功率谱估计周期图法
经典功率谱估计(1)
N n0
可以利用FFT实现对 rˆ(m的) 快速计算。
上式也可以写为：
rˆ(m)
1 N
N 1
xN (n)xN (n m)
n0
求 rˆ(m)的离散时间傅里叶变换，得：
N1 rˆ(m)e jm
m( N 1)
1 N
N 1 N 1
xN (n)xN (n m)e jm
m( N 1) n0
2021/4/9
E
x(n)x(n m)
r(m)
1
N 1|m|
r(m) r(m)
N n0
N n0
N | m | r(m) r(m) | m | r(m)
N
N
9
2. 间接法
可以看出：
bia[rˆ(m)] | m | r(m) N
① 对于一个固定的延迟 |m| ，当 N→∞时，bia[rˆ(m)] 0，因此
x(n)x(n m)
N n0
rˆ(m)的长度为 2N-1，它是以 m=0 为偶对称的。
由偏差的定义可知：
bia[rˆ(m)] E[rˆ(m)] r(m)
bia[ˆ] E(ˆ ) E(ˆ)
2021/4/9
E
1 N
N 1|m| n0
x(n)x(n
m)
r(m)
1
N 1|m|
rˆ(m)
1 N
N 1
xN (n)xN (n m)
n0
2021/由4/9 于x(n)只有N个观察值，因此对于每一个固定的延迟 m，可以 8
2. 间接法
利用的数据只有 N-1-|m| 个，且在 0~N-1 的范围内，xN(n)= x(n)， 所以实际计算时，上式变为：
功率谱计算[解说]
![功率谱计算[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/3cec2a18f02d2af90242a8956bec0975f465a478.png)
功率谱计算功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。
在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。
功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。
经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。
直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。
在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。
但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。
因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。
还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。
这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。
加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。
相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。
welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT等技术来计算功率谱。
与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。
matlab中，welch法用函数psd实现。
调用格式如下：[Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)X：输入样本数据NFFT：FFT点数Fs:采样率WINDOW：窗类型NOVERLAP，重叠长度现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。
可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。
参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。
经典功率谱和Burg法的功率谱估计
现代信号处理作业实验题目：设信号)()8.0cos(25.0)47.0cos()35.0cos()(321n v n n n n x ++++++=θπθπθπ，其中321,,θθθ是[]ππ,-内的独立随机变量，v(n)是单位高斯白噪声。
1.利用周期图法对序列进行功率谱估计。
数据窗采用汉明窗。
2.利用BT 法对序列进行功率谱估计，自相关函数的最大相关长度为M=64,128,256,512采用BARTLETT 窗。
