定积分的概念 ppt课件

22
(n 1)2]
1 n3
1 (n 1)n(2n1) 6
1(1 1)(2 1) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角面 形积 的为1。
3
3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分 割
（2）求面积的和 （3）取极限n
引入
二、汽车行驶的路程
利 用 导 数 我 们 解 决 了 “ 已 知 物 体 运 动 路 程 与 时 间 的 关 系 ， 求 物 体 运 动 速 度 ” 的 问 题 ． 反 之 ， 如 果 已 知 物 体 的 速 度 与 时 间 的 关 系 ， 如 何 求 其 在 一 定 时 间 内 经 过 的 路 程 呢 ？
1.5 定积分的概念
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边
梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
,
2 n
，…，
n
1 n
, 1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
n
1
,
i n
上，可以认为函数 vt t2 2 的值变化很
小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端
Si f(i n1)x(i n1)2n 1
（3）作和
n
S S1 S2 Sn Si i 1
n f( i -1) 1 n ( i -1)2 1
i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
（4）逼近
当分割无限变细， x即 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
n
12
2
=
1 n3
n
1 n2n
6
1
2
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
（4）取极限 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 ， 即 t 趋 向 于 0 时 ，
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
趋向于
S
，
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
S
lim
n
Sn
在数据上等于由直线
t
0
,
t
1
,v
0
和曲线 v t2 2 所围成的曲边梯形的面积．
结论
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函
数为v vt，那么我们也可以采用分割、近似代
1 n
v
i
1 n
lim
n
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
5 3
思考
思 考 ： 结 合 求 曲 边 梯 形 面 积 的 过 程 ， 你 认 为 汽 车 行 驶 的 路 程 S与 由 直 线 t0,t1,v0
和 曲 线 vt22所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 有 什 么 关 系 ？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程
解：1．分割
在时间区间 0 ,1上等间隔地插入 n 1个点，将区间
0 ,1等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n 1 n
, 1
记第 i 个区间为
i
n
1
,
i n
(i 1, 2 ,L
, n) ，其长度为 t
i i 1 nn
1 n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
问题：汽车以速度 v 组匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果汽车作变速直线运动，
在时刻 t 的速度为 vt t2 2 （单位：km/h），那
么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S
（单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代 变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归 为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1] 分成 n 个小 区间，在每个小区间上，由于 v(t) 的变化很小，可以 近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位： km）的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单 位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程）．
Si
Si
v
i
1 n
t
i
12 n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1,2,L , n)
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①
（3）求和 由①得，
Sn
n i 1
Si
n i 1
v
i
1 n
gt
n i 1
i
n
1
2
g1 n
2
n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
L
n
1 n
2
1 n
2
= 1 n3
12 22 L
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
上看，即使汽车在时间段
i
n
1
,
i n
(i 1, 2 ,L , n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
v
i
1 n
i
1 n
2
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
[0 ,1][,1,2],,[i 1,i],,[n 1,n], n nn nn n n
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 ,, S i,, S n .
（2） 以直代曲
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：