周期图法功率谱估计------窗口效应
FFT和功率谱估计
FFT和功率谱估计1.用Fourier变换求取信号的功率谱---周期图法clf;Fs=1000;N=256;Nfft=256;%数据的长度和FFT所用的数据长度n=0:N-1;t=n/Fs;%采用的时间序列xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t)+randn(1,N);Pxx=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列subplot(2,1,1),plot(f,Pxx);%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('周期图 N=256');grid on;Fs=1000;N=1024;Nfft=1024;%数据的长度和FFT所用的数据长度n=0:N-1;t=n/Fs;%采用的时间序列xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t)+randn(1,N);Pxx=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列subplot(2,1,2),plot(f,Pxx);%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('周期图 N=256');grid on;2.用Fourier变换求取信号的功率谱---分段周期图法%思想：把信号分为重叠或不重叠的小段，对每小段信号序列进行功率谱估计，然后取平均值作为整个序列的功率谱clf;Fs=1000;N=1024;Nsec=256;%数据的长度和FFT所用的数据长度n=0:N-1;t=n/Fs;%采用的时间序列randn('state',0);xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t)+randn(1,N);Pxx1=abs(fft(xn(1:256),Nsec).^2)/Nsec; %第一段功率谱Pxx2=abs(fft(xn(257:512),Nsec).^2)/Nsec;%第二段功率谱Pxx3=abs(fft(xn(513:768),Nsec).^2)/Nsec;%第三段功率谱Pxx4=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec;%第四段功率谱Pxx=10*log10(Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4/4);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列subplot(2,1,1),plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('平均周期图（无重叠） N=4*256');grid on;%运用信号重叠分段估计功率谱Pxx1=abs(fft(xn(1:256),Nsec).^2)/Nsec; %第一段功率谱Pxx2=abs(fft(xn(129:384),Nsec).^2)/Nsec;%第二段功率谱Pxx3=abs(fft(xn(257:512),Nsec).^2)/Nsec;%第三段功率谱Pxx4=abs(fft(xn(385:640),Nsec).^2)/Nsec;%第四段功率谱Pxx5=abs(fft(xn(513:768),Nsec).^2)/Nsec;%第四段功率谱Pxx6=abs(fft(xn(641:896),Nsec).^2)/Nsec;%第四段功率谱Pxx7=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec;%第四段功率谱Pxx=10*log10(Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4+Pxx5+Pxx6+Pxx7/7);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dBf=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);%给出频率序列subplot(2,1,2),plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));%绘制功率谱曲线xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('平均周期图（重叠1/2） N=1024');grid on;3.用Fourier变换求取信号的功率谱---welch方法%思想：welch法采用信号重叠分段，加窗函数和FFT算法等计算一个信号序列的自功率谱（PSD）和两个信号序列的互功率谱（CSD），采用MATLAB自%带的函数psdclf;Fs=1000;N=1024;Nfft=256;n=0:N-1;t=n/Fs;window=hanning(256);noverlap=128;dflag='none';randn('state',0);xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t)+randn(1,N);Pxx=psd(xn,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag);f=(0:Nfft/2)*Fs/Nfft;plot(f,10*log10(Pxx));xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('PSD--Welch方法');grid on;4.