3.利用Welch 法对序列进行功率谱估计，50%重叠，采用汉明窗，L=256,128,64。
4.利用Burg 法对序列进行AR 模型功率谱估计，阶数分别为10，13.要求每个实验都取1024个点，fft 作为谱估计，取50个样本序列的算术平均，画出平均的功率谱图。
实验原理：1）。
周期图法：又称间接法，它把随机信号的N 个观察值x N (n)直接进行傅里叶变换，得到X N (e jw ),然后取其幅值的平方，再除以N ，作为对x （n ）真实功率谱的估计。
2^)(1)(jw e X Nw P N per =， 其中∑-=-=1)()(N n jwn N jwN e n x e X 2）。
BT 法：对于N 个观察值x(0),x(1),。
,x(N-1),令x N (n)=a(n)x(n)。
计算r x （m ）为∑--=-≤+=mN n N Nx N m m n x n xN m r 101),()(1)(,计算其傅里叶变换∑-=--≤=MMm jwm xBT N M e m rm v w P 1 ,)()()(^^，作为观察值的功率谱的估计。
其中v(m)是平滑窗。
3)。
Welch 法：假定观察数据是x(n),n=0,1,2...,N-1，现将其分段，每段长度为M,段与段之间的重叠为M-K,第i 个数据段经加窗后可表示为 1,...,1,0 )()()(-=+=M i iK n x n a n x i M其中K 为一整数，L 为分段数，该数据段的周期图为2)(1)(^w X MU w P i M iper =，其中∑-=-=10)()(M n j w n iM i M e n x w X 。
多种功率谱估计的比较
多种功率谱估计的比较1．实验目的：a.了解功率谱估计在信号分析中的作用；b.掌握随机信号分析的基础理论，掌握参数模型描述形式下的随机信 号的功率谱的计算方法；c.掌握在计算机上产生随机信号的方法；d.了解不同的功率谱估计方法的优缺点。
2．实验准备：有三个信号源，分别代表三种随机信号（序列）。
信号源1：123()2cos(2)2cos(2)2cos(2)()x n f n f n f n z n πππ=+++其中，1230.08,=0.38,0.40f f f ==z(n)是一个一阶 AR 过程，满足方程： ()(1)(1)()z n a z n e n =--+ (1)0.823321a =-e(n)是一高斯分布的实白噪声序列，方差20.1σ=信号源2和信号源3：都是4阶的AR 过程，它们分别是一个宽带和一个窄带过程，满足方程： ()(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()x n a x n a x n a x n a x n e n =--------+e(n)是一高斯分布的实白噪声序列，方差2σ，参数如下：a. 描绘出这三个实验信号的真实功率谱波形。
b. 在计算机上分别产生这个三个信号，令所得到的数据长度 256 = N 。
注意：产生信号的时候注意避开起始瞬态点。
例如，可以产生长度为512 的信号序列，然后取后面256 个点作为实验数据。
c. 分别用如下的谱估计方法，对三个信号序列进行谱估计。
1、经典谱估计 z 周期图法 z 自相关法z 平均周期图法（Bartlett 法）z Welch 法（可选每段64 点，重叠32 点，用Hamming 窗） 2、现代谱估计z Yule - Walker 方程（自相关法） z 最小二乘法注：阶次p 可在3－20之间，由自己给定。
4.实验结果及分析1 分析信号源1 1> 周期图法周期图法又称直接法，是直接建立在功率谱的定义式上的。
经典功率谱估计方法实现问题的研究
1 随机信号的经典谱估计方法估计功率谱密度的平滑周期图是一种计算简单的经典方法。
它的主要特点是与任何模型参数无关，是一类非参数化方法[4]。
它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据观测区以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。
在一般情况下，周期图的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。
本章主要介绍了周期图法、相关法谱估计（BT ）、巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法和Welch 法这四种方法。
2.1 周期图法周期图法又称直接法。
它是从随机信号x(n)中截取N 长的一段，把它视为能量有限x(n)真实功率谱)(jw x e S 的估计)(jw x e S 的抽样.周期图这一概念早在1899年就提出了，但由于点数Ｎ一般比较大，该方法的计算量过大而在当时无法使用。
