多元函数求导法则
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
多元函数求导
z 求 y x
x 1 1 z 1 ′′ ′′ ′′ ′′ = f1′ + x[ y f11 + f12] 2 f2′ 2 [ yf 21 + f 22 ] y y y y yx 1 y 2 g′ 3 g′′ x x
2
1 y 1 x ′′ ′′ = f1′ + x y f11 2 f2′ 3 f22 2 g′ 3 g′′ x x y y
第三节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 y = f (u), u = (x) 求导法则 微分法则
d y d= f ′(u) du= f ′(u)′ (x) dx
推广
（1）多元复合函数求导的链式法则 ） （2）多元复合函数的全微分 ）
1
可导, 可导 且有链式法则 z = f (φ (t), ψ (t)) 在点 t d z z du z d v = + dt u dt v dt
x2 + y2 +z2
x y
+2ze
x2 + y2 +z2 x2 cos y x2 + y2 +x4 sin2 y
7
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
例 3. 设 z = u v + sin t , u = e ,
t
dz 求全导数 . dt
解:
z
t t
d z z du z d v z = + + dt u dt v dt t
2
x y z x y z f 2′ f 2′ u f 2′ v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; + = u z v z z 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 xz
9.4 多元复合函数求导法则(新)
∂z 2 x = e cos y + ∂x x
∂z 1 x = −e sin y + ∂y y
18
z = f (u, v) =
u2v 2 2 , u +v ≠ 0 2 2 u +v
u =t , v =t
t 但，z = f (t, t ) = 2
dz 1 = dt 2
0,
u2 +v2 = 0
∂z du ∂z dv ≠ ∂u ⋅ dt + ∂v ⋅ dt = 0⋅1+ 0⋅1 = 0
2
常用导数符号
∂z = fv (u, v) = fv = f2′ ∂v ∂2 z ′′ = fvv (u, v) = fvv = f22 2 ∂v
称为混合偏导数
′′ ′′ ′′ ′′ 当 f12 和 f21 均连续时有 f12 = f21
3
推广: 推广 设下面所涉及的函数都可微 . 1、中间变量多于两个的情形 、中间变量多于两个的情形.
8
例 3.
u = f (x, y, z) = e
x2 + y2 +z2
, z = x sin y, 已知
2
∂u ∂u , . 可微，求 ∂x ∂ y
u
x y z
∂u ∂ f = 解: ∂x ∂x
x y
2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
∂u ∂ f ∂ f ∂z = + ⋅ ∂y ∂y ∂z ∂y
x
y x
y
5
z = eu sin v, u = xy , v = x + y , 求 例2. 设
多元复合函数的求导法则详解
多元复合函数的求导法则详解具体来说，有两种常见的多元复合函数情况，即链式法则和求导法则。
下面将结合具体例子详细解释这两种求导法则。
链式法则：链式法则适用于一个函数内部嵌套一个函数的情况。
我们用一个简单的例子来说明。
假设有一个函数f(x)=x²+1，另一个函数g(y)=y³。
现在我们要求复合函数h(x)=g(f(x))的导数。
首先，我们可以计算出 f(x) 的导数 df/dx = 2x。
然后我们计算g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
接下来，我们利用链式法则来求解 h(x) 的导数。
根据链式法则，h(x) 的导数可以表示为 h'(x) = (dg/df) *(df/dx)。
在这个例子中，(dg/df) 表示 g'(f(x))。
我们可以通过将 f(x) 的结果代入到 g(y) 中来计算 (dg/df)。
即将 f(x) 的结果代入到 g(y)中得到h(x) = g(f(x)) = (f(x))³ = (x²+1)³。
然后我们计算 g'(f(x))，也就是求 g(f(x)) 的导数。
根据前面的计算， g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
将 f(x) 的结果代入 dg/dy 中，即f(x) = x²+1，我们得到dg/df = 3(x²+1)²。
接下来，我们将 (dg/df) 和 df/dx 代入链式法则的公式中，即h'(x) = (dg/df) * (df/dx) = 3(x²+1)² * 2x = 6x(x²+1)²。
因此，我们得出 h(x) 的导数为h'(x) = 6x(x²+1)²。
这个例子说明了链式法则的使用方法，即先计算每个嵌套函数的导数，然后将这些导数代入到链式法则的公式中，得到最终的复合函数的导数。
94多元复合函数的求导法则
vet u sin t cost
et cost et sin t cost
et (cost sin t) cost.
