公式a_j=a_i+(j-i)d,求出其他任意一项。
最后,我们可以利用已知数列项和它们的下标的关系,解方程组来求得首项和公差。
方法二:用通项公式求首项和公差。
对于等差数列,存在通项公式an=a1+(n-1)d,其中an表示第n 项,a1表示首项,d表示公差。
所以,我们可以根据题目给出的条件来列方程,并解方程组求得首项和公差。
例如,已知等差数列的第3项为5,第7项为17,求首项和公差。
根据通项公式an=a1+(n-1)d,可以得到以下两个方程:a1+2d=5a1+6d=17解这个方程组,可以求得a1=1和d=2,即首项为1,公差为2。
方法三:用等差数列的性质求首项和公差。
等差数列的性质之一是,数列中任意三项的和等于其中间一项的两倍。
所以,如果我们已知等差数列的第i项、第j项和第k项,且已知这三项的和,可以利用该性质列方程并解得首项和公差。
例如,已知等差数列的第2项为3,第5项为15,第7项为23,求首项和公差。
根据等差数列的性质,我们可以得到以下方程:a2+a5+a7=3+15+23=41a3=a2+da7=a2+5d将a2+d代入第一个等式,再将a2+5d代入第一个等式,可以得到以下两个方程:3+15+23=a2+(a2+d)+(a2+5d)a2=3-d解这个方程组,可以求得a2=1和d=2,即首项为1,公差为2。
6.2等差数列典型例题及详细解答
1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d __表示. 2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 3.等差中项如果A =a +b2,那么A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2或S n =na 1+n (n -1)2d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最__大__值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最__小__值.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( × ) (5)数列{a n }满足a n +1-a n =n ,则数列{a n }是等差数列.( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列.( √ )1.(2015·重庆)在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6等于( ) A .-1 B .0 C .1 D .6 答案 B解析 由等差数列的性质,得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,选B.2.(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12 D .14 答案 C解析 由题意知a 1=2,由S 3=3a 1+3×22×d =12,解得d =2,所以a 6=a 1+5d =2+5×2=12,故选C.3.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( ) A .58 B .88 C .143 D .176 答案 B解析 S 11=11(a 1+a 11)2=11(a 4+a 8)2=88.4.设数列{a n }是等差数列,若a 3+a 4+a 5=12,则a 1+a 2+…+a 7等于( ) A .14 B .21 C .28 D .35 答案 C解析 ∵a 3+a 4+a 5=3a 4=12,∴a 4=4, ∴a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28.5.(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列,且a 7+a 8+a 9=3a 8>0,所以a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,所以a 9<0.故当n =8时,其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中,若a 1=-2,且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ,则数列{a n }前10项的和为( )A .2B .10 C.52 D.54(2)已知在等差数列{a n }中,a 2=7,a 4=15,则前10项和S 10等于( ) A .100 B .210 C .380 D .400答案 (1)C (2)B解析 (1)由2a n +1=1+2a n 得a n +1-a n =12,所以数列{a n }是首项为-2,公差为12的等差数列,所以S 10=10×(-2)+10×(10-1)2×12=52.(2)因为a 2=7,a 4=15,所以d =4,a 1=3, 故S 10=10×3+12×10×9×4=210.思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5等于( )A .5B .7C .9D .11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )A.12B .1C .2D .3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=2a 3, ∴a 1+a 3+a 5=3a 3=3,得a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5.故选A.(2)∵S n =n (a 1+a n )2,∴S n n =a 1+a n 2,又S 33-S 22=1,得a 1+a 32-a 1+a 22=1,即a 3-a 2=2, ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),b n =1a n -1(n ∈N *),所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=1(2-1a n)-1-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1=-52.所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知b n =n -72,则a n =1+1b n =1+22n -7.设f (x )=1+22x -7,则f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上为减函数.所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3. 引申探究例2中,若条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),探求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n +1n +1=a nn+1,即a n +1n +1-a n n=1,又a 1=35,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=35为首项,1为公差的等差数列,∴a n n =35+(n -1)·1=n -25, ∴a n =n 2-25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2后,可递推得出a n +2-a n +1=a n +1-a n =a n -a n -1=a n -1-a n -2=…=a 2-a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,得a n +1-a n =p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)若{a n }是公差为1的等差数列,则{a 2n -1+2a 2n }是( )A .