只是1965年FFT 出现后，此法才变成谱估计的一个常用方法。
周期图法[5]包含了下列两条假设：1．认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本x(n)中的一段)(n x N 来估计该随机序列的功率谱。
这当然必然带来误差。
2．由于对)(n x N 采用DFT ，就默认)(n x N 在时域是周期的，以及)(k x N 在频域是周期的。
这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段)(n x N 的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。
与相关法相比，相关法在求相关函数)(m R x 时将)(n x N 以外是数据全都看成零，因此相关法认为除)(n x N 外x(n)是全零序列，这种处理方法显然与周期图法不一样。
但是，当相关法被引入基于FFT 的快速相关后，相关法和周期图法开始融合。
通过比较我们发现：如果相关法中M=N ，不加延迟窗，那么就和补充（N-1）个零的周期图法一样了。
简单地可以这样说：周期图法是M=N 时相关法的特例。
因此相关法和周期图法可结合使用。
2.2 相关法谱估计（BT ）法这种方法以相关函数为媒介来计算功率谱，所以又叫间接法。
功率谱估计案例 matlab
功率谱估计案例 matlab在MATLAB中进行功率谱估计有许多不同的方法和工具。
其中，常用的方法包括周期图法（periodogram method）、Welch方法、Bartlett方法、Blackman-Tukey方法、自回归模型（autoregressive model）和傅里叶变换法等。
这些方法可以用于估计信号的功率谱密度，进而分析信号的频谱特性。
以周期图法为例，MATLAB提供了periodogram函数来实现功率谱估计。
用户可以直接输入信号数据并指定采样频率，函数将返回频率和对应的功率谱估计结果。
使用periodogram函数可以轻松地对信号进行功率谱分析，并可视化频谱特性。
另外，MATLAB还提供了pwelch函数来实现Welch方法，该方法可以对信号进行分段处理并计算每个段的功率谱估计，最后将结果进行平均以得到最终的功率谱密度估计。
这种方法可以降低估计的方差，更适用于非平稳信号的功率谱分析。
除了内置函数外，MATLAB还提供了丰富的工具箱，如信号处理工具箱（Signal Processing Toolbox）和控制系统工具箱（Control System Toolbox），这些工具箱中包含了更多高级的功率谱估计方法和工具，用户可以根据具体需求选择合适的方法进行功率谱分析。
在实际应用中，用户还可以结合MATLAB中的数据处理和可视化功能，对功率谱估计结果进行进一步分析和展示。
通过MATLAB强大的编程功能，用户可以灵活地定制功率谱估计的流程，并将分析结果以图表或报告的形式输出，从而更好地理解信号的频谱特性。
综上所述，MATLAB提供了丰富的功率谱估计方法和工具，用户可以根据具体需求选择合适的方法进行功率谱分析，并结合MATLAB 的数据处理和可视化功能进行全面的信号频谱特性分析。
功率谱估计方法的比较
功率谱估计方法的比较1.周期图法周期图法是最简单直观的功率谱估计方法之一，通过将信号分成多个长为N的区间，计算每个区间内信号的一维傅里叶变换，然后将这些变换结果平方并取平均得到功率谱。
该方法简单快速，但由于其需要使用多个区间的数据进行平均，因此对信号长度有较高的要求，且在信号存在非平稳性时，该方法不适用。
2.自相关法自相关法是一种经典的功率谱估计方法，通过计算信号的自相关函数来估计功率谱。
具体步骤是将信号与其自身的延迟序列进行点乘，并取平均得到自相关函数。
然后对自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱估计值。
该方法计算简单，但精度一般，且在信号长度较长时计算复杂度较高。
3.傅里叶变换法傅里叶变换法是一种经典的功率谱估计方法，通过对信号直接进行傅里叶变换得到功率谱。
该方法计算简单，精确度高，但对信号的长度存在要求，较长的信号长度能提供更高的分辨率。
此外，傅里叶变换法只适用于周期性信号。
4.平均周期图法平均周期图法是一种对周期图法的改进。
它将信号分为多段，并对每一段进行周期图计算，然后将计算结果平均得到平均周期图。
与周期图法相比，平均周期图法可以降低误差，提高估计精度。
然而，该方法仍然对信号长度有一定要求，并且计算复杂度较高。
5.移动平均法移动平均法是一种基于滑动窗口的功率谱估计方法，其基本思想是通过对信号进行多次滑动窗口处理，将窗口内信号的傅里叶变换结果平方并取平均得到功率谱估计值。