功率谱估计----多窗口法（multitaper method ,MTM法）%思想：利用多个正交窗口获得各自独立的近似功率谱估计，综合这些得到一个序列的功率谱估计；相对于普通的周期图有更大的自由度；MTM法采用一个参数：时间带%宽积NW，这个参数用以定义计算功率谱所用窗的数目为2*NW-1，NW越大，时间域分辨率越高而频率分辨率越低，使得功率谱估计的波动减小；随着NW 的增大%，每次估计中谱泄露增多，总功率谱估计的偏差增大clf;Fs=1000;N=1024;Nfft=256;n=0:N-1;t=n/Fs;randn('state',0);xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t)+randn(1,N);[Pxx1,f]=pmtm(xn,4,Nfft,Fs); %此处有问题subplot(2,1,1),plot(f,10*log10(Pxx1));xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('多窗口法（MTM）NW=4');grid on;[Pxx,f]=pmtm(xn,2,Nfft,Fs);subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx));xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('多窗口法（MTM）NW=2');grid on;5.功率谱估计----最大熵法（maxmum entmpy method,MEM法）%思想：假定随机序列为平稳高斯过程利用已知的自相关序列rxx(0),rxx(1),rxx(2)...rxx(p)为基础，外推自相关序列rxx(p+1),rxx(p+2)...保证信息熵最大clf;Fs=1000;N=1024;Nfft=256;n=0:N-1;t=n/Fs;window=hanning(256);randn('state',0);xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t)+randn(1,N);[Pxx1,f]=pmem(xn,14,Nfft,Fs); %此处有问题subplot(2,1,1),plot(f,10*log10(Pxx1));xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('最大熵法（MEM）Order=14');grid on;%采用Welch方法估计功率谱noverlap=128;dflag='none';subplot(2,1,2)psd(xn,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag);xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('Welch方法估计功率谱');grid on;6.功率谱估计----多信号分类法（multiple signal classification,music法）%注：适用于白白噪声中的多正弦波频率估计%思想：将数据自相关矩阵看成是由信号自相关矩阵和噪声自相关矩阵两部分组成，求他们的矩阵特征值向量clf;Fs=1000;N=1024;Nfft=256;n=0:N-1;t=n/Fs;randn('state',0);xn=sin(2*pi*100*t)+2*sin(2*pi*200*t)+randn(1,N);pmusic(xn,[7,1.1],Nfft,Fs,32,16);xlabel('频率/KHz');ylabel('功率谱/dB'); title('Welch方法估计功率谱');grid on;。
经典功率谱和Burg法的功率谱估计
现代信号处理作业实验题目：设信号)()8.0cos(25.0)47.0cos()35.0cos()(321n v n n n n x ++++++=θπθπθπ，其中321,,θθθ是[]ππ,-内的独立随机变量，v(n)是单位高斯白噪声。
1.利用周期图法对序列进行功率谱估计。
数据窗采用汉明窗。
2.利用BT 法对序列进行功率谱估计，自相关函数的最大相关长度为M=64,128,256,512采用BARTLETT 窗。
3.利用Welch 法对序列进行功率谱估计，50%重叠，采用汉明窗，L=256,128,64。
4.利用Burg 法对序列进行AR 模型功率谱估计，阶数分别为10，13.要求每个实验都取1024个点，fft 作为谱估计，取50个样本序列的算术平均，画出平均的功率谱图。
实验原理：1）。
周期图法：又称间接法，它把随机信号的N 个观察值x N (n)直接进行傅里叶变换，得到X N (e jw ),然后取其幅值的平方，再除以N ，作为对x （n ）真实功率谱的估计。
2^)(1)(jw e X Nw P N per =， 其中∑-=-=1)()(N n jwn N jwN e n x e X 2）。
BT 法：对于N 个观察值x(0),x(1),。
,x(N-1),令x N (n)=a(n)x(n)。
计算r x （m ）为∑--=-≤+=mN n N Nx N m m n x n xN m r 101),()(1)(,计算其傅里叶变换∑-=--≤=MMm jwm xBT N M e m rm v w P 1 ,)()()(^^，作为观察值的功率谱的估计。
其中v(m)是平滑窗。
3)。
Welch 法：假定观察数据是x(n),n=0,1,2...,N-1，现将其分段，每段长度为M,段与段之间的重叠为M-K,第i 个数据段经加窗后可表示为 1,...,1,0 )()()(-=+=M i iK n x n a n x i M其中K 为一整数，L 为分段数，该数据段的周期图为2)(1)(^w X MU w P i M iper =，其中∑-=-=10)()(M n j w n iM i M e n x w X 。
功率谱估计方法的比较
功率谱估计方法的比较1.周期图法周期图法是最简单直观的功率谱估计方法之一，通过将信号分成多个长为N的区间，计算每个区间内信号的一维傅里叶变换，然后将这些变换结果平方并取平均得到功率谱。