【解Ⅱ】 将u,v函数表达式代入 z 后化为t 的一元函 数再对t 求导(略)
13/20
【例3】 设w f (x y z, xyz)， f 具有二阶
无论 z 是自变量 u、v 的函数或是中间变量 u、v
的函数，它的全微分形式是一样的. dz z du z dv
２.全微分形式不变性的简单应用
u v
(1)由全微分形式不变性，易得全微分四则运算公式，
d(u v) du dv,
d(u v) udv vdu,
d
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
uv x yx y
z u
u x
dx
y
dy
z v
v x
dx
v y
dy
z u
du
z v
dv.
17/20
１. 全微分形式不变性的实质
f11 y(x z) f12 xy2zf22 yf2.
【注意】 用观察法可一步写出一阶偏导数结果.
15/20
[课本例5略]
要求: 复合函数的一阶偏导数的求法及 练习题要会做.
[练习] 习题9-4 P82 1——10
[作业] 习题9-4 P82 2、4、6、9、10
v 用x，y的表达式代入，则得到
第四节 多元函数的求导法则
z u z v u v lim lim u 0 0 u x v x v 0 x u0 x v
z u z v . u x v x
同理可证
z z u z v . y u y v y
是x, y的复合函数 .
如何求复合函数 f [ ( x, y), ( x, y )] z 的导数？
定理 设 u ( x, y), v ( x, y) 在点 x, y)有偏导数 ( ,
而z f (u, v ) 在对应点 u, v ) 有连续偏导数，则复合 ( 函数
z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点( x, y) 有偏导数
du 函 数F，f，均 可 微 ， 求 . dx
四、小结
1、链式法则
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
思考题
设 z f ( u, v , x ) ，而u ( x ) ，v ( x ) ，
dz f du f dv f ， 则 dx u dx v dx x dz f 试问 与 是否相同？为什么？ dx x
x 0 x 0
所以 z z u z v u v lim lim( ) x 0 x x 0 u x v x x x
z u z v u v lim lim lim lim lim lim u x 0 x v x 0 x x 0 x 0 x x 0 x 0 x
y
z f (sin x , e xy , ln x 2 y 2 )，f 具有连续偏 例3 设
z z 导数，求 和 . x y
多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可 能把所有的公式都写出来，也没有必要，只要把握住 函数间的复合关系，及函数对某个自变量求偏导时，
4多元复合函数的求导法则
4多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则可以通过链式法则来进行推导和应用。
链式法则是微积分中一种基本的求导法则，用于求解复合函数的导数。
在多元函数的情况下，链式法则也同样适用。
1.一元函数的链式法则首先回顾一下一元函数的链式法则。
对于一个一元函数f(g(x))，其中g(x)是x的函数，我们可以使用链式法则求导：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)这个法则的核心思想在于，我们把函数f的导数与待求函数对x的导数相乘。
2.二元函数的链式法则推广到二元函数的情况，假设我们有一个二元函数z=f(x,y)，其中x 是自变量，y是中间变量。
我们可以通过链式法则来求导。
首先，我们考虑z关于x的偏导数，记作∂z/∂x。