该方法在计算复杂度上较低，适用于非平稳信号的功率谱估计。
但是，由于窗口大小的选择存在权衡，需要根据实际情况进行合理设置。
总结起来，各种功率谱估计方法各有优劣。
周期图法和自相关法计算简单，但方法的精度较低，受信号长度限制且无法处理非平稳信号。
傅里叶变换法具有较高的计算精度，但对信号的长度和周期性要求较高。
平均周期图法和移动平均法对周期图法进行了改进，在精度上有所提高，但计算复杂度较高。
因此，在实际应用中，需要根据具体的信号特点和处理要求选取合适的功率谱估计方法。
第3章功率谱估计和信号频率估计方法
第3章功率谱估计和信号频率估计方法在信号处理和通信系统设计中，功率谱估计和信号频率估计是非常重要的技术。
功率谱估计可以用来研究信号的频域特性和频率分量的强度分布，信号频率估计可以用来确定信号的频率成分。
本章将介绍功率谱估计和信号频率估计的常用方法。
3.1功率谱估计功率谱是描述信号功率随频率变化的函数。
常用的功率谱估计方法有非参数法和参数法。
非参数法是一类基于信号的样本序列进行计算的方法，不依赖于对信号的概率模型的先验假设。
常见的非参数法有周期图法、半周期图法等。
周期图法是一种基于时域序列的离散傅里叶变换的方法。
它将信号分成多个时段，对每个时段进行傅里叶变换，然后求得功率谱密度。
周期图法具有快速计算和较好的频率分辨能力的特点，适用于信号周期性较强的情况。
半周期图法是周期图法的一种改进方法。
它首先将信号分成两个连续的时段，计算各自的功率谱密度，然后取两个时段的平均值作为最终的功率谱估计。
半周期图法减少了周期图法中窗函数的影响，提高了估计的准确性。
参数法是一种基于对信号进行参数建模的方法。
常见的参数法有自回归(AR)模型、线性预测(ARMA)模型等。
自回归模型是一种用于描述信号随机过程的自回归线性滤波模型。
它通过自回归系数描述信号当前样本值与过去样本值的线性关系。
自回归模型估计功率谱的方法主要有Burg方法、 Yule-Walker方法等。
自回归模型具有较好的频率分辨能力和较高的准确性，适用于信号具有较长时间相关性的情况。
线性预测模型是将信号分解成预测误差和线性组合的方式。
它通过选择适当的线性预测滤波器系数来最小化预测误差的均方差，从而得到功率谱的估计。
线性预测模型估计功率谱的方法主要有Levinson-Durbin算法和Burg算法等。
线性预测模型具有较好的频率分辨能力和较高的估计准确性，适用于信号具有较强的谱峰特性的情况。
3.2信号频率估计信号频率估计是通过对信号进行时域分析来确定信号的频率成分。
生医信号处理课件6经典功率谱
（2）方差 Var[S (e j )] Var[S (e j )] S 2 (e j ) M per x 频率分辨率及旁瓣泄漏
Re s[SM (e j )] ()3dB
二、平均法（Bartlett法）
Bartlett提出，将 x(n)分为长L，互不重叠的k段子序列，N=kL,
3、讨论
m M 2 w ( m) M
M↑偏差↓
M↑方差↑ 一般M=N/5
五、谱估计技术的性能指标
1、变异性γ （归一化方差）
2、品质因数μ
4 2 x
j
j
结论：非一致估计
例
三、周期图的随机起伏
Cov[S per (e
j1
), S per (e
j2
sin[(k l ) ] 2 )] [ ] (k l ) N sin[ ] N
4 x
一、数据加窗（修正周期图）
数据窗
6.4.3 功率谱估计的改进
E[ S per (e )]
j
j
1 E[ S BT (e )] S x ( e j ) W ( e j ) 2
j
N ,
W (e j ) ()
是渐近无偏
2、方差
if 1 M N
j
1 2 Var[ S BT (e )] S x (e j ) W 2 (e j ( u ) )du 2N 1 j S x (e ) N
Bartlett法和Welch法分别对周期图和修正周期图进行平均， 从而达到减少方差的目的。 Blackman-Tukey法为了减少周
期图的方差，对自相关序列的估计进行加窗处理，从而减
少自相关序列的估计中那些不可靠的估计值对周期图的贡 献。
窗口效应
一种改进的窗处理是韦尔奇（Welch）法，因为窗在两 边渐变为零，所以这种方法降低了由于重叠导致的段间 统计相依的效应，而且，一个合适的非矩形窗可以减小 “旁瓣效应”，即“谱泄漏”。 经常采用的窗函数有矩形窗、汉宁窗(Hanning)、海明窗 (Hamming)、凯瑟窗(Kaiser)和切比雪夫窗(Chebwin)等， 其中矩形窗、汉宁窗以及海明窗都是广义余弦窗的特殊 形式，它们可以看作是频率为0、 ／(N一1)和 ／(N一1)的余弦曲线的线性组合，这里N为窗的长度，
巴特利特平均周期图法的实现过程就是把数据分成互 不重叠的L 段，每段有M个样本，即
其中 令
, 是长度为M的矩形窗。 ,则第i段的周期图可有下面公式求得：