该方法简单快速，但由于其需要使用多个区间的数据进行平均，因此对信号长度有较高的要求，且在信号存在非平稳性时，该方法不适用。
2.自相关法自相关法是一种经典的功率谱估计方法，通过计算信号的自相关函数来估计功率谱。
具体步骤是将信号与其自身的延迟序列进行点乘，并取平均得到自相关函数。
然后对自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱估计值。
该方法计算简单，但精度一般，且在信号长度较长时计算复杂度较高。
3.傅里叶变换法傅里叶变换法是一种经典的功率谱估计方法，通过对信号直接进行傅里叶变换得到功率谱。
该方法计算简单，精确度高，但对信号的长度存在要求，较长的信号长度能提供更高的分辨率。
此外，傅里叶变换法只适用于周期性信号。
4.平均周期图法平均周期图法是一种对周期图法的改进。
它将信号分为多段，并对每一段进行周期图计算，然后将计算结果平均得到平均周期图。
与周期图法相比，平均周期图法可以降低误差，提高估计精度。
然而，该方法仍然对信号长度有一定要求，并且计算复杂度较高。
5.移动平均法移动平均法是一种基于滑动窗口的功率谱估计方法，其基本思想是通过对信号进行多次滑动窗口处理，将窗口内信号的傅里叶变换结果平方并取平均得到功率谱估计值。
该方法在计算复杂度上较低，适用于非平稳信号的功率谱估计。
但是，由于窗口大小的选择存在权衡，需要根据实际情况进行合理设置。
总结起来，各种功率谱估计方法各有优劣。
周期图法和自相关法计算简单，但方法的精度较低，受信号长度限制且无法处理非平稳信号。
傅里叶变换法具有较高的计算精度，但对信号的长度和周期性要求较高。
平均周期图法和移动平均法对周期图法进行了改进，在精度上有所提高，但计算复杂度较高。
因此，在实际应用中，需要根据具体的信号特点和处理要求选取合适的功率谱估计方法。
功率谱估计的方法
功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。
2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。
3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。
二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。
2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。
3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。
以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。
生医信号处理课件6经典功率谱
（2）方差 Var[S (e j )] Var[S (e j )] S 2 (e j ) M per x 频率分辨率及旁瓣泄漏
Re s[SM (e j )] ()3dB
二、平均法（Bartlett法）
Bartlett提出，将 x(n)分为长L，互不重叠的k段子序列，N=kL,
3、讨论
m M 2 w ( m) M
M↑偏差↓
M↑方差↑ 一般M=N/5
五、谱估计技术的性能指标
1、变异性γ （归一化方差）
2、品质因数μ
4 2 x
j
j
结论：非一致估计
例
三、周期图的随机起伏
Cov[S per (e
j1
), S per (e
j2
sin[(k l ) ] 2 )] [ ] (k l ) N sin[ ] N
4 x
一、数据加窗（修正周期图）
数据窗
6.4.3 功率谱估计的改进
E[ S per (e )]
j
j
1 E[ S BT (e )] S x ( e j ) W ( e j ) 2
j
N ,
W (e j ) ()
是渐近无偏
2、方差
if 1 M N
j
1 2 Var[ S BT (e )] S x (e j ) W 2 (e j ( u ) )du 2N 1 j S x (e ) N
Bartlett法和Welch法分别对周期图和修正周期图进行平均， 从而达到减少方差的目的。 Blackman-Tukey法为了减少周
期图的方差，对自相关序列的估计进行加窗处理，从而减
少自相关序列的估计中那些不可靠的估计值对周期图的贡 献。
周期图法功率谱估计------窗口效应
-35
50
300
窗函数对估计结果的影响主要取决于其主瓣 和旁瓣特性，所以窗函数评价指标有 。
主瓣宽度
窗函 数评 价指 标
旁瓣大小
旁瓣衰减斜率
谱估计法比较
周期图法功率谱估计其特点是离散性大，曲 线粗糙，方差较大，但分辨率较高。 窗函数周期图法功率谱估计的收敛性较好, 曲 线平滑, 估计的结果方差较小, 但是功率谱主 瓣较宽, 分辨率低。这是由于对随机序列的分 段处理引起了长度有限所带来的Gibbs 现象 而造成的。 窗口效应的谱估值比较平滑, 但是分辨率较差 。其原因是给每一段序列用适当的窗口函数 加权后, 在得到平滑的估计结果的同时, 使功 率谱的主瓣变宽, 因此分辨率有所下降。
MALAB中可以采用下面的命令来生成：
数据分段 窗处理 各段功率谱
平均功率谱
Welch法谱估计流程图
Welch 法优点, 一是选择适当的窗函数w(n), 并在周期 图计算前直接加进去, 加窗的优点是无论什么样的窗函 数均可使谱估计非负。二是在分段时, 可使各段之间有 重叠,这样会使方差减小。
加窗后的窗口效应仿真
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0
50
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200
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300
海明窗处理谱估计 的旁瓣部分衰减较 大，方差较小，噪 声水平较低，性能 良好，改善了由矩 形窗处理的谱估计 所产生的较大谱失 真