公差为3的等差数列B .公差为4的等差数列C .公差为6的等差数列D .公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( )A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n -1+2a 2n -(a 2n -3+2a 2n -2) =(a 2n -1-a 2n -3)+2(a 2n -a 2n -2) =2+2×2=6,∴{a 2n -1+2a 2n }是公差为6的等差数列. (2)由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n }是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1n .题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,即a 5=5,a 2+a 8=2a 5=10.(2)∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列,且S 10=10,S 20=30,S 20-S 10=20, ∴S 30-30=10+2×10=30,∴S 30=60. 命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值. 解 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,∴d =-53.方法一 由a n =20+(n -1)×⎝⎛⎭⎫-53=-53n +653. 得a 13=0.即当n ≤12时,a n >0,当n ≥14时,a n <0. ∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝⎛⎭⎫-53=130.方法二 S n =20n +n (n -1)2·⎝⎛⎭⎫-53 =-56n 2+1256n=-56⎝⎛⎭⎫n -2522+3 12524. ∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 方法三 由S 10=S 15得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. ∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 引申探究例4中,若条件“a 1=20”改为a 1=-20,其他条件不变,求当n 取何值时,S n 取得最小值,并求出最小值.解 由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0, ∴a 13=0.又a 1=-20,∴a 12<0,a 14>0, ∴当n =12或13时,S n 取得最小值, 最小值S 12=S 13=13(a 1+a 13)2=-130.思维升华 (1)等差数列的性质:①项的性质:在等差数列{a n }中,a m -a n =(m -n )d ⇔a m -a nm -n =d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差. ②和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 a .S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);b .S 2n -1=(2n -1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法:①函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. ②邻项变号法:a .当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ;b .当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是( ) A .5 B .6 C .7 D .8(2)设数列{a n }是公差d <0的等差数列,S n 为前n 项和,若S 6=5a 1+10d ,则S n 取最大值时,n 的值为( ) A .5 B .6 C .5或6D .11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,则前n 项和S n 的最大值为________. 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6=4,2a 7=-2,a 6=2>0,a 7=-1<0;又数列{a n }是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S n 取最大值时,n =6,选B.(2)由题意得S 6=6a 1+15d =5a 1+10d ,所以a 6=0,故当n =5或6时,S n 最大,选C.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,代入求和公式得, S n =na 1+n (n -1)2d =20n -n (n -1)2×2=-n 2+21n =-⎝⎛⎭⎫n -2122+⎝⎛⎭⎫2122, 又因为n ∈N *,所以n =10或n =11时,S n 取得最大值,最大值为110.6.等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 7+a 9)=54,则此数列前10项的和S 10等于( ) A .45 B .60 C .75D .90(2)在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10,则S 110=________.(3)等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A .S 4 B .S 5 C .S 6 D .S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和,可以通过求解基本量a 1,d ,代入前n 项和公式计算,也可以利用等差数列的性质:a 1+a n =a 2+a n -1=…;(2)求等差数列前n 项和的最值,可以将S n 化为关于n 的二次函数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项. 解析 (1)由题意得a 3+a 8=9,所以S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 3+a 8)2=10×92=45.(2)方法一 设数列{a n }的公差为d ,首项为a 1, 则⎩⎨⎧10a 1+10×92d =100,100a 1+100×992d =10,解得⎩⎨⎧a 1=1 099100,d =-1150.所以S 110=110a 1+110×1092d =-110.方法二 因为S 100-S 10=(a 11+a 100)×902=-90,所以a 11+a 100=-2, 所以S 110=(a 1+a 110)×1102=(a 11+a 100)×1102=-110.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0,a 6<0,所以S n 的最大值为S 5. 答案 (1)A (2)-110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时,要注意到n ∈N *; (2)利用等差数列的性质求S n ,突出了整体思想,减少了运算量.[方法与技巧]1.在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a 1,d 的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量.4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a ,a +d ,a +2d ;(2)a -d ,a ,a +d ;(3)a -d ,a +d ,a +3d 等,可视具体情况而定. [失误与防范]1.