由上式可求得整个序列的谱估计：
巴特利特平均周期图法的仿真
在巴特利特平均周期图 法中，对于固定长度的 N，分段K数目愈大， 方差愈小，但M愈小， 会使偏倚增大，谱分辨 率变得愈差。 因此在应用巴特利特平 均周期图法时，需要在 偏倚和估计方差之间进 行权衡，根据实际要求 选择适当的M和N。
在MALAB中可以采用下面的命令来生成：
加窗后的窗口效应
加矩形窗 0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
50
100
150
200
250
300
矩形窗处理的谱估 计的主瓣较窄，分 辨率最好，同时其 主瓣附近的衰减比 其他两个窗函数小， 旁瓣部分泄漏比较 严重，所以其方差 特性最差，噪声水 平较高。
例如测量震动物体的自震频率时，则可以选用主瓣宽度比 较窄的Rectangular窗；当要求谱泄漏小时，则应选用旁 瓣幅度较小的窗。
周期图法估计功率谱
周期图法估计功率谱随机信号谱估计方法的Matlab实现摘要：功率谱估计是随机信号分析中的一个重要内容。
从介绍功率谱的估计原理入手分析经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理、各自特点及在Matlab中的实现方法。
经典功率谱估计的方差大、谱分辨率差，分辨率反比于有效信号的长度，但现代谱估计的分辨率不受此限制。
给出了功率谱估计的应用。
关键词：功率谱估计；周期图法；AR参数法；1 引言在一般工程实际中，随机信号通常是无限长的，例如，传感器的温漂，不可能得到无限长时间的无限个观察结果来获得完全准确的温漂情况，即随机信号总体的情况，一般只能在有限的时间内得到有限个结果，即有限个样本，根据经验来近似地估计总体的分布。
有时，甚至不需要知道随机信号总体地分布，而只需要知道其数字特征，如均值、方差、均方值、相关函数、功率谱的比较精确的情况即估计值。
功率谱估计(PSD)是用有限长的数据估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方面都是重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一。
功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。
2 .平均周期图法和平滑平均周期图法对于周期图的功率谱估计, 当数据长度N 太大时, 谱曲线起伏加剧, 若N 太小, 谱的分辨率又不好,因此需要改进。
两种改进的估计法是平均周期图法和平滑平均周期图法。
(1)Bartlett 法:Bartlett 平均周期图的方法是将N 点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。
Matlab 代码示例1:fs=600;n=0:1/fs:1;xn=cos(2*pi*20*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n)); nfft=512;window=hamming(nfft); %矩形窗noverlap=0;%数据无重叠p=0.9;%置信概率[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,p); index=0:round(nfft/2- 1);k=index*fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));figure(1)plot(k,plot_Pxx);figure(2)plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx- plot_Pxxcplot_Pxx+plot_Pxxc]);matlab调试图下图(2)Welch 法:Welch 法对Bartlett 法进行了两方面的修正, 一是选择适当的窗函数w(n), 并在周期图计算前直接加进去, 加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。
自功率谱估计的经典方法