加布莱克曼窗后的窗口效应
加 blackman 窗 0
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布莱克曼窗处理谱 估计的旁瓣部分衰 减较大，方差较小， 噪声水平较低，性 能良好，改善了由 矩形窗处理的谱估 计所产生的较大谱 失真
改进周期图法功率谱估计中的窗函数仿真分析
仿真 ， 就其中的频率分辨率 、 采样信号的数据长度与窗函数的特性等 因素 之间的关系 ， 进行 了详细的讨论 ， 重点分析 了窗函 数对谱估计 的影 响，指出了它们 的优缺点， 出了不 同数据类 型与估计方 式下 的功 率谱标 准方差 的均值 。最后 ， 得 根据 实验 结果并结合 窗函数 的评价指标 ， 出了选取合适的窗函数应注意的一般原则 ， 指 具有 一定 的实际指导意义 。 关键词 ： 周期 图； 谱估计 ； 函数 ； 窗 韦尔奇法
ｂ ｓ ｄ ｏ ｅｃ ．Ｍｅ ｎ ｈ ｌ ｔｐ ｉ ｒ ｙ ａ ａｙ ｅ ｈ ｎ ｌｅ ｃ ｆｗ ｎ ｏ ｆ ｎ ｔ ｎ ｎ ｏｎ ｓｏ ｔ ｈ ｉ ｖｒ ｅ ｄ ａ ｅ ｎ Ｗ ｌｈ ａｗ ｉ ｅ，ｉ ｒｍａ ｉ ｎ ｌｚ ｓｔ ｅ ｉｆｕ ｎ ｅ ｏ ｄ ｗ ｃｉ ｓ ａ ｄ ｐ ｉｔ ｕ ｅｒ ｉ ｕ ｓ ａ ｌ ｉ ｕ ｏ ｔ ｔ ｎ
（ ．重庆大学通信与测控研究所 ， １ 重庆 ４ ０ ４ ；．重庆通信学院 ， ０ ０４ ２ 重庆 ４ ０ ３ ） ０ ０ ５ 摘要 ： 图法是功率谱估计 的一种基本方法 ， 周期 但该方法不满足一致 性估计 条件 ， 谱估计 的分辨力和方差都很难满 足实际应 用需要。因此采用其改进方法 （ Ｗ ｌ 即 ｅ ｈ法） ｃ 估计信号功率谱 ， 并结合该方法对四种典型窗函数的谱估计性能进行 了具体的
Ｙｕ ｎ—ｆ ｎ ， Ｘｕ ｅ ｇ ＭＡ Ｄａ—ｗｅ ， ＥＩＬｉ ｉ Ｗ ｎ
窗口效应
一种改进的窗处理是韦尔奇（Welch）法，因为窗在两 边渐变为零，所以这种方法降低了由于重叠导致的段间 统计相依的效应，而且，一个合适的非矩形窗可以减小 “旁瓣效应”，即“谱泄漏”。 经常采用的窗函数有矩形窗、汉宁窗(Hanning)、海明窗 (Hamming)、凯瑟窗(Kaiser)和切比雪夫窗(Chebwin)等， 其中矩形窗、汉宁窗以及海明窗都是广义余弦窗的特殊 形式，它们可以看作是频率为0、 ／(N一1)和 ／(N一1)的余弦曲线的线性组合，这里N为窗的长度，
巴特利特平均周期图法的实现过程就是把数据分成互 不重叠的L 段，每段有M个样本，即
其中 令
, 是长度为M的矩形窗。 ,则第i段的周期图可有下面公式求得：
由上式可求得整个序列的谱估计：
巴特利特平均周期图法的仿真
在巴特利特平均周期图 法中，对于固定长度的 N，分段K数目愈大， 方差愈小，但M愈小， 会使偏倚增大，谱分辨 率变得愈差。 因此在应用巴特利特平 均周期图法时，需要在 偏倚和估计方差之间进 行权衡，根据实际要求 选择适当的M和N。
在MALAB中可以采用下面的命令来生成：
加窗后的窗口效应
加矩形窗 0
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-35
0
50
100
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200
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矩形窗处理的谱估 计的主瓣较窄，分 辨率最好，同时其 主瓣附近的衰减比 其他两个窗函数小， 旁瓣部分泄漏比较 严重，所以其方差 特性最差，噪声水 平较高。
例如测量震动物体的自震频率时，则可以选用主瓣宽度比 较窄的Rectangular窗；当要求谱泄漏小时，则应选用旁 瓣幅度较小的窗。
随机信号的功率谱估计方法
随机信号的功率谱估计方法随机信号的功率谱估计方法介绍随机信号是指信号的每个值都是随机的，即在同一时刻下，其取值可以是不同的。
由于随机性导致了随机信号的分布不确定，因此分析随机信号的机理比较复杂。
一个优秀的信号分析方法是估计随机信号的功率谱。
功率谱是一个很有用的统计量，它描述了信号在不同频率上的能量分布。
估计功率谱可以帮助我们了解信号的构成、将信号分解成不同的频率分量、对信号的特征进行定量分析，以及在通信和控制系统中使用。
本文将介绍几种常见的随机信号功率谱估计方法，包括周期图法、自相关函数法、半岭功率谱估计法和最大熵谱估计法。
方法一、周期图法周期图法经常用于信号频谱估计。
当我们有大量采样数据时，可以通过对信号进行傅里叶变换来计算功率谱。
但是，当信号是随机过程时，它的频谱也是一个随机变量，因此我们必须通过使用大量的测量值来确定频谱估计的不确定性。
由此带来的问题是，我们要计算的是随机过程信号的平均功率谱密度函数，而不仅仅是单次测量结果的功率谱。
周期图法通过将数据分成多个重叠的子段，然后计算每个子段的傅立叶变换来估计平均功率谱密度函数。
二、自相关函数法自相关函数法采用的是自相关函数相关的频谱估计方法。
通过对随机信号进行卷积，可以获得信号的自相关函数。
自相关函数是指信号与自身的延迟信号的乘积。
自相关函数可以通过傅立叶变换来计算功率谱密度函数。
这种方法可以用于非平稳和平稳信号，并且在信号较长的情况下效果良好。
三、半岭功率谱估计法半岭功率谱估计法是利用谱曲线的形状确定能量的集中程度。
半岭是谱曲线上右侧的谷底点。
我们可以将信号的谱曲线绘制出来，并计算它到半岭的近似功率谱曲线。
该方法可以适用于处理非平稳信号，需要进行多次计算才能获得准确结果。
四、最大熵谱估计法最大熵谱估计法可以通过最小化误差来估计功率谱密度函数。
该方法通过将信号视为时间序列，然后利用最大熵原理来进行谱估计。
最大熵原理是指在不知道任何关于信号的先验信息的情况下，使用最少的假设来描述数据的过程。
功率谱密度估计
功率谱密度估计
功率谱密度估计是一种用于估计信号的功率谱密度的方法。
功率谱密度指的是一个信号在频域上的能量分布情况。
