第十章-结构优化例子-机械

设计变量：在x轴上 R( x, 0)处下水，这样 x 就为设计变量 目标函数：
跑步耗时 ：
AR t1 v1 x2 4 18
游泳耗时 ：
(7 x) 2 9 RB t2 v2 6
(7 x)2 9 x2 4 18 6
全程耗时 ： T t1 t2
f ( x)
得到
152 h* B 76cm 2
2F D* 6.43cm y

m * 4 FB / y 8 .47 kg
代入稳定性条件演算，可得满足条件
( D *, h*) e
最优方案确定！
四. 作图法
设计平面D-h上 满足条件：
( D, h) y
h
a
b
设计变量：包装箱的长a、宽b和高h 目标函数： s f (a, b, h) 2(ab bh ha) 约束条件: 1） 2）
abh 5
a4
b0
h
a
b
h0
包装箱尺寸设计的优化数学模型
a
b h R
min T
3
f (a, b, h) 2(ab bh ha)
可以将设计变量用设计变量表示
D f ( h ) F ( B 2 h 2 )1 / 2 / y h
代入m(D,h)得到
2 F B 2 h 2 m(h) y h
若函数m(h)存在极值，则必有
dm 2 F d B 2 h 2 dh y dh h 2 F B2 1- 2 y h 0
设计变量：销轴的长度 l 和截面直径 d d 2l 目标函数： f (l , d )
4
约束条件: 1）
pl 32000l 6 max 120 10 w d3 d3 ( ) 32
32l 12 d 3 104 0
2）
M 1600 6 max 80 10 d3 d3 ( ) 16

C
C
min
x2
B

x3
C
max
x1
A
i
j
D
i
x2 x1
B A
x3 x1
B
x2
x3
x4
x4
D
x2 1
约束条件 2）
x2 x1
x3 x1
x4 x1
x2 x3 x1 x4
x4 x1 x2 x3
x2 1
x3 1
x2 x3 6
x2 x3 4
l
min T
d R
2
f (l , d )
d l
2
4
3

4
s.t.
32l 12 d 10 0
16 8 d 3 105 0
6.4l 6 d 10 0
3 3 3
l 0.08
d 0
四. 生产计划的优化示例
已知 : 某电线电缆车间生产电力电缆和电话电 缆两种产品。每生产电力电缆 1m需用材料 9kg ， 3 个工时，消耗电能 4kw． h ，可得利润 60 元；每生 产电话电缆1m需用材料4kg，10个工时，消耗电能 5kw ． h ． 可 得 利 润 120 元 。 若 每 天 材 料 可 供 应 360kg，有300个工时，电能200kw· h可利用。如要 获得最大利润，每天应生产电力电缆、电话电缆 的长度各为多少?
16 8 d 3 105 0
约束条件:
1）
pl 3 64000l 3 4 f max f 1 10 d3 6 d 3 1011 3E ( ) 64
6.4l 3 6 d 3 103 0
2）
l 0.08
d 0
销轴尺寸设计的优化数学模型
0
2 2 f0 ( ) 0 （ 0） 3
设计变量： x 2 ， x3
2 f ( x ) f ( x , x ) ( ) 目标函数： i ji 2 3 i 0 s
i 0,1, 2......s
2 2 j i i f ( ) （ ） 其中： i 0 i i0 i i0 3 2 2 2 ri 2 x4 ri 2 x3 x12 x2 i arccos i arccos 2ri x3 2ri x4
2 2 2 2 x2 x2 x3 ( x4 x1 )2 x3 16 arccos arccos 45 2 x2 x3 2 x2 x3
x x 2x2 x3 cos135 36 0
2 3
2 2 x2 x3 2x2 x3 cos 45 16 0
钢管所受压应力
F1 / A
F B2 h2 h
F B 2 h 2 / h ( R 2 r 2 ) F B 2 h 2 / Dh
强度约束条件
y
压杆失稳时临界力
2 EI 2 EI Fe 2 2 L B h2
4 4 A 2 I ( R r ) ( D 2 ), 4 8
——等值线与强度曲 线的交点，但不是最 优解 （不满足稳定约 束条件） 实际最优点 x1* [ D * , h * ]T
[ 4.75cm,513cm ] （两约束交点处） * m1 5.45 kg
（过x1点的等值线）
T
最优点的三种情况
1. 最优点的等值线在可行域内中心点 ——约束不起作用（无约束问题） 2．最优点在可行域边界与等值线切点处 ——一个起作用约束 3．多个约束交点处 ——多个起作用约束
曲柄摇杆机构的优化数学模型
x x2
minT
x3 R 2
f ( x) f ( x2 , x3 ) ( i ji ) 2
i 0
s
i 0,1, 2......s
s.t.
x x 2x2 x3 cos135 36 0
2 2 2 3
2 2 x2 x3 2x2 x3 cos 45 16 0
s.t.
abh 5
a4
b0
h
a
h0
最终得到最优方案:
b
a 4m
b h 1.118m
f * (a, b, h) 20.388m2
三. 圆形等截面销轴的优化设计
如图所示是一个圆形等截面销轴，轴的一端作用载 荷 P=1000N ，扭矩 M=100N· m ；轴长不得小于 8cm ；材 料 的 许 用 弯 曲 应 力 [σw]=120MPa ， 许 用 扭 剪 应 力 [τ]=80MPa，许用挠度[f] = 0.01cm；密度[ρ] = 7.8t /m， 弹性模量E=2×105MPa。要求：设计此销轴，在满足上 述条件的同时，轴的质量应为最轻。
( D , h ) y ——为起作用约束
D * 6 .43 cm
h* 76 cm
m*=8.47kg
五. 讨论
若将许用应力
（虚线—强度曲线） * * T T 解析法得到: x1 [ D , h ] [3 .84 cm ,76 cm ]
y由420提高到703Mpa，可行域变化
A (R2 r 2 )
钢管失稳的临界应力
Fe e A 8 B 2 h2
2 E 2 D 2
稳定约束条件
e
三. 解析法
人字架的总质量表示为
m D, h 2 AL 2 D B2 h
1 2 2