5．自功率谱估计的经典方法 1） 周期图法（直接法）对于时间序列)(n x N ，其傅里叶变换（DTFT ——离散时间信号的傅里叶变换）为∑-=-=1)()(N n nj N j N en x e X ωω，⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j N N )(21)(记为)()(ωj N D TFTN e X n x −−→←)(n x N 的离散傅里叶变换（DFT ）为∑-=-=102)()(N n kn Nj N N en x k X π，∑-==12)(1)(N k kn Nj NN e k X N n x π记为)()(k X n x N D FTN −−→←若)(n x N 是信号)(n x 在时间域截断的结果，即)()()(n d n x n x N N ⋅= (5-58)其中，)(n d N 是单边矩形窗，其表达式为⎩⎨⎧-≤≤=其它,010,1)(N n n d N 而)(n x 是确定性功率信号（或随机信号的一个样本序列），则根据第三章的讨论结果知，=)(ωj x e S 2,)(1)(limlim ωωj N N j x N N e X Ne P ∞→∞→= (5-59) 反映了信号)(n x 的平均功率在频域的分布情况，称为平均功率谱密度。
因此，估计量2,,)(1)()(ˆωωωj N j x N j PER x e X Ne P e S == (5-60) 为信号)(n x 的功率谱的一个估计。
此估计方法称为直接法或周期图法。
在)(ˆ,ωj PER x eS 的实际运算中采用DFT ，ω在单位园上均匀取值。
当取Nπω2=∆时，（5-60）改写为2,,)(1)()(ˆk X Nk P k S Nx N N PER x ==，1,,1,0-=N k (5-61) 其中，∑-=-=12)()(N n nk NjN N en x k X π，1,,1,0-=N k当取N22πω=∆时，需对)(n x N 补N 个零后再作DFT ，此时（5-60）改写为 22,22,)(1)()(ˆk X Nk P k S Nx N N PER x ==，12,,1,0-=N k (5-62) 其中，)(2k X N 参见(5-42)、(5-33)式。
功率谱估计方法的比较与评价
功率谱估计方法的比较与评价功率谱估计是信号处理领域的重要工具，用于分析信号的频率内容和能量分布。
随着科技的进步，出现了多种功率谱估计方法，例如经典的周期图法、快速傅里叶变换法以及最小二乘法等。
本文将对这些方法进行比较与评价，旨在找出最适合于不同应用场景的功率谱估计方法。
一、周期图法周期图法是一种常用的功率谱估计方法，它利用信号的自相关函数来计算功率谱。
该方法适用于稳态信号，并能够较好地估计信号的频谱特征。
但周期图法在非稳态信号的估计上存在一定的局限性，并且计算复杂度较高，需要较长的计算时间。
二、快速傅里叶变换法快速傅里叶变换（FFT）法是一种高效的功率谱估计方法，通过将信号从时域转换为频域，可以快速计算出信号的功率谱。
FFT法的优点是计算速度快，适用于大数据量的处理。
然而，由于FFT法是基于信号的离散采样点进行计算的，对于非周期信号的估计效果可能不够准确。
三、最小二乘法最小二乘法是一种经典的信号处理方法，可以用于估计信号的功率谱密度函数。
该方法利用样本点间的相关性来估计信号的频谱分布，并通过最小化误差的平方和来求解最优的谱估计。
最小二乘法的优点是估计结果较为准确，对于非稳态信号的估计效果也较好。
然而，最小二乘法在计算复杂度上稍高，并且对于信噪比较低的信号，估计结果可能受到较大影响。
四、窗函数法窗函数法是一种常见的功率谱估计方法，它通过在时域上对信号进行窗函数加权来减小频谱泄露的影响。
窗函数法对于非周期性和非稳态信号的功率谱估计具有一定的优势，可以提供更准确的估计结果。
然而，在窗函数选择上需要权衡分辨率和频谱失真的平衡，不同的窗函数选择会对结果产生一定的影响。
综上所述，不同的功率谱估计方法适用于不同的应用场景。
周期图法适用于稳态信号的估计；快速傅里叶变换法适用于大数据量的处理；最小二乘法适用于需要较高估计准确度的场景；窗函数法适用于非周期性和非稳态信号的估计。
在具体应用中，需要根据信号特性和实际需求选择合适的功率谱估计方法，以获得准确可靠的结果。
信号处理经典谱估计
已知信号x(t)=2cos(2πf1t)+3cos(2πf2t)+w(t)。
其中，f1=30HZ，f2=110HZ，w(t)为白噪声，采样频率F S=1000HZ。
求其功率谱1.周期图法，直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。
clc;Fs=1000; %采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=2*cos(2*pi*30*n)+3*cos(2*pi*110*n)+randn(size(n));window=boxcar(length(xn)); %矩形窗nfft=1024;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法¨plot(f,10*log10(Pxx));xlabel('频率/kHz');ylabel('相对功率谱密度（dB/Hz）');title('直接法');saveas(gcf, 'zhoujifa','jpg');效果图如图1所示图1 