常见的功率谱密度估计方法有：
1. 周期图法：将信号分成一系列周期为N的子段，对每个子
段进行傅里叶变换，然后求平均得到估计的功率谱密度。
2. 平均势谱法：将信号分成若干个重叠的子段，对每个子段进行傅里叶变换，然后对各个子段的功率谱密度进行平均得到估计的功率谱密度。
3. Welch方法：在平均势谱法的基础上，将信号分成多个子段，并对每个子段进行窗函数加权处理，然后对加权后的子段功率谱密度进行平均得到估计的功率谱密度。
4. 自相关法：通过计算信号的自相关函数来估计功率谱密度。
自相关函数表示信号的不同时间点之间的相关性。
这些方法在实际应用中有各自的优缺点，选择合适的方法需要考虑信号的特点以及其他要求，例如信号的长度、频率分辨率等。
周期图法估计功率谱
周期图法估计功率谱随机信号谱估计方法的Matlab实现摘要：功率谱估计是随机信号分析中的一个重要内容。
从介绍功率谱的估计原理入手分析经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理、各自特点及在Matlab中的实现方法。
经典功率谱估计的方差大、谱分辨率差，分辨率反比于有效信号的长度，但现代谱估计的分辨率不受此限制。
给出了功率谱估计的应用。
关键词：功率谱估计；周期图法；AR参数法；1 引言在一般工程实际中，随机信号通常是无限长的，例如，传感器的温漂，不可能得到无限长时间的无限个观察结果来获得完全准确的温漂情况，即随机信号总体的情况，一般只能在有限的时间内得到有限个结果，即有限个样本，根据经验来近似地估计总体的分布。
有时，甚至不需要知道随机信号总体地分布，而只需要知道其数字特征，如均值、方差、均方值、相关函数、功率谱的比较精确的情况即估计值。
功率谱估计(PSD)是用有限长的数据估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方面都是重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一。
功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。
2 .平均周期图法和平滑平均周期图法对于周期图的功率谱估计, 当数据长度N 太大时, 谱曲线起伏加剧, 若N 太小, 谱的分辨率又不好,因此需要改进。
两种改进的估计法是平均周期图法和平滑平均周期图法。
(1)Bartlett 法:Bartlett 平均周期图的方法是将N 点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。
Matlab 代码示例1:fs=600;n=0:1/fs:1;xn=cos(2*pi*20*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n)); nfft=512;window=hamming(nfft); %矩形窗noverlap=0;%数据无重叠p=0.9;%置信概率[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,p); index=0:round(nfft/2- 1);k=index*fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));figure(1)plot(k,plot_Pxx);figure(2)plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx- plot_Pxxcplot_Pxx+plot_Pxxc]);matlab调试图下图(2)Welch 法:Welch 法对Bartlett 法进行了两方面的修正, 一是选择适当的窗函数w(n), 并在周期图计算前直接加进去, 加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。
自功率谱估计的经典方法
5．自功率谱估计的经典方法 1） 周期图法（直接法）对于时间序列)(n x N ，其傅里叶变换（DTFT ——离散时间信号的傅里叶变换）为∑-=-=1)()(N n nj N j N en x e X ωω，⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j N N )(21)(记为)()(ωj N D TFTN e X n x −−→←)(n x N 的离散傅里叶变换（DFT ）为∑-=-=102)()(N n kn Nj N N en x k X π，∑-==12)(1)(N k kn Nj NN e k X N n x π记为)()(k X n x N D FTN −−→←若)(n x N 是信号)(n x 在时间域截断的结果，即)()()(n d n x n x N N ⋅= (5-58)其中，)(n d N 是单边矩形窗，其表达式为⎩⎨⎧-≤≤=其它,010,1)(N n n d N 而)(n x 是确定性功率信号（或随机信号的一个样本序列），则根据第三章的讨论结果知，=)(ωj x e S 2,)(1)(limlim ωωj N N j x N N e X Ne P ∞→∞→= (5-59) 反映了信号)(n x 的平均功率在频域的分布情况，称为平均功率谱密度。
因此，估计量2,,)(1)()(ˆωωωj N j x N j PER x e X Ne P e S == (5-60) 为信号)(n x 的功率谱的一个估计。
此估计方法称为直接法或周期图法。
在)(ˆ,ωj PER x eS 的实际运算中采用DFT ，ω在单位园上均匀取值。
当取Nπω2=∆时，（5-60）改写为2,,)(1)()(ˆk X Nk P k S Nx N N PER x ==，1,,1,0-=N k (5-61) 其中，∑-=-=12)()(N n nk NjN N en x k X π，1,,1,0-=N k当取N22πω=∆时，需对)(n x N 补N 个零后再作DFT ，此时（5-60）改写为 22,22,)(1)()(ˆk X Nk P k S Nx N N PER x ==，12,,1,0-=N k (5-62) 其中，)(2k X N 参见(5-42)、(5-33)式。
