高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案新人教A版选修2-1

2.2.1 椭圆及其标准方程 ( 二)
学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题
.
知识点 椭圆标准方程的认识与推导
思考 1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？ 答案 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在
x 轴或 y 轴上 .
标准方程的代数特征：方程右边为
x2 y2 9，则椭圆方程为 25＋ 9 ＝ 1. 当点 A 在直线 BC上，即 y＝ 0 时， A，B， C 三点不能构成三角
x2 y2 形 . 因此，顶点 A 的轨迹方程是 25＋ 9 ＝1( y≠0).
x2 y2
3. 已知椭圆
E：
＋ a2
＝ b2
1(
a>b>0)
的右焦点为
F(3 ， 0) ，过点 F 的直线交
的点都在椭圆上 . 由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标
准方程 .
梳理 (1) 椭圆的标准方程的形式
焦点位置
形状、大小
焦点坐标
标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
形状、大小相同 a>b>0， b2＝a2－c2，焦
距为 2c
F1( － c， 0) ，F2( c， 0)
xy 1，左边是关于 a与b的平方和，并且分母为不相等的正值 .
思考 2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
答案 把方程化为标准形式，与 x2，y2 相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上
.
思考 3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解
过程 .
答案 (1) 如图所示，以经过椭圆两焦点 F1， F2 的直线为 x 轴，线段 F1 F2 的垂直平分线为 y
x2 y2 a2＋ b2＝ 1( a>b>0)
y2 x2 F1(0 ，－ c) ，F2(0 ， c) a2＋ b2＝ 1( a>b>0)
(2) 方程 Ax2＋ By2＝ 1 表示椭圆的充要条件是 A>0， B>0 且 A≠ B. (3) 椭圆方程中参数 a， b， c 之间的关系为 a2＝ b2＋ c2.
x2 y2 a2＋ b2＝
y2 x2
x2 y2
1 与 ＋ ＝ 1 这两个标准方程中，都有 a>b>0 的要求，如方程 ＋ ＝ 1( m>0， n>0，m≠ n)
a2 b2
mn
就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式
xy a＋ b＝ 1 类比，如
x2 y2 a2＋b2＝ 1 中，由于 a>b，所以在 x 轴上的“截距”更大，因而焦点在
40 a2＋ b2＝1， ∴ 01 a2＋ b2＝ 1，
a2＝ 4， ∴
b2＝ 1.
∴所求的椭圆的标准方程为 y2＋ x2＝ 1. 4
类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2
如图，在圆
x
2
＋
y
2
＝
4
上任取一点
P，过点 P 作 x 轴的垂线段
PD，D 为垂足 . 当点 P 在
圆上运动时，求线段 PD的中点 M的轨迹 .
4 / 11
|BQ| |OB| 解 由三角形角平分线性质得 |QP| ＝ |OP| ＝ 2.
∴ B→Q＝ 2Q→P. 设 Q( x， y) ，P( x0， y0) ，则 ( x－ 2， y) ＝ 2( x0－x， y0－ y) ，
x－ 2＝2x0 － 2x， ∴
y＝ 2y0－ 2y，
3x － 2 x0＝ 2 ， ∴
x 轴上 ( 即看 x2， y2 分
母的大小 ). 要区别 a2＝ b2＋ c2 与习惯思维下的勾股定理
c2＝ a2＋ b2.
40 分钟课时作业
一、选择题
1. “ m>n>0”是“方程 mx2＋ ny2＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
① － ②得 错误 ! ＋错误 ! ＝ 0，
y1－ y2
∴ kAB＝
＝－ 错误 ! ，
x1－ x2
b2 由题意，得 x1＋ x2＝ 2， y1＋ y2＝－ 2， ∴ kAB＝ a2，
0＋ 1 1 b2 1 又 kAB＝ 3－ 1＝ 2， ∴ a2＝ 2，
又
c
2
＝
a2－
b2＝
9
，
∴
b2
＝
9，
a2＝
18，
(2) 求关系式：用点 P 的坐标表示出点 Q的坐标，即得关系式 错误 ! (3) 代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即
可. 跟踪训练 2 如图所示， B点坐标为 (2 ， 0) ，P 是以 O为圆心的单位圆上的动点，∠ POB的平
分线交直线 PB于点 Q，求点 Q的轨迹方程 .