当公差d ≠0时,等差数列的通项公式是n 的一次函数,当公差d =0时,a n 为常数. 2.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.A 组 专项基础训练 (时间:35分钟)1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( ) A .63 B .45 C .36 D .27 答案 B解析 由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列. 即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6), 得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,故选B.2.(2015·北京)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( ) A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0 C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ,若a 1+a 2>0,a 2+a 3=a 1+d +a 2+d =(a 1+a 2)+2d ,由于d 正负不确定,因而a 2+a 3符号不确定,故选项A 错;若a 1+a 3<0,a 1+a 2=a 1+a 3-d =(a 1+a 3)-d ,由于d 正负不确定,因而a 1+a 2符号不确定,故选项B 错;若0<a 1<a 2,可知a 1>0,d >0,a 2>0,a 3>0,所以a 22-a 1a 3=(a 1+d )2-a 1(a 1+2d )=d 2>0,所以a 2>a 1a 3,故选项C 正确;若a 1<0,则(a 2-a 1)·(a 2-a 3)=d ·(-d )=-d 2≤0,故选项D 错.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列,且前n 项和为S n ,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.∴S m -1m -1+S m +1m +1=2S m m ,即-2m -1+3m +1=0, 解得m =5,经检验为原方程的解,故选C.4.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列,且b n =a n +1-a n (n ∈N *),若b 3=-2,b 10=12,则a 8等于( ) A .0 B .3 C .8 D .11答案 B解析 设{b n }的公差为d ,∵b 10-b 3=7d =12-(-2)=14,∴d =2. ∵b 3=-2,∴b 1=b 3-2d =-2-4=-6. ∴b 1+b 2+…+b 7=7b 1+7×62d=7×(-6)+21×2=0.又b 1+b 2+…+b 7=(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 8-a 7)=a 8-a 1=a 8-3=0, ∴a 8=3.故选B.5.已知数列{a n }满足a n +1=a n -57,且a 1=5,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A .7 B .8 C .7或8D .8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5,公差为-57的等差数列,所以a n =5-57(n -1)=40-5n 7,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n 取得最大值时,n =7或8,故选C.6.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N *),则a 10=________. 答案 14解析 由已知得1a 10=1a 1+(10-1)×13=1+3=4, 故a 10=14. 7.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n =________. 答案 2n -1解析 设等差数列的公差为d ,∵a 3=a 22-4,∴1+2d =(1+d )2-4,解得d 2=4,即d =±2.由于该数列为递增数列,故d =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1.8.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 答案 130解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0得n ≥5,∴n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.9.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12. (1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0,得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2, 又1S 1=1a 1=2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n =2n ,∴S n =12n. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-12n (n -1). 当n =1时,a 1=12不适合上式. 故a n =⎩⎨⎧12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.10.等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大? 解 方法一 由S 3=S 11得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,则d =-213a 1. 从而S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1, 又a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大. 方法二 由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n =3+112=7对称.由方法一可知a =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大. 方法三 由方法一可知,d =-213a 1. 要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0, 即⎩⎨⎧ a 1+(n -1)⎝⎛⎭⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝⎛⎭⎫-213a 1≤0,解得6.5≤n ≤7.5,故当n =7时,S n 最大.方法四 由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0,即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0,所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大.B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,(n +1)S n <nS n +1(n ∈N *).