功率谱估计方法的比较与评价
功率谱估计方法的比较与评价功率谱估计是信号处理领域的重要工具，用于分析信号的频率内容和能量分布。
随着科技的进步，出现了多种功率谱估计方法，例如经典的周期图法、快速傅里叶变换法以及最小二乘法等。
本文将对这些方法进行比较与评价，旨在找出最适合于不同应用场景的功率谱估计方法。
一、周期图法周期图法是一种常用的功率谱估计方法，它利用信号的自相关函数来计算功率谱。
该方法适用于稳态信号，并能够较好地估计信号的频谱特征。
但周期图法在非稳态信号的估计上存在一定的局限性，并且计算复杂度较高，需要较长的计算时间。
二、快速傅里叶变换法快速傅里叶变换（FFT）法是一种高效的功率谱估计方法，通过将信号从时域转换为频域，可以快速计算出信号的功率谱。
FFT法的优点是计算速度快，适用于大数据量的处理。
然而，由于FFT法是基于信号的离散采样点进行计算的，对于非周期信号的估计效果可能不够准确。
三、最小二乘法最小二乘法是一种经典的信号处理方法，可以用于估计信号的功率谱密度函数。
该方法利用样本点间的相关性来估计信号的频谱分布，并通过最小化误差的平方和来求解最优的谱估计。
最小二乘法的优点是估计结果较为准确，对于非稳态信号的估计效果也较好。
然而，最小二乘法在计算复杂度上稍高，并且对于信噪比较低的信号，估计结果可能受到较大影响。
四、窗函数法窗函数法是一种常见的功率谱估计方法，它通过在时域上对信号进行窗函数加权来减小频谱泄露的影响。
窗函数法对于非周期性和非稳态信号的功率谱估计具有一定的优势，可以提供更准确的估计结果。
然而，在窗函数选择上需要权衡分辨率和频谱失真的平衡，不同的窗函数选择会对结果产生一定的影响。
综上所述，不同的功率谱估计方法适用于不同的应用场景。
周期图法适用于稳态信号的估计；快速傅里叶变换法适用于大数据量的处理；最小二乘法适用于需要较高估计准确度的场景；窗函数法适用于非周期性和非稳态信号的估计。
在具体应用中，需要根据信号特性和实际需求选择合适的功率谱估计方法，以获得准确可靠的结果。
数字信号处理-功率谱估计的经典方法
7.1概述
谱估计方法： 经典方法（非参数法），现代方法（参数法）
• 经典方法：以傅里叶变换为基础， 方法：周期图法 和 Blackman-Tukey(BT)法 (自相关序列估计法)； 适用范围：数据多，对频率分辨率要求不高。
• 现代方法：以随机过程的参数模型为基础， 又称参数方法或模型方法； 最基本的方法： 自回归模型法，线性预测法，最大熵法； 适用范围：数据少，对频率分辨率要求高。 优劣：参数方法较优，利用了“随机过程是如何产生的”信息，
m=−
m=0
7.2 功率谱估计的经典方法------周期图法
• S per (e jw ) 可用 X N (e jw ) 表示为：
N −1
S per (e jw ) =
RN (m)e− jwm =
m=−( N −1)
N −1 [ 1
N m=−( N −1)
N −1− m n=0
xN (n) x*N (n + m)]e− jwm
• RN (m) 的傅里叶变换 S per (e jw ) 为：
+
N −1
S per (e jw ) =
RN (m)e− jwm =
RN (m)e− jwm
m=−
m=−( N −1)
表示 。
• xN (m) 的傅里叶变换 X (e jw ) 为：
+
N −1
X (e jw ) =
xN (m)e− jwm = xN (m)e− jwm
第七章 功率谱估计的经典方法
7.1概述 7.2 功率谱估计的经典方法
7.1概述
功率谱估计， • 是估计平稳随机过程的功率谱， • 根据随机过程的一个取样序列的一段数据, 即有限长数据来估计。 • 假定信号是遍历的，建立在时间平均基础上。
信号功率谱密度估计方法
信号功率谱密度估计方法信号功率谱密度估计是信号处理领域中一项很重要的技术，它能对信号的功率谱密度进行准确的估计和分析，从而使信号的特定频率部分也能被掌握。
本文主要介绍几种常用的信号功率谱密度估计方法。
一、周期图法周期图法是一种基于周期性分析的方法。
它首先将有限长的信号重复延拓为无限长的信号，然后通过周期性观测的方法，从无限长的信号中提取出有限长的所需周期信号。
对每个周期信号进行快速傅里叶变换 (FFT) ，再求其功率谱密度平均，即为该信号的功率谱密度估计。
优点：周期图法能够达到较高的精度和分辨率，尤其适合于分析固有或自然周期信号的功率谱密度。
缺点：对于非周期性信号或周期性误差较大的信号，周期图法的估计结果可能会与真实值有很大偏差。
二、维纳-钱贝尔谱估计法又称为平均周期图法，它是针对周期图法缺点而被提出的一种方法。
维纳-钱贝尔谱估计法主要思想是通过对多个周期图的平均来降低周期性误差的影响，从而得到较为准确的功率谱密度估计。
优点：相比于周期图法，维纳-钱贝尔谱估计法能够更准确地估计非周期性信号的功率谱密度。
缺点：由于需要对多个周期信号进行平均，在计算复杂度和实时性方面存在一定挑战。
三、传统周期图法传统周期图法是周期图法的改进版本，其主要优势在于可以在较小的计算量下快速地估计信号的功率谱密度。
传统周期图法基于矩阵算法，通过将一个周期中每一点位置上的数据按照行组成多个矩阵，从而计算出每个矩阵的DFT谱，最终通过平均多个矩阵的DFT谱得到周期功率谱密度。
优点：与周期图法和维纳-钱贝尔谱估计法相比，传统周期图法在时间和计算方面都大大减少，是一种节省计算资源的解决方案。
缺点：对于非周期性信号和高度噪声的信号，其精度较低，仅适用于对中低频率的信号进行估计。
四、Welch 方法Welch 方法是一种经典的谱估计方法。
其主要思想是将原始信号划分为多段，每段采用布莱克曼窗函数进行加权，然后进行傅里叶变换，最终通过多个信号段的平均来获得谱估计结果。
功率谱估计的经典方法
