力学中临界问题分析

力学中临界问题分析一、在共点力动态平衡中与临界极值相关问题物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，常涉及到什么时候受力“最大”或“最小”，那个绳先断等问题。

1、三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定。

若逐渐增加C 端所挂物体的质量，则最先断的绳（ ）A 、必定是OAB 、必定是OBC 、必定是OCD 、可能是OB ，也可能是OC解析：三根绳所能承受的最大拉力相同，在增大C 端重物质量过程中，判断哪根绳上的拉力先达到临界值是关键。

OC 下悬挂重物，它的拉力应等于重物的重力G.就是OC 绳的拉力产生两个效果，使OB 在O 点受到向左的作用力F 1，使OA 在O 点受到斜向下沿绳长方向的作用力F 2，F 1、F 2是G 的两个分力.由平行四边形可作出力的分解图如下图所示，当逐渐增大所挂物体的质量,哪根绳子承受的拉力最大则最先断.从图中可知：表示F 2的有向线段最长,F 2分力最大，故OA 绳子最先断.2、 如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。

【解析】作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F.cos θ-F 2-F 1cos θ=0, Fsin θ+F 1sin θ-mg=0 要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 340320≤≤。

3、如图所示，质量为m 的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。

现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

【灵犀一点】这是一个斜面问题。

当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。

当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。

此时是θ最大。

【解析】依题意可知，当 mgsinθ=μmgcosθ物体处于临界状态，即 tan θ=μ则 θ≤arc o tμ讨论：tan θ=μ是一重要临界条件。

其意义是：tan θ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力，物体相对于长木板静止；tan θ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力，当物体没有获得初速度时，物体相对于长木板静止；tan θ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，物体将向下做加速运动。

【思维总结】对于此题的动态是否处于动态平衡问题讨论如下：①、将物体静止置于斜面上，如tan θ≤μ，则物体保持静止；如tan θ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。

②、将物体以一初速度置于斜面上，如tan <μ，则物体减速，最后静止；如tan θ=μ，则物体保持匀速运动；如tan θ>μ，则物体做加速运动。

因此，tan θ=μ这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。

θ AB C F θ θ G F 2 F 1 Fxyθ θ4、如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为α的斜面上，已知物体A 的质量为m ，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μ<t an θ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B 质量的取值范围．【灵犀一点】摩擦力可能有两个方向【解析】以B 为研究对象，由平衡条件得：B T m g = 再以A 为研究对象，它受重力、斜面对A 的支持力、绳的拉力和斜面对A 的摩擦作用．假设A 处于临界状态，即A 受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：cos N mg θ=0,m m T f mg f N μ--==或：0,m m T f mg f N μ+-==综上所得，B 的质量取值范围是：(sin cos )(sin cos )B m m m θμθθμθ-≤≤+二、动力学中的临界极值问题的解读所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。

至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。

极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。

临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。

动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。

在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。

○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。

○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。

○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。

○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。

解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。

5、如图所示，水平面上两物体m 1、m 2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( )A 、零B 、F/2C 、FD 、大于F解析： 当m 2与平面间的摩擦力与F 平衡时，绳中的张力为零，所以A 对；当m 2与平面间的最大静摩擦力等于F/2时，则绳中张力为F/2，所以B对，当m 2与平面间没有摩擦力时，则绳中张力为F ，所以C 对，绳中张力不会大于F ，因而D 错。

6、如图所示,在光滑水平面上叠放着A 、B 两物体,已知m A =6 kg 、m B =2 kg ，A 、B 间动摩擦因数μ=0.2，在物体A 上系一细线,细线所能承受的最大拉力是20N ，现水平向右拉细线，g 取10 m/s 2，则 ( )A.当拉力F<12 N 时,A 静止不动B.当拉力F>12 N 时,A 相对B 滑动C.当拉力F=16 N 时,B 受A 的摩擦力等于4 ND.无论拉力F 多大,A 相对B 始终静止解析 设A 、B 共同运动时的最大加速度为a max ,最大拉力为F max对B:μm A g=m B a maxa max = B A m g m =6 m/s 2对A 、B 系统:F max =(m A +m B )a max =48 N当F<F max =48 N 时,A 、B 相对静止。

因为地面光滑,故A 错,当F 大于12 N 而小于48 N 时,A 相对B 静止,B 错。

当F=16 N 时,其加速度a=2 m/s 2。

对B:f=4 N,故C 对。

因为细线的最大拉力为20 N,所以A 、B 总是相对静止,D 对。

正确选项为CD 。

点评：刚好相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，即f 静=f m ，此时系统的加速度仍相等。

7、如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A 、B 两物体，B 的质量是A 的2倍，B 受到向右的恒力F B ＝2 N ，A 受到的水平力F A ＝(9－2t ) N(t 的单位是s)．从t ＝0开始计时，则( )A 、A 物体在3 s 末时刻的加速度是初始时刻的511倍 B 、t ＞4 s 后，B 物体做匀加速直线运动C 、t ＝4.5 s 时，A 物体的速度为零D 、t ＞4.5 s 后，A 、B 的加速度方向相反解析：对于A 、B 整体根据牛顿第二定律有F A ＋F B ＝(m A ＋m B )a ，开始时合力为11 N,3秒末合力为5N ，故A 正确．设A 、B 间的作用力为F N ，则对B 进行分析，由牛顿第二定律可得：F N ＋F B ＝m B a ，解得F N ＝m B F A ＋F B m A ＋m B －F B ＝16－4t 3N ．当t ＝4 s 时，F N ＝0，A 、B 两物体开始分离，此后B 做匀加速直线运动，故B 正确；而A 做加速度逐渐减小的加速运动，当t ＝4.5 s 时，A 物体的加速度为零而速度不为零，故C 错误．t ＞4.5 s 后，A 所受合外力反向，即A 、B 的加速度方向相反，故D 正确．当t ＜4 s 时，A 、B 的加速度均为a＝F A ＋F B m A ＋m B.综上所述，选项A 、B 、D 正确． 点评：相互接触的两物体脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零，即N=0。

8、如图所示，质量均为M 的两个木块A 、B 在水平力F 的作下，一起沿光滑的水平面运动，A 与B 的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A 与B 一起运动时的水平力F 的范围。

答案：F ≤Mg 329、不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量M ＝15kg的重物，重物静止于地面上，有一质量m ＝10kg 的猴子从绳的另一端沿绳上爬，如右图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，猴子向上爬的最大加速度为(g 取10m/s 2)( ）A 、25m/s 2 C 、．5m/s 2C 、10m/s 2D 、15m/s 2解析：本题的临界条件为F ＝Mg ，以猴子为研究对象，其受向上的拉力F ′和mg ，由牛顿第二定律可知，F ′－mg ＝ma ，而F ′＝F ，故有F －mg ＝ma ，所以最大加速度为a ＝5m/s 2.点评：此题中的临界条件是：地面对物体的支持力为零。

10、如图5所示，一质量为0.2kg 的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以10m/s 2加速度水平向右作匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力。

（g=10m/s 2） 【灵犀一点】要考虑到小球可能离开斜面的情况，用极限法把加速度推到两个极端进行分析。

【解析】当0a →时，小球受到三个力（重力、绳的拉力、斜面的支持力）作用，此时绳平行于斜面；当a 较大时，小球将“飞离”斜面，此时绳与斜面的夹角未知。