由链式法则可得：∂z/∂x = (∂f/∂x)(dx/dx) + (∂f/∂y)(dy/dx)由于dx/dx=1，dy/dx是变量关于中间变量的导数，我们可以令∂z/∂x 简化为：∂z/∂x = (∂f/∂x) + (∂f/∂y)(dy/dx)同理，我们也可以求z关于y的偏导数∂z/∂y：∂z/∂y = (∂f/∂x)(dx/dy) + (∂f/∂y)(dy/dy)由于dy/dy=1，dx/dy是变量关于中间变量的导数，我们可以令∂z/∂y简化为：∂z/∂y = (∂f/∂x)(dx/dy) + (∂f/∂y)3.多元函数的链式法则如果函数z与多个自变量有关，即z=f(x1, x2, ..., xn)，我们可以使用类似的方式计算其偏导数。
对于z关于x1的偏导数∂z/∂x1，我们需要乘以x1关于中间变量的导数。
具体来说，我们可以写出：∂z/∂x1 = (∂f/∂x1)(dx1/dx1) + (∂f/∂x2)(dx2/dx1) + ... +(∂f/∂xn)(dxn/dx1)同理，我们也可以对z关于其他自变量求偏导数，得到类似的表达式。
4.链式法则的应用链式法则在实际问题中有广泛的应用，特别是在多元函数的求导计算中。
6-4复合函数的求导法则
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
解 z ： f'(12 x2)y ,zf'2 x 2y
x
y
情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数 z=f(x,y), x=u(s,t) ,y=v(t) ,则
z f x s x s z f x f dy t x t y dt
特殊地 zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
当 t 0 时 ， u 0 ， v 0
u du, t dt
v dv,.v dt t 0 t udtvdt
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
u
如z
v
t
w
d zzd uzd vzdw dtudtvdtwdt
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
证 设t获得增t量 ，
则 u (t t)(t), v (t t)(t);
由 于 函 数 z f ( u ,v ) 在 点 ( u ,v ) 有 连 续 偏 导 数
z u z u v z v1 u 2 v ,
0804多元复合函数的求导法则
w x
f1 1
f2yz
f(x y z ,x y z ) y z f ( x y z ,x y z )
1
2
2w
xz
f1fxy
11
12
y
f 2
yz[f 1 21
f22xy]
为简便 起f 见1 ,1 y 引( x 入 记z ) 号f 1 f12 x y 2 z uff ,2 f12 y 2f 2 u2fv,
练习3 u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,n 求 u , u x y
解: u f f z x x z x
2xex2y2z2 2zex2y2z22xsiny
u
2 x (1 2 x 2 s2 iy ) n e x 2 y 2 x 4 s2 iy n x y z
( 3 ) s f [ u ( x , y , z ) v ( x , y , z ) w ( x , , y , z )],
s f u f v f w , x u x v x w x
s y
f u f v u y v y
f w , w y
s f u f v f w . z u z v z w z
二、全微分形式不变性*: 若 zf(u,v)关于自 u,v具 变有 量连续 , 偏导 则z的全微 dz分 f duf dv; u v 若又 u u (x 有 ,y)v , v(x ,y)关 x ,y 于 偏导 , 数 则 z 对 f[ u (x ,y )于 v ( ,x ,y )有 ]dzzdxzdy x y
t ut vt t
令t0, 则 u 有 0 , v 0 ,
udu, vdv t dt t dt
z
6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
2 4 t
(2uv 3v 4 ) e t ( u2 12uv 3 )cos t
(2e t sin t 3sin4 t )e t (e 2t 12e t sin3 t )cos t .