功率谱估计的经典方法周期图法是最早被提出的功率谱估计方法之一、它基于信号的周期性，将信号分解成一系列频率分量，然后计算每个频率分量的功率谱密度。
周期图法主要分为周期自相关法和周期平均法两种。
周期自相关法通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。
周期平均法则是通过对多个信号周期进行平均得到功率谱估计结果。
平均法是功率谱估计的另一种常用方法。
它通过对信号进行多次采样，然后计算采样信号的傅里叶变换得到频谱，再对多个频谱进行平均得到功率谱估计结果。
平均法的优点是抗噪声能力强，可以提高功率谱估计的准确性。
自相关法是一种基于信号自身特性的功率谱估计方法。
它通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。
自相关法的优点是计算简单，但是对信号的平稳性要求较高。
递归方法是一种实时性较好的功率谱估计方法。
它通过对信号进行递推计算，每次计算结果作为下一次计算的输入，以此来估计信号的功率谱。
递归方法通常会使用窗函数来平滑信号，减小频谱分辨率。
递归方法的优点是计算效率高，可以用于实时信号处理。
除了这些经典方法，还有一些其他的功率谱估计方法，如Yule-Walker方法、Burg方法、最大熵方法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法需要根据具体需求和信号特性进行判断。
在实际应用中，功率谱估计可以用于信号处理、通信系统设计、频谱分析等领域。
它可以帮助我们了解信号的频谱分布特性，对信号进行分析和处理，从而实现更好的信号传输和处理效果。
无论是音频信号、图像信号还是通信信号，功率谱估计都具有重要的意义。
因此，掌握功率谱估计的经典方法是进行信号处理和频谱分析的基础。
eeglab功率谱计算
EEGLAB 是一款广泛应用于脑电图（Electroencephalography, EEG）数据分析的专业软件。
它支持多种功率谱计算方法，包括周期图法、自相关法和Welch 法等。
一、EEGLAB 中常用的几种功率谱计算方法的简要介绍：1. Periodogram: 周期图法是最简单的功率谱估计方法之一。
它使用FFT （Fast Fourier Transform）计算信号的频谱，并将其平方得到功率谱密度。
这种方法的优点是计算速度快，但缺点是存在窗口效应，即相邻窗口间的频谱可能存在较大的偏差。
2. Autoregressive Model (AR): 自回归模型法基于线性预测理论，通过拟合AR(p) 模型参数估计功率谱密度。
AR 方法的优点是可以减小窗函数引起的泄漏效应，并允许灵活指定模型阶数p 来适应信号特性。
3. Moving Average Model (MA): 移动平均模型法类似于AR 方法，但它基于MA(q) 模型参数估计功率谱密度。
MA 方法同样有助于减小窗函数引起的泄漏效应。
4. Autoregressive Moving Average Model (ARMA): 自回归移动平均模型法结合了AR 和MA 的优点，通过拟合ARMA(p,q) 模型参数估计功率谱密度。
ARMA 方法适用于复杂的非平稳信号。
5. Welch's Method: Welch 法是一种改进的周期图法，它通过分割原始信号并应用窗口函数（如Hanning 或Hamming 窗口），然后计算各个窗口的功率谱并取平均值，从而降低窗口效应并提高估计精度。
二、在EEGLAB 中计算功率谱的具体步骤：1. 导入EEG 数据。
2. 应用滤波器（如果有必要）去除高频噪声和其他干扰。
3. 分割数据并应用窗口函数。
4. 使用相应的函数计算功率谱。
5. 可视化功率谱，并进行进一步分析。
请注意，不同的应用场景可能需要使用不同的方法来计算功率谱，所以在实际操作前，建议熟悉每种方法的特点和适用范围。
周期图法的功率谱估计_黄英
[作者简介] 黄英（1965—），女，副教授，研究方向为嵌入 式系统应用开发。
Power spectrum Estimation Based on Periodogram HUANG Ying
(Suzhou Institute of Trade & Commerce,Suzhou,Jiangsu 215009,China)
[作者简介] 黄吉秀， 女， 副教授， 四川财经职业学院副院长， 研究方向为经济学。
（上接第 2 页）
6
结论
参考文献 [1] 丁玉美.数字信号处理——时域离散随机信号处理[M].西安:西安电 子科技大学出版社,2002 [2] 陈怀琛,吴大正.MATLAB 及在电子信息课程中的应用 （第二版） [M]. 北京:电子工业出版社,2004 [3] 李富强,万红.MATLAB6 的语谱图显示与分析[J].微计算机信息,2005, 10(3):1-5 [4] 魏鑫,张平.周期图法功率谱估计中的窗函数分析[J].现代电子技术, 2005,(3)
参考文献 [1] 李小建.经济地理学[M].北京:高等教育出版社,2005 [2] [法]弗朗索瓦·佩鲁.增长极概念[J].原载经济学译丛,1988,(9) [3] 鄂冰.中心城市产业结构优化与升级理论研究[J].城市发展研究,2012,(4) [4] 未江涛.城市中心区产业结构调整优化的基本思路与对策研究[J].天 津行政学院学报,2009,(29) [5] 隋广军 . 中心城市经济结构转型与区域产业结构优化升级 [J]. 改革 , 2008,(1) [6] 唐志鹏.能源约束视角下北京市产业结构的优化模拟与演进分析[J]. 资源科学,2012,(1) [7] 朱群.重庆市产业结构调整及其优化思路研究[J].中国集体经济,2011,(36) [8] 贺亚锋.大连市产业结构优化升级研究[J].云南地理环境研究,2012,(1) [9] 周振华.论城市能级水平与现代服务业[J].社会科学,2005,(9)