直接法功率谱效果改进的直接法2. Bartlett法clcFs=1000;n=0:1/Fs:1;xn=2*cos(2*pi*30*n)+3*cos(2*pi*110*n)+randn(size(n));nfft=1024;window=boxcar(length(n)); %矩形窗noverlap=0; %数据无重叠p=0.9; %置信概率[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p);index=0:round(nfft/2-1);k=index*Fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));figure(1)plot(k,plot_Pxx);xlabel('频率/kHz');ylabel('相对功率谱密度（dB/Hz）');title('直接法');pause;saveas(gcf, 'zhijie','jpg');figure(2)plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]); xlabel('频率/kHz');ylabel('相对功率谱密度（dB/Hz）');title('Bartlett法');saveas(gcf, 'bartlett','jpg');相对于直接法，Bartlett法运行结果曲线较为平滑,如图2图3所示：图2直接法图3 Bartlett法3 . Welch法clc;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;xn=2*cos(2*pi*30*n)+3*cos(2*pi*110*n)+randn(size(n));nfft=1024;window=boxcar(100); %矩形窗window1=hamming(100); %海明窗window2=blackman(100); %blackman窗noverlap=20; %数据重叠数range='half'; %频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range);[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);[Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);plot_Pxx=10*log10(Pxx);plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);plot_Pxx2=10*log10(Pxx2);figure(1)subplot(3,1,1),plot(f,plot_Pxx);subplot(3,1,2),plot(f,plot_Pxx1);subplot(3,1,3),plot(f,plot_Pxx2);xlabel('频率/kHz');ylabel('相对功率谱密度（dB/Hz）');title('Welch法');saveas(gcf, 'Welch','jpg');程序运行结果使信号得以突出，而抑制了噪声,如图4所示：图4 Welch法功率谱效果。
信号功率谱密度估计方法
信号功率谱密度估计方法信号功率谱密度估计是信号处理领域中一项很重要的技术，它能对信号的功率谱密度进行准确的估计和分析，从而使信号的特定频率部分也能被掌握。
本文主要介绍几种常用的信号功率谱密度估计方法。
一、周期图法周期图法是一种基于周期性分析的方法。
它首先将有限长的信号重复延拓为无限长的信号，然后通过周期性观测的方法，从无限长的信号中提取出有限长的所需周期信号。
对每个周期信号进行快速傅里叶变换 (FFT) ，再求其功率谱密度平均，即为该信号的功率谱密度估计。
优点：周期图法能够达到较高的精度和分辨率，尤其适合于分析固有或自然周期信号的功率谱密度。
缺点：对于非周期性信号或周期性误差较大的信号，周期图法的估计结果可能会与真实值有很大偏差。
二、维纳-钱贝尔谱估计法又称为平均周期图法，它是针对周期图法缺点而被提出的一种方法。
维纳-钱贝尔谱估计法主要思想是通过对多个周期图的平均来降低周期性误差的影响，从而得到较为准确的功率谱密度估计。
优点：相比于周期图法，维纳-钱贝尔谱估计法能够更准确地估计非周期性信号的功率谱密度。
缺点：由于需要对多个周期信号进行平均，在计算复杂度和实时性方面存在一定挑战。
三、传统周期图法传统周期图法是周期图法的改进版本，其主要优势在于可以在较小的计算量下快速地估计信号的功率谱密度。
传统周期图法基于矩阵算法，通过将一个周期中每一点位置上的数据按照行组成多个矩阵，从而计算出每个矩阵的DFT谱，最终通过平均多个矩阵的DFT谱得到周期功率谱密度。