链导法则
特例1 若 z = f (u , v)，而 u ( x ), v ( x ) 都在点 x 处可导, 函数 z = f (u , v)在相应点(u , v)处可微， 则复合函数 z f [ ( x ), ( x )] 在点 x 处可导， u 且 z x dz z du z dv 全导数 v
注意
情形(1) z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y ), 则 z u z v z w z x u
z
w
u
v
y
x y
z
z 是在 z f [ ( x , y ), x , y ] 中视 y 为常量，对 x 求偏导. x f 是在 z = f (u , x , y)中 视 u , y 为常量，对 x 求偏导. x
类似一元函数具有微分形式不变性，二元函数具有全微分 形式不变性. 设函数 z f ( u, v ), u ( x , y ), v ( x , y ) 均具有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 的全微分为
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y
高等数学 第八章 第4节 多元函数的求导法则(中央财经大学)
第四节 多元复合函数的求导法则一. 全导数多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？由此可推至一般的情况由此可推至一般的情况设以下函数满足定理的条件; )( , )( , ),(t y y t x x y x f z ===;)( , )( , )( , ),,(t z z t y y t x x z y x f u ====. )( , )( , ),,(x z z x y y z y x f u === 请同学自己写请同学自己写开始对答案你做对了吗 ?你做对了吗 ?二. 链导法则一般多元复合函数的求导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,z uvwxy将 y 看成常数将 y 看成常数 将 x 看成常数 将 x 看成常数分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.u v x yzu v x yzuF x yyz∂∂ 2 21f e x f y yz xy′+′−=∂∂ 自己做 自己做=三. 全微分形式不变性记得吗?一元函数的微分有一个重要性质： 一阶微分形式不变性对函数)(u f y =不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有d )(d u u f y ′=与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得与y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得,0=+dz e dz )(ydx xdy +xy −与y y zx x z z d d d ∂∂+∂∂=比较, 得谢谢大家！。
多元复合函数x对y求导
多元复合函数x对y求导
多元复合函数是由多个函数组成的复杂函数。
在求导中，我们通
常采用链式法则来对其进行求导。
如果有一个函数y=f(u)，另一个函数u=g(x)，则将它们组合起来
得到复合函数y=f(g(x))。
其求导规律为：
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
这里的dy/du表示对f(u)进行求导，du/dx表示对g(x)进行求导。
那么，对多元复合函数x对y求导时，就可以将其视为一个复合函数，并按照链式法则来求解。
假设存在函数z=h(x,y)，y=f(u)，u=g(x)，则将它们组合起来得
到多元复合函数z=h(x,f(g(x)))。
其求导规律为：
dz/dx=(∂z/∂x)+(∂z/∂y)*(dy/dx)
这里的∂z/∂x和∂z/∂y分别表示对z关于x和y的偏导数，dy/dx
同样表示对f(g(x))关于x的导数。
根据链式法则，我们可以将dy/dx
拆分为dy/du和du/dx，即：
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
=(df/du)*(du/dx)
=(df/du)*(dg/dx)
将其代入dz/dx的公式中，可以得到：
dz/dx=(∂z/∂x)+(∂z/∂y)*(df/du)*(dg/dx)
这样，我们就可以通过多元复合函数的偏导数和链式法则来求解其对y的导数了。
第7-4节(多元复合函数的求导法则)
∂ z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + . ∂ y ∂u ∂ y ∂y
区 别 类 似
两者的区别
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 z = f ( u, x , y )
把 复 合 函 数 z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中的 u 及 y 看作不
变而对 x 的偏导数
江西理工大学理学院
u
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂y u u = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1 = e u ( x sin v + cos v ).
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例 3 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
例 1 设 z = e uv ，而 u = sin t ， v = t 2 ，
dz 求 . dt
解
dz ∂z du ∂z dv = ⋅ + ⋅ dt ∂u dt ∂v dt
= ve uv ⋅ cos t + ue uv ⋅ 2t
= te
t 2 sin t
( t cos t + 2 sin t ).