若a 8a 7<-1,则( ) A .S n 的最大值是S 8B .S n 的最小值是S 8C .S n 的最大值是S 7D .S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n <S n +1n +1,即n (a 1+a n )2n <(n +1)(a 1+a n +1)2(n +1),所以a n <a n +1,所以等差数列{a n }为递增数列.又a 8a 7<-1,所以a 8>0,a 7<0,即数列{a n }前7项均小于0,第8项大于零,所以S n 的最小值为S 7,故选D.12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-3,a k +1=32,S k=-12,则正整数k =________. 答案 13解析 S k +1=S k +a k +1=-12+32=-212, 又S k +1=(k +1)(a 1+a k +1)2=(k +1)⎝⎛⎭⎫-3+322=-212, 解得k =13.13.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________. 答案1941 解析 ∵{a n },{b n }为等差数列,∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6. ∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 6b 6=1941. 14.已知数列{a n }是首项为a ,公差为1的等差数列,b n =1+a n a n,若对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8成立,则实数a 的取值范围为________.答案 (-8,-7)解析 依题意得b n =1+1a n,对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8,即数列{b n }的最小项是第8项,于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列,因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0,a 9>0,即⎩⎪⎨⎪⎧a +7<0,a +8>0,由此解得-8<a <-7, 即实数a 的取值范围是(-8,-7).15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求通项a n ;(2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =S n n +c,求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列,所以a 3+a 4=a 2+a 5=22.又a 3·a 4=117, 所以a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两实根, 又公差d >0,所以a 3<a 4,所以a 3=9,a 4=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =9,a 1+3d =13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4. 所以通项a n =4n -3.(2)由(1)知a 1=1,d =4,所以S n =na 1+n (n -1)2×d =2n 2-n =2⎝⎛⎭⎫n -142-18. 所以当n =1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n 2-n ,所以b n =S n n +c =2n 2-n n +c, 所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c. 因为数列{b n }是等差数列,所以2b 2=b 1+b 3,即62+c ×2=11+c +153+c, 所以2c 2+c =0,所以c =-12或c =0(舍去), 经验证c =-12时,{b n }是等差数列, 故c =-12.。
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等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用
1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为
(A )2- (B ) 3- (C ) 2 (D )3
2. 已知数列的等差数列,若,则数列的
公差等于
A .1
B .3
C .5
D .6
3. 在等差数列{a n }中,a 1=13,a 3=12若a n =2,则n 等于
A .23
B .24
C .25
D .26
4. {a n }是首项a 1=1,公差为d=3的等差数列,如果a n =2008,则序号n 等
于( )
A 、667
B 、668
C 、669
D 、670
5. 在等差数列{a n }中,若
等于 A .7 B .8 C .9 D .10
二、 性质:1)若m+n=p+q ,则q p n m a a a a +=+
2)若m+n=2p ,p n m a a a 2=+运用
6. 数列为等差数列,且
,则.
7. 在等差数列{}中,已知则等于
A.40
B.42
C.43
D.45
8.已知等差数列中,,则________。
9. (2008•海南)已知{a n}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=
_____________
10.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=
_______________
11.已知等差数列中,和是方程的两根,则
——————————————
12.在等差数列中,若,则等
于 A.30 B.40 C.60 D.80 13. 已知数列{a n}是等差数列,且a4+a7+a10=17,a8+a9+a10=21,若a k=13,
则k=
14.已知等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,
则其公差________。
15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为
290,则中间项为
16.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的
和为150,则n等于______________
17.等差数列{a n}中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为77,偶数项
之和为66,a1=1,求其项数和中间项.
18.(2005•黑龙江)如果数列{a n}是等差数列,则()
A、a1+a8>a4+a5
B、a1+a8=a4+a5
C、a1+a8<a4+a5
D、a1a8=a4a5
19.(2005•黑龙江)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公
差d≠0,则()
A、a1a8>a4a5
B、a1a8<a4a5
C、a1+a8>a4+a5
D、a1a8=a4a5
三、灵活求解
20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等
差数列,则|m-n|等于______________
21.首项为-30的等差数列,从第7项开始为正,则公差d的取值范围是
()
A 、5≤d <6
B 、d <6
C 、5<d ≤6
D 、d >5
22. 已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg
2
x y -成等差数列,则点P 的轨迹图形是什么?
23. 已知数列{}n a 的首项135a =,121n n n a a a +=+,*n N ∈,求{}n a 的通项公式。