则有
F B 2 h2 ( D, h) y Dh
max T
x2 R
2
f ( x1, x2 ) 60x1 120x2
9x 1 4x2 360
3x 1 10 x2 300
s.t.
4x 1 5x2 200
x 1 0
x 2 0
五. 路径优化问题
越野赛在湖边举行,出发点在陆地处,终点在湖心 岛B处,南北相距5千米,东西相距7千米, 湖岸位 于点O北侧2千米处的A处是一条东西走向的笔 直长堤，比赛中运动员可自行选择路线，但必 须先从A点出发到达长堤，再从长堤处下游到 达终点，已知运动员甲跑步速度 为18米/秒，游 泳速度为6米/秒，请问他应该在长堤的何处下 水才能使比赛用时最少？
字架高度h和钢管平均直径D，使钢管总质量最小
人字架的优化设计问题可归结为 求 x D h ，使结构质量
T
m x min
但应满足强度约束条件
x y
和稳定约束条件
x e
二. 钢管满足的强度与稳定条件
钢管所受压力（二力杆）
F1 F / cos F h / B2 h2
( D, h) e
——可行域 不满足上述条件,即：
和
( D, h) y
( D, h) e
——不可行域
m(D,h)=c （一系列常数） ——质量等值线 （可行域内无中心点）
X * [ D * , h * ]T [6.43cm,76cm ]T
——可行域边界与等 值线 切点处
小结
机械优化设计首先要求将设计问题转化为优化设计 的数学模型
设计问题 利用力学、机械或其它专业知识 优化设计数学模型: 1.目标函数与各设计参数的关系（方程组） 2.约束条件与各设计参数的关系（等式或不等式） 优化方法 求解优化问题得到设计结 果
第二节 机械优化设计问题示例
■ 在优化设计中，建立数学模型，通常是根据研究 对象的设计要求，应用有关专业的基础理论知识 进行推导来建立相应的方程或方程组。对机械产 类的产品对象来说，主要是根据力学、机械设计 基础知识和各专业机械设备的具体知识来推导方 程或方程组，这些方程或方程组必须能够反映各 设计变量之间的内在联系，通过它可以研究各设 计变量对设计对象工作性能的影响。
(7 x)2 9 x2 4 18 6
约束条件:
Biblioteka Baidu
0 x7
优化设计的数学模型
min f ( x)
xR
2 (7 x ) 9 x 4 18 6 2
s.t.
x* 6
0 x7
通过优化求解，最终求得此问题的最优解为 :
设计变量：电力电缆和电话电缆的数量 x1和 x2 目标函数： f ( x1 , x2 ) 60x1 120x2 约束条件: 1） 9x 1 4x2 360 2） 3x 1 10 x2 300 3） 4x 1 5x2 200 4） x 1 0
x 2 0
优化数学模型
x1
x2 1
x3 1
x2 x3 6
x2 x3 4
最终得到最优方案: x 4.1286
* 2 * x3 2.3325
f * 0.0156
二. 薄板包装箱的优化设计
设计一个体积为5m3的薄板包装箱，如图所示，其中 一边的长度不小于 4m,要求使薄板材料消耗最少，试确 定包装箱的尺寸参数，即确定包装箱的长、宽和高。
一. 平面四杆机构的优化设计
已知此曲柄摇杆机构 的曲柄的长度 x1 1.0， 机架的长度 x4 5 ，许 用传动角在 45 ~ 135 之 间，设计此曲柄摇杆机 构 ，要求当曲柄从 0 位置转到 0 90 时， 摇杆的输出角 最优的 实现一个给定的运动规 律 f ( ) ，即
i
2 ri x12 x4 2 x1 x4 cos i
C
x2
B
ri x1
A
i
i i
x3
j
D
i
x4
约束条件 1） max
min
2 2
2 2 2 2 x2 x2 x3 ( x4 x1 )2 x3 36 arccos arccos 135 2 x2 x3 2 x2 x3
第十章
结构优化设计实例
第一节 人字架的优化设计
一. 问题
已知人字架的受力、结构和性能尺寸
2 F 3 10 N
5
2 B 152 cm 0 .25 cm
E 2.1 105 MPa
7.8 10 3 kg/m 3
许用压应力： y 420 MPa 求：在钢管压力不超过许用压力和失稳临界压力的条件下的人