定积分的概念：求曲边梯形的面积 PPT

1 6
(n
1)n(2n
1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
S= lim x0
Sn
lim
x0
n i1
f(
i-1) n
1= n
lim
x0
1 6
(1
1 )(2 n
1) n
1 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为 1。
3
3
分割
以曲代直
求和
取极限
两个结论
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响 结果吗？
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
（2）近似代替(以直代曲）
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
（3）求和
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
02 1 , ( 1 )2 1 , ( 2 )2 1 , ,( n 1)2 1 ,
nn nn n
nn
所有这些小矩形的面积的和为
n
S S1 S2 Sn Si
i1
n f( i-1) 1 n ( i-1)2 1
的垂线, 这样[0,1]区间
分成n个小区间：0,
1 n
,
1 n
,
2 n
,
n
1 n
,1
记第i个区间为 i
1 n
,
i n
i
1,2,,
n
y
长度: x i i 1 1
y=x2
nn n
对应的小曲边梯形面积为△Si
Sn S1 S2 Si Sn
O 1 2 i 1 i n 11 x
n n nn n
i1 n n i1 n n
02 1 ( 1 )2 1 ( 2 )2 1 ( n 1 )2 1
nnnnn
nn
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
（4）取极限
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。
• （2）在近似代替时用小区间内任一点处的 函数值影响结果吗 ？
2. 在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值作 为近似值，结果也是一样的。
• （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？
归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
S
n
lim n i1
ba n
1.5.1定积分的 概念：曲边梯 形的面积
一,学习目标:
1、掌握曲边梯形面积的求法. 2、深刻理解化曲为直的思想. 3、初步认识定积分的概念.
二,重点:
1、曲边梯形的面积 2、化曲为直的思想 3、定积分的概念
三,难点:
化曲为直的思想及定积分概念
情境创设
金门大桥 （美国）
概念形成
曲边梯形的定义：由直线 x a, x b(a b), y 0
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积
深入思考
• 通过动画演示我们可以看出，n越大， 区间分的越细，各个结果就越接近真 实值。为此，我们让n无限变大，这 就是一个求极限的过程。
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
和曲线 y f (x) 所围成的图形称为曲边梯形。
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
y
A
A
∟
∟
o
B
x
o
B
x
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?
思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?
思维导航
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
f (i 1) (i 1)2
n
n
f ( i ) ( i )2 nn
O i 1 i
1x
nn
方案. 方案.. 方案… 方案….
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
思考1：怎样“以直代曲”？ 能整体以“直”代“曲吗？ 思考2：怎样分割最简单？
y x2
o
1x
案例探究
1、分割 把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边
f
i
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
近似代替
求和 取极限
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
学以致用
假设上半部分的抛物线的方程为y 1- x2，x [0,1], 求抛物线部分的断面面积。
y
o
1
x
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
课堂小结
求一个具体曲边梯形的面积 “以直代曲”和“无限逼近”思想 方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限
ຫໍສະໝຸດ Baidu
• 有位成功人士曾说过：“做事业的 过程就是在求解一条曲线长度的过 程。每一件实实在在的小事就是组 成事业曲线的直线段。”想想我们 的学习过程、追求理想的过程又何 尝不是这样？希望大家能用微积分 的思想去学习、去做事！