3A＋ 4B＝ 1， 依题意有
12A＋ B＝ 1，
解得
1 A＝ 15，
1 B＝ .
5
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 15＋ 5 ＝ 1.
反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法
时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置
.
跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 .
2a＝ 错误 ! ＋ 错误 ! ＝ 2错误 ! ，即 a＝错误 ! . 又 c＝2，∴ b2＝a2－c2＝ 6.
y2 x2
∴所求的椭圆的标准方程为
＋ ＝ 1.
10 6
( 2) ∵椭圆的焦点在 y 轴上， y2 x2
∴设它的标准方程为 a2＋b2＝ 1( a>b>0).
又椭圆经过点 (0 ， 2) 和 (1 ， 0) ，
＋
y2＝
1.
所以点 M的轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆 .
引申探究
若本例中“过点 P 作 x 轴的垂线段 PD”，改为“过点 P 作 y 轴的垂线段 PD”. 那么线段 PD
的中点 M的轨迹又是什么？
解 设 M( x， y) ， P( x0， y0) ，
则 x20＋ y20＝ 4， (*)
代入 (*)
类型一 椭圆标准方程的确定 例 1 求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－ 2) 和 B( － 2 3， 1) 两点的椭圆的标准方程 . 解 方法一 (1) 当焦点在 x 轴上时，
x2 y2 设椭圆的标准方程为 a2＋b2＝ 1( a>b>0) ， 依题意有 错误 ! 解得 错误 !
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 15＋ 5 ＝ 1. (2) 当焦点在 y 轴上时，
x2 y2 C. 16＋ 16＝1( y≠0)
答案 A 解析 由已知 | AB| ＋ | AC| ＋ | BC| ＝ 18， | BC| ＝8，得 | AB| ＋ | AC| ＝ 10. 由椭圆的定义可知，点 A 的轨迹是椭圆的一部分，且 2a＝ 10， 2c＝ 8，即 a＝ 5， c＝ 4，所以 b2＝ a2－ c2＝25－ 16＝
(
a2－
c2)
x
2
＋
a2y
2
＝
a2(
a2－
c2)
，为使方程简单、对
② 称、便于记忆，引入字母
b，令 b2＝ a2－ c2，可得椭圆标准方程为
x2 y2 a2＋ b2＝1( a>b>0).
(5) 从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解
( x， y) 为坐
标的点到椭圆的两个焦点 F1( － c， 0) ， F2( c， 0) 的距离之和为 2a，即以方程 ② 的解为坐标
35 (1) 两个焦点的坐标分别是 (0 ，－ 2) ， (0 ，2) ，并且椭圆经过点 ( － 2，2) ；
(2) 焦点在 y 轴上，且经过两点 (0 ， 2) 和 (1 ， 0).
解 (1) ∵椭圆的焦点在 y 轴上，
y2 x2 ∴设它的标准方程为 a2＋b2＝ 1( a>b>0).
由椭圆的定义知：
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不同点
图形
相同点
焦点坐标 定义
a、b、 c 的关系
F1( － c，0) ， F2( c， 0)
F1(0 ，－ c) ， F2(0 ， c)
平面内到两个定点 F1、 F2 的距离的和等于常数 ( 大于 | F1F2|)
的点的轨迹
a2＝ b2＋ c2
2. 所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在
3y y0＝ 2 .
又 ∵ 点 P在单位圆 x2＋ y2＝ 1 上.
3x － 2 ∴（ 2 )
2＋
(
3 2y
)
2＝
1.
∴ 点 Q的轨迹方程为 错误 ! ＋ 错误 ! y2＝ 1.
1.
方程
x2 m＋
y2
＝
1
表示焦点在
x 轴上的椭圆，则
m的取值范围为 (
)
1 A.(1 ，＋ ∞) B.( 2，＋ ∞） C.[1 ，＋ ∞) D.( － ∞ ， 1)
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析
方 程 mx2 ＋ ny2 ＝ 1 ， 即 x2 ＋ y2 ＝ 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 的 充 要 条 件 为 11 mn
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1 >0，
n 1 m>0， 11 n>m，
即 m>n>0. 故选 C.