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u
x
z
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂ y ∂u ∂y ∂v ∂y
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类似地再推广，设 u = φ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y )、
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，
第九章-第4节多元复合函数求导法则
z z u z v o ( ) (
u v
z z u z v o ( )
t u t v t t
(u)2 (v)2 )
4
z z u z v t u t v t
o( )
t
(
(u)2 (v)2 )
z
令 t 0 ,则有 u 0, v 0,
u du , v dv
uv
t dt t dt
tt
o ( ) o( ) t
(
u)2 t
(
v t
)2
0
（ t 0时,根式前加“–”号)
dz z du z dv dt u dt v dt
( 全导数公式 )
5
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
u2v u2 v
2
,
0,
u2 v2 0 u2 v2 0
ut, vt
易知:
但复合函数 z f ( t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
6
推广:1）中间变量多于两个的情形。例如
z f (u,v, w) , u (t), v (t), w (t)
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
z y
z u u y
z v v y
eu sin v x eu cos v 1
ex y[x sin( x y) cos(x y)]
9
例2. u f ( x , y ,z ) e x2 y2 z2 , z x2 sin y ,
第九章 多元函数微分法及其应用
多元函数的偏导数与全导数的概念及计算方法
多元函数的偏导数与全导数的概念及计算方法一、多元函数的偏导数概念及计算方法多元函数的偏导数是指在多元函数中，固定其他变量而对某一个变量求导的结果。
偏导数的计算方法可分为两种：使用基本的导数法则以及使用偏导数的定义。
1. 使用基本的导数法则计算偏导数假设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，则可以通过以下导数法则来计算它的偏导数：a. 对于一个与x1有关的函数，固定其他变量而对x1求导，得到偏导数∂f/∂x1。
对于每一个变量，都可以类似操作。
b. 对于一个与x1和x2有关的函数，固定其他变量而对x1和x2分别求导，得到偏导数∂f/∂x1和∂f/∂x2。
c. 继续对函数的其他变量进行相同的操作，直到计算得到所有的偏导数。
2. 使用偏导数的定义计算偏导数使用偏导数的定义计算偏导数需要先确定一个变量为自变量，其他变量为常数。
然后根据函数的定义，求出对应自变量的导数。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
计算时，我们先固定y为常数，然后将f(x, y)看作只是关于x的函数，使用基本的导数法则计算∂f/∂x。
接着，我们再固定x为常数，将f(x, y)看作只是关于y的函数，使用基本的导数法则计算∂f/∂y。
二、多元函数的全导数概念及计算方法多元函数的全导数是指对于一个多元函数中的每个自变量，都求出对应的偏导数。
全导数的计算方法与偏导数的计算方法类似。
假设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，则可以通过以下步骤来计算它的全导数：1. 计算所有的偏导数固定每个变量，分别对其求偏导数∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn。
这一步的计算方法可以使用上述的偏导数的计算方法。
2. 组合所有的偏导数将所有的偏导数组合在一起，形成一个向量，即全导数的结果。
如果函数有n个自变量，全导数可以表示为向量(d1f, d2f, ..., dnf)。
需要注意的是，全导数不同于偏导数的一个重要特点是可以通过向量的方式来表示。
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主要参考书：《医科高等数学》，张选群主编，高教出版社，2009年，第二版
教学目标与要求：
了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念
掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法
教学内容与时间分配：
教学方法手段
和时间分配
复习回顾：一元复合函数求导法则
第三节全微分及其应用