优点：与周期图法和维纳-钱贝尔谱估计法相比，传统周期图法在时间和计算方面都大大减少，是一种节省计算资源的解决方案。
缺点：对于非周期性信号和高度噪声的信号，其精度较低，仅适用于对中低频率的信号进行估计。
四、Welch 方法Welch 方法是一种经典的谱估计方法。
其主要思想是将原始信号划分为多段，每段采用布莱克曼窗函数进行加权，然后进行傅里叶变换，最终通过多个信号段的平均来获得谱估计结果。
功率谱图应用
1.基本方法周期图法是直接将信号的采样数据x(n)进行Fourier变换求取功率谱密度估计的方法。
假定有限长随机信号序列为x(n)。
它的Fourier变换和功率谱密度估计存在下面的关系：式中，N为随机信号序列x(n)的长度。
在离散的频率点f=kΔf,有：其中，FFT[x(n)]为对序列x(n)的Fourier变换，由于FFT[x(n)]的周期为N，求得的功率谱估计以N为周期，因此这种方法称为周期图法。
下面用例子说明如何采用这种方法进行功率谱用有限长样本序列的Fourier变换来表示随机序列的功率谱，只是一种估计或近似，不可避免存在误差。
为了减少误差，使功率谱估计更加平滑，可采用分段平均周期图法（Bartlett法）、加窗平均周期图法（Welch 法）等方法加以改进。
2. 分段平均周期图法（Bartlett法）将信号序列x(n)，n=0,1,…,N-1，分成互不重叠的P个小段，每小段由m个采样值，则P*m=N。
对每个小段信号序列进行功率谱估计，然后再取平均作为整个序列x(n)的功率谱估计。
平均周期图法还可以对信号x(n)进行重叠分段，如按2:1重叠分段，即前一段信号和后一段信号有一半是重叠的。
对每一小段信号序列进行功率谱估计，然后再取平均值作为整个序列x(n)的功率谱估计。
这两种方法都称为平均周期图法，一般后者比前者好。
程序运行结果为图9-5，上图采用不重叠分段法的功率谱估计，下图为2:1重叠分段的功率谱估计，可见后者估计曲线较为平滑。
与上例比较，平均周期图法功率谱估计具有明显效果（涨落曲线靠近0dB）。
3.加窗平均周期图法加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进。
在信号序列x(n)分段后，用非矩形窗口对每一小段信号序列进行预处理，再采用前述分段平均周期图法进行整个信号序列x(n)的功率谱估计。
由窗函数的基本知识（第7章）可知，采用合适的非矩形窗口对信号进行处理可减小“频谱泄露”，同时可增加频峰的宽度，从而提高频谱分辨率。
周期图法功率谱估计------窗口效应
nfft=512;
•plot(f,plot_Pxx);
window=boxcar(100);%矩形窗
•title('加矩形窗');
window1=hamming(100);%海明窗
•figure(2)
window2=blackman(100);%blackman 窗 noverlap=20; %数据无重叠
周期图法功率谱估计------窗口效应
主要内容
概述 周期图法 窗函数法 谱估计法比较 总结
数字信号处理的两个主要分支：
数字滤波 频谱分析
对随机信号的频谱分析——功率谱估计
对确定信号，可以用傅立叶变换；而随机 信号无始无终具无限能量，不满足傅立叶变
换绝对可积的条件.
Hale Waihona Puke 概述 功率谱：随机信号的功率谱反映的是随机 信号的频率成分及各成分的相对强弱。
);
[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,ran ge);
[Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,ran ge);
加矩形窗后的窗口效应
加矩形窗 0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
50
Matlab 代码:
Fs=600; n=0:1/Fs:1;
•plot_Pxx=10*log10(Pxx); •plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size (n));
现代信号处理经典的功率谱估计
《现代信号处理》姓名：李建强学号：2专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB 平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%-------------------------------------------------------------------------pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。