2. 到两定点 F1( －2， 0) 和 F2(2 ， 0) 的距离之和为 4 的点 M的轨迹是 (
答案 A 解析 因为焦点在 x 轴上，故 m>1，故选 A. 2. 设 B( － 4， 0) ，C(4 ， 0) ，且△ ABC的周长等于 18，则动点 A 的轨迹方程为 ( )
y2 x2 B. 25＋ 9 ＝1( y≠0)
x2 y2 A. 25＋ 9 ＝1( y≠0)
y2 x2 D. 16＋ 9 ＝1( y≠0)
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解 设点 M的坐标为 ( x， y) ，点 P 的坐标为 ( x0， y0) ，
y0 则 x＝x0， y＝ 2 . 因为点
P( x0， y0) 在圆
x2＋ y2＝ 4 上，
①
所以 x20＋ y20＝ 4.
把 x0＝ x， y0＝ 2y 代入方程 ① ，
得
x2 ＋ 4 y2＝
4，
即
x2 4
E 于 A， B 两点 . 若
AB的中点坐标为 (1 ，－ 1) ，则椭圆 E 的方程为 ____________.
x2 y2
答案
＋ ＝1
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x21 y21
a2＋ b2＝ 1，
①
解析 设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，则 x2 y22 ＋ ＝1， ② a2 b2
4a，即 4 3.
5. △ ABC的三边长 a， b，c 成等差数列，且 b＝ 6，求顶点 B 的轨迹方程 .
解 以直线 AC为 x 轴， AC的中点为原点，建立直角坐标系，
设 A( － 3， 0) ， C(3 ， 0) ，B( x， y) ，
则 | BC| ＋ | AB| ＝ a＋ c＝ 2b＝ 2| AC| ＝ 12，
轴，建立直角坐标系 xபைடு நூலகம்y.
(2) 设点：设点 M( x， y) 是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为
F1( － c， 0) ， F2( c， 0).
(3) 列式：依据椭圆的定义式 | MF1| ＋ | MF2| ＝ 2a 列方程，并将其坐标化为 错误 ! ＋错误 ! ＝ 2a.
①
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(4) 化简：通过移项、两次平方后得到：
y2 x2 设椭圆的标准方程为 a2＋b2＝ 1( a>b>0) ， 依题意有 错误 ! 解得 错误 ! 此时不符合 a>b>0，所以方程组无解 .
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 15＋ 5 ＝ 1. 方法二 设所求椭圆的方程为 Ax2＋ By2＝ 1( A>0， B>0 且 A≠ B) ，
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式得
y2 4
＋
x2＝
1.
x0 ， 2 ＝x
y0＝ y
故点 M的轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆 . 反思与感悟 如果一个动点 P 随着另一个在已知曲线上运动的动点 Q而运动，则求 P点的轨
迹方程时一般用转代法来求解 . 基本步骤为 (1) 设点：设所求轨迹上动点坐标为 P( x， y) ，已知曲线上动点坐标为 Q( x1， y1 ).
∴B 点的轨迹是以 A， C为焦点的椭圆， 且 a′ ＝6， c′ ＝ 3， b′ 2＝ 27.
x2 y2 故所求的轨迹方程为 36＋ 27＝1( y≠0).
标准方程
1. 两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：
x2 y2 a2＋b2＝ 1( a>b>0)
y2 x2 a2＋ b2＝ 1( a>b>0)
)
A. 椭圆 B. 线段 C. 圆 D. 以上都不对
答案 B
解析 ∵｜MF1| ＋| MF2| ＝ 4＝ | F1F2| ，
∴ M的轨迹是以 F1， F2 为端点的线段，故选 B.
3. 椭圆 x2 ＋ y2＝ 1 的两个焦点为 4
F1、F2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为
x2 y2 ∴ 椭圆 E 的方程为 18＋ 9 ＝ 1.
4.
在椭圆
x2 3
＋
y
2＝
1
中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点
F2 出发经椭圆反射后经过另一个
焦点 F1，再次被椭圆反射后又回到 F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为 _______.
答案 4 3
解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为