一元函数： ，在 点可导；
二元函数： ，在 点 存在；希望全增量 为
（1）
其中 是不依赖于 （仅与 点有关）的常数，
下面给出全微分的定义、存在的充要条件。
一、全微分概念
定义：若（1）式成立，则称 ，在点 可微分，而 称为在该点的全微分（total differential），记为：
教学方法与手段：
教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。
教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。
教学组长审阅意见：
签名：年月日
教研室主任审阅意见：
签名：年月日
理论与实验课教案续页
基本内容
理论与实验课教案首页
第17次课授课时间2016年12月23日第3～5节课教案完成时间2016年12月16日
课程名称
高等数学
教员
职称
副教授
专业层次
药学四年制本科
年级
2016
授课方式
理论
学时
3
授课题目（章，节）
第七章 多元函数及其微分法
§3.全微分§4.多元复合函数与隐函数的偏导数
基本教材、主要参考书
和相关网站
4）定理2的证明中用到拉格朗日中值定理（P80，（3-1-2’））
5）将自变量的增量 称为自变量的微分，记为 ，从而
（3）
6）可以推广到多元函数（>二元）
三、算法
例：求全微分。
（1）
（2）
（3）求 在 点的
四、全微分应用
1．近似计算
例（P224例4）求 的近似值。
例（P224例3）求已知两端封闭的金属圆桶的底面半径为30厘米，高为120厘米。要将它刷上0.02厘米厚的油漆，问共需多少油漆？
复习5分钟全微分概念5分钟
可微与可导间的关系5分钟全微分的算法及应用25分钟
复合函数求导法则（推广及特例4种）40分钟
一阶全微分形式的不变性15分钟隐函数求导法20分钟
小结5分钟
教学重点与难点：
重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法
难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析
作业：习题七15（1）；25(2,4)；26(1)；29(2)；32(2)；33（2）；34
预习：第七章第七节多元函数的极值
第八节经验公式与最小二乘法
实
施
情
况
及
效
果
分
析
教员签名：年月日
例6 ，求 。
例7 ，求 ， 。
练习：
习题七27（1）；28(2) ; 31(1)
二、隐函数微分法
（一）一元隐函数求导公式
方法一：两边对 求导，解出 （不足：无法用一般公式表述）
方法二：由
例8设 ，求 。
（二）二元隐函数求导公式
例9设 ，求 。
例10设 ，求 。
练习：
习题七-- 35(1); 36(3)
：视 为 的函数，固定 ， 对 求导。
带入为一元函数，故
15’
注意体会利用一阶全微分形式不变性求全微分和偏导数与按定义求全微分不同
10’
公式
公式
首先构造
10’
5’
理论与实验课教案末页
小
结
1.掌握全微分公式及应用；
2.多元复合函数的求导法则；
3.一阶全微分形式的不变性；
4.隐函数求导法。
思
考
题
及
作
重点
难点
讨论式
两个偏微分之和
10’
推广：三元为三个偏微分之和
启发式互动
板书
5’
板书
10’
通过练习加深对方法的理解
10’
“锁链法则”
注意两点：
1）搞清函数复合关系；
2）对某个自变量求偏导，应经过一切中间变量而归结到该自变量。
10’
板书
20’
借用上图和上式
：视 为 的函数，固定 ， 对 求导；
2．误差估计（自学）
课堂练习：
1．求下列函数的全微分。
（1） （2）
2．一矩形边长分别为 米， 米。如果 边增加5厘米，而 边减少10厘米，求该矩形对角线的近似变化情况。
第四节多元复合函数与隐函数的求导法则
一、多元复合函数的求导法则
（一）复合函数的偏导数
定理（P229）如果
1） 在 点 存在；
2） 在对应点 ， 连续，
（二）一阶全微分形式的不变性
一元函数：
二元函数：
在 点可微
1） （ 为自变量）（全微分公式）
2）若 ，则 仍成立。
证：画出函数结构图，所以
（1）
（2）
注意：1）这里不变性是指形式不变。
2）多元函数全微分四则运算公式同一元情形形式上一样（见P207四条公式）
3）利用一阶全微分形式不变性来计算全微分与偏导数与按全微分定义求全微分的路线相反。
（2）
二、可微与可导间的关系
P222定理1（必要条件）
在 点全微分存在 存在（+连续）
（（1）式成立）P223定理2（充分条件）
AB
几点说明：
1）P222定理1为全微分存在的必要条件定理，即（1）式成立 在 点存在且 ；
2）反之不成立。反例见 分段函数（即 不是 的高阶无穷小）
3）反之何时成立？这就是P223定理2（充分条件）（+偏导连续）
则 在点 有
（1）
（2）
例1 ， ，求 。
例2 ，求 。
推广及特殊情形：
（1）自变量多于2个
，
（2）中间变量多于2个
，
例3 ， ， ，求 。
（3）只有一个中间变量
，
例4 ， ，求 。
（4）只有一个自变量（全导数，total derivative）
，
（5）一个中间变量，一个自变量（（4）中 ）
，
例5 ， ，求 。