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一种改进的窗处理是韦尔奇（Welch）法，因为窗在两 边渐变为零，所以这种方法降低了由于重叠导致的段间 统计相依的效应，而且，一个合适的非矩形窗可以减小 “旁瓣效应”，即“谱泄漏”。 经常采用的窗函数有矩形窗、汉宁窗(Hanning)、海明窗 (Hamming)、凯瑟窗(Kaiser)和切比雪夫窗(Chebwin) 等，其中矩形窗、汉宁窗以及海明窗都是广义余弦窗的 特殊形式，它们可以看作是频率为0、 2 ( N 1) 和 4 ( N 1) 的余弦曲线的线性组合，这里N为窗的长度，在
jw
注：1.做傅立叶变换时，为方便计算机处理，通常将数据补足2^n点 2.FFT程序的序号K是归一频率序号，转换为实际频率为k*Fs/N
周期图法仿真
Fs=600; nfft=512; n=0:1/Fs:1; xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n)); X=fft(x,nfft); Pxx=abs(X).^2/length(n); %求解PSD t=0:round(nfft/2-1); f=t*Fs/nfft; P=10*log10(Pxx(t+1)); %纵坐标的单位为dB plot(f,P)
Pxx ( w)
M 1 m ( M 1) jwm ( m ) w ( m ) e xx
式中窗函数序列w(m) 的长度为2M-1的有限宽 窗序列，为了保证 Pxx (w) 是一个实、偶、非负 函数， w(m)应是一个偶序列，并且满足条件
W (e ) 0, w
加矩形窗后的窗口效应
加矩形窗 0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
50
100
150
200
250
300
矩形窗处理的谱估 计的主瓣较窄，分 辨率最好，同时其 主瓣附近的衰减比 其他两个窗函数小， 旁瓣部分泄漏比较 严重，所以其方差 特性最差，噪声水 平较高。
加海明窗后的窗口效应
加海明窗 0
-35
0
50
100
150
200
250
300
窗函数对估计结果的影响主要取决于其主瓣 和旁瓣特性，所以窗函数评价指标有 。
主瓣宽度
窗函 数评 价指 标
周期图法功率谱估计------窗口效应
主要内容
概述 周期图法 窗函数法
谱估计法比较
总结
数字信号处理的两个主要分支：
数字滤波 频谱分析
对随机信号的频谱分析——功率谱估计
对确定信号，可以用傅立叶变换；而随机 信号无始无终具无限能量，不满足傅立叶变 换绝对可积的条件.
概述
功率谱：随机信号的功率谱反映的是随机 信号的频率成分及各成分的相对强弱。 功率谱估计：基于有限的数据寻找信号、 随机过程或系统的频率成分。
两种基本算法： 周期图法：把功率谱和信号幅频特性的平 方结合起来。 自相关法： 根据维纳-辛钦定理，先估计相 关函数，再经傅立叶变换得功率谱估计。
周期图法
X e jw
^
n jnw jnw x e x e n n n 0 N 1
1 jw 2 S x e X e N
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
50
100
150
200
250
300
海明窗处理谱估计 的旁瓣部分衰减较 大，方差较小，噪 声水平较低，性能 良好，改善了由矩 形窗处理的谱估计 所产生的较大谱失 真
加布莱克曼窗后的窗口效应
加 blackman 窗 0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
布莱克曼窗处理谱 估计的旁瓣部分衰 减较大，方差较小， 噪声水平较低，性 能良好，改善了由 矩形窗处理的谱估 计所产生的较大谱 失真
•plot_Pxx=10*log10(Pxx); •plot_Pxx1=10*log10(Pxx1); •plot_Pxx2=10*log10(Pxx2); •figure(1) •plot(f,plot_Pxx); •title('加矩形窗'); •figure(2) •plot(f,plot_Pxx1); •title('加海明窗'); •figure(3) •plot(f,plot_Pxx2); •title('加blackman 窗');
Matlab 代码: Fs=600; n=0:1/Fs:1; xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size (n)); nfft=512; window=boxcar(100);%矩形窗 window1=hamming(100);%海明窗 window2=blackman(100);%blackman 窗 noverlap=20; %数据无重叠 range='onesided'; %频率间隔为[0 Fs/2], 计算一半 的频率 [Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range ); [Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,ran ge); [Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,ran ge);
MALAB中可以采用下面的命令来生成：
数据分段 窗处理 各段功率谱
平均功率谱
Welch法谱估计流程图
Welch 法优点, 一是选择适当的窗函数w(n), 并在周期 图计算前直接加进去, 加窗的优点是无论什么样的窗函 数均可使谱估计非负。二是在分段时, 可使各段之间有 重叠,这样会使方差减小。
加窗后的窗口效应仿真
Байду номын сангаас 周期图法仿真
30 20
数据长度N太大， 谱线起伏加剧
10
0
-10
-20
数据长度N太小， 谱的分辨率不 好
0 50 100 150 200 250 300
-30
功率谱估计的改进——窗函数法
加窗处理的宗旨是减小频谱泄漏，但却降低了 频谱分辨率。一般说来，减小泄漏和提高分辨 率是互相矛盾的，但是如何使两者都取得最好 的效果，就必须对窗函数的特点进行分析，然 后根据实际要求来选择。其公式如下：